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浙江省杭州学军中学2011届高三上学期期中试题 数学理


杭州学军中学2010学年上学期期中考试 高三年级数学(理)试卷

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1. 设 A 、 B 为 非 空 集 合 , 定 义 集 合 A*B 为 如 图 非 阴 影 部 分 表 示 的 集 合 , 若

A ? {x | y ?

2 x ? x 2 }, B ? {y | y ? 3x , x ? 0}, 则 A*B=
A. (0,2) B. (1,2] C.[0,1]∪[2,+∞) D.[0,1]∪(2,+∞) 2.使 "log 2 m ? 1" 成立的一个必要不充分条件是 A. m ? (0,1) B. m ?[0, 3) C. m ? (0, 2)

A

B

D. m ? (??,1)

3.已知函数 f ? x ? ? cos x ?

?
2

( x? R) ,则下列叙述不 正确 的是 . .. B. f ? x ? 是偶函数 D. f ? x ? 的图像关于点 ?

A. f ? x ? 的最大值与最小值之和等于 ? C. f ? x ? 在 ? 4,7? 上是增函数

?? ? ? , ? 成中心对称 ?2 2?

4.函数 f ( x ) ? x( x ? m ) 满足 f ( ? x ) ? f ( ? x ) ,且在区间 [a , b] 上 的值域是[-1,3],则点 ( a , b ) 的轨迹是图中的 A.线段 AB 和线段 AD B.线段 AB 和线段 CD C.线段 AD 和线段 BC D.线段 AC 和线段 BD 5.设函数 f ? x ? ? 4sin x ? x ,则在下列区间中函数 f ? x ? 存在零点的是 A

1 2

3 2

(第 4 题)

??4, ?3?

B

??3, ?2?

C

??2, ?1?

D ?1, 2?

6.已知函数 f ( x) ? a ? x ? x ( a 为常数,且 a ? N * ) ,对于定义域内的任意两个实数 x1 、 x 2 ,恒有 | f ( x1 ) ? f ( x 2 ) |? 1 成立,则正整数 a 可以取的值有 A.4 个 B.5 个 C.6 个 D.7 个 7.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 33, A 10.5 B 10

an ?1 ? an a ? 2, 则 n 的最小值为 n n
C 9

Ks5u

D8

8.已知函数 f ( x ) ?| lg x | ,若 0 ? x1 ? x2 , 且f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则

A.( 2, ??)

B.[ 2, ??)

3 C .( , ??) 2

1 x1 ? x 2 的取值范围是 2 3 D.[ , ??) 2

9. 已知函数 f ( x ) 的定义域为 [?2, ?? ) , 部分对应值如下表 . f ' ( x ) 为 f ( x ) 的导函数 , 函数

y ? f ' ( x ) 的图象如下图所示.若两正数 a , b 满足 f (2a ? b) ? 1 ,则

2b ? 6 的取值范围是 a?3
y

x -2 f(x) 1
6 14 A.( , ) 5 3
10. 已 知 向 量 ? ,

0 -1

4 1
4 12 C .( , ) 3 5

-2 o y

B .(

12 8 , ) 7 3

2 D .( ? , 6) 3

? , ? 满 足 | ? |? 1 , | ? ? ? |?| ? | , (? ? ? ) ? ( ? ? ? ) ? 0 . 若 对 每 一 确 定 的 ? , | ? | 的最大值和最小值分别为 m , n ,则对任意 ? , m ? n 的最小值是
Ks5u

A.

1 2

B.

1 4

C.

3 4

D.1

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.请把正确答案填在题中横线上) 3 2 - 2 11. 复数 z1= +(10-a )i,z2= +(2a-5)i,若 z 1+z2 是实数,则实数 a=______ a+5 1-a 12. 设 f ( x) ? a2 x2 ? (a2 ? b2 ) x ? 4c2 ,其中 a, b, c 分别为△ABC 中角 A,B,C 的对边,若 f (2) ? 0 ,则角 C 的取值范围是__________________.
0 13.已知 5sin 4? ? sin 4 ,则

tan(2? ? 20 ) 的值是__________________. tan(2? ? 20 )
1 ? ax 是奇函数,则 a ? b 的 1 ? 2x

14.设 a, b ? R ,且 a ? 2 ,若定义在区间 (?b, b) 内的函数 f ( x) ? lg 取值范围是
Ks5u

15.若 {an } 是等差数列, m , n , p 是互不相等的正整数,则有:

(m-n)a p ? (n ? p)am ? ( p ? m)an ? 0 ,类比上述性质,相应地,对等比数列 {bn } 有_________.

16.函数 f ( x) ? sin x ? cos x 在 [0,
2

?
2

] 上的最大值与最小值之和为



17. 设 ? ? (0, ? ) , 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 为 [0,1] , 且 f (0) ? 0, f (1) ? 1 , 当 x ? y 时 , 2

f(

1 x? y ) ? f ( x) s i n ? ? (1 ? s i n ? ) f ( y ) ,则 f ( ) ? _____________. 2 2

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 18. (本小题满分 14 分) 已知向量 a = (sin2

?
6

x, cos2

?
6

x) , b ? (sin

2

?
6

x, ? cos 2

?
6

x) , g ( x) ? a ? b

(1)求函数 g ( x ) 的解析式. (2)若集合 M ? { f ( x) | f ( x) ? f ( x ? 2) ? f ( x ? 1), x ? R} ,试判断 g ( x) 与集合 M 的关系. (3)记 A ? { x | a ? 2 g ( x ) } , B ? {x | y ? 求实数 a 的取值范围。 19. (本小题满分 14 分)

x2 ? x ? 2 } ,若 (痧 R A) ? ( R B) ? ? (a ? 5) x2 ? 2(a ? 5) x ? 4
3

1 )是函数 f ( x) ? a x (a ? 0, 且 a ? 1 )的图象上一点,等比数列 {an } 的前 n 项 3 和为 f (n) ? c ,数列 {bn } (bn ? 0) 的首项为 c ,且前 n 项和 Sn 满足 Sn - S n?1 = S n + Sn ?1
已知点(1,

1 } 前 n 项和为 Tn , bn bn?1 (1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式;
( n ? 2 ).记数列{ (2)若对任意正整数 n,当 m∈[ ? 1,1]时,不等式 t ? 2mt+
2

1 > T 恒成立,求实数 t 的取值 2 n

范围 (3)是否存在正整数 m, n ,且 1 ? m ? n ,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列?若存在,求出 m, n 的 值,若不存在,说明理由. 20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 2cos? x ( 3 sin? x ? cos? x ) (其中 ? ? 0 ) ,且函数 f ( x ) 的图象的相 邻两条对称轴间的距离为 ? . (1)先列表再作出函数 f ( x ) 在区间 [?? , ? ] 上的图象. (2)若 f ( ) ? 2 ,求 cos(

x 2

2? ? x ) 的值; 3

(3)在△ABC 中,角 A,B,C 的对 边分别是 a, b, c, 且满足(2a-c)cosB =bcosC,求函数 f(A)的取值范围。

21. (本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? k[(loga x)2 ? (log x a)2 ] ? (loga x)3 ? (log x a)3 , (其中 a ? 1 ),

g ( x) ? x 2 ? 2bx ? 4 ,设 t ? loga x ? log x a .
(Ⅰ)当 x ? (1, a) ? (a, ??) 时,将 f ( x ) 表示成 t 的函数 h(t ) ,并求函数 h(t ) 在定义域内 不 存在极值时的 k 的取值范围. . (Ⅱ)当 k=4 时,若对 ?x1 ? (1,??) , ?x2 ? 1,2 ,使 取值范围.。

? ?

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,试求实数 b 的

22.(本题满分 15 分)

f ( x) ? [ax 2 ? (3 ? 2a) x ? a] ? e x ?1 , a ? 0 . (1)若 x ? ?1 是函数 f ( x ) 的极大值点,求 a 的取值范围. 2 x ?1 (2)若不等式 f ?( x ) ? ( x ? x ? a ) ? e 对任意 a ? (0, ??) 都成立,求实数 x 的取值范围.
已知函数 (3)记函数 g ( x) ? 范围.

f ( x) ? (2a ? 6) ? ex?1 ,若 g ( x ) 在区间 [2,4] 上不 单调, 求实数 a 的取值 .

杭州学军中学2010学年上学期期中考试 高三年级数学(理)答卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,答案请填入答题卡中) 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11、 14、 17、 三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分) 18、 12、 15、 13、 16、

19、

20、

21、

22、

杭州学军中学2010学年上学期期中考试 高三年级数学(理)答案
一、选择题: (每小题 5 分,共 50 分) DBCAB BACAA 二、填空题:( 每小题 4 分,共 28 分) 11.a=3 12. 0<C≤

? 3

13. ? 16.

15. bpm?n bmn? p bn p?m ? 1

3 2 2 3 9

14. ( ?2, ? ] 17.

3 2

1 2

三、解答题: (本大题共 5 个小题,共 72 分) 18. (本题 14 分) 解:(1) g ( x) ? sin
4

?

6
?
6

x ? cos 4
?
6

?

6

x
?
6 x) ? ? cos ? 2? )] 3

? (sin2

?
6

x ? cos2

x) (sin2

x ? cos2 ? cos(

?
3

x , …………4 分

(2)? g ( x) ? g ( x ? 2) ? ?[cos

?x
3

?x
3

? ?(cos ? ? cos

?x
3

? cos

?x
3

cos

1 ?x 3 ?x 2? ?x 2? ? sin ) ? sin sin ) ? ?( cos 3 3 3 2 3 2 3

( x ? 1) ? g ( x ? 1) , 3 ? g ( x) ? M .

?

…………8 分

(3)(痧 R A) ? ( R B ) ? ? ? R,? A ? B ? R 由A ? R ? a ? 2 (1), 由B ? R ? 1 ? a ? 5 (2)

由(1),(2)得a ?[2,5]
19. (本题 14 分)

…………14 分

1 ?1? 【解析】 (1) Q f ?1? ? a ? ,? f ? x ? ? ? ? 3 ? 3?

x

2 1 ?? , f ? 2? ? c? ?? f ?1? ? c ? a1 ? f ?1? ? c ? ? c , a2 ? ? ? ? ? ? 9 3 2 a3 ? ? ? f ? 3? ? c ? ??? ? f ? 2? ? c? ? ? ? 27 . Ks5u 4 2 a 2 1 又数列 ?an ? 成等比数列, a1 ? 2 ? 81 ? ? ? ? c ,所以 c ? 1 ; a3 ? 2 3 3 27

又公比 q ?

a2 1 2?1? ? ,所以 an ? ? ? ? a1 3 3?3?
Sn ? Sn?1

n ?1

?1? ? ?2 ? ? ?3?

n

n? N*

;……3 分

Q Sn ? Sn?1 ?

?

??

Sn ? Sn ?1 ? Sn ? Sn ?1

?

? n ? 2?

又 bn ? 0 , Sn ? 0 , ? Sn ? Sn ?1 ? 1; 数列

? S ? 构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列,
n
2

Sn ? 1 ? ? n ? 1? ?1 ? n , Sn ? n2

2 当 n ? 2 , bn ? S n ? S n ?1 ? n ? ? n ? 1? ? 2n ? 1 ;

?bn ? 2n ? 1 ( n ? N * );
(2) Tn ?

…………6 分

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?K ? ? ? ?L ? b1b2 b2b3 b3b4 bnbn?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 (2n ? 1) ? ? 2n ? 1?

1 1 1? 1? 1 1 ? 1 ?1 ? 1 1 ? 1 ? 1 ? 11 )? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? K ? ? ? ? ? 2 ( 1? 2 n? 1 2 2? 3? 2 2 ? 2 n1 ? ?2 1 ? 3 ?5 ? 2 5 ? 7 ? n
∴?

?t 2 ? 2t ? 0
2 ?t ? 2t ? 0

∴t≤ ?2 或 t≥2 或 t=0.

…10 分

(3) T1 , Tm , Tn 成等比数列,得 Tm 2 ? T1 ? Tn

?(

m 2 1 n ) ? ? , 2m ? 1 3 2n ? 1 3m 2 ?n ? ?m ?2m 2 ? 4m ? 1
结合 1 ? m ? n 知, m ? 2, n ? 12 …………14 分

20. (本小题满分 14 分) 解:(1) f ( x) ? 2 3sin ? x ? cos ? x ? 2cos2 ? x = 3 sin 2? x ? cos 2? x ? 1 =2 sin(2? x ? 由条件得

?
6

) ?1

2? 1 ? ? 2? ,所以 ? ? , f ( x) ? 2sin( x ? ) ? 1 …………3 分 2? 2 6

π (1)由(1)知,f(x)=1+2sin(x+ ). 6 列表:

π x+6 x y

5 -6π -π 0

π -2 2 -3π -1

0 π -6 1

π 2 π 3 3

π 5π 6 1

7 6π π 0

描点作图,函数 f(x)在[-π,π]上的图象如图所示.

…………6 分

x x π 1 (2)由 f ( ) ? 2 可得 sin( + )= . 2 6 2 2 2π 2π π ∴cos( -x)=cos(x- )=-cos(x+ ) 3 3 3 x π 1 1 =-[1-2sin2(2+6)]=2· ( 2 )2-1=-2.

…………9 分

(3)∵(2a-c)cosB=bcosC, 由正弦定理得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC.∴2sinAcosB-cosBsinC=sinBcosC, ∴2sinAcosB=sin(B+C),∵A+B+C=π,∴sin(B+C)=sinA,且 sinA≠0, 1 π ∴cosB=2,B=3, 2π π π 5 1 π ∴0<A< .∴ <A+ < ? , <sin(A+ )≤1. 3 6 6 6 2 6 π π 又∵f(x)=2sin( x + )+1,∴f(A)=2sin(A+ )+1 6 6 故函数 f(A)的取值范围是(2,3 ].
Ks5u

…………14 分

21. (本题 15 分) 解: (Ⅰ)∵ (loga x)2 ? (log x a)2 ? (loga x ? log x a)2 ? 2 ? t 2 ? 2 ,

(loga x)3 ? (logx a)3 ? (loga x ? logx a)[(loga x ? logx a)2 ? 3] ? t 3 ? 3t , 3 2 2 ∴ h(t ) ? ?t ? kt ? 3t ? 2k ,(t ? 2) ∴ h?(t ) ? ?3t ? 2kt ? 3 设 t1 , t2 是 h?(t ) ? 0 的两根,则 t1t2 ? 0 ,∴ h?(t ) ? 0 在定义域内至多有一解,
欲使 h(t ) 在定义域内有极值,只需 h?(t ) ? ?3t ? 2kt ? 3 ? 0 在 (2, ??) 内有解,且 h?(t )
2

的值在根的左右两侧异号,∴ h?(2) ? 0 得 k ? 综上:当 k ?

9 4

9 9 时 h(t ) 在定义域内有且仅有一个极值,当 k ? 时 h(t ) 在定义域内无极 4 4

值 …………8 分 (Ⅱ)∵对任意的 x1 ? (1,??) ,存在 x2 ? ?1,2?,使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 等价于
x ? (1,??) 时,f(x)max ? g(x) max , x ? 1,2 ,

? ?

又 k=4 时,h(t)=-t +4t +3t-8 (t ? 2) , h?(t ) ? ?3t 2 ? 8t ? 3

3

2

t ? (2,3)时,h ?(t) ? 0, 而t ? ( 3, ? ?)时,h ?(t) ?0

∴h(t)max=h(3)=10, ∴

x ? ?1,2?时,g(x) max

? 8 - 4b,b ? ? ? ?? ?5 - 2b,b ? ? ?

3 2 3 2

? 3 ? 3 1 ?b ? ?b ? 或? 2 ∴b ? ? ? 2 2 ? ?8 ? 4b ? 10 ? ?5 ? 2b ? 10
22. (本题 15 分)
解: (1)

…………15 分

f ?( x ) ? ( ax 2 ? 3 x ? a ? 3)e x ?1 ? [ax ? (a ? 3)][ x ? 1]e x ?1 ? 0 a?3 , 若 x ? ?1 是函数 f ( x) 的极大值点 a

x1 ? ?1, x2 ?

?a ? 0 ?a ? 0 ? ? , ??a ? 3 或 ?a ? 3 ? ?1 ? ? ?1 ? ? a ? a
解得, ?

3 ? a ? 0 或a ? 0 2
x ?1

……6 分

(2) f ?( x ) ? ( x ? x ? 2a ) ? e
2

? ( x 2 ? 1)a ? x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 对任意 a ? (0,??) 都成立,
Ks5u

?? x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 ? ?3 ? x ? ?1
(3) g ( x) ?

…………10 分

f ( x) ? (2a ? 6) ? e x?1 = [ax 2 ? (3 ? 2a) x ? 3a ? 6] ? e x ?1

g' ( x) ? (ax 2 ? 3 x ? a ? 3) ? e x ?1 2 g ( x ) 在区间 [2,4] 上不 单调 ? ax ? 3 x ? a ? 3 ? 0 在x ? (2,4)上有解且? ? 0 .
变量分离得, a ?

令t(x) ?

3x ? 3 ( x ? (2, 4)) , x2 ? 1

3x ? 3 x2 ? 1

求得 t(x)的值域为 (

9 3( 2 ? 1) , ) 17 2
……15 分

?

9 3( 2 ? 1) ?a? 17 2


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