当前位置:首页 >> 数学 >>

高一数学同步练习必修4三角函数一(学生版)doc


高一数学同步练习

必修四

第一章三角函数(一)

一、任意角、弧度制及任意角的三角函数
A.基础梳理
1.任意角 (1)角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角. (2)终边相同的角 (3)弧度制 ①1 弧度的角:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角. ②弧度与角度的换算

:360° =2π 弧度;180° =π 弧度. ③弧长公式:l=|α|r, 1 1 扇形面积公式:S 扇形= lr= |α|r2. 2 2 ②按终边位置不同分为象限角和轴线角.

终边与角 α 相同的角可写成 α+k· 360° (k∈Z).

2.任意角的三角函数定义 设 α 是一个任意角,角 α 的终边上任意一点 P(x,y),它与原点的距离为 r(r>0),那么角 α 的正弦、余弦、 y x y 正切分别是:sin α= ,cos α= ,tan α= ,它们都是以角为自变量,以比值为函数值的函数. r r x 3.三角函数线

三 角 函 数 线

有向线段 MP 为正弦线

有向线段 OM 为余弦线

有向线段 AT 为正切线

B.方法与要点
1、一条规律 三角函数值在各象限的符号规律概括为:一全正、二正弦、三正切、四余弦. π ? ? (2)终边落在 x 轴上的角的集合{β|β=kπ,k∈Z};终边落在 y 轴上的角的集合?β|β =2+kπ,k∈Z?;终边落
? ? ? ? kπ ? 在坐标轴上的角的集合可以表示为?β? ?β= 2 ,k∈Z . ? ?

2、两个技巧 (1)在利用三角函数定义时,点 P 可取终边上任一点,如有可能则取终边与单位圆的交点,|OP|=r 一定是 正值. (2)在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线是一个小技巧. 3、三个注意 (1)注意易混概念的区别:第一象限角、锐角、小于 90° 的角是概念不同的三类角,第一类是象限角,第二
1

类、第三类是区间角. (2)角度制与弧度制可利用 180° =π rad 进行互化,在同一个式子中,采用的度量制度必须一致,不可混用. (3)注意熟记 0° ~360° 间特殊角的弧度表示,以方便解题.

C.双基自测
9π 1.(人教 A 版教材习题改编)下列与 的终边相同的角的表达式中正确的是 4 A.2kπ+45° (k∈Z) 9 B.k· 360° + π(k∈Z) 4 ). C.第二或第四象限 D.第三或第四象限 C.k· 360° -315° (k∈Z) ( ).

5π D.kπ+ (k∈Z) 4

2.若 α=k· 180° +45° (k∈Z),则 α 在( A.第一或第三象限

B.第一或第二象限 ).

3.若 sin α<0 且 tan α>0,则 α 是( A.第一象限角 B.第二象限角

C.第三象限角 ). 1 D.- 2

D.第四象限角

4.已知角 α 的终边过点(-1,2),则 cos α 的值为( A.- 5 5 2 5 B. 5 2 5 C.- 5

2 5 5.已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴非负半轴,若 P(4,y)是角 θ 终边上一点,且 sin θ=- , 5 则 y=________.

D.考点解析 考点一 角的集合表示及象限角的判定

【例 1】?(1)写出终边在直线 y= 3x 上的角的集合; 6π θ (2)若角 θ 的终边与 角的终边相同,求在[0,2π)内终边与 角的终边相同的角; 7 3 α (3)已知角 α 是第二象限角,试确定 2α、 所在的象限. 2

(1)相等的角终边一定相同,但终边相同的角却不一定相等,终边相同的角有无数个,它们之间 相差 360° 的整数倍. (2) 角 的 集 合 的 表 示 形 式 不 是 唯 一 的 , 如 : 终 边 在 y 轴 非 正 半 轴 上 的 角 的 集 合 可 以 表 示 为
? ? ? ? ? π 3π ?x x=2kπ- ,k∈Z?,也可以表示为?x?x=2kπ+ ,k∈Z ?. 2 2 ? ? ? ? ? ?

【训练 1】 角 α 与角 β 的终边互为反向延长线,则( A.α=-β B.α=180° +β

). D.α=k· 360° ± 180° +β(k∈Z)

C.α=k· 360° +β(k∈Z)

2

考点二 三角函数的定义
【例 2】?已知角 θ 的终边经过点 P(- 3,m)(m≠0)且 sin θ= 并求 cos θ 和 tan θ 的值. 2 m,试判断角 θ 所在的象限, 4

任意角的三角函数值仅与角 α 的终边位置有关,而与角 α 终边上点 P 的位置无关.若角 α 已经 给出,则无论点 P 选择在 α 终边上的什么位置,角 α 的三角函数值都是确定的. 【训练 2】 (2011· 课标全国)已知角 θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边在直线 y=2x 上,则 cos θ=( 4 A.- 5 B.- ).

5 5

C.

5 5

D.

?

5 5

考点三 弧度制的应用
【例 3】?已知半径为 10 的圆 O 中,弦 AB 的长为 10. (1)求弦 AB 所对的圆心角 α 的大小; (2)求 α 所在的扇形的弧长 l 及弧所在的弓形的面积 S.

弧度制下的扇形的弧长与面积公式, 比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多, 用起来也 方便得多.因此,我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式. 【训练 3】 已知扇形周长为 40,当它的半径和圆心角取何值时,才使扇形面积最大?

考点四 三角函数线及其应用
【例 4】?在单位圆中画出适合下列条件的角 α 的终边的范围.并由此写出角 α 的集合: (1)sin α≥ 3 ; 2 1 (2)cos α≤- 2

利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤是: (1)用边界值定出角的终边位置; (3)求交集,找单位圆中公共的部分; (2)根据不等式(组)定出角的范围; (4)写出角的表达式.
3

【训练 4】 求下列函数的定义域: (1)y= 2cos x-1; (2)y=lg(3-4sin2x).

二、

同角三角函数的基本关系与诱导公式

A.基础梳理
1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1; 2.诱导公式 sin α (2)商数关系: =tan α. cos α (3)倒数关系: tan ? ? cot ? ? 1

? ? 2k? ) ? tan? 公式一:sin(α+2kπ)=sin α,cos(α+2kπ)=cos_α, tan(
公式二:sin(π+α)=-sin_α,cos(π+α)=-cos_α,tan(π+α)=tan α. 公式三:sin(-α)=-sin_α,cos(-α)=cos_α. π ? ?π ? 公式五:sin? ?2-α?=cos_α,cos?2-α?=sin α.

其中 k∈Z.

公式四:sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos_α. π ? ?π ? 公式六:sin? ?2+α?=cos_α,cos?2+α?=-sin_α.

π 诱导公式可概括为 k· ±α 的各三角函数值的化简公式.记忆规律是:奇变偶不变,符号看象限.其中的 2 π 奇、偶是指 的奇数倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化.若是奇数倍,则函数名称变为相应的余 2 名函数;若是偶数倍,则函数名称不变,符号看象限是指:把 α 看成锐角 时原 函数值的符号作为结果的符 .... . 号.

B.方法与要点 一个口诀 1、诱导公式的记忆口诀为:奇变偶不变,符号看象限. 2、四种方法 在求值与化简时,常用方法有: sin α (1)弦切互化法:主要利用公式 tan α=cos α化成正、余弦. (2)和积转换法:利用(sin θ± cos θ)2=1± 2sin θcos θ 的关系进行变形、转化. ( sin ? ? cos ? 、 sin ? ? cos ? 、 sin ? cos ? 三个式子知一可求二) π (3)巧用“1”的变换:1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=tan4=?. (4)齐次式化切法:已知 tan ? ? k ,则
a sin ? ? b cos ? a tan ? ? b ak ? b ? ? m sin ? ? n cos ? m tan ? ? n mk ? n
4

3、三个防范 (1)利用诱导公式进行化简求值时, 先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数, 其步骤: 去负——脱周——化锐. 特别注意函数名称和符号的确定. (2)在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号.
(3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.

C.双基自测
1 1.(人教 A 版教材习题改编)已知 sin(π+α)= ,则 cos α 的值为( 2 1 A.± 2 1 B. 2 C. 3 2 D.± 3 2 ). D.第四象限 ).

2.点 A(sin 2 011° ,cos 2 011° )在直角坐标平面上位于( A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 ).

4 3.已知 cos α= ,α∈(0,π),则 tan α 的值等于( 5 4 A. 3 3 B. 4 4 C.± 3 ). C.0

3 D.± 4

17π? ? 17π? 4.cos? ?- 4 ?-sin?- 4 ?的值是( A. 2 B.- 2

D.

2 2

1 5.已知 α 是第二象限角,tan α=- ,则 cos α=_______ 2

D.考点解析 考点一 利用诱导公式化简、求值
sin?π-α?cos?2π-α? 31π? 【例 1】?已知 f(α)= ,求 f? 3 ?. ? π +α?tan?π+α? sin? ?2 ?

(1)化简是一种不指定答案的恒等变形,其结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽 可能简单,能求值的要求出值. (2)诱导公式的应用原则:负化正、大化小,化到锐角为终了. π ? cos? ?2+α?sin?-π-α?

【训练 1】 已知角 α 终边上一点 P(-4,3),则 的值为________. 11π ? ?9π -α sin +α? cos? ? 2 ? ?2 ?

5

考点二 同角三角函数关系的应用
题型 1:已知一个三角函数值,求其他三角函数值

【例 2-1】?已知 tan? ? 3 , ? ? ? ?
1? 3 2 ?1? 3 2

3? ,那么 cos ? ? sin ? 的值是( 2



新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

A

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

?

B

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

C

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

1? 3 2

D

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

1? 3 2

(1)已知一个三角函数值求其他三角函数值时,要确定角 ? 所在的象限后再用平方关系,只 有用到平方关系时,才考虑根号前面的符号。 (2)若不能确定 ? 的象限时,则需进行分类讨论. 【训练 1-1】已知 cos? ? m, (?1 ? m ? 1) ,求 sin ? 、 tan ? 的值

题型 2:齐次化切法 【例 2-2】?已知 tan α=2. 2sin α-3cos α 求:(1) ; 4sin α-9cos α (2)4sin2α-3sin αcos α-5cos2α.

(1)关于 sin α,cos α 的齐次式(分子、分母中的各项的方次相同) ,往往化为关于 tan α 的式子. (2)具体方法:分子分母同除 cos α; (或同除 cos2α.).(必要时添加 1=sin2α+cos2α) sin α+3cos α 【训练 2-2】 已知 =5.则 sin2α-sin αcos α=________. 3cos α-sin α

6

题型 3:sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α 三个式子知一求二 【例 2-3】已知 sin ? ? cos ? ?
3 3

1 ,且 0 ? ? ? ? ,求(1) sin ? ? cos ? ; (2) tan ? 5

(3) sin ? cos ? (利用乘法公式: a 3 ? b 3 ? (a ? b)(a 2 ? ab ? b 2 )

(1)对于 sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α 这三个式子,已知其中一个式子的值,其余二式 的值可求. (2)转化的公式为(sin α± cos α)2=1± 2sin αcos α. 【训练 2-3】已知 sin ? ? cos ? ? (3) sin ? ? cos ? ;
2 2

1 ? ,0 ? ? ? ,求(1) sin ? ? cos ? ; (2) sin ? ? cos ? 8 4

考点三 三角形中的诱导公式
【例 3】?在△ABC 中,sin A+cos A= 2, 3cos A=- 2cos(π-B),求△ABC 的三个内角.

在△ABC 中常用到以下结论:sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C,tan(A+B)=-tan C, A B? C C ?A B? sin? ? 2 + 2 ?=cos 2 ,cos? 2 + 2 ?=sin 2 . 【训练 3】 若将例 3 的已知条件“sin A+cos A= 2”改为“sin(2π-A)=- 2sin(π-B)”其余条件不变, 求△ABC 的三个内角.

7

自我检测题
一、选择题 1、集合{α|kπ+ ≤α≤kπ+ ,k∈ Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是( )

A、

B、

C、

D )

2、已知角 a 的终边经过点 P(﹣4m,3m) (m≠0) ,则 2sina+cosa 的值是( A、1 或﹣1 C、1 或﹣ B、 或﹣ D、﹣1 或 )

3、 (2000?天津)已知 sinα>sinβ,那么下列命题成立的是( A、若 α、β 是第一象限角,则 cosα>cosβ B、若 α、β 是第二象限角,则 tanα>tanβ C、若 α、β 是第三象限角,则 cosα>cosβ D、若 α、β 是第四象限角,则 tanα>tanβ 4、若|sinθ|= , A、 C、 5.若 <θ<5π,则 tanθ 等于( B、﹣ D、 ) )

? ? <θ < ,则下列不等式成立的是( 4 2

(A)sinθ >cosθ >t anθ (C )sinθ >tanθ >cosθ 6、设角

(B)cosθ >tanθ >sinθ (D)tanθ >sinθ >cosθ 的值等于( )

A、 7、已知 cos( A、﹣

B、﹣ +α)=﹣ ,则 sin( B、

C、 ﹣α)=( C、﹣ )

D、﹣

D、 ( )

8、已知 sinα+cosα= A. C.
3 3 ? 3 3

1? 3 ,且 0 <α<π,则 tanα 的值为 2
B. ? 3 D. 3
8

9、在△ABC 中,①sin(A+B)+sinC;②cos(B+C)+cosA;③tan 为定值的是( A、②③ ) B、①②

tan ;④

,其中恒

C、②④

D、③④

10、化简 1 +2 sin 5 ? c cos5 ? 1 ? 2 sin 5 cos5 得( ) A、 2 sin 5 C、 ? 2 sin 5 B、 2 cos 5 D、 ? 2 cos 5

二、填空题 11、若扇形的周长是 16cm,圆心角是 2 弧度,则扇形的面积是 12、函数 的值域是 __________ ___________.

13、已知 tanθ=2,则

=

________

14、已知

,则

=

_________.

15、已知 f(x)=

,则 f(1° )+f(2° )+…+f(58° )+f(59° )=

_____.

三、解答题 16、证明 . (注:其中 )

9

17、已知 α 是第二象限角,且





(1)求角 α 的正弦值、余弦值和正切值; (2)在图中作出角 α 的三角函数线,并用有向线段表示 sinα,cosα 和 tanα.

? 18、已知 cos 75 ? ? ?

?

?

1 ? ? , ? 为第三象限角,求 cos ? 255 ? ? ? sin 435 ? ? 的值 3

?

?

?

?

10


相关文章:
高一数学同步练习(必修4三角函数(一)).(学生版)doc
高一数学同步练习(必修4三角函数()).(学生版)doc_数学_高中教育_教育专区。...(4)齐次式化切法:已知 tan ? ? k ,则 3、三个防范 (1)利用诱导公式...
高一数学同步练习(必修4第一章三角函数(一)).(教师版)doc
高一数学同步练习(必修4第一章三角函数(一)).(教师版)doc_数学_高中教育_教育...? ? ? 2、两个技巧 (1)在利用三角函数定义时,点 P 可取终边上任一点,如...
高一数学同步练习(必修4第一章三角函数的图象及性质)(学生版)
高一数学同步练习(必修4第一章三角函数的图象及性质)(学生版)_数学_高中教育_教育专区。普通高中高一同步练习,供课外补课用高一数学同步练习 必修 4 第一章三角函...
高一数学同步练习(必修4三角函数(一)).(学生版)doc[1]
高一数学同步练习(必修4三角函数()).(学生版)doc[1]_数学_高中教育_教育专区...? n mk ? n 4 3、三个防范 (1)利用诱导公式进行化简求值时, 先利用公式...
高一数学必修4三角函数练习题及答案
高一数学必修4三角函数练习题及答案_高二数学_数学_高中教育_教育专区。高一必修 4 三角函数练习题 一、选择题(每题 4 分,计 48 分) 1. sin(?1560 ) 的值...
高一数学同步练习(必修4第一章三角函数(一)).(教师版)doc
高一数学同步练习(必修4第一章三角函数(一)).(教师版)doc_数学_高中教育_...? ? 2、两个技巧 (1)在利用三角函数定义时,点 P 可取终边上任一点,如有...
高一数学同步练习(必修4第一章三角函数(一)).(教师版)doc
高一数学同步练习(必修4第一章三角函数(一)).(教师版)doc_数学_高中教育_...? ? 2、两个技巧 (1)在利用三角函数定义时,点 P 可取终边上任一点,如有...
必修4第一章三角函数同步练习及答案
2 超辉数学 - 2 - 同步练习 数学必修(4)第一章、三角函数 § 1.2.2 同角三角函数的基本关系式一、选择题 4 1.已知 sinα= ,且α 为第二象限角,...
高一数学必修4三角函数的性质练习
高一数学必修4三角函数的性质练习_数学_高中教育_教育专区。三角函数的图象与性质※※※ 知识点归纳 一、三角函数的图象与性质 1、正弦函数、余弦函数和正切函数的...
更多相关标签: