杭州学军中学2010学年上学期期中考试 高三年级数学（理）试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的） 1. 设 A 、 B 为 非 空 集 合 , 定 义 集 合 A*B 为 如 图 非 阴 影 部 分 表 示 的 集 合 ， 若
A ? {x | y ? 2 x ? x 2 }, B ? {y | y ? 3x , x ? 0}, 则 A*B=
A． （0，2） B． （1,2] C．[0,1]∪[2，+∞） D．[0,1]∪（2，+∞） 2．使 "log 2 m ? 1" 成立的一个必要不充分条件是 A. m ? (0,1) B. m ?[0, 3) C. m ? (0, 2)
A
B
D. m ? (??,1)
3.已知函数 f ? x ? ? cos x ?
?
2
（ x? R） ，则下列叙述不 正确 的是 ． ．． B． f ? x ? 是偶函数 D． f ? x ? 的图像关于点 ?
A． f ? x ? 的最大值与最小值之和等于 ? C． f ? x ? 在 ? 4,7? 上是增函数
?? ? ? , ? 成中心对称 ?2 2?
4.函数 f ( x ) ? x( x ? m ) 满足 f ( ? x ) ? f ( ? x ) ,且在区间 [a , b] 上 的值域是[－1，3]，则点 ( a , b ) 的轨迹是图中的 A．线段 AB 和线段 AD B．线段 AB 和线段 CD C．线段 AD 和线段 BC D．线段 AC 和线段 BD 5.设函数 f ? x ? ? 4sin x ? x ，则在下列区间中函数 f ? x ? 存在零点的是 A
1 2
3 2
（第 4 题）
??4, ?3?
B
??3, ?2?
C
??2, ?1?
D ?1, 2?
6.已知函数 f ( x) ? a ? x ? x （ a 为常数，且 a ? N * ） ，对于定义域内的任意两个实数 x1 、 x 2 ，恒有 | f ( x1 ) ? f ( x 2 ) |? 1 成立，则正整数 a 可以取的值有 A．4 个 B．5 个 C．6 个 D．7 个 7.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 33, A 10.5 B 10
an ?1 ? an a ? 2, 则 n 的最小值为 n n
C 9
Ks5u
D8
8.已知函数 f ( x ) ?| lg x | ,若 0 ? x1 ? x2 , 且f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则
A.( 2, ??)
B.[ 2, ??)
3 C .( , ??) 2
1 x1 ? x 2 的取值范围是 2 3 D.[ , ??) 2
9. 已知函数 f ( x ) 的定义域为 [?2, ?? ) , 部分对应值如下表 . f ' ( x ) 为 f ( x ) 的导函数 , 函数
y ? f ' ( x ) 的图象如下图所示.若两正数 a , b 满足 f (2a ? b) ? 1 ,则
2b ? 6 的取值范围是 a?3
y
x -2 f(x) 1
6 14 A.( , ) 5 3
10. 已 知 向 量 ? ,
0 -1
4 1
4 12 C .( , ) 3 5
-2 o y
B .(
12 8 , ) 7 3
2 D .( ? , 6) 3
? , ? 满 足 | ? |? 1 , | ? ? ? |?| ? | , (? ? ? ) ? ( ? ? ? ) ? 0 . 若 对 每 一 确 定 的 ? , | ? | 的最大值和最小值分别为 m , n ,则对任意 ? , m ? n 的最小值是
Ks5u
A.
1 2
B.
1 4
C.
3 4
D.1
二、填空题(本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分．请把正确答案填在题中横线上) 3 2 － 2 11. 复数 z1＝ ＋(10－a )i，z2＝ ＋(2a－5)i，若 z 1＋z2 是实数,则实数 a=______ a＋5 1－a 12. 设 f ( x) ? a2 x2 ? (a2 ? b2 ) x ? 4c2 ，其中 a, b, c 分别为△ABC 中角 A，B，C 的对边，若 f (2) ? 0 ，则角 C 的取值范围是__________________.
0 13.已知 5sin 4? ? sin 4 ，则
tan(2? ? 20 ) 的值是__________________. tan(2? ? 20 )
1 ? ax 是奇函数，则 a ? b 的 1 ? 2x
14.设 a, b ? R ,且 a ? 2 ，若定义在区间 (?b, b) 内的函数 f ( x) ? lg 取值范围是
Ks5u
15.若 {an } 是等差数列, m , n , p 是互不相等的正整数,则有:
(m-n)a p ? (n ? p)am ? ( p ? m)an ? 0 ,类比上述性质,相应地,对等比数列 {bn } 有_________.
16．函数 f ( x) ? sin x ? cos x 在 [0,
2
?
2
] 上的最大值与最小值之和为
。
17. 设 ? ? (0, ? ) ， 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 为 [0,1] ， 且 f (0) ? 0, f (1) ? 1 ， 当 x ? y 时 ， 2
f(
1 x? y ) ? f ( x) s i n ? ? (1 ? s i n ? ) f ( y ) ，则 f ( ) ? _____________. 2 2
三、解答题(本大题共 5 小题，共 72 分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 18． （本小题满分 14 分） 已知向量 a ＝ (sin2
?
6
x, cos2
?
6
x) ， b ? (sin
2
?
6
x, ? cos 2
?
6
x) , g ( x) ? a ? b
(1)求函数 g ( x ) 的解析式. (2)若集合 M ? { f ( x) | f ( x) ? f ( x ? 2) ? f ( x ? 1), x ? R} ，试判断 g ( x) 与集合 M 的关系. (3)记 A ? { x | a ? 2 g ( x ) } , B ? {x | y ? 求实数 a 的取值范围。 19． （本小题满分 14 分）
x2 ? x ? 2 } ,若 (痧 R A) ? ( R B) ? ? (a ? 5) x2 ? 2(a ? 5) x ? 4
3
1 ）是函数 f ( x) ? a x (a ? 0, 且 a ? 1 ）的图象上一点，等比数列 {an } 的前 n 项 3 和为 f (n) ? c ，数列 {bn } (bn ? 0) 的首项为 c ，且前 n 项和 Sn 满足 Sn － S n?1 = S n + Sn ?1
已知点（1，
1 } 前 n 项和为 Tn ， bn bn?1 （1）求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式；
（ n ? 2 ）.记数列{ （2）若对任意正整数 n，当 m∈[ ? 1,1]时，不等式 t ? 2mt+
2
1 > T 恒成立，求实数 t 的取值 2 n
范围 (3)是否存在正整数 m, n ，且 1 ? m ? n ，使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列？若存在，求出 m, n 的 值，若不存在，说明理由. 20． （本小题满分 14 分） 已知函数 f ( x) ? 2cos? x ( 3 sin? x ? cos? x ) （其中 ? ? 0 ） ，且函数 f ( x ) 的图象的相 邻两条对称轴间的距离为 ? . (1)先列表再作出函数 f ( x ) 在区间 [?? , ? ] 上的图象. (2)若 f ( ) ? 2 ，求 cos(
x 2
2? ? x ) 的值； 3
(3)在△ABC 中，角 A，B，C 的对 边分别是 a， b， c， 且满足(2a－c)cosB ＝bcosC，求函数 f(A)的取值范围。
21． （本小题满分 15 分） 已知函数 f ( x) ? k[(loga x)2 ? (log x a)2 ] ? (loga x)3 ? (log x a)3 ， (其中 a ? 1 )，
g ( x) ? x 2 ? 2bx ? 4 ，设 t ? loga x ? log x a .
（Ⅰ）当 x ? (1, a) ? (a, ??) 时,将 f ( x ) 表示成 t 的函数 h(t ) ,并求函数 h(t ) 在定义域内 不 存在极值时的 k 的取值范围. ． （Ⅱ）当 k=4 时，若对 ?x1 ? (1,??) ， ?x2 ? 1,2 ，使 取值范围.。
? ?
f ( x1 ) ? g ( x2 ) ，试求实数 b 的
22.（本题满分 15 分）
f ( x) ? [ax 2 ? (3 ? 2a) x ? a] ? e x ?1 , a ? 0 . (1)若 x ? ?1 是函数 f ( x ) 的极大值点,求 a 的取值范围. 2 x ?1 (2)若不等式 f ?( x ) ? ( x ? x ? a ) ? e 对任意 a ? (0, ??) 都成立,求实数 x 的取值范围.
已知函数 (3)记函数 g ( x) ? 范围.
f ( x) ? (2a ? 6) ? ex?1 ，若 g ( x ) 在区间 [2,4] 上不 单调, 求实数 a 的取值 ．
杭州学军中学2010学年上学期期中考试 高三年级数学（理）答卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，答案请填入答题卡中） 二、填空题（本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分） 11、 14、 17、 三、解答题（本大题共 5 小题，共 72 分） 18、 12、 15、 13、 16、
19、
20、
21、
22、
杭州学军中学2010学年上学期期中考试 高三年级数学（理）答案
一、选择题: (每小题 5 分,共 50 分) DBCAB BACAA 二、填空题:( 每小题 4 分，共 28 分) 11.a＝3 12. 0<C≤
? 3
13. ? 16.
15. bpm?n bmn? p bn p?m ? 1
3 2 2 3 9
14. ( ?2, ? ] 17.
3 2
1 2
三、解答题: (本大题共 5 个小题，共 72 分) 18． （本题 14 分） 解：(1) g ( x) ? sin
4
?
6
?
6
x ? cos 4
?
6
?
6
x
?
6 x) ? ? cos ? 2? )] 3
? (sin2
?
6
x ? cos2
x) (sin2
x ? cos2 ? cos(
?
3
x ， …………4 分
(2)? g ( x) ? g ( x ? 2) ? ?[cos
?x
3
?x
3
? ?(cos ? ? cos
?x
3
? cos
?x
3
cos
1 ?x 3 ?x 2? ?x 2? ? sin ) ? sin sin ) ? ?( cos 3 3 3 2 3 2 3
( x ? 1) ? g ( x ? 1) ， 3 ? g ( x) ? M .
?
…………8 分
(3)(痧 R A) ? ( R B ) ? ? ? R,? A ? B ? R 由A ? R ? a ? 2 (1), 由B ? R ? 1 ? a ? 5 (2)
由(1),(2)得a ?[2,5]
19． （本题 14 分）
…………14 分
1 ?1? 【解析】 （1） Q f ?1? ? a ? ,? f ? x ? ? ? ? 3 ? 3?
x
2 1 ?? , f ? 2? ? c? ?? f ?1? ? c ? a1 ? f ?1? ? c ? ? c , a2 ? ? ? ? ? ? 9 3 2 a3 ? ? ? f ? 3? ? c ? ??? ? f ? 2? ? c? ? ? ? 27 . Ks5u 4 2 a 2 1 又数列 ?an ? 成等比数列， a1 ? 2 ? 81 ? ? ? ? c ，所以 c ? 1 ； a3 ? 2 3 3 27
又公比 q ?
a2 1 2?1? ? ，所以 an ? ? ? ? a1 3 3?3?
Sn ? Sn?1
n ?1
?1? ? ?2 ? ? ?3?
n
n? N*
；……3 分
Q Sn ? Sn?1 ?
?
??
Sn ? Sn ?1 ? Sn ? Sn ?1
?
? n ? 2?
又 bn ? 0 , Sn ? 0 , ? Sn ? Sn ?1 ? 1； 数列
? S ? 构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列，
n
2
Sn ? 1 ? ? n ? 1? ?1 ? n ， Sn ? n2
2 当 n ? 2 ， bn ? S n ? S n ?1 ? n ? ? n ? 1? ? 2n ? 1 ；
?bn ? 2n ? 1 ( n ? N * )；
（2） Tn ?
…………6 分
1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?K ? ? ? ?L ? b1b2 b2b3 b3b4 bnbn?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 (2n ? 1) ? ? 2n ? 1?
1 1 1? 1? 1 1 ? 1 ?1 ? 1 1 ? 1 ? 1 ? 11 )? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? K ? ? ? ? ? 2 ( 1? 2 n? 1 2 2? 3? 2 2 ? 2 n1 ? ?2 1 ? 3 ?5 ? 2 5 ? 7 ? n
∴?
?t 2 ? 2t ? 0
2 ?t ? 2t ? 0
∴t≤ ?2 或 t≥2 或 t=0.
…10 分
(3) T1 , Tm , Tn 成等比数列,得 Tm 2 ? T1 ? Tn
?(
m 2 1 n ) ? ? , 2m ? 1 3 2n ? 1 3m 2 ?n ? ?m ?2m 2 ? 4m ? 1
结合 1 ? m ? n 知, m ? 2, n ? 12 …………14 分
20． （本小题满分 14 分） 解:(1) f ( x) ? 2 3sin ? x ? cos ? x ? 2cos2 ? x = 3 sin 2? x ? cos 2? x ? 1 =2 sin(2? x ? 由条件得
?
6
) ?1
2? 1 ? ? 2? ，所以 ? ? ， f ( x) ? 2sin( x ? ) ? 1 …………3 分 2? 2 6
π (1)由(1)知，f(x)＝1＋2sin(x＋ )． 6 列表：
π x＋6 x y
5 －6π －π 0
π －2 2 －3π －1
0 π －6 1
π 2 π 3 3
π 5π 6 1
7 6π π 0
描点作图，函数 f(x)在[－π，π]上的图象如图所示．
…………6 分
x x π 1 （2）由 f ( ) ? 2 可得 sin( ＋ )＝ . 2 6 2 2 2π 2π π ∴cos( －x)＝cos(x－ )＝－cos(x＋ ) 3 3 3 x π 1 1 ＝－[1－2sin2(2＋6)]＝2· ( 2 )2－1＝－2.
…………9 分
(3)∵(2a－c)cosB＝bcosC， 由正弦定理得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC.∴2sinAcosB－cosBsinC＝sinBcosC， ∴2sinAcosB＝sin(B＋C)，∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sinA，且 sinA≠0， 1 π ∴cosB＝2，B＝3， 2π π π 5 1 π ∴0＜A＜ .∴ ＜A＋ ＜ ? ， ＜sin(A＋ )≤1. 3 6 6 6 2 6 π π 又∵f(x)＝2sin( x ＋ )＋1，∴f(A)＝2sin(A＋ )＋1 6 6 故函数 f(A)的取值范围是(2，3 ].
Ks5u
…………14 分
21． （本题 15 分） 解： （Ⅰ）∵ (loga x)2 ? (log x a)2 ? (loga x ? log x a)2 ? 2 ? t 2 ? 2 ,
(loga x)3 ? (logx a)3 ? (loga x ? logx a)[(loga x ? logx a)2 ? 3] ? t 3 ? 3t , 3 2 2 ∴ h(t ) ? ?t ? kt ? 3t ? 2k ,(t ? 2) ∴ h?(t ) ? ?3t ? 2kt ? 3 设 t1 , t2 是 h?(t ) ? 0 的两根，则 t1t2 ? 0 ，∴ h?(t ) ? 0 在定义域内至多有一解,
欲使 h(t ) 在定义域内有极值，只需 h?(t ) ? ?3t ? 2kt ? 3 ? 0 在 (2, ??) 内有解，且 h?(t )
2
的值在根的左右两侧异号，∴ h?(2) ? 0 得 k ? 综上：当 k ?
9 4
9 9 时 h(t ) 在定义域内有且仅有一个极值，当 k ? 时 h(t ) 在定义域内无极 4 4
值 …………8 分 （Ⅱ）∵对任意的 x1 ? (1,??) ，存在 x2 ? ?1,2?，使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 等价于
x ? (1,??) 时，f（x）max ? g（x） max , x ? 1,2 ，
? ?
又 k=4 时，h（t）=-t +4t +3t-8 （t ? 2) ， h?(t ) ? ?3t 2 ? 8t ? 3
3
2
t ? (2,3)时，h ?（t） ? 0, 而t ? （ 3， ? ?）时，h ?（t） ?0
∴h(t)max=h(3)=10, ∴
x ? ?1,2?时，g（x） max
? 8 - 4b，b ? ? ? ?? ?5 - 2b，b ? ? ?
3 2 3 2
? 3 ? 3 1 ?b ? ?b ? 或? 2 ∴b ? ? ? 2 2 ? ?8 ? 4b ? 10 ? ?5 ? 2b ? 10
22． （本题 15 分）
解： （1）
…………15 分
f ?( x ) ? ( ax 2 ? 3 x ? a ? 3)e x ?1 ? [ax ? (a ? 3)][ x ? 1]e x ?1 ? 0 a?3 , 若 x ? ?1 是函数 f ( x) 的极大值点 a
x1 ? ?1, x2 ?
?a ? 0 ?a ? 0 ? ? , ??a ? 3 或 ?a ? 3 ? ?1 ? ? ?1 ? ? a ? a
解得, ?
3 ? a ? 0 或a ? 0 2
x ?1
……6 分
（2） f ?( x ) ? ( x ? x ? 2a ) ? e
2
? ( x 2 ? 1)a ? x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 对任意 a ? (0,??) 都成立，
Ks5u
?? x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 ? ?3 ? x ? ?1
（3） g ( x) ?
…………10 分
f ( x) ? (2a ? 6) ? e x?1 = [ax 2 ? (3 ? 2a) x ? 3a ? 6] ? e x ?1
g' ( x) ? (ax 2 ? 3 x ? a ? 3) ? e x ?1 2 g ( x ) 在区间 [2,4] 上不 单调 ? ax ? 3 x ? a ? 3 ? 0 在x ? (2,4)上有解且? ? 0 ．
变量分离得， a ?
令t(x) ?
3x ? 3 ( x ? (2, 4)) ， x2 ? 1
3x ? 3 x2 ? 1
求得 t(x)的值域为 (
9 3( 2 ? 1) , ) 17 2
……15 分
?
9 3( 2 ? 1) ?a? 17 2