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高三 导数的综合应用问题


导数的综合应用
知识梳理

教学重、难点

作业完成情况

典题探究

例 1 已知函数 f ( x) ?

1 , g ( x) ? bx2 ? 3x . x?a

(Ⅰ)若曲线 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在点(1,0)处的切线斜率为 0,求 a,b 的值; (Ⅱ)当 a ? [3, ??) , 且 ab=8 时, 求函数 ? ( x ) ? -1]上的最小值。

g ( x) 的单调区间,并求函数在区间[-2, f ( x)

例 2 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax 2 ? bx (其中 a , b 为常数且 a ? 0 )在 x ? 1 处取得极值. (I) 当 a ? 1 时,求 f ( x ) 的单调区间; (II) 若 f ( x ) 在 ? 0,e? 上的最大值为 1 ,求 a 的值.

例 3 已知函数 f ( x) ? ?2a 2 ln x ?

1 2 x ? ax (a ? R) . 2

(Ⅰ) 讨论函数 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 在区间 [1, e] 的最小值.

例 4 已知函数 f ( x) ? ax ? ln x , g ( x) ? eax ? 3x ,其中 a ? R . (Ⅰ)求 f ( x) 的极值; (Ⅱ)若存在区间 M ,使 f ( x) 和 g ( x) 在区间 M 上具有相同的单调性,求 a 的取值 范围.

五、演练方阵
A 档(巩固专练)

1.已知函数 f(x)的定义域为(-1,0),则函数 f(2x+1)的定义域为( A.(-1,1) C.(-1,0)
6

)

1? ? B.?-1,- ? 2? ?

?1 ? D.? ,1? ?2 ?
则当 x>0 时, f[f(x)] 表达式的展开式中常数项为

2 .设函数 f(x) =

?x-1? ,x<0, ? ? ?? ? x?

? ? ?-

x,x≥0,

(

) A.-20 B.20 C.-15 D.15 3.函数 y= x3 3x-1 的图像大致是( )

图 1-5
4. 函数 f(x)=2ln x 的图像与函数 g(x)=x -4x+5 的图像的交点个数为(
2

)

A.3 B.2 C.1 D.0 5. 若曲线 y=kx+ln x 在点(1,k)处的切线平行于 x 轴,则 k=________.

6.设函数 f(x)在(0,+∞)内可导,且 f(ex)=x+ex,则 f′(1)=________. 7. 1 ?1 ? 若函数 f(x)=x2+ax+ 在? ,+∞?是增函数,则 a 的取值范围是( x ?2 ? )

A.[-1,0] B.[-1,+∞) C.[0,3] D.[3,+∞) 8. 已知函数 f(x)=x-aln x(a∈R). (1)当 a=2 时,求曲线 y=f(x)在点 A(1,f(1))处的切线方程; (2)求函数 f(x)的极值. 9. 已知 e 为自然对数的底数,设函数 f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1,2),则( A.当 k=1 时,f(x)在 x=1 处取到极小值 B.当 k=1 时,f(x)在 x=1 处取到极大值 C.当 k=2 时,f(x)在 x=1 处取到极小值 D.当 k=2 时,f(x)在 x=1 处取到极大值 )

10. 直线 l 过抛物线 C:x2=4y 的焦点且与 y 轴垂直,则 l 与 C 所围成的图形的面积 等于( ) 4 A. 3 8 C. 3 B.2 16 D. 2 3

B 档(提升精练)

(

1. 函数 f(x)=ax (1-x) 在区间[0,1]上的图像如图 1-2 所示,则 m,n 的值可能是 )

m

n

图 1-2 A.m=1,n=1 B.m=1,n=2 C.m=2,n=1 D.m=3,n=1 2 ? ? ,x≥2, 2.已知函数 f(x)=?x ? ??x-1?3,x<2. 根, 则实数 k 的取值范围是________. 3.曲线 y=e )
-2x

若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实

+1 在点(0,2)处的切线与直线 y=0 和 y=x 围成的三角形的面积为 1 3 2 C. 3 A. 1 B. 2 D.1

(

4.函数 f(x)=x -3x +1 在 x=________处取得极小值. 1 3 2 2 5.下面四个图象中,有一个是函数 f(x)= x +ax +(a -1)x+1(a∈R)的导函数 y= 3

3

2

f′(x)的图象,则 f(-1)等于(

).

A. C.

1 3 7 3
2

1 B.- 3 1 5 D.- 或 3 3

6.设直线 x=t 与函数 f(x)=x ,g(x)=ln x 的图象分别交于点 M,N,则当|MN|达到最 小时 t 的值为( A.1 ). 1 B. 2 C. 5 2 D. 2 2

1 4 3 7.已知函数 f(x)= x -2x +3m,x∈R,若 f(x)+9≥0 恒成立,则实数 m 的取值范围 2 是( ).

?3 ? A.? ,+∞? ?2 ?
3? ? C.?-∞, ? 2? ?
2

?3 ? B.? ,+∞? ?2 ?
3? ? D.?-∞, ? 2? ?
2

8.已知函数 f(x)=x -ax+3 在(0,1)上为减函数,函数 g(x)=x -aln x 在(1,2)上为 增函数,则 a 的值等于( A.1 B.2 C.0 D. 2 9.设 a∈R,若函数 y=e +3x,x∈R 有大于零的极值点,则( A.a>-3 1 C.a>- 3 B. a<-3 1 D.a<- 3
ax

).

).

1 3 a+1 2 10.已知函数 f(x)= x - x +bx+a.(a,b∈R)的导函数 f′(x)的图象过原点. 3 2 (1)当 a=1 时,求函数 f(x)的图象在 x=3 处的切线方程; (2)若存在 x<0,使得 f′(x)=-9,求 a 的最大值.

C 档(跨越导练) 1.函数 f ( x) ? ( x ? 3)e x 的单调递增区间是 A. (??,2) B.(0,3) C.(1,4) D. (2,??) ( ) ( )

2. 已知直线 y=x+1 与曲线 y ? ln( x ? a) 相切,则α 的值为 A.1 B. 2 C. -1 D.-2

3.已知函数 f ( x) 在 R 上满足 f ( x) ? 2 f (2 ? x) ? x2 ? 8x ? 8 ,则曲线

y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程是
A. y ? 2 x ? 1 B. y ? x C. y ? 3x ? 2 D. y ? ?2 x ? 3

(

)

2 3 4.若存在过点 (1,0) 的直线与曲线 y ? x 和 y ? ax ?

15 x ? 9 都相切,则 a 等于 4
( )

A. ?1 或 -

25 64

B. ?1 或

21 4

C. ?

7 25 或4 64

D. ?

7 或7 4

2 5.设函数 f ( x) ? g ( x) ? x ,曲线 y ? g ( x) 在点 (1, g (1)) 处的切线方程为 y ? 2 x ? 1 ,则

曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处切线的斜率为 A. 4 6.曲线 y ? B. ?

(

)

1 4

C. 2

D. ?

1 2
( )

x 在点 ?1,1? 处的切线方程为 2x ?1
B. x ? y ? 2 ? 0 C. x ? 4 y ? 5 ? 0

A. x ? y ? 2 ? 0

D. x ? 4 y ? 5 ? 0

7.若函数 y ? f ( x) 的导函数 在区间 [a, b] 上是增函数, ... 则函数 y ? f ( x) 在区间 [a, b] 上的图象可能是 y y y y ( )

o

a

b x

o

a

b x

o

a

b x

o

a

b x

A .
x

B.

C.

D.

8.若 x1 满足 2x+ 2 =5, x2 满足 2x+2 log2 (x-1)=5, x1 + x2 = ( A.

)

5 2

B.3

C.

7 2

D.4 ( )

9.设函数 f ( x) ?

1 x ? ln x( x ? 0), 则 y ? f ( x) 3

1 e 1 B 在区间 ( ,1), (1, e) 内均无零点。 e 1 C 在区间 ( ,1) 内有零点,在区间 (1, e) 内无零点。 e 1 D 在区间 ( ,1) 内无零点,在区间 (1, e) 内有零点。 e
A 在区间 ( ,1), (1, e) 内均有零点。 10.已知函数 f ( x) ? x3 ? 3ax ?1, a ? 0

? ? ? 求 f ( x) 的单调区间; ? ?? ? 若 f ( x) 在 x ? ?1 处取得极值,直线 y=my 与 y ?
m 的取值范围。

f ( x) 的图象有三个不同的交点,求

成长足迹

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