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高中数学 1.1正弦定理和余弦定理教案(3) 新人教A版必修5


正弦定理、余弦定理(1)
教学目的: ⑴使学生掌握正弦定理 ⑵能应用解斜三角形,解决实际问题 教学重点:正弦定理 教学难点:正弦定理的正确理解和熟练运用 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程:
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一、引言:在直角三角形中,由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数,可以由已知 的边和角求出未知的边和角 那么斜三角形怎么办?
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——提出课题:正弦定理、余弦定理 二、讲解新课: 正弦定理:在任一个三角形中,各边和它所对角的正弦比相等, 即
a b c = = =2R(R 为△ABC 外接圆半径) s iA n sin B sin C a b ,sinB= , sinC=1 c c

1.直角三角形中:sinA= 即 ∴ c=

a b , c= , sin A sin B

c=

c . sin C

a b c = = sin A sin B sin C

2.斜三角形中 证明一: (等积法)在任意斜△ABC 当中
1 1 1 S△ABC= ab sin C ? ac sin B ? bc sin A 2 2 2 1 a b c 两边同除以 abc 即得: = = 2 sin A sin B sin C

C

a b
A O B D

证明二: (外接圆法) 如图所示,∠A=∠D ∴

a a ? ? CD ? 2 R sin A sin D

c

b c 同理 =2R, =2R sin B sin C

证明三: (向量法) 过 A 作单位向量 j 垂直于 AC 由

?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? AC + CB = AB

用心

爱心

专心

1

两边同乘以单位向量 j 得 j ?( AC + CB )= j ? AB 则 j ? AC + j ? CB = j ? AB ∴| j |?| AC |cos90?+| j |?| CB |cos(90??C)=| j |?| AB |cos(90??A) ∴ a sin C ? c sin A ∴
a c = sin A sin C

?

?

??? ? ??? ?

? ? ???

?

??? ?

?

??? ?

?

??? ?

同理,若过 C 作 j 垂直于 CB 得:

?

??? ?

c b = sin C sin B



a b c = = sin A sin B sin C

正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题: 1.两角和任意一边,求其它两边和一角; 2.两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角 (见图示)已知 a, b
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和 A, 用正弦定理求 B 时的各种情况: ⑴若 A 为锐角时:

无解 ?a ? b sin A ? 一解(直角) ?a ? bsinA ? ?bsinA ? a ? b 二解(一锐, 一钝) ?a ? b 一解(锐角) ?
已知边a,b和?A
C a A H a<CH=bsinA 无解 B a=CH=bsinA 仅有一个解 b a A b a B1 H a A B2 a?b H B C b C a

C b A

CH=bsinA<a<b 有两个解

仅有一个解

⑵若 A 为直角或钝角时: ? 三、讲解范例:

?a ? b 无解 ?a ? b 一解 (锐角)

例 1 已知在 ?ABC中,c ? 10, A ? 45 , C ? 30 , 求a, b和B
0 0

解:? c ? 10, A ? 45 , C ? 30
0 0

0

∴ B ? 180 ? ( A ? C) ? 105

0



a c ? 得 sin A sin C

a?

c sin A 10 ? sin 450 ? ? 10 2 sin C sin 300

用心

爱心

专心

2



b c ? 得 sin B sin C

b?

c sin B 10 ? sin 1050 6? 2 ? ? 20sin 750 ? 20 ? ?5 6 ?5 2 0 sin C 4 sin 30

例 2 在 ?ABC中,b ? 3, B ? 600 , c ? 1, 求a和A, C 解:∵

b c c sin B 1 ? sin 600 1 ? ,? sin C ? ? ? sin B sin C b 2 3

? b ? c, B ? 600 ,?C ? B, C为锐角, ?C ? 300 , B ? 900
∴ a ? b2 ? c 2 ? 2 例 3 ?ABC中,c ? 6, A ? 450 , a ? 2, 求b和B, C

解:?

a c c sin A 6 ? sin 450 3 ? ,? sin C ? ? ? sin A sin C a 2 2

? c sin A ? a ? c,?C ? 600 或1200
?当C ? 600 时,B ? 750 , b ? c sin B 6 sin 750 ? ? 3 ? 1, sin C sin 600 c sin B 6 sin 150 ? ? 3 ?1 sin C sin 600

?当C ? 1200 时,B ? 150 , b ?

?b ? 3 ? 1, B ? 750 , C ? 600 或 b ? 3 ? 1, B ? 150 , C ? 1200
例 4 已知△ABC,BD为 B 的平分线,求证:AB∶BC=AD∶DC 分析:前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题,而 B 的平分线 BD 将△ ABC 分成了两个三角形:△ABD 与△CBD,故要证结论成立,可证明它的等价形式:AB∶AD =BC∶DC, 从而把问题转化到两个三角形内, 而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比, 故可利用正弦定理将所证继续转化为

AB AD BC DC ? , ? ,再根据 sin ABD sin ABD sin BDC sin DBC
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相等角正弦值相等,互补角正弦值也相等即可证明结论 证明:在△ABD 内,利用正弦定理得:

AB AD AB sin ADB ? 即 ? sin ADB sin ABD AD sin ABD
在△BCD 内,利用正弦定理得:?

BC DC BC sin BDC ? ,即 ? . sin BDC sin DBC DC sin DBC
∵BD 是 B 的平分线 ? ∴∠ABD=∠DBC ∴sinABD=sinDBC ?
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用心

爱心

专心

3

∵∠ADB+∠BDC=180°? ∴sinADB=sin(180°-∠BDC)=sinBDC ?

AB sin ADB sin BDC BC ? ? ? AD sin ABD sin DBC CD AB AD ? ∴ BC DC
∴ 评述: 此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系, 并且注意互补角的 正弦值相等这一特殊关系式的应用 ? 四、课堂练习:
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1 在△ABC 中,
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A 2R
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a b c ? ? ? k ,则 k 为 ( )? sin A sin B sin C 1 BR C 4R D R (R 为△ABC 外接圆半径) 2
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2 △ABC 中,sin A=sin B+sin C,则△ABC 为( )? A 直角三角形? B 等腰直角三角形? C 等边三角形 D 等腰三角形 3 在△ABC 中,sinA>sinB 是 A>B 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件
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2

2

2

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4 在△ABC 中,求证:
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cos 2 A cos 2 B 1 1 ? ? 2 ? 2 2 2 a b a b
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参考答案:1 A,2 A ? 3 C
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4

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a b sin A sin B sin A 2 sin B 2 ? ? ) ?( ) ? ?( sin A sin B a b a b
1 ? cos 2 A 1 ? cos 2 B sin 2 A sin 2 B ? ? ? 2 2 a2 b2 a b

? ?

cos 2 A cos 2 B 1 1 ? ? 2 ? 2 2 2 a b a b

五、小结 正弦定理,两种应用 六、课后作业: 1 在△ABC 中,已知
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sin A sin( A ? B) 2 2 2 ? ,求证:a ,b ,c 成等差数列 sin C sin(B ? C )

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证明:由已知得 sin(B+C)sin(B-C)=sin(A+B) ·sin(A-B)? cos2B-cos2C=cos2A-cos2B ? 2cos2B=cos2A+cos2C

2?

1 ? cos 2 B 1 ? cos 2 A 1 ? cos 2 B ? ? 2 2 2
2 2 2

∴2sin B=sin A+sin C ? 2 2 2 由正弦定理可得 2b =a +c 2 2 2 即 a ,b ,c 成等差数列 ?
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七、板书设计(略) 八、课后记:

用心

爱心

专心

4

课 题:正弦定理、余弦定理(2) 教学目的: 1.掌握正弦定理、余弦定理; 2.使学生能初步运用它们解斜三角形,并会解决斜三角形的计算问题 教学重点:正弦定理、余弦定理的运用 教学难点:正弦定理、余弦定理的灵活运用 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程:
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一、复习引入: 1 正弦定理:在任一个三角形中,各边和它所对角的正弦比相等,
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a b c = = =2R(R 为△ABC 外接圆半径) s iA n sin B sin C

2 正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题: 1.两角和任意一边,求其它两边和一角; 2.两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角 (见图示)已知 a, b
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和 A, 用正弦定理求 B 时的各种情况:

无解 ?a ? b sin A ? 一解(直角) ?a ? bsinA ⑴若 A 为锐角时: ? ?bsinA ? a ? b 二解(一锐, 一钝) ?a ? b 一解(锐角) ?
已知边a,b和?A
C a A H a<CH=bsinA 无解 B a=CH=bsinA 仅有一个解 b a A b a B1 H a A B2 a?b H B C b C a

C b A

CH=bsinA<a<b 有两个解

仅有一个解

⑵若 A 为直角或钝角时: ?

?a ? b 无解 ?a ? b 一解 (锐角)
2 2 2

3.在 Rt△ABC 中(若 C=90?)有: c ? a ? b

在斜三角形中一边的平方与其余两边平方

和及其夹角还有什么关系呢? 二、讲解新课: 1. 余弦定理 : 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦
用心 爱心 专心 5

的积的两倍 即

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a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? cos A ?

b2 ? c2 ? a2 2bc

b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2ac cos B ? cos B ?

c2 ? a2 ? b2 2ca a2 ? b2 ? c2 2ab

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC ? cosC ?

[问题] 对于任意一个三角形来说, 是否可以根据一个角和夹此角的两边, 求出此角的对边? [推导] 如图在 ?ABC 中, AB 、 BC 、 CA 的长分别为 c 、 a 、 b
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∵ AC ? AB ? BC

??? ?

??? ? ??? ?
C

∴ AC ? AC ? ( AB ? BC) ? ( AB ? BC)

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

b A c

a B

??? ?2 ??? ? ??? ? ??? ?2 ? AB ? 2 AB ? BC ? BC

??? ?2 ??? ? ??? ? ??? ?2 ? AB ? 2 | AB | ? | BC | cos(180? ? B) ? BC
? c 2 ? 2ac cos B ? a 2
即 b ? c ? a ? 2ac cos B
2 2 2

同理可证 a ? b ? c ? 2bc cos A , c ? a ? b ? 2ab cosC
2 2 2 2 2 2

2.余弦定理可以解决的问题 利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题: (1)已知三边,求三个角; (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角
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三、讲解范例: 例 1 在Δ ABC 中,已知 a=7,b=10,c=6,求 A、B 和 C 解:∵
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cos A ?

b2 ? c2 ? a2 =0 725, ∴ A≈44° 2bc
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∵ ∴

a2 ? b2 ? c2 cosC ? =0 8071, 2ab
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∴ C≈36°,

B=180°-(A+C)≈100°
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(∵sinC=

c sin A ≈0 5954,∴ C ≈ 36°或 144°(舍) ) a
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6

例 2 在Δ ABC 中,已知 a=2 730,b=3 696,C=82°28′,解这个三角形
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解:由 c ? a ? b ? 2ab cosC ,得 c≈4 297
2 2 2
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cos A ?

b2 ? c2 ? a2 ≈0 7767, ∴ A≈39°2′, 2bc
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∴ B=180°-(A+C)=58°30′ (∵sinA=

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a sin C ≈0 6299,∴ c
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A=39°或 141°(舍) )
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例 3 Δ ABC 三个顶点坐标为(6,5)、(-2,8)、(4,1),求 A
2 2 解法一:∵ |AB| = [6 ? (?2)] ? (5 ? 8) ? 2 2 |BC| = ( ?2 ? 4) ? (8 ? 1) ?

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73 85
B
8 7

6

5

A

2 2 |AC| = (6 ? 4) ? (5 ? 1) ? 2 5

4

3

2

1

cos A ?

AB ? AC ? BC 2 AB ? AC
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2

2

2

=

2 365

C
2 4 6 8

-4

-2

∴ A≈84°

解法二:∵ AB =(–8,3), AC =(–2,–4)

??? ?

??? ?

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??? ? ???? AB ? AC (?8) ? (?2) ? 3 ? (?4) 2 ? ∴ cosA= = ,∴ A≈84° AB ? AC 73 ? 2 5 365

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例 4 设 a =(x1, y1)

?

? b =(x2, y2)
?

? ? a 与 b 的夹角为? (0≤?≤?) ,

求证:x1x2+ y1y2=| a || b |cos? 证明:如图,设 a , b 起点在原点,终点为 A,B 则 A=(x1, y1) B=(x2, y2)

?

?

?

? ? AB = b ? a
?

在△ABC 中,由余弦定理 | b ? a | =| a | +| b | ?2| a || b | cos?
2 2 2

? ?

?

?

?

∵| b ? a | =| AB | =|(x2-x1, y2-y1)| =(x2-x1) +( y2-y1)
2 2 2 2

? ?
2

2

| a | =x1 +y1
2 2

?

2

,| b | = x2 +y2
2 2 2 2 2

?

2

∴(x2-x1) +( y2-y1) = x1 +y1 + x2 +y2 ?2| a || b | cos?
2 2

?

?

用心

爱心

专心

7

∴x1x2+ y1y2=| a || b |cos?

?

?

即有 a ? b = x1x2+ y1y2=| a || b |cos?

? ?

?

?

四、课堂练习: 1 在△ABC 中,bCosA=acosB,则三角形为( )? A 直角三角形 B 锐角三角形? C 等腰三角形? D 等边三角形 2 2 2 2 2 2 2 在△ABC 中,若 a >b +c ,则△ABC 为;若 a =b +c ,则△ABC 为 2 2 2 2 2 2 2 2 b +c 且 b <a +c 且 c <a +b ,则△ABC 为 3 在△ABC 中,sinA=2cosBsinC,则三角形为 ?
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;若 a <

2

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4 在△ABC 中,BC=3,AB=2,且
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sin C 2 ? ( 6 ? 1) ,A= sin B 5

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?

参考答案: 1 C 2 钝角三角形,直角三角形,锐角三角形? 3 等腰三角形 4 120°? 五、小结 余弦定理及其应用 六、课后作业: 1 在△ABC 中,证明下列各式: 2 2 2 2 2 2 (1) (a -b -c )tanA+(a -b +c )tanB=0
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cos 2 A cos 2 B 1 1 ? ? 2 ? 2. 2 2 a b a b sin A sin B 2 2 2 ? (a 2 ? b 2 ? c 2 ) 证明:(1)左边=(a -b -c ) cos A cos B
(2)

a 2bc b 2ac ? 2 ? (a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? ? 2 2 2 2R b ? c ? a 2R a ? c 2 ? b 2 2abc ? ? (b 2 ? c 2 ? a 2 ) a 2 ? c 2 ? b 2 ? ? ? 2 ? ? 2R ? b 2 ? c 2 ? a 2 a ? c2 ? b2 ? ? (a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? ? abc (?1 ? 1) ? 0 ? 右边 R
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故原命题得证

(2)左边 ?

1 ? 2 sin 2 A 1 ? 2 sin 2 B ? a2 b2 1 1 2 sin 2 A 2 sin 2 B ?( 2 ? 2)? ? a b (2 R) 2 sin 2 A (2 R) 2 sin 2 B 1 1 2 2 1 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? 右边 2 2 a b (2 R) (2 R) a b
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故原命题得证 ?

A ,试判断此三角形的类型 ? 2 1 ? cos A 2 A 解:∵sinB·sinC=cos , ∴sinB·sinC= 2 2
2 在△ABC 中,已知 sinB·sinC=cos
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2

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∴2sinB·sinC=1+cos[180°-(B+C) ] 将 cos(B+C)=cosBcosC-sinBsinC 代入上式得? cosBcosC+sinBsinC=1, ∴cos(B-C)=1 ? 又 0<B,C<π ,∴-π <B-C<π ?∴B-C=0 ∴B=C
用心 爱心 专心 8

故此三角形是等腰三角形 3 在△ABC 中,bcosA=acosB 试判断三角形的形状 解法一:利用余弦定理将角化为边
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∵bcosA=acosB ?,∴b·
2 2 2 2 2 2

b2 ? c2 ? a2 a2 ? c2 ? b2 ? a? 2bc 2ac
2 2
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∴b +c -a =a +c -b ?,∴a =b ?,∴a=b,故此三角形是等腰三角形 ? 解法二:利用正弦定理将边转化为角 ?∵bcosA=acosB ? 又 b=2RsinB,a=2RsinA ?,∴2RsinBcosA=2RsinAcosB ? ∴sinAcosB-cosAsinB=0 ?∴sin(A-B)=0 ? ∵0<A,B<π ,∴-π <A-B<π ?,∴A-B=0 即 A=B ? 故此三角形是等腰三角形 ?
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七、板书设计(略) 八、课后记:

课 题:正弦定理、余弦定理(3) 教学目的: 1 进一步熟悉正、余弦定理内容;? 2 能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化;? 3 能够利用正、余弦定理判断三角形的形状;? 4 能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式 ? 教学重点:利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向 教学难点:三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求 ? 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学方法:启发引导式? 1 启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时,要注意正弦定理、余弦定理的适用题 型与所证结论的联系,并注意特殊正、余弦关系的应用,比如互补角的正弦值相等,互补角 的余弦值互为相反数等;? 2 引导学生总结三角恒等式的证明或者三角形形状的判断,重在发挥正、余弦定理的边 角互换作用 教学过程:
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一、复习引入: 正弦定理:

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C
2 2 2

余弦定理: a ? b ? c ? 2bc cos A, ? cos A ?

b2 ? c2 ? a2 2bc
9

用心

爱心

专心

b ? c ? a ? 2ca cos B, ? cos B ?
2 2 2

c2 ? a2 ? b2 2ca a2 ? b2 ? c2 2ab

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC , ? cosC ?
二、讲授新课:

1 正余弦定理的边角互换功能? 对于正、余弦定理,同学们已经开始熟悉,在解三角形的问题中常会用到它 其实,在 涉及到三角形的其他问题中,也常会用到它们 两个定理的特殊功能是边角互换,即利用它 们可以把边的关系转化为角的关系, 也可以把角的关系转化为边的关系, 从而使许多问题得 以解决 ?
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例 1 已知 a、b 为△ABC 的边,A、B 分别是 a、b 的对角,且 解:∵

sin A 2 A? B ? ,求 的值 sin B 3 B

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a b sin A a sin A 3 ? ,? ? ,又 ? (这是角的关系), sin A sin B sin B b sin B 2 a 3 a ?b 3? 2 5 ? ? . ∴ ? (这是边的关系) 于是,由合比定理得 b 2 b 2 2
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例 2 已知△ABC 中,三边 a、b、c 所对的角分别是 A、B、C,且 a、b、c 成等差数列 求证:sinA+sinC=2sinB 证明:∵a、b、c 成等差数列, ∴a+c=2b(这是边的关系)①? 又

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a b c b sin A ? ? ,? a ? ② sin A sin B sin C sin B b sin C c? ③ sin B b sin A b sin C ? ? 2b 整理得 sinA+sinC=2sinB(这是角的关系) 将②、 ③代入①, 得 sin B sin B
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2 正、余弦定理的巧用? 某些三角习题的化简和求解,若能巧用正、余弦定理,则可避免许多繁杂的运算,从而 使问题较轻松地获得解决,现举例说明如下: 例 3 求 sin 20°+cos 80°+ 3 sin20°cos80°的值
2 2 2 2
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解:原式=sin 20°+sin 10°-2sin20°sin10°cos150° ∵20°+10°+150°=180°,? ∴20°、10°、150°可看作一个三角形的三个内角 ? 2 2 2 设这三个内角所对的边依次是 a、b、c,由余弦定理得:a +b -2abcos150°=c (※)
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?
而由正弦定理知:a=2Rsin20°,b=2Rsin10°,c=2Rsin150°,代入(※)式得: sin 20°+sin 10°-2sin20°sin10°cos150°=sin 150°= ∴原式=
2 2 2

1 4

1 4

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例 4 在△ABC 中,三边长为连续的自然数,且最大角是最小角的 2 倍,求此三角形的三边长
用心 爱心 专心 10

( sin 2? ? 2 sin ? cos ? )? 分析: 由于题设条件中给出了三角形的两角之间的关系, 故需利用正弦定理建立边角关系 其 中 sin 2? ? 2 sin ? cos ? 利用正弦二倍角展开后出现了 cosα ,可继续利用余弦定理建立关 于边长的方程,从而达到求边长的目的 ? * 解:设三角形的三边长分别为x,x+1,x+2,其中x∈N ,又设最小角为α ,则
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?

x x?2 x?2 ? ? sin ? sin 2? 2 sin ? ? cos ?
2 2

,? cos ? ?
2

x?2 ① 2x

又由余弦定理可得x =(x+1) +(x+2) -2(x+1) (x+2)cosα ? 2 将①代入②整理得:x -3x-4=0 ? 解之得x1=4,x2=-1(舍)? 所以此三角形三边长为 4,5,6 ? 评述: 此题所求为边长,故需利用正、余弦定理向边转化,从而建立关于边长的方程
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例 5 已知三角形的一个角为 60°,面积为 10 3 cm ,周长为 20cm,求此三角形的各边长
2
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分析:此题所给的题设条件除一个角外,面积、周长都不是构成三角形的基本元素,但 是都与三角形的边长有关系,故可以设出边长,利用所给条件建立方程,这样由于边长为三 个未知数,所以需寻求三个方程,其一可利用余弦定理由三边表示已知 60°角的余弦,其 二可用面积公式S△ABC=

1 absinC 表示面积,其三是周长条件应用 ? 2
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解:设三角形的三边长分别为 a、b、c,B=60°,则依题意得

? a2 ? c2 ? b2 ?cos60? ? 2ac ?a ? b ? c ? 20 ? ? 2 ?1 2 2 ? ? ac sin 60? ? 10 3 ? ?b ? a ? c ? ac ?ac ? 40 ?2 ? ?a ? b ? c ? 20 ? ?
2 2 2 2

① ② ③

由①式得:b =[20-(a+c) ] =400+a +c +2ac-40(a+c) ④? 将②代入④得 400+3ac-40(a+c)=0 ? 再将③代入得 a+c=13 ? 由?

?a1 ? 5 ?a 2 ? 8 ?a ? c ? 13 解得? 或? ?ac ? 40 ?c1 ? 8 ?c2 ? 5

∴b1=7,b2=7 ?

所以,此三角形三边长分别为 5cm,7cm,8cm ? 评述: (1)在方程建立的过程中,应注意由余弦定理可以建立方程,也要注意含有正弦 形式的面积公式的应用 ? (2)由条件得到的是一个三元二次方程组,要注意要求学生体会其求解的方法和思路, 以提高自己的解方程及运算能力 ? 三、课堂练习:
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1 在△ABC 中,已知 B=30°,b=50 3 ,c=150,那么这个三角形是(
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)

A 等边三角形? B 直角三角形? C 等腰三角形? D 等腰三角形或直角三角形
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2 在△ABC 中,若 b sin C+c sin B=2bccosBcosC,则此三角形为( )? A 直角三角形? B 等腰三角形? C 等边三角形? D 等腰直角三角形 3 在△ABC 中,已知 sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4,则 secA= ?
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2

2

2

2

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4 △ABC 中,
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tan A sin A ? ,则三角形为 tan B sin B

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?
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5 在△ABC 中,角 A、B 均为锐角且 cosA>sinB,则△ABC 是
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6 已知△ABC 中,
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a2 ? b2 ? c2 ? c 2且a cos B ? b cos A ,试判断△ABC 的形状 a?b?c
2 2 2 2
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7 在△ABC 中, (a +b )sin(A-B)=(a -b )sin(A+B),判断△ABC 的形状 ??? 参考答案:1 D 2 A 3 8 4 等腰三角形? 5 钝角三角形 6 等边三角形 7 等腰三角形或直角三角形? 四、小结 熟悉了正、余弦定理在进行边角关系转换时的桥梁作用,并利用正、余弦定理对 三角恒等式进行证明以及对三角形形状进行判断 五、课后作业:?
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1 在△ABC 中,已知
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sin A sin( A ? B) 2 2 2 ? ,求证:a ,b ,c 成等差数列 sin C sin(B ? C )

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证明:由已知得 sin(B+C)sin(B-C)=sin(A+B) ·sin(A-B)? cos2B-cos2C=cos2A-cos2B ? ? 2cos2B=cos2A+cos2C

2?

1 ? cos 2 B 1 ? cos 2 A 1 ? cos 2 B 2 2 2 ? ? ∴2sin B=sin A+sin C ? 2 2 2
2 2 2 2 2 2
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由正弦定理可得 2b =a +c , 即 a ,b ,c 成等差数列 ? 2 在△ABC 中,A=30°,cosB=2sinB- 3 sinC
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(1)求证:△ABC 为等腰三角形;(提示 B=C=75°)? (2)设 D 为△ABC 外接圆的直径 BE 与 AC 的交点,且 AB=2,求 AD∶DC 的值 答案: (1)略 (2)1∶ 3 六、板书设计(略) 七、课后记:

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课 题:正弦定理、余弦定理(4) 教学目的: 1 进一步熟悉正、余弦定理内容;? 2 能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化;? 3 能够利用正、余弦定理判断三角形的形状;? 4 能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式 ? 教学重点:利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向 教学难点: 三角函数公式变形与正、余弦定理的联系 ? 授课类型:新授课 课时安排:1 课时
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教 具:多媒体、实物投影仪 教学方法:启发引导式? 1 启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时,要注意正弦定理、余弦定理的适用题 型与所证结论的联系,并注意特殊正、余弦关系的应用,比如互补角的正弦值相等,互补角 的余弦值互为相反数等;? 2 引导学生总结三角恒等式的证明或者三角形形状的判断,重在发挥正、余弦定理的边 角互换作用 教学过程:
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一、复习引入: 正弦定理:

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C

余弦定理: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A, ? cos A ?

b2 ? c2 ? a2 2bc c2 ? a2 ? b2 2ca

b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos B, ? cos B ?

a2 ? b2 ? c2 c ? a ? b ? 2ab cosC , ? cosC ? 2ab
2 2 2

二、讲解范例: 例 1 在任一△ABC 中求证:

a(sin B ? sin C ) ? b(sin C ? sin A) ? c(sin A ? sin B) ? 0
证:左边= 2R sin A(sin B ? sin C ) ? 2R sin B(sin C ? sin A) ? 2R sin C (sin A ? sin B) = 2R[sin A sin B ? sin A sin C ? sin B sin C ? sin B sin A ? sin C sin A ? sin C sin B] =0=右边 例 2 在△ABC 中,已知 a ?

3 , b ? 2 ,B=45? 求 A、C 及 c

解一:由正弦定理得: sin A ? ∵B=45?<90? 即 b<a 当 A=60?时 C=75?

a sin B 3 sin 45? 3 ? ? b 2 2
∴A=60?或 120?

c?

b sin C 2 sin 75? 6? 2 ? ? ? sin B 2 sin 45 b sin C 2 sin 15? 6? 2 ? ? ? sin B 2 sin 45
2 2 2

当 A=120?时 C=15?

c?

解二:设 c=x 由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B

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13

将已知条件代入,整理: x ? 6 x ? 1 ? 0
2

解之: x ?

6? 2 2

当c ?

6? 2 时 2
2?( 6? 2 2 ) ?3 1? 3 ? 2 ? ? 6? 2 2( 3 ? 1) 2 2? 2 ? 2

b2 ? c2 ? a2 cos A ? ? 2bc
从而 A=60? ,C=75? 当c ?

6? 2 时同理可求得:A=120? ,C=15? 2
2

例 3 在△ABC 中,BC=a, AC=b, a, b 是方程 x ? 2 3x ? 2 ? 0 的两个根,且 2cos(A+B)=1 求(1)角 C 的度数 (2)AB 的长度 (3)△ABC 的面积

解: (1)cosC=cos[??(A+B)]=?cos(A+B)=? (2)由题设: ?
2 2 2

1 2

∴C=120?

?a ? b ? 2 3 ? a?b ? 2
2 2 ?

∴AB =AC +BC ?2AC?BC?osC ? a ? b ? 2ab cos120

? a 2 ? b 2 ? ab ? (a ? b) 2 ? ab ? (2 3) 2 ? 2 ? 10 即 AB= 10
(3)S△ABC= 例4

1 1 1 3 3 absin C ? absin 120? ? ? 2 ? ? 2 2 2 2 2

如图,在四边形 ABCD 中,已知 AD?CD, AD=10, AB=14, ?BDA=60?, ?BCD=135? 求 BC 的长

解:在△ABD 中,设 BD=x 则 BA ? BD ? AD ? 2BD ? AD ? cos?BDA
2 2 2

即 14 ? x ? 10 ? 2 ? 10x ? cos60
2 2 2

?

整理得: x ? 10x ? 96 ? 0
2

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14

解之: x1 ? 16 由余弦定理:

x2 ? ?6 (舍去)
16 ? sin 30 ? ? 8 2 sin 135 ?

BC BD ? sin ?CDB sin ?BCD
例5

∴ BC ?

△ABC 中,若已知三边为连续正整数,最大角为钝角,1?求最大角 ;
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2?求以此最大角为内角,夹此角两边之和为 4 的平行四边形的最大面积 解:1?设三边 a ? k ? 1, b ? k , c ? k ? 1 ∵C 为钝角 ∴ cosC ? ∵k ? N
?

k ? N ?且k ? 1

a2 ? b2 ? c2 k ?4 ? ? 0 解得1 ? k ? 4 2ac 2(k ? 1)
但 k ? 2 时不能构成三角形应舍去

∴k ? 2或 3

当 k ? 3 时 a ? 2, b ? 3, c ? 4, cos C ? ? 2?设夹 C 角的两边为 x, y

1 , C ? 109 ? 4

x? y ?4

S ? xy sin C ? x(4 ? x) ? 当 x ? 2 时 S 最大= 15

15 15 ? ? ( ? x 2 ? 4 x) 4 4

例 6 在△ABC 中,AB=5,AC=3,D 为 BC 中点,且 AD=4,求 BC 边长 分析:此题所给题设条件只有边长,应考虑在假设 BC 为x后,建立关于x的方程 而正 弦定理涉及到两个角,故不可用 此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用 因为 D 为
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x ,然用利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程 ? 2 x 解:设 BC 边为x,则由 D 为 BC 中点,可得 BD=DC= , 2 x 4 2 ? ( ) 2 ? 52 AD2 ? BD 2 ? AB 2 2 在△ADB 中,cosADB= ? , x 2 ? AD ? BD 2? 4? 2 x 4 2 ? ( ) 2 ? 32 2 2 2 AD ? DC ? AC 2 在△ADC 中,cosADC= ? . x 2 ? AD ? DC 2? 4? 2
BC 中点,所以 BD、DC 可表示为
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又∠ADB+∠ADC=180° ∴cosADB=cos(180°-∠ADC)=-cosADC ?
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15

x x 4 2 ? ( ) 2 ? 52 4 2 ? ( ) 2 ? 32 2 2 ∴ ?? x x 2? 4? 2? 4? 2 2
解得,x=2 ?, 所以,BC 边长为 2 评述: 此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能, 体会互补角的余弦值互为相反数 这一性质的应用,并注意总结这一性质的适用题型 ? 另外,对于本节的例 2,也可考虑上述性质的应用来求解 sinA,思路如下:
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由三角形内角平分线性质可得

AB BD 5 ? ? ,设 BD=5k,DC=3k,则由互补角∠ AC DC 3

ADC、∠ADB 的余弦值互为相反数建立方程,求出 BC 后,再结合余弦定理求出 cosA,再由同 角平方关系求出 sinA
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三、课堂练习: 1 半径为 1 的圆内接三角形的面积为 0.25,求此三角形三边长的乘积 ?
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解:设△ABC 三边为 a,b,c 则S△ABC=
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1 ac sin B 2



S ?ABC ac sin B sin B ? ? abc 2abc 2b b ? 2 R ,其中 R 为三角形外接圆半径 sin B S ?ABC 1 ? , ∴abc=4RS△ABC=4×1×0.25=1 abc 4R
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所以三角形三边长的乘积为 1 ? 评述:由于题设条件有三角形外接圆半径,故联想正弦定理:

a b c ? ? ? 2 R ,其中 R 为三角形外接圆半径,与含有正弦的三角形面积公式 sin A sin B sin C 1 S△ABC= ac sin B 发生联系,对 abc 进行整体求解 2
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2 在△ABC 中,已知角 B=45°,D 是 BC 边上一点,AD=5,AC=7,DC=3,求
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AB ?
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解:在△ADC 中, cosC=

AC 2 ? DC 2 ? AD2 7 2 ? 32 ? 5 2 11 ? ? , 2 ? AC ? DC 2?7?3 14

又 0<C<180°,∴sinC=

5 3 14

在△ABC 中,

AC AB ? sin B sin C

∴AB=

sin C 5 3 5 6 AC ? ? 2 ?7 ? . sin B 14 2
用心 爱心 专心 16

评述:此题在求解过程中,先用余弦定理求角,再用正弦定理求边,要求学生注意正、余弦 定理的综合运用
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3 在△ABC 中,已知 cosA=
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3 5 ,sinB= ,求 cosC 的值 ? 5 13
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解:∵cosA=

3 2 < =cos45°,0<A<π 5 2

∴45°<A<90°, ∴sinA= ∵sinB=

4 5

5 1 < =sin30°,0<B<π 13 2
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∴0°<B<30°或 150°<B<180° 若 B>150°,则 B+A>180°与题意不符 ? ∴0°<B<30° cosB=

12 13 3 12 4 5 16 ? ? ? ? 5 13 5 13 65 16 65

∴cos(A+B)=cosA·cosB-sinA·sinB= 又 C=180°-(A+B) ?
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∴cosC=cos[180°-(A+B) ]=-cos(A+B)=-

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评述:此题要求学生在利用同角的正、余弦平方关系时,应根据已知的三角函数值具体 确定角的范围,以便对正负进行取舍,在确定角的范围时,通常是与已知角接近的特殊角的 三角函数值进行比较 ? 四、小结 通过本节学习,我们进一步熟悉了三角函数公式及三角形的有关性质,综合运用 了正、余弦定理求解三角形的有关问题,要求大家注意常见解题方法与解题技巧的总结,不 断提高三角形问题的求解能力 五、课后作业:
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六、板书设计(略) 七、课后记及备用资料: 1 正、余弦定理的综合运用? 余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理,若将正弦定理代入得: 2 2 2 sin A=sin B+sin C-2sinBsinCcosA 这是只含有三角形三个角的一种关系式, 利用这一定理解题, 简捷明快, 下面举例说明之 ?
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[例 1]在△ABC 中,已知 sin B-sin C-sin A= 3 sinAsinC,求 B 的度数
2 2 2

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解:由定理得 sin B=sin A+sin C-2sinAsinCcosB,? ∴-2sinAsinCcosB= 3 sinAsinC

2

2

2

∵sinAsinC≠0 ?∴cosΒ =-
2 2

3 2

∴B=150°

[例 2]求 sin 10°+cos 40°+sin10°cos40°的值 2 2 解:原式=sin 10°+sin 50°+sin10°sin50° 2 2 2 在 sin A=sin B+sin C-2sinBsinCcosA 中,令 B=10°,C=50°,
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则 A=120° 2 2 2 sin 120°=sin 10°+sin 50°-2sin10°sin50°cos120°
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=sin 10°+sin 50°+sin10°sin50°=(

2

2

3 2 3 )= 4 2

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[例 3]在△ABC 中,已知 2cosBsinC=sinA,试判定△ABC 的形状 ? 2 解:在原等式两边同乘以 sinA 得:2cosBsinAsinC=sin A, 2 2 2 2 由定理得 sin A+sin C-sin Β =sin A, 2 2 ∴sin C=sin B ?∴B=C 故△ABC 是等腰三角形 ? 2 一题多证? [例 4]在△ABC 中已知 a=2bcosC,求证:△ABC 为等腰三角形 ? 证法一:欲证△ABC 为等腰三角形 可证明其中有两角相等,因而在已知条件中化去边元素,
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使只剩含角的三角函数 由正弦定理得 a=
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b sin A sin B
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∴2bcosC=

b sin A ,即 2cosC·sinB=sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC sin B
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∴sinBcosC-cosBsinC=0 即 sin(B-C)=0,?∴B-C=nπ (n∈Z) ? ∵B、C 是三角形的内角,?∴B=C,即三角形为等腰三角形 ? 证法二:根据射影定理,有 a=bcosC+ccosB,
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又∵a=2bcosC ?∴2bcosC=bcosC+ccosB ?∴bcosC=ccosB,即 又∵

b cos B ? . c cos C

b sin B sin B cos B ? .∴ ? , 即 tanB=tanC c sin C sin C cos C
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∵B、C 在△ABC 中,?∴B=C ?∴△ABC 为等腰三角形 ? 证法三:∵cosC=
2 2

a2 ? b2 ? c2 a a2 ? b2 ? c2 a 及 cosC ? ,∴ ? , 2ba 2b 2ab 2b
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化简后得 b =c ?∴b=c ∴△ABC 是等腰三角形 ?
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