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2013届高三人教B版文科数学一轮复习课时作业(11)函数与方程


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课时作业(十一) [第 11 讲 函数与方程] [时间:45 分钟 分值:100 分] 基础热身 1.若函数 f(x)=x2+2x+3a 没有零点,则实数 a 的取值范围是( ) 1 1 A.a< B.a> 3 3 1 1 C.a≤ D.a≥ 3 3 2.[2011· 课标全国卷]

在下列区间中,函数 f(x)=ex+4x-3 的零点所在的区间为( ) 1 ? 1? A.?-4,0? B.?0,4? ? ? 1 1? 1 3? C.?4,2? D.?2,4? ? ? 1 ?1 3.设 f(x)=x3+bx+c(b>0),且 f?-2?· 2?<0,则方程 f(x)=0 在[-1,1]内( ) ? ? f? ? A.可能有 3 个实数根 B.可能有 2 个实数根 C.有唯一的实数根 D.没有实数根 4.若函数 f(x)=x2+ax+b 的两个零点是-2 和 3,则不等式 af(-2x)>0 的解集是________.

能力提升 5.已知函数 f(x)的图象是连续不断的,有如下对应值表: x 1 2 3 4 5 6 7 f(x) 23 9 11 -7 -5 -12 -26 那么函数在区间[1,6]上的零点至少有( ) A.5 个 B.4 个 C.3 个 D.2 个 6.[2011· 上海八校联考] 设 a,b,k 是实数,二次函数 f(x)=x2+ax+b 满足:f(k-1)与 f(k)异号,f(k +1)与 f(k)异号.在以下关于 f(x)的零点的命题中,真命题是( ) A.该二次函数的零点都小于 k B.该二次函数的零点都大于 k C.该二次函数的两个零点之差一定大于 2 D.该二次函数的零点均在区间(k-1,k+1)内 7.已知三个函数 f(x)=2x+x,g(x)=x-2,h(x)=log2x+x 的零点依次为 a,b,c,则( ) A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.c<a<b 2 8. 已知[x]表示不超过实数 x 的最大整数, g(x)=[x]为取整函数, 0 是函数 f(x)=lnx- 的零点, g(x0) x 则 x 等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 ?x2+2x-3,x≤0, ? 9.[2012· 淄博模拟] 函数 f(x)=? 的零点个数为( ) ? ?-2+lnx,x>0, A.3 B.2 C.1 D.0 10.[2011· 山东卷] 已知函数 f(x)=logax+x-b(a>0,且 a≠1).当 2<a<3<b<4 时,函数 f(x)的零 点 x0∈(n,n+1),n∈N*,则 n=________.

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? ?-2,x>0, 11.已知函数 f(x)=? 2 若 f(0)=-2,f(-1)=1,则函数 g(x)=f(x)+x 的零点的个 ?-x +bx+c,x≤0, ? 数为________. 12.[2011· 辽宁卷] 已知函数 f(x)=ex-2x+a 有零点,则 a 的取值范围是________. 13.已知函数 f(x)=|x|+|2-x|,若函数 g(x)=f(x)-a 的零点个数不为 0,则 a 的最小值为________. 14.(10 分)已知函数 f(x)=x3-3x+2. (1)求 f(x)的零点; (2)求分别满足 f(x)<0,f(x)=0,f(x)>0 的 x 的取值范围; (3)画出 f(x)的大致图象.

4 15.(13 分)若函数 f(x)=ax3-bx+4,当 x=2 时,函数 f(x)有极值- . 3 (1)求函数的解析式; (2)若函数 g(x)=f(x)-k 有三个零点,求实数 k 的取值范围.

难点突破 16.(12 分)(1)已知关于 x 的二次方程 x2+(m-1)x+1=0 在区间[0,2]上有解,求实数 m 的取值范围; (2)已知函数 f(x)=4x+m·x+1 有且仅有一个零点,求 m 的取值范围,并求出该零点. 2

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课时作业(十一) 【基础热身】 1.B [解析] 由题意,函数 f(x)=x2+2x+3a 没有零点,即方程 x2+2x+3a=0 无解,即方程的判别 1 式小于零,解不等式 Δ=22-4×3a<0,得 a> . 3 1? 1 1? 1 2.C [解析] 因为 f?4?=e -2<0,f?2?=e -1>0, ? ? 4 2 1? ?1? 所以 f?4?· 2?<0, ? f? 又因为函数 y=ex 是单调增函数,y=4x-3 也是单调增函数, 所以函数 f(x)=ex+4x-3 是单调增函数, 1 1 所以函数 f(x)=ex+4x-3 的零点在?4,2?内. ? ? 3 3.C [解析] ∵f(x)=x +bx+c(b>0), ∴f′(x)=3x2+b>0,∴f(x)在区间[-1,1]上为增函数. 1 ?1 又∵f?-2?· 2?<0, ? ? f? ? ∴f(x)在[-1,1]上有实数根,且只有一个. 3 ? ? 4.?x?-2<x<1? [解析] ∵f(x)=x2+ax+b 的两个零点是-2,3. ? ? ? ∴-2,3 是方程 x2+ax+b=0 的两根, ? ? ?-2+3=-a, ?a=-1, 由根与系数的关系知? ∴? ?-2×3=b, ?b=-6, ? ? 2 ∴f(x)=x -x-6. ∵不等式 af(-2x)>0, 即-(4x2+2x-6)>0?2x2+x-3<0, 3 ? ? 解集为?x?-2<x<1.? ? ? ? 【能力提升】 5.C [解析] 在区间[2,3]、[3,4]、[4,5]上至少各有一个零点. 6.D [解析] 由题意 f(k-1)· f(k)<0,f(k)· f(k+1)<0,由零点的存在性定理可知区间(k-1,k),(k,k+ 1)内各有一个零点,零点可能是区间内的任何一个值,故 D 正确. 1 1 7.B [解析] 由于 f(-1)= -1=- <0,f(0)=1>0,故 f(x)=2x+x 的零点 a∈(-1,0). 2 2 因为 g(2)=0,故 g(x)的零点 b=2. 1 1 1 因为 h?2?=-1+ =- <0,h(1)=1>0, ? ? 2 2 1 ? 故 h(x)的零点 c∈?2,1?,因此 a<c<b. ? 2 8.B [解析] 因为 f(2)=ln2-1<0,f(3)=ln3- >0,故 x0∈(2,3),g(x0)=[x0]=2. 3 ? 2 ?x +2x-3,x≤0, 9.B [解析] 作出函数图象(图略)可知,函数 f(x)=? 的图象与 x 轴有两个交点, ?-2+lnx,x>0 ? 故选 B. 10.2 [解析] 因为 2<a<3,所以 loga2<1=logaa<loga3,因为 3<b<4,所以 b-2>1>loga2,b-3 <1<loga3,所以 f(2)· f(3)=(loga2+2-b)· a3+3-b)<0,所以函数的零点在(2,3)上,所以 n=2. (log 2 11.3 [解析] f(0)=-2,即-0 +b· 0+c=-2,c=-2;f(-1)=1,即-(-1)2+b· (-1)+c=1,故 b =-4. ? ? ?-2,x>0, ?-2+x,x>0, 故 f(x)=? 2 g(x)=f(x)+x=? 2 令 g(x)=0, ? ? ?-x -4x-2,x≤0, ?-x -3x-2,x≤0.

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则-2+x=0,解得 x=2;-x -3x-2=0,解得 x=-2 或-1,故函数 g(x)有 3 个零点. 12.(-∞,2ln2-2] [解析] 由于 f(x)=ex-2x+a 有零点,即 ex-2x+a=0 有解,所以 a=-ex+2x. 令 g(x)=-ex+2x,由于 g′(x)=-ex+2, 令 g′(x)=-ex+2=0,解得 x=ln2. 当 x∈(-∞,ln2)时,g′(x)=-ex+2>0,此时 g(x)为增函数;当 x∈(ln2,+∞)时,g′(x)=-ex+ 2<0,此时 g(x)为减函数. 所以,当 x=ln2 时,函数 g(x)=-ex+2x 有最大值 2ln2-2,即 g(x)=-ex+2x 的值域为(-∞,2ln2 -2],所以 a∈(-∞,2ln2-2].

?2-2x,x≤0, ? 13.2 [解析] 由于 f(x)=|x|+|2-x|=?2,0<x<2, ?2x-2,x≥2, ?
所以 f(x)的最小值等于 2,要使 f(x)-a=0 有解,应 a≥2,即 a 的最小值为 2. 14.[解答] f(x)=x3-3x+2=x(x-1)(x+1)-2(x-1) =(x-1)(x2+x-2)=(x-1)2(x+2).

(1)令 f(x)=0,得函数 f(x)的零点为 x=1 和 x=-2. (2)令 f(x)<0,得 x<-2; 令 f(x)=0 得 x=1 或 x=-2;令 f(x)>0, 得-2<x<1 或 x>1. 所以满足 f(x)<0 的 x 的取值范围是(-∞,-2); 满足 f(x)=0 的 x 的取值范围是{1,-2}; 满足 f(x)>0 的 x 的取值范围是(-2,1)∪(1,+∞). (3)函数 f(x)的大致图象如图所示. 15.[解答] (1)由题意可知 f′(x)=3ax2-b, ?f′?2?=12a-b=0, ?a=1, ? ? 于是? 解得? 3 4 ?f?2?=8a-2b+4=-3, ?b=4. ? ? 1 3 故所求的解析式为 f(x)= x -4x+4. 3 2 (2)由(1)可知 f′(x)=x -4=(x-2)(x+2), 令 f′(x)=0,得 x=2 或 x=-2. 当 x 变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表所示: x (-∞,-2) -2 (-2,2) 0 f′(x) + - 28 f(x) ? ? 3 28 因此,当 x=-2 时,f(x)有极大值 ; 3 4 当 x=2 时,f(x)有极小值- . 3 所以函数的大致图象如图.

2 0 4 - 3

(2,+∞) + ?

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4 28 故要使 g(x)=f(x)-k 有三个零点,实数 k 的取值范围是- <k< . 3 3 【难点突破】 16.[解答] (1)设 f(x)=x2+(m-1)x+1,x∈[0,2], ①若 f(x)=0 在区间[0,2]上有一解, ∵f(0)=1>0,则应有 f(2)<0, 3 即 f(2)=22+(m-1)×2+1<0,∴m<- . 2 ②若 f(x)=0 在区间[0,2]上有两解,则

?Δ≥0, ? m-1 ?0≤- 2 ≤2, ?f?2?≥0, ? ?m≥3或m≤-1, ?-3≤m≤1, ∴? ?m≥-3. ? 2

??m-1? -4≥0, ? ∴?-3≤m≤1, ?4+?m-1?×2+1≥0. ?
2

3 ∴- ≤m≤-1, 2

由①②可知 m≤-1. (2)∵f(x)=4x+m·x+1 有且仅有一个零点, 2 即方程(2x)2+m·x+1=0 仅有一个实根, 2 设 2x=t(t>0),则 t2+mt+1=0. 当 Δ=0 时,即 m2-4=0, m=-2 时,t=1,m=2 时,t=-1 不合题意,舍去, ∴2x=1,x=0 符合题意. 当 Δ>0,即 m>2 或 m<-2 时, t2+mt+1=0 有一正一负两根, 则 t1t2<0,这与 t1t2=1>0 矛盾. ∴这种情况不可能, 综上可知:m=-2 时,f(x)有唯一零点,该零点为 x=0.


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