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河南省焦作市2013届高三第二次模拟考试数学(文)试题 扫描版含答案


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2013 年焦作市高三第二次模拟考试 数学(文科)综合能力测试参考答案 一.选择题 二.填空题 13. ACDA DABC DBBC

?x

0 ? x ? 1?
3

14.①②④ 16.
67 16

15. ?

三.解答题 17.解: (1) f ( x ) ? m ? n ? cos ? x ? sin ? x ? 2 3 sin ? x cos ? x
2 2

?

?

? 2 sin( 2 ? x ?

?
6

) ,

? ? ? 0 , 函数 f ( x ) 的周期 T ? ?

2? 2?

?

? ?

,由题意可得

T 2

?

?
2

,即
?
6

?
2?

?

?
2

,解得

0 ? ? ? 1.

(2) (1) 由 可知 f ( x ) ? 2 sin( 2 x ? 所以
?

?
6

) , f ( A ) ? 1 , sin( 2 A ? ? ? ? 5 6
2

) ?

1 2

.因为 0 ? A ? ? ,
b
2

?
6

? 2A ?

?
6

?
2

13 6

? ,故 2 A ?
2 2

?
6

? ,A ?

?
3

.由余弦定理知 cos A ?

? c

2

? a

2



2 bc

1 2

?

b

2

?c

2

?a

? , b ? c ? bc ? 3 , ( b ? c ) ? 3 bc ? 3 ,又 b ? c ? 3, bc ? 2 ,故

2 bc
1 2 bc sin A ? 3 2

S ? ABC ?

.

18.解 : ) 由频 率分 布直 方 图可 得 月均 用水 量在 ?2 , 3 ? 的 频率 为 0.25, 即 b ? 0 . 25 , 又 (1
? 50 n ? b ? 0 . 25 , ? n ? 200 , ? a ? 25 200 ? 0 . 125

.

(2)记样本中月均用水量在 ?5 , 6 ? (单位:t)的 5 位居民分别为 a,b,c,d,e,不妨设 e 为月均用 水量最多的居民,记“月均用水量最多的居民被选中”为事件 A,基本事件包括选中 (a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)共 10 种等可能情形,事件 A 包含的基本事件 有(a,e),(b,e),(c,e),(d,e)共 4 个,所以 P(A)=
4 10 ? 2 5

.

19.解: (1)证明:∵ ABC ? A1 B 1 C 1 为直三棱柱,A B 1 ? 平面 A1 DC , ∴ BB 1 ? CD , AB 1 ? CD . ,∴ CD ? 面 AA 1 B 1 B ,∴ CD ? AB ,又∵D 是 AB 的中点, ∴BC=AC= 3 , (2)因为为直三棱柱, AC ? CB ,所以 BC⊥面 AA 1 C 1 C
V C 1 ? A1 CD ? V D ? A1 CC ! ? 1 3 ? 1 2 A 1 C 1 ? CC
1

?

1 2

BC


? 1 12 3 ?1? 3 ? 1 4

20.解:(1)依题意,知 f ( x ) 的定义域为 (0, ? ? ) . 当 a ? 0 时, f ( x ) ? 2 ln x ?
1 x

, f ?( x ) ?

2 x

?

1 x
2

?

2x ?1 x
2



-5-

令 f ? ( x ) ? 0 ,解得 x ? 当0 ? x ?
1 2

1 2 .

时, f ? ( x ) ? 0 ;当 x ?

1 2

时, f ? ( x ) ? 0 .

? 1? ?1 ? f ( x ) 在 ? 0 , ? 上递减,在 ? , ? ? ? 上递增. ? 2? ?2 ?

所以 x ?

1 2

时, f ( x ) 有极小值为 f ( ) ? 2 ? 2 ln 2 ,无极大值
2 2?a x 1 x
2

1

(2) f ? ( x ) ?

?

? 2a ? 1 a ? 1 2

2ax ? (2 ? a ) x ? 1
2

a ( 2 x ? 1)( x ? ? x
1 a
2

1

x

2

) a (a ? 0)
1 2

∵ a ? ( ? 3, ? 2 ) , ∴ ?
? 1 a ? x ? 1 2



令 f ?( x ) ? 0 , 得 x ? ?

或x?

, 令 f ?( x ) ? 0 , 得

.∴ f ( x ) 在 ?1, 3 ? 单调递减.

∴当 x ? 1 时, f ( x ) 取最大值;当 x ? 3 时, f ( x ) 取最小值. ∴ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? f (1) ? f (3) ? (1 ? 2 a ) ? ? ( 2 ? a ) ln 3 ?
?
? 2 3 ? 4 a ? ( a ? 2 ) ln 3 .

?

1 3

? 6a

? ? ?

∵ ( m ? ln 3) a ? 2 ln 3 ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 恒成立, ∴ ( m ? ln 3) a ? 2 ln 3 ? 又 a ? 0 所以 m ? 所以 ?
13 3 ? 2 3a 2 3a ?4? ? 38 9 2 3 ?4, ? 4 a ? ( a ? 2 ) ln 3 ,整理得 m a ? 2 3 1 3 ? 4a . ? 2 3a ? ? 2 9

又因为 ? 3 ? a ? ? 2 ,得 ?
13 3



所以 m ? ?



2 2 2 21. 解: (1)设 P ( x 0 , y 0 ), F ( ? c , 0 ), 则 Q ( ? x 0 , ? y 0 ) ,这里 c ? a ? b ,

∵ PQ ? 2 a ? 4 ,∴ a ? 2
又 ? L ? PQ ? PF ? QF ?

(x0 ? c) ? y0
2

2

?

(x0 ? c) ? y0
2

2

?

2 x0 ? 2 y0

2

2

? 2a ? 2

x0 ? y0
2

2

2

? 2 a ? 2 b ? 6,? b ? 1

∴椭圆方程为

x

2

? y

? 1.

4

(2)依题意知直线 l 的斜率存在.设直线 l 的斜率为 k ,则直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,由
?x2 ? 4 y 2 ? 4 ? ? y ? kx ? 2

消去 y 整理得 ( 4 k ? 1) x ? 16 kx ? 12 ? 0 ,? ? (16 k ) ? 4 ( 4 k ? 1) ? 12 ? 16 ( 4 k ? 3 ) , 由
2 2 2 2 2

? ? 0 得 4k

2

? 3 ? 0 .设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,则 x 1 ? x 2 ?

? 16 k 4k
2

?1

, x1 x 2 ?

12 4k
2

?1

-6-

AB ?

(1 ? k ) ( x 1 ? x 2 ) ? 4 x 1 x 2 =
2 2

?

?

? 16 k 2 12 ? 2 ? (1 ? k ) ( ) ?4? 2 2 ? ? 4k ? 1? ? 4k ? 1

又∵原点 O 到直线 l 的距离 d ?
1 2

2 1? k
2

∴ S ? OAB ? =4
4k
2

? AB ? d = 4

4k

2

?3
2 2

(1 ? 4 k )

=4
(4k

4k
2 2

2

?3
2

? 3) ? 8( 4 k
2

? 3 ) ? 16

1 ?3? 4k 16
2

? 4
?3 ?8

1 16

? 1 .当且仅当 4 k

?3 ? 4k

16
2

?3

即 4 k ? 3 ? 4 时等号
2

成立.此时 S ? OAB 的最大值为 1. 22.解: (1)? ? ACP ? 30 ? ? POA ? 60
? ? AOC ? 120
? ? ? ?

? ? AEC ? 60

(2)设圆 O 半径为 r , ? AOD 中 ,AO
r ? AOD ? 120
? 2

? r , OD ?
2

r 2

, AD ?

7

? cos ? AOD ?

r 2 ? ( ) ? 2 r 2 ·· r 2

7

得r ? 2 ∴ Rt ? PAO 中 ,AO

? 2, ? POA ? 60 ?

? PA ? AO tan 60 ? ? 2 3 .

23.解:(1)圆的直角坐标方程: x ? ( 得圆心极坐标为 C(1,
5?

2 2

) ? (y ?
2

2 2

) ? r ,圆心坐标为 C ( ?
2 2

2 2

,?

2 2

)可

4 (2)已知圆 C 上点到直线 l 的最大距离等于圆心 C 到 C 的距离与圆半径之和,因为 l 的直角坐

) .

?

2 2

? 2

2 2

?1 ?r ?3,

标 方程 为 x ? y ? 1 ? 0 ,所 以圆 C 上点 到直 线 l 的最 大距离 = 解得 r ? 2 ?
2 2

24.解:(1)当 a ? 0 时,由 f ( x) ? g ( x) 得 2 x ? 1 ? x ,两边平方整理得 3 x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 , 解得 x ? ?1 或 x ? ?
1 3
? ? ∴原不等式的解集为 ( ?? , 1] ? [? , ? ) . 3 1

(2)由

1 ? ? ? x ? 1, x ? ? 2 ? 1 ? f ( x ) ? g ( x ) 得 a ? 2 x ? 1 ? x ,令 h( x ) ? 2 x ? 1 ? x ,则 h( x ) ? ? 3 x ? 1,? ? x ? 0 2 ? ? x ? 1, x ? 0 ? ?

-7-

故 h ( x ) m in ? h ( ?

1 2

)? ?

1 2

,从而所求实数 a 的范围为 a ? ?

1 2

-8-


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