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第四章 幂函数1


第四章

幂函数、指数函数和对数函数 4.1 二次函数
组卷人 施伟业 .

一、填空题: 1、函数 f ( x) ? 2 x 2 ? 6 x ?1 在区间 [?1,3] 上的最大值为
2 2

2、函数 f ( x) ? x ? 2mx ? m ? 3, (m ? Z ) 的图象与 x 轴有两个交点

,且分别位于原点的异侧,则 m 的取值 范围是 . 3、设 ? , ? 是方程 x 2 ? 2(m ? 3) x ? 2m ? 4 ? 0 的两个实数根,则 u ? (? ? 1)2 ? (? ? 1)2 的最小值
2



4、设函数 f ( x) ? (m ? 2) x ? 3mx ? 3 是偶函数,若 f ( x ? 1) 在区间 (??, n) 上是单调函数,则实数 n 的取 值范围 . 5、 已知函数 y ? ax 2 ? ax ? 2 的值域包含于 R ? ,则实数 a 的取值范围
2



6、 二次函数 f ( x) ? x ? ax ? 5 , 对任意 t ? R 都满足 f (t ) ? f (?t ? 4) , 且在 [ m,0] 上有最大值 5, 最小值 1, 则实数 m 的取值范围 . 2 2 7、 已知 x, y ? R ,且 x ? y ? 2 x ,则 x 2 ? 2 y 2 的取值范围 . 二、选择题: 8、二次函数 f ( x) ? x2 ? x ? a,(a ? 0) ,若 f (m) ? 0 ,则 f (m ? 1) 的值……( A)正数 B)负数 C) 非负数 D)正数、负数和零都有可能 9、函数 f ? x ? ? x2 ? 2ax ? 3在区间 ?1, 2? 上存在反函数的充要条件是 ( ) )

? A? a ?? ??,1?
A. 1 ? x ? 3 三、解答题:

? B? a ??2, ???
B. x ? 1 或 x ? 3

?C? a ??1,2?
2

? D? a ?? ??,1? ?2, ???
D. x ? 1 或 x ? 2

10、已知对于任意的 a ?[?1,1] ,函数 f ( x) ? x ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a 的值总大于 0,则 x 的取值范围是 C. 1 ? x ? 2 ( )

2 11、已知函数 f ( x) ? ax ? 2ax ? 1 , x ? [?3, 2] 的最大值为 4,求函数 f ( x) 的最小值.

12、求函数 y ? 3(4 x ? 4 ? x ) ? 10(2 x ? 2 ? x ) 的最小值.

13、设二次函数 y ? f ( x) 在 x ? m(m ? 0) 时有最大值 5,二次函数 y ? g ( x) 在 x ? m 时的值为 25, y ? g ( x) 有最小值-2,又 f ( x) ? g ( x) ? x 2 ? 16x ? 13 , ⑴ 求 m 的值; ⑵ 求函数 g ( x) 的解析式; ⑶ 求函数 g ( x) 的单调性.

14、设 f ( x) ? x 2 ? 4x ? 4, x ?[t , t ? 1](t ? R) ,求函数 f ( x) 的最小值 g (t ) 的解析式,并求 g (t ) 的最小值.

15、二次函数 f ( x) ? ax 2 ? bx(a ? 0) 满足 f ( x ? 3) ? f (? x ? 5) ,方程 f ( x) ? x 有等根. ⑴ 求函数 f ( x) 的解析式; ⑵ 是否存在实数 m, n ( m ? n) ,使得 f ( x) 的定义域和值域分别是 [ m, n ] 和 [3m,3n] , 如果存在,求出实数 m, n 的值,如果不存在,说明理由.

4.2 幂函数
组卷人 施伟业 一、填空题: 1、函数 f ( x) ? x 2 的定义域为___________、单调递减区间为_____________. 2、下列命题中正确的是____________. ①幂函数图像不可能出现在第四象限; ②当 n ? 0 时,函数 y ? xn 的图像是一条直线; ③幂函数的图像都经过 (0, 0), (1,1) 点; ④幂函数 y ? xn 为奇函数,则 y ? xn 在定义域内为增函数。 3、 若函数 f ( x) ? (mx2 ? 4 x ? m)
2

?3

?

3 2

则实数 m 的取值范围_____________. ? ( x 2 ? mx ? 9) 0 的定义域是 R, 。 . 。

4、 已知函数 f ( x) ? x 3 ,则 f (?2) 与 f (a 2 ? 2a ? 3), (a ? R) 的大小关系 5、当 0 ? x ? 1 时,函数 y ? x n 图象全在函数 y ? x 图象上方,则实数 n 的取值范围 6、幂函数 f ( x) ? (n 2 ? n ? 1) x 2n
2

?3n?4

在 (0,?? ) 上是减函数,则实数 n 的值

7 、 幂 函 数 y ? f ( x) 图 像 过 点 (4, ) , 则 函 数 y ? f ( x) 图 像 关 于 直 线 x ? 1 对 称 的 图 像 的 解 析 式 为 二、选择题: 8、函数 y ? 3 x 与 y ? A) (?1,1) A) 1 或 2 或 0 C) 1 或 2 或 3 或 4 。

1 2

1 的图象的交点坐标为 x B) (1, ?1) C) (0, 0)
B) 1 或 2 或 3 D) 0 或 1 或 2 或 3

( D) (1,1)

)

9、设 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 是两个不同的函数,集合 M ? x f ( x ) ? g ( x) 中的元素个数是 (

?

?

)

x 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ?1? 3 10、集合 A ? ? y y ? x , ?1 ? x ? 1? ,集合 B ? ? y y ? ? ? , x ? 0 ? ,则 A ? B 等于( ?2? ? ? ? ? ? ? ? ?

)

A) ? ??,1?

B)

??1,1?

C) ?

D) ?1?

三、解答题: 11、已知点 ( 2, 2) 在幂函数 f ( x ) 的图像上,点 ( ?2, ) 在幂函数 g ( x) 的图像上,问当 x 为何值时,有

f ( x) ? g ( x) ?

1 4

12、已知 (a ? 3)

??

3 5

? (1 ? 2a) 5 ,求实数 a 的取值范围.

??

3

13、讨论 y ?

2 | x | ?1 的定义域、值域、并作出函数大致图像. | x|

14、幂函数 f ( x) ? x m ?2 m?3 ,(m ? Z ) 是偶函数,且在区间 (0,?? ) 上是减函数, (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)就 a , b 的不同取值,讨论函数 g ( x) ? a

2

f ( x) ?

b 的奇偶性。 x f ( x)

15、已知函数 f ( x) ? ? x ?1 ,函数 g ( x) 与 f ( x) 图象关于点 M (? , ) 对称, ⑴求函数 g ( x) 的解析式;⑵求函数 g ( x) 的单调区间.

1 1 2 2

4.3 指数函数
组卷人 施伟业 一、填空题: 1、函数 f ( x) ? 16 ? ( 1 2 ) 的值域为
x

. . .

a?3 的根是负数,则 a 的取值范围 5?a 3、已知函数 f ( x) ? 4 ? a x?1 的图象恒过定点 P,则点 P 的坐标
2、关于 x 的方程 5 x = 4、函数 y ? 4
x? x2

的最大值为 的单调递增区间是

. . 。 .

5、函数 y ? ( )

6、函数 f ( x) ? 4 x ? a 4? x 是偶函数,则实数 a 的值
x x

1 5

x ?2

7、关于 x 的方程 4 ? (m ? 3) ? 2 ? m ? 0 有两个不相等的实根,则实数 m 取值范围 二、选择题: 8、给出下列四个命题: ①函数 y ? a x (a ? 0, a ? 1) 与函数 y ? loga a x , (a ? 0, a ? 1) 的定义域相同; ②函数 f ( x) ?| log 2 x | 是偶函数;
2

③函数 y ? x 3 与函数 y ? 2 x 在 (0,?? ) 上都是增函数; ④函数 y ? 与函数 y ? x 3 值域相同; 其中真命题的是 A)①②③; B)①③④; C)②③; D) ①④; 9、若 (? ? a) ? (? ? a) ,且 m ? n ? 1,则实数 a 的取值范围为
m n

5 x3

( )





A) ?1, ?? ?
x x

B) ?1, ? ?

C) ? 0, ? ? 1?

D)

? ??,? ?1?
( )

10、已知 y ? 4 ? 3 ? 2 ? 3 的值域为 ?1,7? ,则 x 的取适值范围为 A) ? 2, 4? 三、解答题: 11、函数 f ( x) ? a 2 x
2 ?3 x ?1

B) ? ??,0?

C) ? 0,1? ??2,4?

D) ? ??,0? ??1, 2?

, g ( x) ? a x

2 ? 2 x ?5

(a ? 0, a ? 1) ,若 f ( x) ? g ( x) ,求实数 x 的取值范围.

12、已知函数 f ( x) ? ?

1? ? 1 ? ?? x x ? 2 ?1 2 ?

(1)求 f ( x ) 定义域; (2)讨论 f ( x ) 的单调性;

(3)求证 f ( x) ? 0

13、已知函数 f ( x ) ? a ?
x

x?2 (a ? 1) , x ?1 求证: (1)函数 f ( x ) 在 (?1, ??) 上为增函数; (2)方程 f ( x) ? 0 没有负数根

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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14、要使函数 y ? 1 ? 2 ? a ? 4 在 x ? ? ??,1? 上恒成立,求实数 a 的取值范围。
x x

3x 1 ? , 15、已知函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x 9 ?1 2 (1)判断并证明函数 y ? f ( x) 在 (??, 0) 上的单调性; (2)求函数 y ? f ( x) 的值域; 1 (3)求不等式 f ( x ) ? 的解集。 3

4.4 对数概念及其运算
组卷人 施伟业 一、填空题: 1、求值: log 5 35 ? 2 log 0.5

1 ? log 5 14 ? ____________. 50 2 、 若 正 数 x, y, z 满 足 log2 ?log3 (log4 x)? ? log3 ?log4 (log2 y)? ? log4 ?log2 (log3 z)? ? 0 , 则 x ? y ? z _____________ ? . 2 ? log 5
21

3、若 log 2 3 ? a, log3 7 ? b ,用 a , b 表示 log 2 4、设 log 27 12 ?
1

3 7 ? ____________.

1 ,则 log 6 16 ? __________. a

1 log5 3 ) ? ___________. 25 1 1 x y 6、已知 2 ? 7 ? 196 ,则 ? ? ___________. x y
5、 2 2
log 2 3

?(

7、若 ? 为锐角,则 sec ?

logsec ?

1 2

的值是___________.

二、选择题: 8、若 a ? b ? 0, c ? 0, 且 a、b、c 均不为 1,则下列各式中正确的是 A) log c

(

)

a log c a ? b log c b

B) log a b ?

log c a log c b
( )

C) logc (a ? b) ? logc a ? logc b A) ? 4 B) 8 C) ?8

D) logc (a2 ? b2 ) ? logc (a ? b) ? logc (a ? b) D) 4 ( )

9、已知 a ? 1, b ? 1 , log 2 a ? log 2 b ? 16 ,则 log 2 ab 的最小值为 10、已知 a ? b ? 1, log a b ? log b a ? A)

8 3

B)

4 3

10 ,则 loga b ? logb a 的值是 3 4 8 C) ? D) ? 3 3 a?b 1 ? (lg a ? lg b) . 3 2

三、解答题:

lg 11、已知 a ? 0, b ? 0 , a ? b ? 7ab ,求证 :
2 2

12、已知 a, b, c 是△ABC 的三边,且关于 x 的二次方程 x ? 2 x ? lg(c ? b ) ? 2lg a ? 1 ? 0 有等根,判断△ ABC 的形状.
2 2 2

13、已知 log a b ? 2 log b a ?

11 b ? a3 (b ? a ? 1) ,求 6 的值. 3 a ? b2 ? b

14、当等式 log 4 (3m ? 1) ? log 1
4

3m ? 1 3 ? 成立时, m 取什么值. 16 4

2 2 15、当 x ? 1, y ? 1 时,不等式 lg( xy ) ? (lg a) lg x ? lg y 恒能成立,求实数 a 的最小值。

4.5 对数函数
组卷人 施伟业 一、填空题: 1、已知函数 f ( x) ? ?

?log 2 x, x ? 0 ?3 , x ? 0
x

,则 f [( f ( 1 的值是__________. 4 )]

2、函数 f ( x) ? log1 (2x ? 1) 的定义域是____________.
2

3、函数 y ? log0.1 (6 ? x ? 2 x 2) 的单调递增区间是_____________. 4、函数 f ( x) ? log a x(2 ? x ? 4) 的最大值比最小值大 1,则 a =_____________. 5、若 log a

2 ? 1 ,则 a 的取值范围是___________________. 5

6、已知定义域为 R 的偶函数 f ( x ) 在 ? 0, ?? ? 上是增函数且 f ( ) ? 0 ,则不等式 f (log8 x) ? 0 的解集是 _______________. 7、对于函数 y ? lg x ,若存在 0 ? a ? b ,且 f ? a ? ? f ?b? ,则 a ? b 的取值范围为______________。 二、选择题: 8、 函数 f ( x) ? loga ( x2 ?1) 和 g ( x) ? loga ( x ?1) ? log a ( x ? 1) 的定义域分别是 F 和 G, 则 A. F ( )

1 3

G

B. G

F

C. F ? G (

D. G ? F ) D.直线 y ? x 对称 ( ) D. ?1, 2?

9、函数 f ( x) ? lg(

2 ?1) 的图象关于 1? x A. x 轴对称 B. y 轴对称
2

C. 原点对称 C. ?1, 2?

10、当 x ? ?1, 2? 时,不等式 ( x ?1) ? loga x 恒成立,则实数 a 的取值范围是 A.

? 0,1?

B.

?1, 2?

三、解答题: 11、求函数 f ( x) ? (log 1 x)2 ? log 1 x2 ? 5 (2 ≤ x ≤ 4) 的值域.
4 4

12. 已知 y ? log a (2 ? ax) 在 ?0,1? 上是 x 的减函数,求实数 a 的取值范围.

13、已知 f ( x) ? log a ( a x ?1)( a ? 0, a ?1) 。 (1)求 f ( x ) 的定义域; (2)讨论 f ( x ) 的单调性; (3)解方程: f (2 x) ? f ?1 ( x) 。

14、设 f ( x) ? log 1 (
2

1 ? ax ) 为奇函数, x ?1
⑵ 证明 f ( x ) 在 ?1, ?? ? 单调递增;

⑴ 求 a 的值;

(3).若对于 ?3, 4? 上每一个 x 的值,不等式 f ( x ) ? ( ) ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围.
x

1 2

15、已知函数 f ( x) ? 3x ? k ,点 A(?2k , 2) 在函数 y ? f ?1 ( x) 的图象上. (1).求实数 k 的值及 y ? f ?1 ( x) 的解析式; (2). 将 y ? f ?1 ( x) 的 图 象 沿 x 轴 向 右 平 移 3 个 单 位 得 到 y ? g ( x) 的 图 象 , 求 函 数

F ( x) ? 2 f ?1 ( x) ? g ( x) 的最值.

4.6 指数方程与对数方程
组卷人 施伟业 一、填空题:

1 x ) ? 81 的解为____________. 27 2、方程 log3 ( x ?1) ? log9 ( x ? 5) 的解为_______________.
1、方程 ( 3、方程 2log x 8 ? 3log 8 x ?1 的解为___________. 4、方程 log a ( x ?1) ? x2 ? 2 (0 ? a ? 1) 解的个数是___________. 5、方程 x3 ? lg x ? 18 的根 x ? _____________.(结果精确到 0.1 ) 6、方程 4x ? 4? x ? 6(2 x ? 2 ?x ) ?10 ? 0 的解是_________________. 7、设 x1 是方程 x ? lg x ? 4 的解, x2 是方程 x ? 10 ? 4 的解,则 x1 ? x2 的值是________.
x

二、选择题: 8、已知 m, n 是方程 lg2 x ? lg15lg x ? lg3lg5 ? 0 的两个根,则 mn 等于 A. ?(lg 3 ? lg 5)
x ?1 1? x

(

)

B. lg 3lg 5

C.

8 15

D.

1 15
( )

9、与方程 3 ? 5 不同解的是 A. ( x ? 1) lg 3 ? (1 ? x) lg 5 C. 15 ?
x

5 3

x ? 1 ? (1 ? x)log3 5 3 x D. 15 ? 5
B.

10、函数 f ? x ? ? ? A) 0 三、解答题: 11、解方程:

? x2 ? 2 x ? 3 x ? 0 ??2 ? ln x
B) 1

x?0

的零点个数为 C) 2 D) 3





(1) log3 (9x ? 2) ? x ? log3 (3x?1 ? 3)

⑵ 3

x ?1

? 2x

2

?1

(3) x

log 2 x

? 32 x 4

(4) log x 2 ? log 2 x 2 ? log 4 x 2

2 12、设 f ( x) ? x ? x ? k ,若 f (log 2 a ) ?k 且 log2 f (a) ? 2 ,其中 a、k 为常数且 a ? 1 .求 f (log

2

x ) 的

最小值及相应的 x 的值.

13、关于 x 的方程 k ? 9x ? 3k ? 3x ? 6(k ? 5) ? 0 在 ? 0, 2? 内有解,求实数 k 的取值范围.

14、已知关于 x 的方程 log2 ( x ? 3) ? log4 x2 ? a 的解在区间 ? 3, 4 ? 内,求实数 a 的取值范围.

15、定义在 R 上的奇函数有最小正周期 2 ,且 x ? ? 0,1? 时, f ( x) ? ⑴ 求 f ( x ) 在 ??1,1? 上的解析式; ⑵ 实数 k 为何值时,方程 f ( x) ? k 有解.

2x . 4x ? 1

4.7 函数的图象
组卷人 施伟业 一、填空题: 1、设定义在 R 上函数 f ( x ) ,若 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,则 f ( x ) 图象关于直线_______对称. 2 、 把 函 数 y ? 2 x2 ? 2x 的 图 象 向 右 平 移 2 个 单 位 再 向 下 移 动 3 个 单 位 所 得 图 象 的 解 析 式 为 ______________. 3 、 已 知 函 数 f ( x) ?

x ?1 ? 1 )的 图 象 关 于 直 线 y ? x 对 称 图 象 的 解 析 式 是 , 那 么 y ? f( x x?2

___________________. 4、 已知函数 y ? f ( x) 为奇函数, 定义域为 ? ??,0? ? ? 0, ??? , 若 x ? 0 时 f ( x) ? ? x ? 1 ,则使 f ( x ? 1) ? 0 的 x 的取值范围是_____________. 5、将 y ? log3 x 的图像作其关于直线 y=x 的对称图像后得到图像 C1 ,再作 C1 关于 y 轴对称的图像后得到 图像 C2 , 再将 C2 的图像向右平移 1 个单位得到图像 C3 , 最后再作 C3 关于原点对称的图像得到 C4 , 则 C4 所对应的函数解析式是______________. 6 、 设 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 且 y ? f ( x) 的 图 象 关 于 直 线 x ?

f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f (5) ? _____________. 7、已知函数 y ? f ( x ? 3) 是奇函数,则函数 y ? f ( x ? 5) 的图象关于点_____成中心对称.
二、选择题: 8、已知函数 y ? log 2 x 的反函数是 y ? f ?1 ( x) ,则函数 y ? f ?1 (1 ? x) 的图象 ( )

1 对称,则 2

9、函数 y ? ax 2 ? bx 与 y ? log b x ( ab ? 0, a ? b )在同一直角坐标系中的图像可能是 (
a



y

y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

A)

B)

C)

D)

10、已知图 1 中的图像对应的函数为 y ? f ( x ) ,则图 2 中的图像对应的函数在下列给出的四式中,只可 能是
y y





O

x

O

x

图1

图2

A. y ? f (| x |)

B. y ?| f ( x ) |

C. y ? f ( ? | x |)

D. y ? ? f (? | x |)

三、解答题: 11、作出下列函数图像 (1) y ? log2 (| x | ?1)

(2) y ? log 2 | x ? 1|

(3) y ?| log2 ( x ? 1) |

12、 画出函数 y ?| 3 x ? 1 | 的图象, 并利用图象回答: k 为何值时, 方程 | 3 x ? 1 |? k 无解?有一解?有两解?

13、记 max{a1 , a2 ,

设 f ( x ) ? max x ? 2 , ? x ? 6 x ? 4 .
2

?

, an } 为 a1 , a2 ,

, an 中最大的一个,

?

⑴ 作函数 y ? f ( x ) 的图像;

⑵ 求 0 ? x ? 6 时, f ( x ) 的最值.

14、已知函数 y ? f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) 且 x ?? ?1,1? 时 f ( x) ? x2 ,求 y ? f ( x) 与 y ? log5 x 的 图象的交点个数.

15、二次函数满足 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x 且 f (0) ? 1 (1).求 f ( x ) 的解析式. (2).在区间 ??1,1? 上 y ? f ( x) 的图象恒在 y ? 2 x ? m 的上方,求实数的取值范围.

4.8 函数的综合应用(一)
组卷人 施伟业 一、填空题: 1、若函数 f ( x) ? a x ? b ? 2 在[0,+∞)上为增函数,则实数 a、b 的取值范围是 2、已知函数 f ( x ) ? .

1 1 ? ,且 x ? ? 0,1? ,则 f ( x ) 的最小值为 x 1? x ?x 2 3、 已知函数 f ( x) 是奇函数, 当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 2a sin , 若 f (3) ? 6 ,a ? ______ 2 4、在函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c中, 若a, b, c 成等比数列,且 f (0) ? 4 ,则 f ( x) 有最小值,
且该值为 .

1 ,那么 f ?1 (?9) = . x 3 6、设 f ? x ? 是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数,已知 x ? (0,1) , f ? x ? ? log 1 ?1 ? x ? ,则
5、已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x <0 时, f ( x) = 函数 f ? x ? 在 (1, 2) 上的解析式是
2

? 1 ( x ? 1) ? 2 7、 设定义域为 R 的函数 f ( x) ? ? | x ? 1 | , 若关于 x 的方程 f ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 有 ? ? 1( x ? 1) 2 2 ? ____________. 三个不同的实数解 x1 , x 2 , x3 ,则 x12 ? x 2 ? x3
二、选择题: 8、定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足 f ( x) ? f ( x ? 2) ,当 x ? [3, 5] 时, f ( x) ? 2? | x ? 4 | 则

) ? f (cos ) 6 6 2? 2? ) ? f (sin ) C. f (cos 3 3
A. f (sin

?

?

B. f (sin 1) ? f (cos1) D. f (cos 2) ? f (sin 2)





9、不等式 loga x ? sin 2x(a ? 0且a ? 1) 对任意 x ? (0, A、(0,

?
4

) 都成立,则 a 的取值范围为
D、(0,1) ( )

?
4

)

B、(

?
4

,1)

C、(

?

,1) ? (1, ) 4 2

?

10、已知 a ? 0 且 a ? 1 ,函数 f ( x) ? log a ( x ?

x 2 ? b ) 在区间 (??,??) 上既是奇函数又
( )

是增函数,则函数 g ( x) ? log a | x | ?b 的图象是

三、解答题: 11、已知函数 f ( x) ? kx ? b 的图象与 x、y 轴分别相交于点 A、B, AB ? 2i ? 2 j ( i 、 j 分 别是与 x、y 轴正半轴同方向的单位向量),函数 g ( x) ? x 2 ? x ? 6 . ⑴ 求 k、b 的值; ⑵ 当 x 满足 f ( x) ? g ( x) 时,求函数

g ( x) ? 1 的最小值. f ( x)

12、 集合 A 是由具备下列性质的函数 f ( x) 组成的: (1) 函数 f ( x) 的定义域是 [0, ??) ; (2) 函数 f ( x) 的值域是 [?2, 4) ;(3) 函数 f ( x) 在 [0, ??) 上是增函数. 试分别探究下列两小题: 1 (1)判断函数 f1 ( x) ? x ? 2( x ? 0) ,及 f 2 ( x) ? 4 ? 6 ? ( )x ( x ? 0) 是否属于集合 A?并 2 简要说明理由. (2) 对于 (1) 中你认为属于集合 A 的函数 f ( x) , 不等式 f ( x) ? f ( x ? 2) ? 2 f ( x ? 1) 是 否对于任意的 x ? 0 总成立?若不成立,为什么?若成立,请证明你的结论.

13、设 a ? R , f ( x ) 为奇函数,且 f (2 x) ?

a ? 4 x ? a ?2 . 4x ? 1 ⑴ 试求 f ( x ) 的反函数 f ?1 ( x) 的解析式及 f ?1 ( x) 的定义域; 1? x 1 2 ⑵ g ( x) ? log 2 ,若 x ?[ , ] 时, f ?1 ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 k 的取值范围. k 2 3

14、已知 f ( x) ? x | x ? a | ?b, x ? R . (1)当 a ? 1, b ? 0 时,判断 f ( x ) 的奇偶性,并说明理由; (2)当 a ? 1, b ? 1 时,若 f (2 ) ?
x

5 ,求 x 的值; 4

(3)若 b ? 0 ,且对任何 x ??0,1? 不等式 f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

15、设函数 f ( x) ? ( x ? a) 2 , g ( x) ? x , x ? R , a 为实常数. (1)若 a ? 0 ,设 F ( x) ?

f ( x) , x ? 0 ,用函数单调性的定义证明:函数 F ( x) 在区间 g ( x) [a , ??) 上是增函数; (2)设关于 x 的方程 f ( x) ?| g ( x) | 在 R 上恰好有三个不相等的实数 解,求 a 的值所组成的集合.

4.9 函数的综合应用(二)
组卷人 施伟业 一、填空题: 1、一个等腰三角形的周长为 30,设底边长为 y ,腰长为 x ,用解析式将 y 表示成 x 的函数 为______________. 2、某产品在市场销售中降价 10%,欲恢复原价,则应提价____________. 3、某人骑自行车从甲村出发 5km 后,以 15km 的速度行驶了 50 min ,用解析式将这段时

h

间内此人与甲村距离 s 表示成时间 t (h) 的函数_______________. 4、某公司一年购买某种货物 400 吨,每次都购买 x 吨,运费为 4 万元/次,一年的总存储费 用为 4 x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x =_____吨 5、某旅社共有 100 张客床,若每床每天收 10 元租金时全部租出,若每床每天租金每提 高 1 元,则减少 5 张客床租出,为了获得最多租金,定价 x 应是_______.

6、某商品进货价为每件 50 元,销售价每件 x 元,根据市场调查,当 x ??50,80? 时,每 售出的件数 P ?

100000 ,若想每天获得的利润最多,每件销售价 x 应是_______. ( x ? 40)2

7、一个圆柱形容器的轴截面尺寸如右图所示,容器内有一个实心的球,球的直径恰等于圆 柱的高.现用水将该容器注满,然后取出该球(假设球的密度大于水且操作过程中水量 损失不计) ,则球取出后,容器中水面的高度为 cm. (精确到 0.1cm)
20cm

10cm

二、选择题: 8、花坛的水池中央有一喷泉,水管高度为 1 米,水从喷头喷出后呈抛物线状,先向上至最 高点距抛物线对称轴 1 米,则在水池半径的下列可选值中,最合适的是 ( ) A. 1 米 B. 2.5 米 C. 3 米 D. 3.5 米 9、某企业购置了一批设备投入生产,据分析每台设备生产的总利 润 y (单位:万元)与年数 x ?x ? N ? 满足如图的二次函数关系。 要使生产的年平均利润最大,则每台设备应使用 ( ) A.3 年 B. 4 年 C.5年 D. 6 年 10、 在证券交易过程中, 常用到两种曲线, 即时价格曲线 y ? f ( x) 及平均价格曲线 y ? g ( x) (如 f (2) ? 3 是指开始买卖后二个小时的即时价格为 3 元; g (2) ? 3 表示二个小时内的平均 价格为 3 元), 在下图给出的四个图像中实线表示 y ? f ( x) , 虚线表示 y ? g ( x) 其中可能正 确的是 ( ).

(A)

(B)

(C)

(D)

三、解答题: 11、某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为每辆 1 万元,出厂价为每辆 1.2 万 元,年销售量为 1000 辆,本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成 本,若每辆投入成本增加的比例为 x (0<x<1),则出厂价相应的提高比例为 0.75x,同时预 计年销售量增加的比例为 0.6 x,已知年利润=(出厂价 ? 投入成本)×年销售量. ⑴写出本年度预计的年利润 y 与投入增加的比例 x 的关系式; ⑵为使本年度的年利润比上一年有所增加,问投入成本增加的比例应在什么范围

12、 某城市出租车的收费标准是: 小于等于 3km 按起步价 5 元,3km 以上且小于等于 10 km , 3 km 超过 的部分按 1.2元 km 收费,超过 10 km 部分按 1.5元 km 元收费。 (1)计算出租车行驶 8km 应付费多少元? (2)写出车费与里程的函数关系式 (3)小王周末外出行程 30km ,为了省钱设计两种方案: 方案 1:分两段乘车,乘一次行驶 15km ,换乖另一车行驶 15km 方案 2:分三段乘车,每行 10 km 换乘一次车;讨论哪种方案更省钱?

13、一校办服装厂花费 2 万元购买某品牌运动装的生产与销售权.根据以往经验,每生产 1 百套这种品牌运动装的成本为 1 万元,每生产 x (百套)的销售额 R( x) (万元)满足:

?? 0.4 x 2 ? 4.2 x ? 0.8,  0 ? x ? 5, ? R( x) ? ? 9 , x ? 5. ?14.7 ? x?3 ? (1)该服装厂生产 750 套此种品牌运动装可获得利润多少万元? (2)该服装厂生产多少套此种品牌运动装利润最大?此时,利润是多少万元?

14、随着人事制度改革的进行,各单位要减员增效.一家公司现有职员 4 a 人

(35 ? a ? 105, a ? N * ) ,每人每年可创利 b 万元。据评估,在经营条件不变的前提下,每 裁员1人,则留岗职工每人每年能多创利 0.01b 万元,但公司需支付下岗职工每人每年 3 0.4b 万元的生活费,又该公司正常运作所需人数不少于现有职工的 ,为获得最大经济 4
效益,该公司应裁员多少人?

15、某地发生特大地震和海啸,使当地的自来水受到了污染,某部门对水质检测后,决定往 水中投放一种药剂来净化水质。已知每投放质量为 m 的药剂后,经过 x 天该药剂在水中

?x ? 2 ?0 ? x ? 4 ? ? ?4 释放的浓度 y (毫克/升) 满足 y ? mf ?x ? ,其中 f ? x ? ? ? ,当药剂在水 ? 6 ?x ? 4? ? ?x ? 2 中释放的浓度不低于 4 ( 毫克 /升) 时称为有效净化;当药剂在水中释放的浓度不低于 4
(毫克/升) 且不高于 10(毫克/升)时称为最佳净化。 (1)如果投放的药剂质量为 m ? 4 ,试问自来水达到有效净化一共可持续几天? (2)如果投放的药剂质量为 m ,为了使在 7 天之内(从投放药剂算起包括 7 天)的自来水 达到最佳净化,试确定应该投放的药剂质量 m 的值。


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