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【2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-2)练习:1.3.1 函数的单调性与导数


选修 2-2

第一章

1.3

1.3.1

一、选择题 1.函数 y=x4-2x2+5 的单调递减区间为( A.(-∞,-1]和[0,1] C.[-1,1] [答案] A [解析] y′=4x3-4x, 令 y′<0,即 4x3-4x<0, 解得 x<-1 或 0<x&l

t;1,所以函数的单调减区间为(-∞,-1)和(0,1),故应选 A. 2.函数 f(x)=ax3-x 在 R 上为减函数,则( A.a≤0 C.a<2 [答案] A [解析] f ′(x)=3ax2-1≤0 恒成立,∴a≤0. 3.已知对任意实数 x,有 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且 x>0 时,f ′(x)>0,g′(x)> 0, 则 x<0 时( ) B.f ′(x)>0,g′(x)<0 D.f ′(x)<0,g′(x)<0 ) ) B.[-1,0]和[1,+∞) D.(-∞,-1]和[1,+∞)

B.a<1 1 D.a≤ 3

A.f ′(x)>0,g′(x)>0 C.f ′(x)<0,g′(x)>0 [答案] B [解析]

f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性

相同(反),∴x<0 时,f ′(x)>0,g′(x)<0. 4.(2013· 武汉市实验中学高二期末)设 p:f(x)=x3+2x2+mx+1 在(-∞,+∞)内单调 4 递增,q:m> ,则 p 是 q 的( 3 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 [答案] B [解析] f ′(x)=3x2+4x+m,∵f(x)在 R 上单调递增,∴f ′(x)≥0 在 R 上恒成立,∴ Δ=16-12m≤0, 4 ∴m≥ ,故 p 是 q 的必要不充分条件. 3 5.设 f ′(x)是函数 f(x)的导函数,y=f ′(x)的图象如图所示,则 y=f(x)的图象最有可 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

能的是(

)

[答案] C [分析] 由导函数 f ′(x)的图象位于 x 轴上方(下方),确定 f(x)的单调性,对比 f(x)的图 象,用排除法求解. [解析] 由 f ′(x)的图象知,x∈(-∞,0)时,f ′(x)>0,f(x)为增函数,x∈(0,2)时, f ′(x)<0,f(x)为减函数,x∈(2,+∞)时,f ′(x)>0,f(x)为增函数. 只有 C 符合题意,故选 C. f?x? 6.(2014· 福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)设函数 F(x)= x 是定 e 义在 R 上的函数,其中 f(x)的导函数 f ′(x)满足 f ′(x)<f(x)对于 x∈R 恒成立,则( A.f(2)>e2f(0),f(2012)>e2012f(0) C.f(2)<e2f(0),f(2012)<e2012f(0) [答案] C f?x? [解析] ∵函数 F(x)= x 的导数 e f ′?x?ex-f?x?ex f ′?x?-f?x? F′(x)= = <0, ex ?ex?2 f?x? ∴函数 F(x)= x 是定义在 R 上的减函数, e f?2? f?0? ∴F(2)<F(0),即 2 < 0 ,故有 f(2)<e2f(0). e e 同理可得 f(2012)<e2012f(0).故选 C. 二、填空题 7.函数 y=ln(x2-x-2)的单调递减区间为________. [答案] (-∞,-1) [解析] 函数 y=ln(x2-x-2)的定义域为 (2,+∞)∪(-∞,-1), B.f(2)<e2f(0),f(2012)>e2012f(0) D.f(2)>e2f(0),f(2012)<e2012f(0) )

1 令 f(x)=x2-x-2,f ′(x)=2x-1<0,得 x< , 2 ∴函数 y=ln(x2-x-2)的单调减区间为(-∞,-1). 8.(2014· 福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)已知函数 f(x)=x3-ax2 -3x 在区间[1,+∞)上是增函数,则实数 a 的取值范围是________. [答案] (-∞,0] [解析] ∵f(x)=x3-ax2-3x,∴f ′(x)=3x2-2ax-3, 又因为 f(x)=x3-ax2-3x 在区间[1,+∞)上是增函数, f ′(x)=3x2-2ax-3≥0 在区间[1,+∞)上恒成立, a ? ?3≤1, ∴? 解得 a≤0, 2 ? ?f ′?1?=3×1 -2a-3≥0, 故答案为(-∞,0]. 1 9.(2014· 郑州网校期中联考)若 f(x)=- x2+bln(x+2)在(-1,+∞)上是减函数,则 b 2 的取值范围是__________________. [答案] b≤-1 [解析] f(x)在(-1,+∞)上为减函数,∴f ′(x)≤0 在(-1,+∞)上恒成立,∵f ′(x) b b =-x+ ,∴-x+ ≤0,∵b≤x(x+2)在(-1,+∞)上恒成立,∴b≤-1. x+2 x+2 三、解答题 10 . (2014· 甘肃省金昌市二中期中 ) 已知函数 f(x) = x3 + ax2 + bx(a 、 b ∈ R) 的图象过点 P(1,2),且在点 P 处的切线斜率为 8. (1)求 a、b 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间. [解析] (1)∵函数 f(x)的图象过点 P(1,2), ∴f(1)=2. ∴a+b=1. 又函数图象在点 P 处的切线斜率为 8, ∴f ′(1)=8, 又 f ′(x)=3x2+2ax+b, ∴2a+b=5. 解由①②组成的方程组,可得 a=4,b=-3. (2)由(1)得 f ′(x)=3x2+8x-3, 1 令 f ′(x)>0,可得 x<-3 或 x> ; 3 ② ①

1 令 f ′(x)<0,可得-3<x< . 3 1 1 ∴函数 f(x)的单调增区间为(-∞,-3),( ,+∞),单调减区间为(-3, ). 3 3

一、选择题 11.(2012· 天津理,4)函数 f(x)=2x+x3-2 在区间(0,1)内的零点个数是( A.0 C.2 [答案] B [解析] 本小题考查函数的零点与用导数判断函数的单调性,考查分析问题、解决问题 的能力. ∵f(x)=2x+x3-2,0<x<1,∴f ′(x)=2xln2+3x2>0 在(0,1)上恒成立,∴f(x)在(0,1)上单调 递增. 又 f(0)=20+0-2=-1<0,f(1)=2+1-2=1>0,f(0)f(1)<0,则 f(x)在(0,1)内至少有一 个零点, 又函数 y=f(x)在(0,1)上单调递增,则函数 f(x)在(0,1)内有且仅有一个零点. 12. (2014· 北京西城区期末)已知函数 f(x)及其导数 f ′(x), 若存在 x0, 使得 f(x0)=f ′(x0), 则称 x0 是 f(x)的一个“巧值点”,下列函数中,有“巧值点”的函数的个数是( 1 - ①f(x)=x2,②f(x)=e x,③f(x)=lnx,④f(x)=tanx,⑤f(x)=x+ x A.2 C.4 [答案] B [解析] ①中的函数 f(x)=x2,f ′(x)=2x,要使 f(x)=f ′(x),则 x2=2x,解得 x=0 或 2,可见函数有巧值点;对于②中的函数,要使 f(x)=f ′(x),则 e x=-e x,由对任意的 x,
- -

)

B.1 D.3

)

B.3 D.5

有 e x>0,可知方程无解,原函数没有巧值点;对于③中的函数,要使 f(x)=f ′(x),则 lnx


1 1 = ,由函数 f(x)=lnx 与 y= 的图象有交点知方程有解,所以原函数有巧值点;对于④中的 x x 1 函数,要使 f(x)=f ′(x),则 tanx= 2 ,即 sinxcosx=1,显然无解,所以原函数没有巧值 cos x 1 1 点;对于⑤中的函数,要使 f(x)=f ′(x),则 x+ =1- 2,即 x3-x2+x+1=0,设函数 g(x) x x =x3-x2+x+1,g′(x)=3x2-2x+1>0 且 g(-1)<0,g(0)>0,显然函数 g(x)在(-1,0)上有零 点,原函数有巧值点,故①③⑤正确,选 C. 13.(2014· 天门市调研)已知函数 f(x)是定义在 R 上的可导函数,其导函数记为 f ′(x),

若对于任意实数 x, 有 f(x)>f ′(x), 且 y=f(x)-1 为奇函数, 则不等式 f(x)<ex 的解集为( A.(-∞,0) C.(-∞,e4) [答案] B f?x? [解析] 令 g(x)= x ,则 e f ′?x?· ex-f?x?· ex f ′?x?-f?x? g′(x)= = <0, ex ?ex?2 B.(0,+∞) D.(e4,+∞)

)

所以 g(x)在 R 上是减函数, 又 y=f(x)-1 为奇函数, 所以 f(0)-1=0, 所以 f(0)=1, g(0) f?x? =1,所以原不等式可化为 g(x)= x <1=g(0),所以 x>0,故选 B. e 14.已知函数 y=xf ′(x)的图象如图(1)所示(其中 f ′(x)是函数 f(x)的导函数),下面四 个图象中,y=f(x)的图象大致是( )

[答案] C [解析] 当 0<x<1 时 xf ′(x)<0, ∴f ′(x)<0,故 y=f(x)在(0,1)上为减函数. 当 x>1 时 xf ′(x)>0,∴f ′(x)>0,故 y=f(x)在(1,+∞)上为增函数,因此否定 A、B、 D 故选 C. 二、填空题 15.(2014· 衡阳六校联考)在区间[-a,a](a>0)内图象不间断的函数 f(x)满足 f(-x)-f(x) =0,函数 g(x)=ex· f(x),且 g(0)· g(a)<0,又当 0<x<a 时,有 f ′(x)+f(x)>0,则函数 f(x)在区 间[-a,a]内零点的个数是________.

[答案] 2 [解析] ∵f(-x)-f(x)=0,∴f(x)为偶函数, ∵g(x)=ex· f(x),∴g′(x)=ex[f ′(x)+f(x)]>0, ∴g(x)在[0,a]上为单调增函数, 又∵g(0)· g(a)<0, ∴函数 g(x)=ex· f(x)在[0,a]上只有一个零点, 又∵ex≠0, ∴f(x)在[0,a]上有且仅有一个零点, ∵f(x)是偶函数,且 f(0)≠0,∴f(x)在[-a,a]上有且仅有两个零点. 三、解答题 16.设函数 f(x)=x3-3ax2+3bx 的图象与直线 12x+y-1=0 相切于点(1,-11). (1)求 a、b 的值; (2)讨论函数 f(x)的单调性. [解析] (1)求导得 f ′(x)=3x2-6ax+3b. 由于 f(x)的图象与直线 12x+y-1=0 相切于点(1,-11),所以 f(1)=-11,f ′(1)=- 12,
? ?1-3a+3b=-11 即? , ?3-6a+3b=-12 ?

解得 a=1,b=-3. (2)由 a=1,b=-3 得 f ′(x)=3x2-6ax+3b=3(x2-2x-3) =3(x+1)(x-3). 令 f ′(x)>0,解得 x<-1 或 x>3;又令 f ′(x)<0,解得-1<x<3. 所以当 x∈(-∞,-1)时,f(x)是增函数; 当 x∈(3,+∞)时,f(x)也是增函数; 当 x∈(-1,3)时,f(x)是减函数. 2a 2 17.(2014· 山师附中学分认定考试)已知函数 f(x)=alnx+ +x(a>0).若函数 y=f(x)在 x 点(1,f(1))处的切线与直线 x-2y=0 垂直. (1)求实数 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间. a 2a2 [解析] (1)f ′(x)= - 2 +1, x x ∵f ′(1)=-2,∴2a2-a-3=0,

3 ∵a>0,∴a= . 2 3 9 (2)f ′(x)= - 2+1 2x 2x = 2x2+3x-9 ?2x-3??x+3? = , 2x2 2x2

3 3 ∵当 x∈(0, )时,f ′(x)<0;当 x∈( ,+∞)时,f ′(x)>0, 2 2 3 3 ∴f(x)的单调递减区间为(0, ),单调递增区间为( ,+∞). 2 2


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