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浙江省温州市四校联考2009-2010学年下学期高二年级期末考试数学试卷(理科)


浙江省温州市四校联考 2009-2010 学年下学期 高二年级期末考试数学试卷(理科)
(考试时间:120 分钟 总分:150 分)

一、选择题(本题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 ) 1.复数 z ? 2 ? i ,则它的共轭复数 z 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 2.已知直线 l : ? A. B.第二象限 C.第三象限 ) ( D.第四象限 )

?x ? 1 (t 为参数)的倾斜角是( ? y ? 1? t
B.

? 6

? 4

C.

? 3

D.

? 2

3.已知 m,n 是两条不同直线,α ,β ,γ 是三个不同平面,下列命题中正确的是( ) A.若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n; C.若 m∥α ,m∥β ,则 α ∥β ; 4.下列命题正确的是( ) A.若 p ? q 为假,则 p,q 均为假命题; B. “x ? 2”是“x -3x+2 ? 0”的充分不必要条件;
2

B.若 α ⊥γ ,β ⊥γ ,则 α ∥β ; D.若 m⊥α ,n⊥α ,则 m∥n .

C.对命题 p: ? x ? R,使得 x +x+1 ? 0,则 ? p 为 ? x ? R,均有 x +x+1 ? 0;
2 2

D.命题“若 x -3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x=1,则 x -3x+2 ? 0”.
2 2

5.以双曲线
2 2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是( 9 16
B.x +y -10x+16=0 D.x +y +10x+9=0
2 2 2 2



A.x +y +10x+16=0 C.x +y -10x+9=0
2 2

6. 用数学归纳法证明 时, 从 “n ? k (n ? 1)(n ? 2)?(n ? n) ? 2n ?1? 3?(2n ?1)( n ? N * ) 到 n ? k ? 1 ”左边需增乘的代数式( A. 2 k ? 1 B. 2(2k ? 1) ) C.

2k ? 1 k ?1

D.

2k ? 3 k ?1

7. 设集合 A= ?x || x ? a |? 1, x ? R? , B ? ?x || x ? b |? 2, x ? R?. 若 A ? B, 则实数 a, b 必满 足 ( )
-1-

A. | a ? b |? 3 C. | a ? b |? 3

B. | a ? b |? 3 D. | a ? b |? 3

8.已知函数 f ?x ? ? A sin(?x ? ? ) 的导函数 f ?( x) 在一个周期内的图象如图所示, 则函数

f ( x) 的解析式可以是 (
A. y ? sin( 2 x ?

) B. y ? sin( 2 x ?

?
6

) 6 )

?
3

)

C. y ? 2 sin( 2 x ?

?

D. y ? 2 sin( 2 x ?

?
3

)
(第 8 题图)

9. 已知 F1 (?c,0), F2 (c,0) 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点, a2 b2
)

2 P 为椭圆上一点且 PF 1 ? PF 2 ? c ,则此椭圆离心率 e 的取值范围是 (

A. [

3 ,1) 3

B. [ , ]

1 1 3 2

C. [

3 2 , ] 3 2

D. (0,

2 ] 2

10.如图,坐标纸上的每个单元格的边长为 1,由下往上的六个点:编号为 1,2,3,4,5, 6 的横纵坐标分别对应数列 ?an ? (n ? N*) 的前 12 项,如下表所示,

按如此规律下去,则 a2010+a2011+a2012=( A.1003 B.1005 C.1508

) D.2011

二、填空题:(本题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分)
x ? 2 cos? , (θ 为参数)化为普通方程为 11.曲线 ? ? ? y ? sin ?

. . . .

12. 不等式|x+1|+|x-2| ? 4 的解集为 13.函数 y ? 5 x ? 4 ? 12 5 ? x 的最大值是

2 14.过抛物线 y ? 8x 的焦点的弦 AB 以 ? 4, a ? 为中点,则 | AB | =

-2-

15.直线 θ =-

? ? 被曲线 ρ = 2 cos(θ + )所截得的弦的弦长为 4 4
D

. C

16.如图,已知等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 有一公共边 AB ,

3 二面角 C ? AB ? D 的余弦值为 ,M 分别是 AC 的中点, 3
则 EM,DE 所成角的余弦值等于 .

M A 第 16 题

B

E

17.将边长为 1m 的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块, 其中一块是梯形. s ?
2 (梯形的周长) ,则 s 的最小值是 梯形的面积

三、解答题:本大题共 5 大题,共 72 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 18.(本题满分 14 分) 设 x ? 0,y ? 0,z ? 0,且 x +y +z =1.
2 2 2

(Ⅰ)求证:xy+yz+xz≤1; (Ⅱ)求(

yz xz xy 2 ? ? ) 的最小值. x y z

19. (本题满分 14 分) (Ⅰ)求极坐标方程 ? sin 2 ? ? 2 ? cos? ? 0 表示的曲线的焦点坐标; (Ⅱ)设直线 l : ?

? x ? 2 ? 3t , ( t 为参数)与题(Ⅰ)中的曲线交于 A、B 两点,若 P(2,3), ? y ? 3 ? 4t

求 PA ? PB 的值.

20. (本题满分 14 分)

如图,在三棱锥 P ? ABC 中, AC ? BC ? 2 , ?ACB ? 90 , P
-3-

D A C

B

AP ? BP ? AB , PC ? AC .
(Ⅰ)求证: PC ? AB ; (Ⅱ)求二面角 B ? AP ? C 的大小; (Ⅲ)求点 C 到平面 APB 的距离.

21. (本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x ) ? ax ?
2

x ? lnx (其中 a 为常数, e 为自然对数的底数) . e

(Ⅰ)当 a =

1 时,判断函数 f ( x ) 的单调性并写出其单调区间; ; 2

(Ⅱ)当 a ? 0 时,求证: f ( x ) ? 0 没有实数解.

2 22. (本小题满分 15 分) 如图,A? ?1,0? , B ?1,0? , 过曲线 C1 : y ? x ? 1 x ? 1 上一点 M

?

?

的切线 l ,与曲线 C2 : y ? ? m 1 ? x

?

2

? ? x ? 1? 也相切于点 N . 记点 M 的横坐标为

t ?t ? 1? .
(Ⅰ)当 t =2时,求实数 m 的值和点 N 的坐标; (Ⅱ)当实数 m 取何值时, ?MAB ? ?NAB ? 并求此时 MN 所在直线的方程.

-4-

(数学理科参考答案) 一、选择题:(本题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

答案 二、填空题答案(本题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分)

A

D

D

B

C

B

D

A

C

C

11、

x2 ? y2 ? 1 4

12、{x|x ? -

3 5 ,或 x ? } 2 2

13、13

14、12

15、 2

16、

3 6

17、

32 3 3

三、解答题:本大题共 5 大题,共 72 分.在规定框内解答,应写出文字说明,证明过程或演 算步骤。 18.解: (1)因为 x +y ≥2xy;
2 2 2 2 2

y +z ≥2yz;

2

2

x +z ≥2xz;

2

2

所以 x +y +z ≥xy+yz+xz; 故 xy+yz+xz≤1, 当且仅当 x=y=z 时取等号;---------------------6 分

y 2 z 2 x2 y 2 y 2 z 2 x2 z 2 x2 z 2 x2 y 2 2 2 2 (2)因为 2 ? 2 ≥2z ; 2 ? 2 ≥2y ; 2 ? 2 ≥2x x z x y y z
所以

y 2 z 2 x2 z 2 x 2 y 2 ? 2 + 2 ≥x2+y2+z2=1; 2 z x y
yz xz xy 2 y 2 z 2 x 2 z 2 x 2 y 2 2 2 2 ? ? ) = 2 ? 2 + 2 +2(x +y +z )≥3 z x y z x y yz xz xy 2 ? ? ) ≥3,当且仅当 x=y=z 时取等号; x y z

而(

所以(

-5-

故当 x=y=z=

yz xz xy 2 3 时, ( ) 的最小值为3.------------14 分 ? ? x y z 3

19、解:(1)解(1)由 ? ? ( ? sin 2 ? ? 2 ? cos? ) ? ( ? sin ? )2 ? 2 ? ? cos? ? 0 得 y2 ? 2x 焦点( ,0 ) (2)设 A,B 两点对应的参数分别为 t1 , t 2 ,( t1 , t2 ? R ) ------------(4 分) ------------(6 分)

1 2

3 ? x ? 2 ? t, ? ? 5 将? 代入 y 2 ? 2 x 4 ?y ? 3? t ? 5 ?
16 2 18 t ? t ?5 ? 0 25 5 125 ? t1t2 ? 16 125 即 PA ? PB = t1t2 ? 16
得 20.解法一: (Ⅰ)取 AB 中点 D ,连结 PD,CD .

------------(9 分)

------------ (11 分)

------------(14 分)

AP ? BP ,? PD ? AB .

AC ? BC ,? CD ? AB .

PD CD ? D ,? AB ? 平面 PCD .
PC ?
平 面

P

C



D

? PC ? AB .-------------------------------------------------3 分
(Ⅱ)

AC ? BC , AP ? BP ,

P

?△ APC ≌△BPC .
又 PC ? AC ,? PC ? BC . A 又 ?ACB ? 90 ,即 AC ? BC ,且 AC D B

PC ? C ,
C

? BC ? 平面 PAC .
取 AP 中点 E .连结 BE,CE .

AB ? BP ,? BE ? AP .

P
-6-

EC 是 BE 在平面 PAC 内的射影,? CE ? AP .
A

E B C

??BEC 是二面角 B ? AP ? C 的平面角.
在 △BCE 中, ?BCE ? 90 , BC ? 2 , BE ?

3 AB ? 6 , 2

? sin ?BEC ?

BC 6 . ? BE 3
面 角

?
arcsin



B?

? A

P 的

大C





6 .--------------------------------------------9 分 3

(Ⅲ)由(Ⅰ)知 AB ? 平面 PCD ,

? 平面 APB ? 平面 PCD .
过 C 作 CH ? PD ,垂足为 H . 平面 APB 平面 PCD ? PD ,? CH ? 平面 APB . A

P H D B

? CH 的长即为点 C 到平面 APB 的距离.
由(Ⅰ)知 PC ? AB ,又 PC ? AC ,且 AB

AC ? A ,

C

? PC ? 平面 ABC . CD ? 平面 ABC ,? PC ? CD .
在 Rt△PCD 中, CD ?

1 3 AB ? 2 , PD ? PB ? 6 , 2 2

? PC ? PD2 ? CD2 ? 2 . CH ?
?


PC ? CD 2 3 . ? PD 3


C





APB









2 3 .------------------------------------------------------------14 分 3
解法二: (Ⅰ)

AC ? BC , AP ? BP ,

?△ APC ≌△BPC .又 PC ? AC ,? PC ? BC .

AC


BC ? C ,? PC ? 平面 ABC . AB ? 平面 ABC ,? PC ? AB .-----------3

(Ⅱ)如图,以 C 为原点建立空间直角坐标系 C ? xyz . z
-7-

P E y A C H x B

0,, 0) A(0, 2,, 0) B(2, 0, 0) . 则 C (0, 0,t ) . 设 P(0,

PB ? AB ? 2 2 ,

? t ? 2 , P(0, 0, 2) .取 AP 中点 E ,连结 BE,CE .

AC ? PC , AB ? BP ,? CE ? AP , BE ? AP .
??BEC 是二面角 B ? AP ? C 的平面角.

E (0, 11) , , EC ? (0, ?1, ?1) , EB ? (2, ?1, ?1) ,

cos?BEC ?

EC ? EB EC EB

?

2 2? 6

?

3 . 3
3 .-------------------------------------9 分 3

? 二面角 B ? AP ? C 的大小为 arccos
(Ⅲ)

AC ? BC ? PC ,

? C 在平面 APB 内的射影为正 △ APB 的中心 H , 且 CH 的长为点 C 到平面 APB 的距离.
如(Ⅱ)建立空间直角坐标系 C ? xyz .

2 3 ?2 2 2? BH ? 2HE ,? 点 H 的坐标为 ? , , ? .? CH ? . 3 ?3 3 3?

? 点 C 到平面 APB 的距离为

2 3 .---------------------------------------14 分 3
2

21. (本小题满分 15 分)已知函数 f ( x ) ? ax ? 数的底数) . (Ⅰ)当 a =

x ? lnx (其中 a 为常数, e 为自然对 e

1 时,判断函数 f ( x ) 的单调性并写出其单调区间; ; 2

(Ⅱ)当 a ? 0 时,求证: f ( x ) ? 0 没有实数解. 解: (Ⅰ)因为 x >0,

1 1 1 1 1 ex 2 ? x ? e 当 a = 时, f ' ( x) ? 2ax ? ? = x ? ? = , 2 e x e x ex

? 1 ? 1 ? 4e 2 令 f ' ( x) ? 0 ,所以 x ? , 2e
-8-

令 f ' ( x) ? 0 ,所以 0 ? x ?

? 1 ? 1 ? 4e 2 ; 2e ? 1 ? 1 ? 4e 2 ; , ? ?) 2e

所以函数 f ( x ) 的单调增区间为 (

单调减区间为 (0,

? 1 ? 1 ? 4e 2 ) . -------------------------------------7 分 2e

(Ⅱ)解一: 令 g ( x) ? ax ? 当

1 ln x ( x ? 0), h( x) ? ( x ? 0) e x
?0
时 ,

a

g ( x) ?

1 ----------------------------------------------------------10 分 e 1 ? ln x h' ( x ) ? ( x ? 0) x2

令 h' ( x) ? 0, 则 x ? (0, e) 所以 h(x)在(0,e)上为增函数,在(e,+ ? ) 上为减函数,

1 ------------------------- --------------------13 分 e 1 ln x 所以 x >0 时,g(x)>h(x)恒成立,即 ax ? ? e x 1 ln x 即 ax ? ? e x x f ( x ) ? ax 2 ? ? lnx > 0 恒成立, e
所以 h(x)max=h(e)= 所以 f (x)=0 无解.-------------------------- -----------------------15 分 解二: 设 f (x)的极小值点为 x0,则 f ( x 0 ) ? ax 0 ?
2

x0 ? lnx0 , e

令 g(x0)=

x0 1 1 ? lnx0 ,则 g' (x0 ) = ? ,-------------------10 分 e e x0

当 x0 > e 时, g' (x 0 ) > 0, 当 x0 < e 时, g' (x 0 ) < 0,

-9-

所以 g(x0)min= g(e)=0, 即

x0 ? lnx0 >0,-------------- ----------13 分 e

故 f ( x 0 ) ? ax 0 ?

2

x0 ? lnx0 >0 恒成立. e

所以 f (x)=0 无解.--------------- -----------------------------------15 分

22、解: (1)切线 l:y-3=4(x-2),即 y=4x-5-------------------------2 分 代入 y ? ? m 1 ? x

?

2

?,
(*)

化简并整理得 (m ? 16) x2 ? 40 x ? 25 ? m ? 0 由 ? ? 0,

得 m ? 0 ,或 m=9.------------------- --------------------------------4 分

5 ,与已知 xN ? 1 矛盾;------------------5 分 4 4 9 若 m=9,代入(*)式得 xN= 满足条件,且 yN=- , 5 5 4 9 综上,m=9,点 N 的坐标为( , - ).----------------------------6 分 5 5
若 m ? 0 ,代入(*)式得xN=
2 2 (2)切线 l : y ? t ? 1 ? 2t ? x ? t ? ,即 y ? 2tx ? t ? 1,-----------------8 分

?

?

代入 y ? ? m 1 ? x

?

2

?,
2

化简并整理得 m ? 4t

?

?x

2

? 4t ? t 2 ? 1? x ? ? t 2 ? 1? ? m ? 0 , (*)
2

2 2 2 由 ? ? 16t 2 t 2 ? 1 ? 4 m ? 4t 2 ?m ? t 2 ? 1 ? ? 4m ?m ? t 2 ?1 ? ? 0

?

?
2

?

?? ?

?

?? ?

? ?

?

?? ?

得 m ? 0 或 m ? t ? 1 .------------------------------------------10 分 若 m ? 0 ,代入(*)式得 xN ?

?

?

2

t2 ?1 ? 1,与已知 xN ? 1 矛盾; 2t
2t ? ? 0,1? 满足条件, t ?1
2

2 若 m ? t ? 1 ,代入(*)式得 xN ?

?

?

2

且 y N ? 2txN ? t

2

?t ?1 ? ?

2

? 1?

2

t2 ?1



- 10 -

2 2 ? ? t ? 1 ? ? 2 t 2 ? 。---------12 分 ,? 2 因此, m ? ? t ? 1? ,点 N 的坐标为 ? 2 ? t ?1 t ?1 ? ? ?
2

因为 k AM ?

t 2 ?1 ? t ? 1 , k AN ? t ?1

?t ?

2

? 1?

2

t 2 ? 1 ? ? ? t ? 1?2 , 2t ?1 2 t ?1

若 ?MAB ? ?NAB ,则 k AM ? ?k AN ,即 t ? 2 ,此时 m ? 9 , 故当实数 m ? 9 时, ?MAB ? ?NAB 。 此时 k AM ? 1, k AN ? ?1 , ?MAB ? ?NAB ? 45 , 易得 M ? 2,3? , N ? , ? ? , 此时 MN 所在直线的方程为 y ? 4 x ? 5 .----------------------15 分 年级 高二 学科 数学 版本 期数 内容标题 浙江省温州市四校联考 2009-2010 学年下学期高二年级期末考试数学试卷 (理科) (通用版) 分类索引 G.622.46 号 主题词 供稿老师 录入 一校 二校 分类索引描述 考试试题与题解 ---------14 分

?4 ?5

9? 5?

浙江省温州市四校联考 2009-2010 学年下学期高二年 栏目名称 名校题库 级期末考试数学试卷(理科) (通用版) 审稿老师 审核

- 11 -


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