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高考数学填空题常胜技巧


高考数学填空题常胜技巧
数学填空题是一种只要求写出结果,不要求写出解答过程的客观性试题,是 高考数学中的三种常考题型之一,填空题的类型一般可分为:完形填空题、多选 填空题、 条件与结论开放的填空题. 这说明了填空题是数学高考命题改革的试验 田, 创新型的填空题将会不断出现. 因此, 我们在备考时, 既要关注这一新动向, 又要做好应试的技能准备.解题时,要有合理的分析和判断,要求推理、运算的 每一步骤都正确无误,还要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、 少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求 数学填空题,绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试 题, 应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断。求解填空题 的基本策略是要在“准”、“巧”、“快”上下功夫。常用的方法有直接法、特 殊化法、数行结合法、等价转化法等。 一、直接法 这是解填空题的基本方法,它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、 公式等知识,通过变形、推理、运算等过程,直接得到结果。 例 1 设 其中 i,j 为互相垂直的单位向量,又 ,则实数 m = 。 解: ∵ ,∴ ∴ ,而 i,j 为互相垂直的单位向量,故可得 ∴ 。 例 2 已知函数 在区间 上为增函数,则实数 a 的取值范围是 。 解: ,由复合函数的增减性可知, 在 上为增函数,∴ ,∴ 。 例 3 现时盛行的足球彩票,其规则如下:全部 13 场足球比赛,每场比赛有 3 种 结果:胜、平、负,13 长比赛全部猜中的为特等奖,仅猜中 12 场为一等奖,其 它不设奖,则某人获得特等奖的概率为 。 解:由题设,此人猜中某一场的概率为 ,且猜中每场比赛结果的事件为相互独 立事件,故某人全部猜中即获得特等奖的概率为 。 二、特殊化法 当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时, 可以把题 中变化的不定量用特殊值代替,即可以得到正确结果。 例 4 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c。若 a、b、c 成等差数列, 则 。 解:特殊化:令 ,则△ABC 为直角三角形, ,从而所求值为 。 例 5 过抛物线 的焦点 F 作一直线交抛物线交于 P、Q 两点,若线段 PF、FQ 的长 分别为 p、q,则 。 分析:此抛物线开口向上,过焦点且斜率为 k 的直线与抛物线均有两个交点 P、 Q,当 k 变化时 PF、FQ 的长均变化,但从题设可以得到这样的信息:尽管 PF、 FQ 不定,但其倒数和应为定值,所以可以针对直线的某一特定位置进行求解, 而不失一般性。 解:设 k = 0,因抛物线焦点坐标为 把直线方程 代入抛物线方程得 ,∴ ,从 而 。 例6 求值 。

分析:题目中“求值”二字提供了这样信息:答案为一定值,于是不妨令 ,得 结果为 。 三、数形结合法 对于一些含有几何背景的填空题,若能数中思形,以形助数,则往往可以简捷地 解决问题,得出正确的结果。 例7 如果不等式 的解集为 A,且 ,那么实数 a 的取值范围 是 。 解:根据不等式解集的几何意义,作函数 和 函数 的图象(如图),从图上容易得出实数 a 的取 值范围是 。 例8 求值 。 解: , 构造如图所示的直角三角形,则其中的角 即为 ,从而 所以可得结果为 。 例9 已知实数 x、y 满足 ,则 的最大值是 。 解: 可看作是过点 P(x,y)与 M(1,0)的直线的斜率,其中点 P 的圆 上, 如图,当直线处于图中切线位置时,斜率 最大,最大值为 。 四、等价转化法 通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”,将问题等价地转化成便于解决的问题, 从而得出正确的结果。 例 10 不等式 的解集为(4,b),则 a= , b= 。 解: 设 , 则原不等式可转化为: ∴a > 0, 且 2 与 是方程 的两根, 由此可得: 。 例 11 不论 k 为何实数,直线 与曲线 恒有交点,则实数 a 的取值范围 是 。 解:题设条件等价于点(0,1)在圆内或圆上,或等价于点(0,1)到圆 ,∴ 。 例 12 函数 单调递减区间为 。 解:易知 ∵y 与 y2 有相同的单调区间,而 ,∴可得结果为 。 总之,能够多角度思考问题,灵活选择方法,是快速准确地解数学填空 题的关键。


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