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选修4-4渐开线与摆线


四、渐开线与摆线

讲授新课
1. 渐开线
探 究: 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上, 在绳的外端系上一支铅笔,将绳子拉紧,保持 绳子与圆相切而逐渐展开,那么铅笔会画出一 条曲线.这条曲线的形状 怎样?能否求出它的轨 迹方程?

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我们先分析动点(笔尖)所满足的几何条件. 如图,设开始时绳子外端

(笔尖)位于点 A,当 外端展开到点 M 时,因为绳子对圆心角 ?(单 ? 位是弧度)的一段弧 AB ,展开后成为切线 BM, ? 所以切线 BM 的长就是 AB 的长,这是动点(笔 尖)满足的几何条件. 我们把笔尖画出的曲 线叫做圆的渐开线, 相应的定圆叫做渐开 线的基圆.

M

B

φ
O A

几何画板

讲授新课
根据动点满足的几何条件:

BM ? AB

我们以基圆圆心O为原点,直线OA为x轴, 建立平面直角坐标系(图). 设基圆的半径为r, 绳子外端M的坐标

为(x,y).显然,点M
由角?惟一确定.

我们以基圆圆心O为原点,直线OA为x轴,建立 平面直角坐标系. 设基圆的半径为r,绳子外端M的坐标为( x, ), y 显然,点M由角? 唯一确定. 取? 为参数,则点B的坐标为( r cos ? , sin ? ), r ???? ? ???? ? 从而 BM ? ( x ? r cos ? , ? r sin ? ) ,| BM | ? r? . y

?? ??? ? 由于向量 e1 ? (cos ? , ? )是与OB同方向的单位 sin ?? ? ???? ? 向量,因而向量e2 ? (sin ? , cos ? )是与向量 BM ? ???? ? ?? ? 同方向的单位向量,所以BM ? ( r? )e2 ? ( x ? r cos ? , ? r sin ? ) ? ( r? )(sin ? , cos ? ). y ? 解得:

?

x ? r (cos ? ? ? sin ? ) (? 为参数 ) y ? r (sin ? ? ? cos ? )

这就是圆的渐开线的参数方程.

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圆的渐开线的参数方程 :
? x ? r (cos ? ? ? sin ? ) (?是参数) ? ? y ? r (sin ? ? ? cos ? )

渐开线的应用: 在机械工业中,广泛地使用齿轮传递动力. 由于渐开线齿形的齿轮磨损少,传动 平稳,制造安装较为方便,因此大多数齿 轮采用这种齿形。
设计加工这种齿轮,需要借助 圆的渐开线方程。



考:

在探究圆的渐开线的参数方程的过程中用到 ?? ? ???? ? “向量e2 ? (sin ? , cos ? )与向量 BM 有相同方向” ? 这一结论,你能说明这个结论为什么成立吗?

?? ?? ? ? e1 ? e2 ? (cos ? , ? ) ? (sin ? , cos ? ) sin ? ? cos ? sin ? ? sin ? ( ? cos ? ) ? 0. ?? ?? ? ???? ?? ? ? ? e1 ? e2 ,即: BM // e2 .

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2. 摆线 思考:
如果在自行车的轮子上喷一个白色 印记,那么当自行车在笔直的道路上行 驶时,白色印记会画出什么样的曲线? 上述问题抽象成数学问题就是:当 一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时, 圆周上一个定点的轨迹是什么?

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如图,假设 B 为圆心,圆周上的定点为 M, 开始时位于 O 处.圆在直线上滚动时,点 M 绕圆 心作圆周运动,转过 ?(弧度)角后,圆与直线相 ? 切于 A,线段 OA 的长等于 MA 的长,即 OA=r?. 这就是圆周长上的定点 M 在圆 B 沿直线滚动过 程中满足的几何条件.我们把点 M 的轨迹叫做平 摆线,简称摆线,又叫旋轮线.

几何画板
y

摆线在它与定 直线的两个相邻 交点之间的部分 叫做一个拱。

B M

?
A

C

O

D

E

x

我们取定直线为x轴,定点M 滚动在定直线上的 一个位置为原点,建立直角坐标系,设圆的半径 为r,设开始时定点M 在原点,圆滚动了? 角后与 x轴相切于点A,圆心在点B,从点M 分别作AB, x 轴的垂线,垂足分别为C,D,设点 M 的坐标为 ( x, )取? 为参数,根据点M 满足的几何条件 y x ? OD ? OA ? DA ? OA ? MC ? r? ? r sin ?, y ? DM ? AC ? AB ? CB ? r ? r cos ? . 所以,摆线的参数方程为: x ? r (? ? sin ? ) y ? r (1 ? cos ? ) (? 为参数 ).

?

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因此, 摆线的参数方程是

? x ? r (? ? sin ? ) ,(?是参数) ? ? y ? r (1 ? cos ? )



考:

在摆线的参数方程(1)中,参数? 的取值范围 是什么?一个拱的宽度与高度各是多少?

参数? 的取值范围是[0, ? ); ? 一个拱的宽度是2? r,高度是2r (其中 r 是滚动圆的半径).

P42

课堂练习

1.如图,有一标准的渐开线齿 轮,齿轮的齿廓线的基圆直 径是225mm,求齿廓线AB 所在的渐开线的参数方程.
225 解:根据题意可知,基圆半径为 r ? ,故参数方程为 2
225 ? ? x ? 2 (cos ? ? ? sin ? ) ? ? ? y ? 225 (sin ? ? ? cos ? ) ? ? 2
, ? 为参数) ( 。

2.当? ?

? 3?
2 , 2

时,求出渐开线

? x ? cos ? ? ? sin ? ? , (? 是参数) ? ? y ? sin ? ? ? cos ? ?
上的对应点A,B,并求出A,B的距离.

? x ? (cos ? ? ? sin ? ) 解:把 ? ? , 代入渐开线 ? , 2 2 ? y ? (sin ? ? ? cos ? )

? 3?

3? 求得 A、B 两点坐标分别为( ,1 )和 (? , ?1) , 2 2

?

所以根据两点间距离公式可得:

? 3? 2 2 2 | AB |? ( ? ) ? (1 ? 1) ? 2 1 ? ? . 2 2



结:

1.圆的渐开线,渐开线的参数方程;

? x ? r (cos ? ? ? sin ? ) (?是参数) ? ? y ? r (sin ? ? ? cos ? )
2. 平摆线、摆线的参数方程.

? x ? r (? ? sin ? ) ,(?是参数) ? ? y ? r (1 ? cos ? )


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