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步步高2012年高考数学二轮专题复习训练:专题3第2讲 数列求和及数列的综合应用


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第2讲
一、填空题

数列求和及数列的综合应用
(推荐时间:60 分钟)

1.(2011·江西改编)设{an}为等差数列,公差 d=-2,Sn 为其前 n 项和,若 S10=S11,则 a1=________. 2.已知数列{an}为等比数列,Sn 是它的前 n 项和,若 a2·a3=2a1,且 a4 与 2a7 的等差中 5 项为 ,则 S5=________. 4 3.在数列{an}中,a1=2,当 n 是奇数时,an+1=an+2;当 n 是偶数时,an+1=2an,则 a9=________. S3 1 S6 4.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 = ,则 =________. S6 3 S12 1 - 5.已知等比数列{an}的前 n 项和 Sn=t·5n 2- ,则实数 t 的值为________. 5 6.(原创题)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=13, S3=S11,当 Sn 最大时,n 的值 是________. Sn 7.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a4-a2=8,a3+a5=26,记 Tn= 2,如果存在正 n 整数 M,使得对一切正整数 n,Tn≤M 都成立,则 M 的最小值是________. 1 8.数列{an}中,a1=1,且 a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1,…是公比为 的等比数 3 列,那么 an=________. 1+3+5+…+(2x-1) =110 (x∈N*),则 x=________. 9.若 1 1 1 + +…+ 1·2 2·3 x(x+1) 10.已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,a4=15,S5=55,则过点 P(3,a3),Q(4,a4) 的直线的斜率为________. 11.各项均为实数的等比数列{an}的前 n 项和记为 Sn,若 S10=10,S30=70,则 S40= ________. an 12.已知数列{an}满足 a1=33,an+1-an=2n,则 的最小值为________. n 二、解答题 13.已知等差数列{an}的首项为 a,公差为 b,且不等式 ax2-3x+2>0 的解集为(-∞, 1)∪(b,+∞). (1)求数列{an}的通项公式及前 n 项和 Sn; (2)若数列{bn}满足 bn=an·2n,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 14.(2010·浙江)设 a1,d 为实数,首项为 a1,公差为 d 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 满足 S5S6+15=0. (1)若 S5=5,求 S6 及 a1; (2)求 d 的取值范围.

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1 15.设数列{bn}满足:b1= ,bn+1=b2+bn, n 2 1 1 1 (1)求证: = - ; bn+1 bn bn+1 1 1 1 (2)若 Tn= + +…+ ,求 Tn 的最小值. b1+1 b2+1 bn+1 答 案 1.20 2.31 3 3.92 4. 10 5.5 6.7 7.2 21 12. 2

1 3 8. ?1-3n? 9.10 10.4 11.150 ? 2?

13.解 (1)因为 ax2-3x+2>0 的解集为(-∞,1)∪(b,+∞), 所以方程 ax2-3x+2=0 的两根为 x1=1,x2=b, ? ?a-3+2=0, 可得? 2 故 a=1,b=2. ? ?ab -3b+2=0, 所以 an=2n-1,Sn=n2. (2)由(1)得 bn=(2n-1)·2n, 所以 Tn=b1+b2+…+bn=1·2+3·22+…+(2n-1)·2n, 2Tn=1·2 +3·2 +…+(2n-3)·2 +(2n-1)·2 ②-①得 Tn=-2(2+22+…+2n)+(2n-1)·2n 1+2=(2n-3)·2n 1+6. -15 14.解 (1)由题意知 S6= =-3,a6=S6-S5=-8, S5 ?5a1+10d=5, ? 所以? 解得 a1=7. ?a1+5d=-8, ?
+ +

① ②

2

3

n

n+ 1



所以 S6=-3,a1=7. (2)因为 S5S6+15=0, 所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0, 即 2a2+9da1+10d2+1=0, 1 因为 a1,d 为实数,所以 ?≥0,所以 d2≥8. 故 d 的取值范围为 d≤-2 2或 d≥2 2. 1 15.(1)证明 ∵b1= ,bn+1=b2+bn=bn(bn+1), n 2 ∴对任意的 n∈N*,bn>0, 1 1 1 1 1 1 1 ∴ = = - ,即 = - . bn+1 bn(bn+1) bn bn+1 bn+1 bn bn+1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (2)解 Tn=?b -b ?+?b -b ?+…+?b -b ?= - ? 1 2? ? 2 3? ? n n+1? b1 bn+1=2-bn+1. ∵bn+1-bn=b2>0,∴bn+1>bn,∴数列{bn}是单调递增数列, n ∴数列{Tn}关于 n 递增,∴Tn≥T1. 1 3 1 2 2 ∵b1= ,∴b2=b1(b1+1)= ,∴T1=2- = ,∴Tn≥ . 2 4 b2 3 3 2 ∴Tn 的最小值为 . 3
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