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福建省晋江市养正中学2014-2015学年度高二第一学期第二次月考数学理试题


晋江市养正中学 2014-2015 学年度第一学期第二次月考

高二数学(理科)试卷
(考试时间:120 分钟 试卷分值:150 分) 一、选择题:本小题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题纸的相应位置. 1.对于抛物线 y ? 4 x2 ,下列描述正确的是( A )

A.开口向上 B.开口向下 C.开口向左 D.开口向右

2. 从某鱼池中捕得 120 条鱼,做了记号之后,再放回池中,经过适当的时间后,再从池中捕 得 100 条鱼,计算其中有记号的鱼为 10 条,试估计鱼池中共有鱼的条数为( B ) A. 1000 B. 1200 C. 130 D.1300 3.已知命题 “如果 a ? b, 那么 2 ? 2 ” 的否命题是( D )
a b

A.如果 a ? b, 那么 2 ? 2
a a b

b

a b B.如果 2 ? 2 那么 a ? b

C.如果 2 ? 2 ,那么 a ? b

D. 如果 a ? b, 那么 2 ? 2
a

b

4. 抛物线 y 2 ? 10x 的焦点到准线的距离是( B A.

) D. 10

5 2

B. 5

C.

15 2
)

5. 双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的渐近线方程是( A 4
1 x 2
B. y ? ?4 x
2

A. y ? ?

C. y ? ?
2

1 x 4

D. y ? ?2 x

x y x2 y2 m2 ? ? 1 6. 已知椭圆 和双曲线 = 1 有公共的焦点, 那么 的值为 ( D ) ? 3m 2 n 2 n2 2m 2 3n 2
A.

1 4

B.

1 2

C. 2

D. 4

7.如图,四面体 ABCD 中,设 M 是 CD 的中点,则 AB ? 化简的结果是( A ) A. AM C. CM
2

1 BD ? BC 2

?

?
B

A

B. BM D. DM

D C M

8. “ ab ? 0 ”是“方程 ax ? by ? 1表示双曲线”的( C
2

) D.非充分非必要条件 C )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

9.经过点 P(3,?1) 且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程是(

A.

x2 y2 ? ?1 10 10

B.

y2 x2 ? ?1 10 10

C.

x2 y2 ? ?1 8 8

D.

y2 x2 ? ?1 8 8

10.已知方程 ax2 ? by 2 ? ab 和 ax ? by ? 1 ? 0 (其中 ab ? 0, a ? b ) ,它们所表示的曲线可能 是( B ).









二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,请把正确答案写在题中横线上). 11. 已知 a ? (2,1,3),b ? (1, x,2),且a ? b ? 2 ,那么 x 的值等于___________. ? 6 12. 当 a ? 2 时,右边的程序段输出的结果是 . 4 INPUT a IF a<8 THEN y=2*a ELSE y= 3^a END IF PRINT y END
(第 12 题图)

13 . 椭 圆 的 一 个 顶 点 与 两 个 焦 点 构 成 等 边 三 角 形 , 那 么 椭 圆 的 离 心 率 等 于 ___________. 1
2

14. 有一隧道, 内设双行线公路, 同方向有两个车道 (共有四个车道) , 每个车道宽为 3 米,此隧道的截面由一个长方形和一抛物线构成,如 图所示,隧道高 8 米,宽 16 米. 为保证安全,要求行驶车辆顶部(设 为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少为 0.25 米,靠近中轴 线的车道为快车道,两侧的车道为慢车道,则车辆通过隧道时,慢车 道的限制高度为

8m A 3m 3m 3m 16m 3m B 2m

35 _________________米.(用分数表示) 8

15. 若动点 P 在直线 l: x ? ?2 2 上,过 P 作直线交椭圆

x2 y 2 ? ? 1 于 M,N 两点,使得 12 4

|PM|=|PN|,再过 P 作直线 l ? ? MN ,则 l ? 恒过定点 Q,点 Q 的坐标为_____________.

4 2 (- ,0) 3 三.解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
2 2 16.设关于 x 的一元二次方程 x ? 2ax ? b ? 0 .

(I)若 a,b 都是从集合 ?1,2,3,4? 中任取的数字,记为 (a,b) ,列出所有的情况;并求方程 有实根的概率; (II)若 a 是从区间中任取的数字, b 是从区间中任取的数字,求方程有实根的概率. 解: (I)所有的情况有: (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4)……2 分 一共 16 种且每种情况被取到的可能性相同 ……3 分
2 2 ∵关于 x 的一元二次方程 x ? 2ax ? b ? 0 有实根

∴ ? ? 4a ? 4b ? 0 ? a ? b,
2 2

……4 分

∴设事件 A 为“方程有实根”,事件 A 包含的基本事件有: (1,1) , (2,1) , (2,2) , (3,1) , (3,2) , (3,3) , (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4)共 10 种 …5 分

? P( A) ?

10 5 ? 16 8

1 ? 3? 3 3 P( B) ? 2 ? 3? 4 8 ∴
∴方程有实根的概率是

……… 12 分

3 ……… 13 分 8

(第(II)题评分标准说明:画图正确得 2 分,求概率 4 分,本小题 7 分)

17. 如图, 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1 , 点 E 在棱 AB 上, 且 AE ? m .

D1

C1
B1

A1
D

C A E B

已知异面直线 DB1 与 CE 所成角的余弦值等于

3 ,求 m 的值. 15

解:以 D 为坐标原点,以 DA、DB、DP 所在直线依次为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标 系,?1 分 则 D(0, 0, 0)、B1 (1, 1, 1)、C (0, 1, 0)、E(1, m, 0) ??3 分 所以

DB1 ? (1, 1, 1), CE ? (1, m ? 1, 0) ,

???5 分 ,???7 分

| DB1 |? 12 ? 12 ? 12 ? 3, | C1 E |? 12 ? (m ? 1) 2 ? 0 2 ? m 2 ? 2m ? 2

DB1 ? CE ? 1? 1 ? 1? (m ? 1) ? 0 ? m .
所以

z D1
A1 B1
D

C1

cos ? DB1 , CE ??

DB1 ? CE | DB1 || CE |

?

m 3 ? m ? 2m ? 2
2

.?10 分 A E

C B

y

3 2 依题意得 ,即 12m ? m ? 1 ? 0 , ??12 分 ? 2 3 ? m ? 2m ? 2 15
解得 m ?

|m|

x

1 1 或m ? ? (舍去) 4 3 1 因此, m 的值等于 . 4
2

???13 分

18.已知抛物线 y ? ?2x 和抛物线上一点 P ?1, ?2? . (I)求抛物线的准线方程; (II)过点 P 作斜率为 2, ?2 的直线 l1 , l2 ,分别交抛物线于 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,设 AB 的中 点 M ? x0 , y0 ? .求证:线段 PM 的中点 Q 在 y 轴上.

解: (I)抛物线 y ? ?2 x ,? x ? ?
2 2

1 y 2
y
O

所以准线方程是 y ?

1 ;????4 分 8
2

(II)直线 l1 : y ? ? ?2? ? 2 ? x ?1? ,即 y ? 2 x ? 4 代入 y ? ?2 x ,有

2x2 ? 2x ? 4 ? 0,? x2 ? x ? 2 ? 0,? x ? ?2或x ? 1 ,即 x1=-2 ????7 分
同理直线 l2 : y ? ? ?2? ? ?2 ? x ?1? ,即 y ? ?2 x 代入 y ? ?2 x ,有
2

x

P

2x2 ? 2x ? 0,? x2 ? x ? 0,? x ? 0或x ? 1 ,即 x2=0 ???????10 分

所以 x0 ?

x ?1 x1 ? x2 ? ?1,? 0 ? 0 ,即 xQ ? 0 2 2

即线段 PM 的中点 Q 在 y 轴上.???????????????13 分

2 19. 已知命题 p : ?x ? R, x ? mx ? 1 ? 0 ,命题 q :双曲线

x2 y2 ? ? 1 (m ? 0) 的离心率 2 m

e?(

(Ⅰ)写出命题 p 的命题否定 ? p ;并求出 m 的取值范围,使得命题 ? p 为真命题; (Ⅱ)如果“ p ? q ” 为真命题, “ p ? q ”为假命题,求 m 的取值范围.
2 解(1) ? p : ?x0 ? R , x0 ? mx0 ? 1 ? 0 ?????2 分

5 ,??) . 2

若 ? p 为真命题,则 ? ? m 2 ? 4 ? 0, 解得: m ? ?2, 或 m ? 2
2 2

故所求实数 m 的取值范围为: ?? ?,?2? ? ?2,??? ???? 5 分 (2)p: 若 ?x ? R, x ? mx ? 1 ? 0 为真命题时,由 ? ? m ? 4 ? 0

m 的取值范围为 ? 2 ? m ? 2 ????6 分 1 x2 y2 5 ? ? 1 的离心率 e ? ( ,??) 为真命题时,则 m ? ?8 分 q:双曲线 2 2 m 2
1 2 1 2

由“ p ? q ” 为真命题, “ p ? q ”为假命题,故命题 p 、 q 中有且仅有一个真命题 当 p 真 q 假时,实数 m 的取值范围为: ?? 2,2? ? (0, ] ? (0, ] ????10 分 当 p 假 q 真时,实数 m 的取值范围为: ??? ?,?2? ? ?2,???? ? ? ,?? ? ? ?2,??? ??12 分 综上可知实数 m 的取值范围: (0, ] ? ?2,?? ? ???13 分

?1 ?2

? ?

1 2

20 . 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 ABCD 是 直 角 梯 形 , AB // DC , AD ? DC , 侧 棱

PD ? 底面ABCD ,且 AB ? AD ? 1, PD ? DC ? 2 , E 是 PC 的中点.
(I)求证: BE // 平面PAD ; (II)线段 PB 上是否存在一点 Q ,使得 PC ? 平面ADQ ?若存在,求出 在,请说明理由.

PB 的值;若不存 QB
P E D C A B

解:以 D 为坐标原点,以 DA、DB、DP 所在直线依次为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐 标系,?1 分 则 D(0,0,0), A(1,0,0), B(1,1,0), C (0,2,0), P(0,0,2), E (0,1,1) ???????2 分 (I)取 PD 中点 F,连结 AF, F (0,0,1) , AF ? (?1,0,1) ,??3 分

z
P E D C y A B

BE ? (?1,0,1) ,所以 AF ? BE ???4 分
即 AF // BE ??????5 分 而 AF ? 平面PDA, 且BE ? 平面PDA 因此 BE // 平面PAD ???6 分

x
(II)假设线段 PB 上是否存在一点 Q ,使 PC ? 平面ADQ ,设

PB ? ? (? ? 0) QB

设 Q ? x, y, z ? ,则 PB ? ?QB ,即 ?1,1, ?2? ? ? ?1 ? x,1 ? y, ? z ? ?????8 分

??? ?
1

??? ?
2

? x ? 1?

1

??? ? ???? ??? ? DA ? ?1,0,0? , DQ ? ? x, y, z ? , PC ? ? 0,2, ?2 ?
???? ???? ? ? PC ?DA ? 0 ? ,? y ? z ,??10 分 ? PC ? 平面ADQ ,? ? ??? ? ???? PC ? DQ ? 2 y ? 2 z ? 0 ? ? 1 2 即 1 ? ? ,? ? ? 3 ? ?
即线段 PB 上是否存在一点 Q ,使得 PC ? 平面ADQ ,且

?

, y ? 1?

?

,z ?

?

???9 分

PB ? 3 .??????13 分 QB

21. 已知双曲线

x2 y 2 ? ?1. 6 2

(I)求以双曲线的顶点为焦点, 双曲线的焦点为顶点的椭圆 E 的方程; (Ⅱ)点 P 在椭圆 E 上, 点 C (2,1) 关于坐标原点的对称点为D, 直线CP和DP的斜率都存在且

不为0,试问直线CP和DP的斜率之积是否为定值?若是,求此定值;若不是,请说明理 由; (Ⅲ)平行于CD的直线 l 交于椭圆E于M、N 两点,求 ?CMN 面积的最大值, 并求此时直线 l 的方程. 解: ( 1)设椭圆E方程为

x2 y 2 ? ? 1, a ? b ? 0, 则a 2 ? 6 ? 2 ? 8,c2 ? 6. a 2 b2

? 椭圆E方程为

x2 y 2 ? ? 1. ……3 分 8 2 (Ⅱ)依题意得 D 点的坐标为(-2,-1) ,且 D 点在椭圆 E 上, 直线 CP 和 DP 的斜率 KCP 和 KDP 均存在,设 P(x,y), y ?1 y ?1 y ?1 y ?1 y2 ?1 则K CP ? , K DP ? ,? K CP ? K DP ? ? ? . x?2 x?2 x ? 2 x ? 2 x 2 ? 4 ……5 分
又?点P在椭圆E上, ? x 2 ? 8 ? 4 y 2,KCP ? K DP ?

y2 ?1 1 ?? . 2 x ?4 4
……7 分

? 直线CP和DP的斜率之积为定值 ?

1 4

(Ⅲ)? 直线 CD 的斜率为 设直线 l 的方程为 y ?

1 ,CD 平行于直线 l , 2

1 x ? t, 2

设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 ) 则 x1 ? x2 ? ?2t ,x1· x2= x1x2 ? 2t 2 ? 4 ……10 分

? MN ?
= 1? ( )

?x1 ? x2 ?2 ? ? y1 ? y2 ?2

1 ? 1 ? ( ) 2 ? x1 ? x2 2

1 2

2

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 5 ? 4 ? t 2 (?2 ? t ? 2) .……11 分


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