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空间向量与立体几何 第四节 用向量讨论垂直与平行(精讲精练)


第二章 第 8 课时 任务 1 平行问题 专题三 空间向量与立体几何 第四节 用向量讨论垂直与平行 点睛:另解,利用空间向量 的方法求出面 PAD 的法向 量 n ,如果 EF⊥ n ,则 ? ? 例 1. 如图,已知矩形 ABCD 所在平面外一点 P,PA⊥平面 ABCD,E、F 分别是 AB、PC 的中点.求证:EF∥平面 PAD; 笔记: EF∥平面 PAD 例 2. 用向量法证明:如果两条直线垂直于同一个平面, 则这两条直线平行. 已知:直线 OA⊥平面α ,直线 BD⊥平面α ,O、B 为垂足.求证:OA//BD. 笔记: 如 果表 示向 量 a 的有向线段所在直线 ? 与平面 ? 平行或 a 在 我们就说向 ? 平面内, ? 量 a 平行于平面 ? , 记 ? 作 a ∥? 。 注意: 向量 ? a ∥ ? 与直线 a ∥ ? 的联系与区别。 ? 任务 2 笔记: D1 A1 用导数求曲线的切线 例 3. 如下图, 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, E、 F 分别是 BB1、 CD 的中点. 证明证明 AD⊥D1F. C1 B1 E D A F B C 例 4. 例 3.中,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是 BB1、CD 的中点. 证明面 AED⊥面 A1D1F. 笔记: 例 5. 如图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形, ∠BCD=60°,E 是 CD 的中点,PA⊥底面 ABCD,PA=2.证明:平面 PBE⊥平面 PAB; 点睛:本题是高考题,标 准答案的解法较为复杂, 而运用代数向量求解则轻 而易举,充分显示出代数 化方法研究几何图形的优 越性,这应作为立体几何 复习的一个重点去掌握 . 通过坐标法计算数量积去 ???? ? ???? ? 1.在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,向量 D1 A 、 D1C 、 A1C1 A.有相同起点的向量 B.等长向量 是 ( ) D.不共面向量 证垂直,求夹角、距离, 是高考的重点 取 D 为原点,DA、DC、 DD1 为 x 轴、y 轴、z 轴建 立直角坐标系,取正方体 棱长为 2, 则A (2, 0, 0) 、 A1(2,0,2) 、D1(0,0, 2) 、E(2,2,1) 、F(0, 1,0) C.共面向量 2.已知 a =(2,-1,3) , b =(-1,4,-2) , c =(7,5,λ ) ,若 a 、 b 、 c 三向量共 65 D. 7 ???? 3.直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若 CA ? a, CB ? b, CC1 ? c , 则 A1 B ? ( ) A. a + b - c B. a - b + c C.- a + b + c D.- a + b - c 62 面,则实数λ 等于 ( ) A. 7 63 B. 7 64 C. 7 4.已知 a + b + c = 0 ,| a |=2,| b |=3,| c |= 19 ,则向量 a 与 b 之间的夹角 ? a, b ? 为 A.30° B.45° C.60° D.以上都不对 【反馈测评】 1. PO ⊥平面 ABC,O 为垂足,∠ACB=90°,∠BAC =30°,BC=5,PA=PB=PC=10,则 PO 的长等于( ) 10. 如图,在四棱锥 O ? ABCD中,底面 O ?ABC ? ABCD 四边长 为 1 的 菱 形 , ? 4 , M (A)

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