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高中数学必修5高中数学必修5《2.3等差数列的前n项和(一)》教案


2.3 等差数列的前 n 项和(一) 一、教学目标 1、等差数列前 n 项和公式. 2、等差数列前 n 项和公式及其获取思路; 3、会用等差数列的前 n 项和公式解决一些简单的与前 n 项和有关的问题. 二、教学重点:等差数列前 n 项和公式的理解、推导及应用. 教学难点:灵活应用等差数列前 n 项公式解决一些简单的有关问题. 三、教学过程 (一) 、复习引入: 1.等差数列的定

义: a n - an?1 =d , (n≥2,n∈N ) 2.等差数列的通项公式: (1) a n ? a1 ? (n ? 1)d (2) a n ? a m ? (n ? m)d (3) a n =pn+q (p、q 是常数)
n ?1
?

3.几种计算公差 d 的方法:① d ? a n - an?1 4.等差中项: A ?

② d ? a n ? a1

③ d ? an ? am
n?m

a?b ? a, b, 成等差数列 2

5.等差数列的性质: m+n=p+q ? a m ? a n ? a p ? a q (m, n, p, q ∈N ) 6.数列的前 n 项和:数列 ?a n ?中, a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a n 称为数列 ?a n ?的前 n 项和,记为 S n . “小故事”1、2、3 高斯是伟大的数学家,天文学家,高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道 题目: 1+2+…100=?” 过了两分钟,正当大家在:1+2=3;3+3=6;4+6=10…算得不亦乐乎时,高斯站起来回答说: “1+2+3+…+100=5050. ” 教师问: “你是如何算出答案的?” 高斯回答说: “因为 1+100=101; 2+99=101;…50+51=101,所以 101× 50=5050” 这个故事告诉我们: (1)作为数学王子的高斯从小就善于观察,敢于思考,所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出 某些规律性的东西. (2) 该故事还告诉我们求等差数列前 n 项和的一种很重要的思想方法, 这就是下面我们要介绍的 “倒 序相加”法. 二、讲解新课: 1.等差数列的前 n 项和公式 1: S n ? 证明:

n(a1 ? a n ) 2


S n ? a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a n?1 ? a n

S n ? an ? an?1 ? an?2 ? ? ? a2 ? a1 ②
①+②: 2S n ? (a1 ? a n ) ? (a 2 ? a n ?1 ) ? (a3 ? a n ?2 ) ? ? ? (a n ? a n )

∵ a1 ? a n ? a 2 ? a n ?1 ? a3 ? a n?2 ? ?? ∴ 2S n ? n(a1 ? a n ) 由此得: S n ?

n(a1 ? a n ) . 2

2. 等差数列的前 n 项和公式 2: S n ? na1 ?

n(n ? 1)d . 2

用上述公式要求 S n 必须具备三个条件: n, a1 , a n . 但 a n ? a1 ? (n ? 1)d 代入公式 1 即得: S n ? na1 ?

n(n ? 1)d 2

此公式要求 S n 必须已知三个条件: n, a1 , d 总之:两个公式都表明要求 S n 必须已知 n, a1 , d , a n 中三个. 公式二又可化成式子:

Sn ?

d 2 d n ? (a1 ? )n ,当 d≠0,是一个常数项为零的二次式. 2 2

三、例题讲解 例 1、(1)已知等差数列{an}中, a1 =4, S8 =172,求 a8 和 d ; (2)等差数列-10,-6,-2,2,…前多少项的和是 54? 解:(1) 172 ?

8(4 ? a8 ) ? a8 ? 39 2

39 ? 4 ? (8 ? 1)d ? d ? 5
则 a1 ? ?10, d ? (?6) ? (?10) ? 4, S n ? 54 解之得: n1 ? 9, n2 ? ?3 (舍去)

(2)设题中的等差数列为 ?a n ?,前 n 项为 S n 由公式可得 ? 10 n ?

n(n ? 1) ? 4 ? 54 . 2

∴等差数列-10,-6,-2,2…前 9 项的和是 54. 例 2、教材 P43 面的例 1 解: 例 3.求集合 M ? ?m | m ? 7n, n ? N * 且m ? 100?的元素个数,并求这些元素的和. 解:由 7n ? 100 得 n ?

100 2 ? 14 7 7 ∴正整数 n 共有 14 个即 M 中共有 14 个元素

即:7,14,21,…,98 是 a1 ? 7为首项 a14 ? 98 等差数列.

14 ? (7 ? 98) 答:略. ? 735 2 例 4、等差数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,若 S12 ? 84, S20 ? 460 ,求 S 28 . (学生练 ? 学生板书 ? 教师点评及规范) 练习:⑴在等差数列 ?a n ?中,已知 a3 ? a99 ? 200 ,求 S101 .
∴ Sn ? ⑵在等差数列 ?a n ?中,已知 a15 ? a12 ? a9 ? a6 ? 20 ,求 S 20 .

例 4.已知等差数列{an}前四项和为 21,最后四项的和为 67,所有项的和为 286,求项数 n. 解:依题意,得 ?

?

a1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? 21,

?a n ? a n ?1 ? a n ? 2 ? a n ?3 ? 67 ,

两式相加得 (a1 ? a n ) ? (a 2 ? a n ?1 ) ? (a3 ? a n ? 2 ) ? (a 4 ? a n ?3 ) ? 88, 又 a1 ? a n ? a 2 ? a n ?1 ? a3 ? a n ? 2 ? a 4 ? a n ?3 , 所以 a1 ? a n ? 22 又 Sn ?

n(a1 ? a n ) ? 286 ,所以 n=26. 2

例 5.已知一个等差数列{an}前 10 项和为 310,前 20 项的和为 1220,由这些条件能确定这个等差数 列的前 n 项的和吗?. 思考: (1)等差数列中 S10 , S20 ? S10 , S30 ? S20 ,成等差数列吗? (2)等差数列前 m 项和为 S m ,则 S m 、 S 2 m ? S m .、 S 3m ? S 2 m 是等差数列吗? 练习:教材第 118 页练习第 1、3 题. 三、课堂小结: 1.等差数列的前 n 项和公式 1: S n ?

n(a1 ? a n ) ; 2

2.等差数列的前 n 项和公式 2: S n ? na1 ? 四、课外作业: 1.阅读教材第 42~44 页; 2.《习案》作业十三.

n(n ? 1)d . 2


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