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浅谈西姆松定理的一些性质


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中 等 数 学 

l 学生习作 l  
l , , 。 、 .  、 . - _ ^   - _ 、   . _  - 。 √  

浅 谈 西姆 松定 理 的一 些性 质  
梅 凌 飞 
中图 分 类 号 : Ot 2 3 . {

  文献标识码 : A  

辛 晓 硕。  
文 章 编 号 :1 0 0 5— 6 4 1 6 ( 2 1 ) 1 4) 0 3一O 0 1 6一 【 ) 3  

( 火滓 f   曩验 I 卜 学I  ■   ( 1 ) 班, 3 0 0 0   7 4 )  

西姆 松 定 理

过  一角形 外 接 嘲 E并  ,一 角彤 

顶 点 的 任意 一 点 作 j 角 形 : 边 的垂 线 , 则 此 一 难 

足共线. 此线称为西姆松线.  
西姆 松 定理 的逆 定 理 若一 点 在  角 形  边 

所在直线上的射 影共线 , 则 该点  此  角彤 姻外  接圆上.  
一 、
。/ 
、  , 

西姆 松 线性 质  一 角 形 外 接 圈  卜 一 点 的 西姆 

松线平分该点与■角彤垂心的连线  本文通过几道例题 阐述以上知识 的应j } l j 。   例1   已知 锐 角 △ A B C , C D 是过 点 c的 高  线,   是边 / { B的中点 , 过 加 的直线分别与 (  、 C B   交于点  、 £ , 且C K=C L . 若△ C K L的外心为  , 证 
明: S D =S M.   因为 

嘲 l  

/ _ 、 l  《 ?  的 萝  0 . , j I   K C=L C, j 1 J   以,  
/  、  

为  K C L的 角平 分线 .   于是 ,   为弧^  的 中点  又 肼勾 A B的 畔 j 点, 则  一 L   A B  

南蕊姆 松定理知 K   、  、 z 』   一点共线.   又C T是  的角平 分线 , 且  、 L 、  二 三   点共线 , 则C K   =C L   .  

( 第5 4届波兰数学奥林 匹克)  

【 分析 】 这道题有很 多证 法 , 但 运用 叫姆松定 
理 是 其 中一种 较 为 简 明 的 证法 。  

故点  与   霞合 , 点 £与   重合.  
于是 ,   C K T=   C L T: 9 0 。 。  

证明

如图 1 , 作△A B C外接 圆 , 延 长c s , 与  

外接 圆交于点  , 联结 T M, 作 T K   上A C于点 K   ,  
化  _ 上 _ B C于 点  .  
收 稿 日期 : 2 0 1 4一 O l~l 8  

从而 , C、  、 7 1 、 £四 点共 圆.  

故  为 四边形 C K T L的外接圆圆心.  
于是 , S C=S I   , 即 S为 T C的 中 点.  

作者均系《 中等数学》 第四届陈省 身杯全  高中数 学奥林匹克 
夏令营学员 

又C D上 A B, 则C D / / MT . 故S M= S D .  
例 2 证 明西 姆松线性质.  

故 

的最 大 值 为 

角形最长边上 , 锐角 三角形 和直角三角形 内接矩 

形 的边可 以在任意一 条边上 , 但无论是 哪一种情 
凡 +1 。  

形, n个 内接矩形 的面积 和与 三角形 的面积 的最 

命题 2 得证.  

大 比值均为  ¨ _ .   n 十 l  
参考 文献 :  
[ I   刘 培 杰 历 届  N 美 国 大 学 生 数 学 竞 赛 试 题 集 

本文 只是探讨 了锐角三角 形 中的内接矩 形 ,  

其实在直角三角形 和钝角三角 形 中, 该结论仍 然 
成立. 只是钝 角三 角形 的内接矩形 的边 只能在三 

( 1 9 3 8 -2 0 0 7 ) [ M] . 哈尔滨工业大学出版社 , 2 0 0 9 .  

2 0 1 4年 第 3期 

1 7  

证明  如 图 2 , 设A D为边 B C上 的高 , 延 长  A D.  ̄A A B C的外接 圆交于点 F , 联结 舭 、 尸 日, 并 

证明  如图 4 , 易知 , 为△ A B C的内心. 联结  A , , 延长 曰 F与 C G交于点 £ , B E与 c D交于点 

、、  
\ \ 

设朋 、 P F分别与西姆松线交于点 . s 、 Q, P F与 B C  
交于点 G , 联结 H G .  

‘   \ 
K 
- ,

7  

D 

A  

. 

I 冬 l   4  

因为 B F 、 B E、 C K 、 c G分 别 为  A B C、   A C B   的外角 、 内角平分线 , 所以,  

  ‘ /  
l 冬 l   2  

/  
A FP =   F.  

B A I = ÷  B A C ,  C B F : 9 0 。 + 寺  A B c ,  
Z  G C B=   1   B c A
. 

因为 P、 C 、 L 、 M, A 、 F 、 C 、 P分别四点共圆 , 所以,  
MC P=   ML P=  

故/B L C = 9 0 。 一 ÷ A B C 一 寺  A C B  
:  

1   Z  B A C= L  B A I
.  

故P Q= L Q .   因此 , Q为 R t △P L G斜边 的中点.  
又 DH=DF, 则 

从而 , B、 , 、 A 、 L四点共 圆.   由西姆松定理知 F、 G 、 E三点共线.   同理 , G 、 E 、 D三点共线.   于是 , F 、 G 、 E 、 D 四点共 线.   因为  加 f =   K C I = 9 0 。 , 所 以, B、 C分别为 
△加, 、 △ KC L的垂 心 .   由西姆 松线性 质 , 知 F 、 G 、 E 、 D所 在直 线平 

H G D=   D G F=   L G P=   Q L G .   椒H G   f   ML .   从而 , J s Q为△ P H G的中位线.   因此 , . s 为P H的中点.  

【 注1 合理地利用西姆松线 的性 质 , 可 以把很 
多证明过程 化繁为简.  

分A B 、 A C , 即此直线与△ A B C的 中位线重合.  

【 注】 从 图4中发现西姆松定理及西姆松线 
性质 的灵活运用会 给解题带来很大帮助.   其实 , 西 姆 松 定 理 与 托 勒 密 定 理 具 有 等 价 
性.  

再看一道有关 的例题.   例 3 如图 3 , 由△ A B C的顶 点 A引两 顶点  B、 C的内外 角平 分线 的垂 线 , 垂足 分别 为 F 、 G 、  
E、 D . 证明: F 、 G 、 E 、   四点共线 , 且 此线 与△ A B C  

证明

如图 5 .  
D 

的 中位线重合.  

\  
D 

图3  

图5  

1   8  

中 等 数 学 

因为 他 j _ A C , T D. 1 - A B ,   上B C , 所 以, D、  

B   、 C   , 在△ A B C的外接 圆上任取一 点 P, 设P A   、   P B   、 P C   与B C、 C A、 A B或其延长线分别交于点  、   E、 F . 证明 : D、 E 、  三点共线. _ 2  

7 1 、 E 、 A,  、 E、 F 、 C ,  、  、  、 F分别 四点共圆.   由正弦定理得 
DE  AT   .  

菇 

【 分析 】 遇到 圆证 明点共 线或 者交 点 在 圆上  的问题时 , 应先想到西姆松定理或卡诺定理.  
证明 如图 6 , 设船  与A B交于点 

故 加: A 7 1 s i n   c : A   . 等 , 其 中 , R 为  
△A B C  ̄ b 接 圆的半径.   同理  =   , D F=   T B" A C
.  

故  、 E、 F三点共线 
々 令 DE +E F =DF   甘 AT? BC +   ? A B =T B? AC.  

此结论 即为托勒密定理.  

【 注】 此结论表明, 在证明几何 问题时 , 往往 
应该灵活应对 , 许多结论 和定理均是等价的。   接下来将条件 
T DA =   T EC =   F EC =9 0。  
l 冬 l   6  

改为  T D A=   T E C:   F E C , 便得 到一个更强  的结论. 此时 , D、 E、 F三点共线依然成立.  
证明 共 圆.   设  T D A=   T E C=   F E C:O 1 .  

因为 B B   / / C C   , 所以,  C   = B C .  
于是 ,   尸 C   =   C .   故  A X P+   X A C=   A X P+   X PC .   从而,   E=  

则 D、  、 E 、 A ,  、 E 、 F、 C,  、 D、  、 ,分 别 四点 
从而 ,   =  
S I N 

=   T A. B C
“8 1   n  O t.  

同理 ,   E=   D,   F:   D .  
故  E=   D=   F .  

由卡诺定理知 D、 E、 F三点共线.  
同理 ,   =   .  

故朋 +   =  
=  :D 

+  

西姆松定理作为高 中数学联赛 中的四大几何  定理之一起 了很重要 的作用. 在数学竞赛 中 , 要仔  细观察并发现题 目中隐藏 的基本 图形 , 并 灵活运  用所熟 知的结论 , 往往 能使解题思路更加清晰 , 过  程更加简洁.  
参考 文献 :  
[ 1 ] 第5 4届 波 兰数 学奥 林 匹克 [ J ] . 中等数 学 , 2 0 0 4( 增 
刊) .  

因此 , D、  、 ,三点共线.  

【 注l 此定理称为卡诺定理, 该定理的应用比 
西姆松定理更加广泛.   例4  过△A B C的三个顶点引互相平行 的三  条直线 , 其 与△ A B C的外接 圆 的交 点分别 为  , 、  

[ 2 ] 沈文 选 张 点 冷岗 松? 奥 林匹 克数学中的 几何问   题[ M ] ? 长沙: 湖南师范大学出版 社, 2 o 0 9 ?  


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