当前位置:首页 >> 数学 >>

z1正弦定理和余弦定理及其应用


正、余弦定理的应用

基础梳理 a b c 1.正弦定理 sin A ? sin B ? sin C ? 2 R
变式

(1)a ? 2 R sin A, b ? 2 R sin B, c ? 2 R sin C a b c ( 2) sin A ? , sin B ? , sin C ? 2R 2R 2R

/>( 3) sin A : sin B : sin C ? a : b : c
在下列情况下多用正弦定理;

(1)已知两角和一边解三角形; (2)已知两边和其中一边的对角解三角形。

2.余弦定理

a ? b ? c ? 2bc cos A b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B 2 2 2 c ? b ? a ? 2ba cos C 2 2 2 2 2 2 b ? c ? a a ? c ? b 变式 cos A ? cos B ? 2ac 2bc
2 2 2

b2 ? a2 ? c 2 cos C ? 2ba

在下列情况下多用余弦定理; (1)已知两边及夹角解三角形; (2)已知三边解三角形; (3)已知两边和其中一边的对角解三角形。

3.三角形的面积公式
1 1 1 S? ? bc sin A ? ac sin B ? ab sin C 2 2 2 abc 1 S? ? ? ( a ? b ? c )r 4R 2

4.三角形内常用特殊条件
A ? B ? C ? ?;锐角三角形: A? B ? 钝角三角形: A? B ?

?
2

?
2

;直角三角形: A? B ?

?
2

三角形最大角: ? A ? ? ; 三角形最小角: 0? A? ; 3 3

?

?

经典例题
题型一 :正,余弦定理的简单应用
例1、在△ABC中,a,b,c分别是A、B、C的对边,且 b cos B =- . 2a ? c cos C (1)求角B 的大小; 1200

(2)若b= 13

3 3 ,a+c=4,求△ABC的面积.4

例2、 在?ABC中 , 内 角 A,B,C的 对 边 分 别 是 a, b , c 0 2 2 30 若a ? b ? 3bc, sinC ? 2 3 sinB, 则A等 于

例3、已知方程x2-bcosA x+acosB=0的两根 之积等于两根之和,且a和b是△ABC的两边,A 等腰三角形 和B是其对角,试判断△ABC的形状.
例4、 在?ABC中 , 角 A, B, C所 对 边 a , b , c成 等 比 列 (1) 求 证 0 : ? B?

?

3 1 ? si n2 B (2) 求y ? 的取值范围 1? y ? 2 si nB ? cos B

例5、 在?ABC中 , 角 A, B, C所 对 边 a, b, c cos A b 4 且c ? 10, ? ? cos B a 3 求a, b及?ABC的 内 切 圆 的 半 径 。
a=6,b=8,r=2

题型二 正弦定理和余弦定理的综合运用 例6: 已 知 圆 O的 半 径 为 R, 若 它 的 内 接 三 角 形
ABC中 , 2 R(si n A ? si n C ) ? ( 2a ? b ) si nB
2 2

求: (1)?C的 大 小 ; ( 2) ?ABC的 面 积 的 最 大 值

C?

?
4

;

2 ?1 2 S? R 2

方法1、角化边 方法2、边化角

练习: 1、在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c, 且b2+c2-a2+bc=0. (1)求角A的大小; (2)若a= 3,求bc的最大值; ? 2? 1 a sin( ? C ) 6 (3)求 的值 A ? 3 , ( bc )max ? 1, 2 b?c 2、(2011年高考新课标全国卷) △ABC中,B=600, 2 7 AC= ,则AB+2BC 的最大值为 3

链接高考
( 2011 浙 江)在?ABC中 , 角 A, B, C所 对 的 边 分别为 a, b, c已 知si nA ? si nC ? p si nB(p ? R)
1 ? 1 ? 1 2 6 ?a ? ?b ? 且ac ? b (1) 4 或? 4 (2) ? p ? 2 ? 4 2 ? ? ?b ? 1 ?a ? 1 5 (1)当p ? , b ? 1时 , 求 a , c的 值 。 4 ( 2)若 角B为 锐 角 , 求 p的 取 值 范 围 。

例7、在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,

AB ? AC ? 8, ?BAC ? ? , a=4.

(1)求 bc 的最大值及? 的取值范围; 2 ? (2)求函数 f (? ) ? 2 3 sin ( ? ? ) ? 2 cos 2 ? ? 3 的最值。
4

1、bc max ? 16,0 ? ? ?

?
3

?2,3? 2、


相关文章:
正弦定理、余弦定理及其应用
正弦定理余弦定理及其应用_高三数学_数学_高中教育_教育专区。四 ? 考点 6 正弦定理余弦定理及其应用 1.如图, 在△ABC 中,?B ? 45 , D 是 BC 边上...
正弦定理和余弦定理的应用
正弦定理和余弦定理的应用_高二数学_数学_高中教育_教育专区。正弦定理和余弦定理的应用第二节应用举例 题型一 测量距离问题 【母题 ★★★】如图所示,设 A 、 ...
正弦定理、余弦定理总结和应用
正弦定理、余弦定理总结和应用_数学_高中教育_教育专区。余弦定理,正弦定理的知识点和应用 高中数学 安徽铜陵 姚老师:13866500720 § 4.7 正弦定理余弦定理及其应用...
正弦定理与余弦定理及其应用
正弦定理与余弦定理及其应用 隐藏>> 正弦定理与余弦定理 1.直角三角形中各元素间的关系: 如图,在△ABC 中,C=90°,AB=c,AC=b,BC=a。 (1)三边之间的关系...
正弦定理和余弦定理及其应用
正弦定理余弦定理的应用 7页 2财富值 正弦、余弦定理的应用 15页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 ...
正弦定理、余弦定理及其应用
正弦定理余弦定理及其应用_数学_高中教育_教育专区。1. (15 安徽高考)在△ABC 中,AB= 6 , ?A ? 75? , 【参考答案】 2 【测量目标】 正弦定理. 【...
正弦定理和余弦定理及其应用
正弦定理余弦定理的应用 7页 2财富值 正弦、余弦定理的应用 15页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 ...
正弦定理和余弦定理及其应用
正弦定理和余弦定理及其应用正弦定理和余弦定理是解三角形和判断三角形形状的重要工具, 其主要作用是将已知条 件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。有以下...
正弦定理、余弦定理及其应用
正弦定理余弦定理及其应用_数学_高中教育_教育专区。正弦定理余弦定理及其应用一、 求解斜三角形中的基本元素 1. ?ABC 中, A ? ? 3 ,BC=3,则 ?ABC ...
更多相关标签:
正弦余弦定理的应用 | 正弦定理和余弦定理 | 正弦余弦定理 | 正弦定理余弦定理公式 | 正弦余弦定理公式变形 | 正弦定理与余弦定理 | 正弦定理余弦定理解题 | 正弦余弦定理趣味 |