当前位置:首页 >> 理学 >>

第五章三角函数


第五章
第一节

三角函数

三角函数基本概念 知识梳理

1.当角被放在直角坐标系里讨论的时候,角的顶点是原点,角的始边是 x 轴的非负半轴,角的另一边是终 边。如果一个角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角。比如: 60? 是第一象限的角, 120? 是 第二象限的角, 228? 是第三象限的角等。 2.任意角的三角函数定义: 如图 5-1-1,在任意角 ? 的终边上任取一点 p ( x, y ) ,则

图 5-1-1

其中 r 为此点到原点的线段长。由以上三角函数的定义可得二组结论: 第一组: (1)一个角的正弦的符号与这个角所在象限点的纵坐标的符号相同 (2)一个角的余弦的符号与这个角所在象限点的横坐标的符号相同 (3)一个角的正切的符号与这个角所在象限点的横坐标和纵坐标的符号均有关 .横坐标与纵坐标如果同 号,则正切为正;异号则为负。 三角函数在各象限的符号如图 5-1-2 所示

y sin? ? r

x cos? ? r

tan? ?

y x

sinx
第二组: 同角三角函数关系式:

cos x
图 5-1-2

tan x

sin2 ? ? cos2 ? ? 1
?

3.正角与负角:正角是以 x 轴的非负半轴为始边,绕原点逆时针转过的角;负角是以 x 轴的非负半轴为 始边,绕原点顺时针转过的角,如 ? 60 和 ? 240 分别是第四象限和第二象限的角。 若 ? 为一正角,则某个角加上 ? 表示将这个角的终边逆时针转过一个角 ? 后所得到的角;某个角减去 ? 表示将这个角的终边顺时针转过一个角 ? 后所得到的角,如若 ? 为锐角的话,则 (90 ? ? ) 、(270 ? ? )
? ?
?

sin? ? tan? cos?

分别表示第二、三象限的角。
? 4.角度制与弧度制的转化: ? ~ 180 5. 基本三角函数值:

30?

45?

60?

sin

1 2

2 2

3 2

0
sin

? 2

?
0
?1

3? 2

0

1
0
不存在

?1

cos
tan

3 2 3 3
表 5-1-1

2 2

1 2

cos
tan

1
0

0
不存在

1

3

0

表 5-1-2

典例精析 例 1.将下列角在弧度制与角度制之间互化:
(1)

7 ? 4

(2)

2 ? 15

(3) 72?

(4) 150?

解:因为 ? 弧度相当于 180? ,所以 1 ? 相当于
7 ? 180? ? 315? 4 72? 2 (3) ?? ? 5 180?
(1) (2)

? 弧度,故 180

2 ? 180? ? 24? 15 150? 5 (4) ?? ? 6 180? 例 2.(1) 用弧度制写出终边分别在 y 轴的正半轴, x 轴的负半轴的角的集合.
(2)用弧度制写出终边在第二象限的角的集合.

解:(1)因为

? 的终边在 y 轴的正半轴,又终边相同的角都相差 2 k ? ( k ? Z ) ,所以终边在 y 轴的正半 2 ? 5? ? ? ? ? 轴的角的集合为 ?x x ? 2k? ? , k ? Z ? .(注意:该答案表示的集合与 ?x x ? 2k? ? ,k ? Z? 表 2 2 ? ? ? ?
示的集合相等,但为了书写方便,终边在

y 轴正半轴的角的集合通常用前者表示,下同)

又因为 ? 的终边在 x 轴的负半轴,所以终边在 x 轴的负半轴的集合为 x x ? 2k? ? ? , k ? Z . (2)第二象限角的终边位于 集合 ?x 2k? ?

?

?

y 轴的正半轴与 x 轴的负半轴之间,结合(1) ,终边在第二象限的角可用

? ?

?
2

? ? x ? 2k? ? ? , k ? Z ? 来表示. ?

课堂练习
1.将下列角在角度制与弧度制之间互化: (1)

1 ? 6

(2)

2 ? 3

(3) 90

?

(4) 180

?

(5) 270

?

(6) 360

?

2.用弧度制分别将终边在 x 轴的正半轴、

y 轴的负半轴的角的集合写出来.

3.计算: (1) 5 sin

?
2

? 2 sin0 ? 3 sin

3? ? 10cos? 2

(2) 7 cos 270? ? 12sin0 ? ? 2 tan 0 ? ? 8 cos360?

课后练习
1.写出终边在第三象限角的集合.

2.判断下列各值的正负. (1) sin171
?

(2) cos 313

?

(3) sin

8? 7

(4) cos

10? 9

第二节 诱导公式 知识梳理
1.诱导公式是用来解决形似
k? ? ? , k ? Z 之类角的三角函数值的化简的问题,它的作用是把任意角的三 2 角函数转化为锐角三角函数.诱导公式的使用可用口诀“奇变偶不变,符号看象限 ”来进行记忆. ...........

? 3? k? ? ? 之类的角,在这些角中 k 分别等于 1、2、 ? ? , k ? Z 的角是指 ? ? , ? ? ? , 2 2 2 3,当 ? 取负时可看成加上一个负角。 “奇变偶不变”中的“奇”和“偶”是指整数 k 的奇偶性, “变” 是指正余弦,正余切(余切函数中学不予研究! )之间三角函数名的互变; “符号看象限”是指在把 ? 看 成锐角的前提下,将所要化简的三角函数的正负判断出来,再确定结果的正负 . 2.如果两个角相差 2 k ? ( k ? Z ) ,那么这两个角终边相同;反之,终边相同的角均相差 2k? ( k ? Z ). 对于终边相同的角,它们所有的三角函数值均相同。 ? ? 2k? ) ? sin? , cos(? ? 2k? ) ? cos? , tan(? ? 2k? ) ? tan ? ( k ? Z ) 如: sin( 。
所谓形似

典例精析 例 1.化简下列各式的值: 3? (1) sin( ? ? )
? ??) (2) cos(? ? ? ) (3) sin( 2 ? 3? 解: (1)因为 是 的 3 倍,所以 k ? 3 ,从而 k 是奇数!三角函数名变!原式变为 cos? ,又将 ? 看 2 2 3? 成锐角时, ( ? ? )是第四象限的角,而第四象限角的正弦均为负,所以最终结果为 ? cos? , 2 3? 即 sin( ? ? ) ? ? cos? 。 2 ? (2)因为 ? 是 的 2 倍,所以 k ? 2 ,从而 k 是偶数!三角函数名不变!原式变为 cos? ,又把 ? 看成 2 锐角时, ( ? ? ? )是第二象限的角,而第二象限角的余弦均为负,所以最终结果为 ? cos? , ? ? ? ) ? ? cos? 即 cos( ? (3)因为 ? 是 的 2 倍,所以 k ? 2 ,从而 k 是偶数!三角函数名不变!原式变为 sin ? ,又把 ? 看成锐 2 角时, ( ? ? ? )是第三象限的角,而第三象限角的正弦均为负,所以最终结果为 ? sin ? 。 ? ? ? ) ? ? sin? 即 sin( 由诱导公式还可得负角三角函数关系式(把 ?? 看成( 0 ? ? ) ) :

sin(?? ) ? ? sin?
通过对 (

cos(?? ) ? cos?

tan(?? ) ? ? tan?

? ? ) 的三角函数值的研究可知:如果两个角互余,则其中一个角的正弦等于另外一个角的余弦。 2 cos 23? ? sin 67? 如: sin15? ? cos 75? ; 通过对 (? ? ? ) 的三角函数值的研究可知:如果两个角互补,则它们的正弦相等,余弦、正切互为相反数 .
如: sin120? ? sin60? ?

?

例 2.求 sin(?

31 ? ) 的值. 6 解:由 sin(?? ) ? ? sin? , sin(?

3 , 2

cos150? ? ? cos30? ? ?

3 , 2

tan135? ? ? tan 45? ? ?1 .

31 ? 31 ? 7? ? 7? ? ? = ? ?sin(4? ? ) = ? sin )? ? ? sin ? ? sin( ?? ) 6 6 6 ? 6 6 ? ? ? ? ) ? ? sin? 可知 由诱导公式 sin( ? ? 1 sin( ? ? ) ? ? sin ? ? 6 6 2 1 31 ? 所以 sin( ? ) ? 6 2

课堂练习
1.化简下列各式的值: (1) cos( ? ? ) =

?

2 3? (3) cos( ? ?)= 2

(2) sin(

3? ??) = 2

(4) tan(? ? ? ) = (6) sin( ??

? ??)= (5) cos(
2.求下列各式的值: (1) sin 3.求值:

?
2

)=

17? = 6
?

(2) cos

29? = 6
?

(3) tan 600? =
?

(1) sin150 = (2) cos135 = 4.已知 x 是第二象限的角,求下列各方程中 x 的值 (1) sin x ?

(3) tan120 = (3) tan x ? ?

2 2

(2) cos x ? ?

1 2

3 3

5.求证:

tan(2? ? ? ) sin(?2? ? ? ) cos(4? ? ? ) ? tan? cos( ? ? ? ) sin( 5? ? ? )

课后练习
1. 填空:

1 3? ,则 sin( ? ? ) = 3 2 5? ? 3 (2) .已知 cos( ? ? ) ? ,则 cos( ??) = 6 6 3 7? ? 3 (3). 已知 cos( ? ? ) ? ,则 cos( ??) = 6 6 3
(1). 若 cos( ? ? ?) ? ? 2.求下列各式的值:

(1) tan(?855? )

(2) sin( ?

25? ) 6

第三节 知识梳理:
1. 和差公式:

和差公式、倍角公式和降次公式

sin( ? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos? sin ?

cos( ? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ?

tan( ? ? ?) ?
2. 倍角公式:

tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?

sin 2? ? 2 sin ? cos ?
cos 2? ? cos2 ? ? sin2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin2 ? 2 tan? tan 2? ? 1 ? tan2 ?
常用变式有:

sin? ? 2 sin cos? ? cos

?
2

cos

?
2

2 ?

2

? sin2

?
2

? 2 cos2

?
2

? 1 ? 1 ? 2 sin2

?
2

tan? ?

2 tan

?
2

1 ? tan 2
2

?
2
1 ? cos 2? 1 ? cos 2? , sin2 ? ? 2 2

3. 降次公式: cos ? ? 常用变式有:

cos2

?
2

?

1 ? cos? ? 1 ? cos? , sin2 ? 2 2 2

典例精析
1 ? sin2? ? cos 2? 例 1.证明 ? tan? 1 ? sin2? ? cos 2? 1 ? 2 sin? cos? ? (1 ? 2 sin2 ? ) sin? cos? ? sin2 ? ? 证明:左边 ? 2 1 ? 2 sin? cos? ? 2 cos ? ? 1 sin? cos? ? cos2 ? sin? sin? (cos? ? sin? ) ? ? ? tan? =右边 cos? cos? (sin? ? cos? ) ? sin? 例 2.证明 tan ? 2 1 ? cos?
证明:右边 ?

2 sin

?

2

cos
2 ?

?

1 ? 2 cos

2

2 ? ?1

2 sin

?

2

cos
2 ?

?

2 ?

2 cos

2

2 ? tan ? ? 左边 2 cos 2

sin

?

?

课堂练习
一.填空:
? ? ? ? 1. sin58 cos 28 ? cos58 sin 28 = ? ? ? ? 2. cos 24 cos 66 ? sin 24 sin66 =

3.化简:

tan 2? ? tan? = 1 ? tan 2? tan?

二.选择: 1..(2010 全国)已知 sin? ? A. ?

2 ? ? 2? ) =( ,则 cos( 3 1 9
C.



5 3

B. ?

2..(2011 福建文)若 a∈(0,

? 2

1 9

D.

5 3


) ,且 sin2a+cos2a=

1 4

,则 tana 的值等于(

A.

2 2

B.

3 3


C.

2

D.

3

3. (2013 江西文)若 sin = ,则 cosa=(

A.-

B.-

C.

D.

4.(2013 全国新 2)已知 sin2α= ,则 cos2(α+ )=(



(A)

(B)

(C)

(D)

5.[2014· 新课标卷Ⅰ] 若 tan α >0,则( ) A.sin α >0 B.cos α >0 C.sin 2α >0 D.cos 2α >0
三. 证明: 1. (sin? ? cos? ) 2 ? 1 ? sin2? 2. sin? (1 ? cos 2? ) ? sin 2? cos?

课后练习
填空:
? ? ? ? 1. sin83 sin67 ? cos83 sin23 =

? ? ? ? 2. sin12 sin42 ? sin78 sin48 =

3. (2011 江苏)已知 tan( x ?

?

4

) ? 2,



tan x 的值为__________ tan 2 x
4 ,则 tan? ? 3


4.(2010 全国)已知 ? 是第二象限的角, tan( ? ? 2? ) ? ? 5. (2016 上海)方程 3sin

x ? 1 ? cos 2 x 在区间 ?0, 2?? 上的解为__

___.

这里增加一题,放在末尾

第四节

复合形式 知识梳理

在 a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin(x ? ? ) 中, a 2 ? b 2 sin(x ? ? ) 叫做 a sin x ? b cos x 的复合形式, 其 中 tan? ?

b , ? 所在的象限与点 ?a, b ? 所在的象限相同. a

典例精析 例 1.将 y ? 3 sin x ? cos x 化成复合形式 解:依题意, a ? 3 , b ? ? 1 ,则 a 2 ? b 2 ? 2 ,所以
y ? 3 sin x ? cos x = 2 sin(x ? ? )
其中 tan? ? ?

3 ,又 3

(在第四象限,满足 ? 3,?1? 是第四象限的点,于是 ? 在第四象限,? ? = ? ? 6

3 的 ? 的值有无穷多个值,但通常取绝对值最小的那个) 3 ? ? y ? 2 sin(x ? ) 6 1 3 例 2.将 y ? ? sin x ? cos x 化成复合形式 2 2 解:可以先把函数中的负号提出来(否则,由于 ? 位于第三象限,求起来会较麻烦! ). tan? ? ? 1 3 y ? ?( sin x ? cos x) 2 2
1 3 ? ? ( ) 2 ? ( ) 2 sin(x ? ? ) 2 2 ? ? sin(x ? ? )
此时, ? 位于第一象限, tan? ? 所以

3 ,所以 ? ?

?
3



y ? ? sin(x ?

?
3

) 4? ) ,由诱导公式,这两个结果恒相等. 3

注意:如果不将负号提出来,则最后求得的结果为 y ? sin(x ?

课堂练习
一. 将下列函数写成复合形式: 1. y ? sin x ? 3 cos x 2. y ? sin x ? cos x

3. y ? ? 3 sin x ? cos x

4. y ? sin 2 x ? cos 2 x

第五节

?x ? ? ) 、 y ? cos(?x ? ? ) 的值域都是 ??1,1? ; 1.当 x ? R 时, y ? sin x 、 y ? cos x 、 y ? sin(
当 y ? sin x 取最大值 1 和最小值 ?1 时 x 的解集分别 ? x x ? 2k? ?

三角函数的值域 知识梳理
? ?

?
2

? ? ? ? , k ? Z ? , ? x x ? 2k? ? , k ? Z ? 2 ? ? ?

当 y ? cos x 取最大值 1 和最小值 ?1 时 x 的解集分别 x x ? 2k? , k ? Z , x x ? 2k? ? ? , k ? Z 2. 形如 y ? a sin x ? b 或 y ? a cos x ? b ,可根据 sinx , cos x 的有界性来求值域 3.定义域为非全体实数的三角函数的值域:

?

??

?

在高考中,该类型的三角函数的值域主要集中于对正弦函数的考察,故本章对该知识点的讲述仅限于正弦 函数 y ? sin x . 如图 5-5-1,在直角坐标系中构造一个以原点为中心的单位圆。任意给定 一个角 ? (不失一般性,设 ? 为锐角) ,令 ? 的终边与单位圆的交点为

p( x, y ) ,则 sin? ? y ,即 ? 的正弦等于 p 点的纵坐标 y ,根据定义域
的范围,通过对角的终边与单位圆的交点的考察便可求出值域.

典例精析

图 5-5-1

? 1 例 1.当 x ? R 时,求函数 y ? cos x ? 1 和 y ? ?6 sin(2 x ? ) ? 3 的值域 2 4
解: (1) 因为 x ? R 时, ?1 ? cos x ? 1
?? 1 1 1 ? cos x ? 2 2 2 1 1 3 ? cos x ? 1 ? 2 2 2 ?1 3? ?y?? , ? ?2 2?

(2)因为 x ? R 时, ? 1 ? sin(2 x ?

?

4

) ?1

? ? 6 ? ?6 sin(2 x ? ) ? 6
4

?

? ? 3 ? ?6 sin(2 x ? ) ? 3 ? 9
? y ? ?? 3,9?

?

4

? ? 2? ? 例 2.求 y ? sin x 在 ? , ? 上的值域 ?6 3 ?

? ? 2? ? 解:如图 5-5-2,在区间 ? , ? 上,角 x 的终边与单位圆的交点的集合为劣弧 AB,而弧 AB 上点的纵 ?6 3 ?
坐标最小的为 A 点(

1 ?1 ? ) ,最大的为 C 点(1) ,所以该函数的值域为 ? ,1? 2 ?2 ?

图 5-5-2

课堂练习

1.求下列函数的值域: (1) y ? 2 sin x ? 3 (2) y ? ?

3 cos x ? 4 2

(3) y ? 2 cos(3x ?

?
12

)

2. 分别求 y ? sin x 在下列区间上的值域:

(1) ?

? ? 5? ? , ? ?3 6 ?

(2) ?

? ? 5? ? , ? ?6 4 ?

(3)

? 2? 5? ? ? 3 , 4 ? ? ?

(4)

? ? ?? ?? 4 , 3 ? ? ?

课后练习
一. 填空: 1、(2011 上海)函数

y ? 2sin x ? cos x 的最大值为
? ?
3



2. 函数 y ? sin x cos(x ?

) ? cos x sin(x ? ) ? 1 的值域为 3 1 3.(2004 全国)函数 y ? sin x ? cos x( x ? R) 的最大值为__________. 2
4. (2008 上海)函数 f ( x) ? 3 sin x ? sin( ? x) 的最大值是

?

2 ??x ? ? ? ? (0 ? x ? 9) 的最大值与最小值之和为 5.(2012 山东文)函数 y ? 2sin ? 3? ? 6
(A) 2 ?

3

(B)0

(C)-1

(D) ?1 ? 3

6.(2012 全国文)当函数 y ? sin x ? 3 cos x?0 ? x ? 2? ? 取得最大值时,x=_____________.

二. 求下列函数的值域: 1.

? y = sinx + cosx x ? ? ?0, 12 ? ? ?

5?

2. y ? 3 sin x ? cos x

?? ? x ? ? ,? ? ?2 ?

三角函数的周期 知识梳理 1.对于函数 f ( x) , 如果存在一个非零常数 T , 使得当 x 取定义域内的每一个值时, 都有 f ( x ? T ) ? f ( x) , 那么函数 f ( x) 就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期.如果在周期函数 f ( x) 的所有周期中存
在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 f ( x) 的最小正周期.

第六节

?x ? ? ) 和 y ? cos(?x ? ? ) 的 最 小 正 周 期 为 T ? 2. y ? sin(
T ?

2?

?

?x ? ? ) 的 最 小 正 周 期 为 ; y ? tan(

? 1 ? 2 ? ,如函数 y ? sin( 2 x ? ) 、 y ? cos(? x ? ) 、 y ? tan 3 x 的周期分别为 ? 、 5? 、 ? . ? 3 5 6 6

3. 由周期的定义不难得出一个函数加上一个常数或乘以一个常数后周期不变, 如函数 y ? 3 sin(4 x ?

?
3

)、

y ? sin(4 x ?

?
3

) ? 2 的周期与函数 y ? sin(4 x ?

?
3

) 的周期相同,均为

? 。 2

课堂练习 x ? 1.(2010 湖北)函数 f ( x) ? 3 sin( ? ) , x ? R 的最小正周期为( 2 4
A.

)

? 2
? 4

B.

?
? 2

C. 2?

D. 4? )

2.(2007 江西)函数 y ? 5 tan(2 x ? 1) 的最小正周期为( ZXX A. B. C. ? D. 2?

3. (2006 江西)函数 y ? 4 sin(2 x ? A.

?
3

) ? 1 的最小正周期为(
D. 4? ) (D )

)

4. (2006 全国)函数 y ? sin 2 x cos 2 x 的最小正周期是( A. 2? (B) 4? (C)
2

? 2

B. ?

C. 2?

? 4

? 2
)

5.( 2008 浙江)函数 y ? (sin x ? cos x) ? 1 的最小正周期是( A.

? 2

B. ?

C.

3? 2

D. 2?

6.[2014· 山东卷] 函数 y=

3 sin 2x+cos2x 的最小正周期为________. 2

7. (2004 北京)函数 f ( x) ? cos 2 x ? 2 3 sin x cos x 的最小正周期是___________.

课后练习

1.函数 y ? tan( x ?

2 3

?
6

) 的最小正周期是

2. (2007 上海改编)函数 y ?

cos(x ? cos x

?

) 2 的最小正周期 T ?
4 ) ? cos x sin(x ?

。 .

3. (2003 上海)函数 y ? sin x cos(x ? 4.(2010 浙江)函数 f ( x) ? sin( 2x ? 5. (2009 广东)函数 y ? 2 cos2 ( x ? A.最小正周期为 ? 的奇函数 C. 最小正周期为

?

?
4

) 的最小正周期 T =

?
4

) ? 2 2 sin2 x 的最小正周期是


?
4

) ? 1是(

? 的奇函数 2

B. 最小正周期为 ? 的偶函数 D. 最小正周期为

? 的偶函数 2

第七节

同角异名三角函数值 知识梳理

本节所研究的是已知一个角的某一个三角函数值,如何求出这个角的其它三角函数值的问题 .方法是先 考虑各个三角函数值的绝对值, 再构造一个直角三角形, 利用勾股定理把所求三角函数值的绝对值算出来, 最后由题干中所给角的象限确定所求三角函数值的符号.

典例精析
1 例. 已知 ? 是第四象限角, sin? ? ? ,求 tan? 的值. 3 1 解:先考察 sin? ? ,暂时把 ? 看成一个锐角,构造一个直角三角形(如图 5-7-1 所示) ,使该直角三角 3

形的一个内角为 ? .把与 ? 相对的一条直角边看成 1,斜边看成 3,由勾股定理易得与 ? 相邻的直角边是

2 2 ,由正切的定义,
tan? ? 1 2 2 ? 2 4

最后考虑符号:? ? 是第四象限角,正切为负,所以 tan? ? ?

2 4
图 5-7-1

课堂练习 5 1. (2007 全国)a 是第四象限角, tan ? ? ? ,则 sin ? ? ( 12
A.

) D. ?

1 5

B. ?

1 5

C.

5 13

5 13

2.(2011 全国)已知 ?

? ( ,? ) 2
?
2

?

,sin ? =

5 ,则 tan2 ? 5

=___________.

3.(2007 浙江)已知 cos( ? ? ) ? A. ?

? 3 ,且 ? ? ,则 tan? =( 2 2
C. ? 3 D.



3 3

B.

3 3

3


4.已知 sin A ?

12 3? ? A ? ?? ,则 tan A 的值等于( ,且 ? 2 13

A.

5 12

B.

12 5

C. ?

5 12

D. ?

12 5

1 D 5.(2016 全国Ⅲ)若 tanθ= 3 ,则 cos2θ=( 4 1 1 4 ? (A) 5 (B) 5 (C) 5 (D) 5 ?



2 2 6.(2009 辽宁)已知 tan? ? 2 ,则 sin ? ? sin? cos? ? 2 cos ? =(



4 A. ? 3

5 B. 4

3 C. ? 4

4 D. 5

课后练习

3? 1.(2011 全国)已知 ? ? (? , ), tan ? ? 2 ,则 cos? ? 2
2. (2006 上海)如果 cos? =

? 1 ,且 ? 是第四象限的角,那么 cos( ?? )= 2 5 ? 12 3 ? ? ? ? ? ) 的值等于 3.(2002 北京)如果 cos? ? ? , ? ? ?? , ? ,那么 cos( 4 13 ? 2 ?

.

4. [2015· 四川卷] 已知 sin α +2cos α =0, 则 2sin α cos α -cos2α 的值是____________. 5 5.[2015· 福建卷] 若 sin α =- ,且 α 为第四象限角,则 tan α 的值等于( 13 12 A. 5 12 B.- 5 5 5 C. D.- 12 12 第八节 三角函数的图象 知识梳理 )

1.函数 y ? sin x 、 y ? cos x 、 y ? tan x 的图象如图 5-8-1 所示。

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x
图 5-8-1 ?x ? ? ) 的图象的作法:先令 sin( ?x ? ? ) ? 0 ,在原点两边找到此图象在 x 轴上相邻的 2.函数 f ( x) ? sin( 两个交点(易知相邻的两个交点相隔半个周期) ,再由 f (0) 的符号确定图象的走向,从而可迅速画出半个 周期内的图象,再将这半个周期的图象按三角函数图象的波形特征向两边延展开来,便得

f ( x) ? sin( ?x ? ? ) 在整个 R 上的函数图象.

?x ? ? ) 的局部图像来求解整个函数表达式的题, 3.对于给定一个函数 y ? sin( 一般做法是先由函数图象观
察出周期,再由 T ?

2?

?

算出 ? ,最后通过特值法求出 ? .

典例精析 例 1. 作出函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) 的图象. 解: 令 sin(2 x ? ) =0 ,易得此图象在原点两边相邻的两个交点的横坐标为 ?
3

?

? ? (其中 ? 为 3 6 ? ? ? ? ? ?? ? , 又显然有 f (0) ? 0 , 所以图像在 ?? , ? 2 x ? =0 解得, 为 ? 往 x 轴正方向加半个周期 得到) 3 3 6 2 ? 6 3?
6

y
1
y
1

?

3

?

上往上发展,从而半个周期内的图像如图 5-8-2 所示

?

?o
6

?
12

? 3

?

?
6

x

o
?1

?
12

?
3

7? 12

5? 6 x

图 5-8-2 图 5-8-3 再将该半个周期内的图像按三角函数图象的波形特征补成一个周期内的图像即可(如图 5-8-3)

例 2.函数 y ? A sin( ?x ? ? )(? ? 0, ? ?

?
2

) 的图象如图 5-8-4 所示,求该函数的表达式 2?

解: 由图可知函数的半周期为 8, 所以函数的周期 T ? 16 , 由

?

得? ? ? 16 ,

?
8

?x ? ? ) .又 y ? A sin(

的最大值为 A , 由图可知, 函数的最大值为 4, 所以 A ? 4 ,于是该函数的解析式可写为 y ? 4 sin( 又函数过点(6,0) ,将此点代入该解析式并结合 ? ?

?x
8

? ?) .

?
2

易得 ? ?

?
4

,所以该函数的表达式为

?x ? y ? 4s i n ( ? ) . 8 4

图 5-8-4

例 3.函数 y ? A sin( ?x ? ? )(? ? 0, ? ?

?
2

) 的图象如图 5-8-5 所示,求该函数的表达式.

解:由图易知此函数图象与 x 轴的两个交点横坐标

?
12



3 3 5? ? 个周期, T ? , 解 得 T ?? , 于 是 该 函 数 可 写 为 ? 4 4 6 12
y ? 2 sin(2 x ? ? ) ,又该函数经过点 (
难得到 ? ?

5? 之间相差 6

?
3

,2) ,所以 2 sin( ? ? ) ? 2 ,不 12 6

?

?
)

,所以原函数的解析式为 y ? 2 sin( 2x ?

?

3

图 5-8-5 .

课堂练习

一.画出下列函数图像: 1. y ? sin( 2x ?

?
6

)

2. y ? sin( 2x ?

2? ) 5

3. y ? 2 sin( ?

1 ? x? ) 2 6

4. y ? 3 sin(4 x ?

?
4

)

二. 选择: 1.(2006 四川)下列函数中,图象的一部分如图 5-8-6 所示的是( A. y ? sin(x ? C.



?
6

)

B. y ? sin( 2x ?

?
6

)

y ? cos(4 x ? ) 3

?

D. y ? cos(2 x ?

?
6

)
图 5-8-6

2.(2016 全国Ⅱ)函数 y =A sin(? x ? ?) 的部分图像如图所示,则

? (A) y ? 2sin(2 x ? ) 6 ? (C) y ? 2sin(2 x+ ) 6

? (B) y ? 2sin(2 x ? ) 3 ? (D) y ? 2sin(2 x+ ) 3

图 5-8-7 3(2010 重庆)已知函数 y ? sin( ?x ? ? ), (? ? 0, ? ?

?
2

) 的部分图象如图 5-8-8 所示,则(

)

A. C.

? ? 1, ? ?
? ? 2,? ?

?
6

B. D.

? ? 1, ? ? ?
? ? 2,? ? ?

?
6

?
6

?
6

图 5-8-8 4. (2011 辽宁)已知函数

f ( x) =Atan ( ? x+ ? ) ( ? ? 0, | ? |?
B.

?
2

) , y=

f ( x) 的部分图像如下图, 则 f(

?
24

)?

A.2+

3

3

C.

3 3

D. 2 ?

3

图 5-8-9

课后练习
一.选择: ?x ? ? ) 的图象(部分)如图 5-8-10 所示,则 ?和? 的取值是( 1.(2004 辽宁)若函数 f ( x) ? sin( A. ? ? 1, ? ? C. ? ? )

?
3

B. ? ? 1, ? ? ? D. ? ?

?
3

1 ? ,? ? 2 6

1 ? ,? ? ? 2 6

-

? 3

y 1
O

2? 3

x

图 5-8-10 ?x ? ? )( x ? R, ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) 的部分图象如图 5-8-11,则( 2. (2005 福建)函数 y ? sin( A. ? ? C. ? ?



? ?
2 4

,? ? ,? ?

? ?
4 4

B. ? ?

?

6 5? D. ? ? , ? ? 4 4

?

3

,? ?

?

?x ? ? ) 的图象的一段,它的解析式为( 3.如图 5-8-12 是函数 y ? A sin(
A C

图 5-8-11 )

y?

2 ? sin( 2x ? ) 3 3 2 ? y ? sin(x ? ) 3 3

B D

y?

2 x ? sin( ? ) 3 2 4 2 2? y ? sin(2 x ? ) 3 3

图 5-8-12

4.(2013 四川文)函数 值分别是( (A) 2, ? )

f ( x) ? 2sin(? x ? ? )(? ? 0, ?

?
2

?? ?

?
2

) 的部分图象如图所示,则 ? , ?



?
3

(B) 2, ?

?
6

2
11π

(C) 4, ?

?
6

(D) 4,

?
3

O -2

5π 12

12

二.填空: ?x ? ? ) ( A, ? , ? 为常数, A ? 0 , ? ? 0 ) 1.(2009 江苏)函数 y ? A sin( ,在闭区间 ?? ? ,0? 上的图象图 5-8-13 所示,则 ? ? .

?x ? ? ) ( ? ? 0 )的图象如图 5-8-14 所示,则 ? = 2.(2009 辽宁)已知函数 f ( x) ? sin(

图 5-8-13 3. (2011 江苏)函数

图 5-8-14

f ( x) ? A sin(wx ? ? ), ( A, w, ? 是常数, A ? 0, w ? 0) 的部分图象如图所示,则

f (0) ? ____
y

? 3
O

7? 12

x

? 2

图 5-8-13

第九节

三角函数图像的变换

(下列各法则中 a ? 0 ) 知识梳理 1. 函数 y ? f ( x) 的图像上各点的横坐标不变,纵坐标变为原来的 a 倍所得到的函数图像的解析式是

y ? af ( x)
2. 函数 y ? f ( x) 的图像上各点的纵坐标不变,横坐标变为原来的 a 倍所得到的函数图像的解析式是

x y? f( ) a 3. y ? f ( x) 的图象向上平移 a 个单位得到 y ? f ( x) ? a 的图象 , 向下平移 a 个单位得到 y ? f ( x) ? a 的
图象 4. y ? f ( x) 的图象向右平移 a 个单位得到 y ? f ( x ? a) 的图象,向左平移 a 个单位得到 y ? f ( x ? a ) 的 图象 (即通常所说的“左加右减” )

典例精析 例 1. 观察下述例子加深对法则的理解
? ? 个单位,所得函数图象的解析式是 y ? sin(x ? ) 4 4 ? 2? (2). 将函数 y ? sin 2 x 的图象向右平移 个单位,所得函数图象的解析式是 y ? sin( 2x ? ) 3 3 ? 将所求解析式写为 y ? sin 2( x ? ) 再整理即得) 3
(1). 将函数 y ? sin x 的图象向右平移

(先

(3). 将函数 y ? sin x 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 3 倍,所得函数图象的解析式是 y ? sin (4). 将函数 y ? sin x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的 ( 5 ) . 将函数 y ? sin(2 x ?

x 3

?
12

1 倍,所得函数图象的解析式是 y ? sin 2 x 2

) 的图象各点的横坐标伸长为原来的 3 倍,所得函数图象的解析式是

2x ? y ? sin( ? ) 3 12 1 1 ? ( 6 ) . 将函数 y ? s i n ( x ? ) 的图象各点的横坐标缩短为原来的 倍,所得函数图象的解析式是 4 2 6 1 ? y ? sin(2 x ? ) (将原函数中的 x 除以 得 4x 代换原函数中的 x 即得) 4 6
(7). 使函数

y ? sin x 的图象每一点横坐标不变,纵坐标变为原来的 3 倍,则得到的函数图象的解析式 y ? sin x 的图象向上平移 2 个单位,所得函数图象的解析式是 y ? sin x ? 2

是 y ? 3 sin x (8). 将函数

?x ? ? ) 的图象,既可先平移后伸缩,也可先伸缩后平 注意:由函数 ...y ? sin x 的图象变换为函数 ........y ? sin( ....................
移。平移的数据不同,但伸缩的数据相同 。 ..................

? 例 2. 观察下述由 y ? sin x 的图像变换到 y ? sin(2 x ? ) 的图像的过程,理解变换顺序的不同给伸缩数
3
据和平移数据带来的变化 (1)先平移后伸缩: 先将函数 y ? sin x 的图象向右平移

? 1 个单位,再将各点横坐标缩短为原来的 倍,便得到函数 3 2

y ? sin(2 x ?

?
3

) 的图象 1 ? 倍,再将其向右平移 个单位,便得到函 2 6

(2)先伸缩后平移: 先将函数 y ? sin x 图象上各点的横坐标缩短为原来的 数 y ? sin(2 x ?

?
3

) 的图象. 1 ? ? ,而平移数据不同,前者为 ,后者为 2 3 6
( )

通过上述例子不难发现伸缩的数据相同,都为

? 例 3. (2004 全国)为了得到函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象,可以将函数 y ? cos 2 x 的图象
? 个单位长度 6 ? C.向左平移 个单位长度 6
A.向右平移

6

? 个单位长度 3 ? D.向左平移 个单位长度 3
B.向右平移

分析:该题所涉及到的是异名函数之间的图像变换,通常的做法需要借助诱导公式将二者化为同名再 用上述变换法则.

? ? 解:由诱导公式, y ? cos 2 x ? sin( ? 2 x) ? sin(2 x ? ) ,再利用本节知识不难选出答案为 B
2 2

课堂练习
一.选择: 1.[2015· 山东卷] 要得到函数 y=sin?4x-

?

π? 的图像,只需将函数 y=sin 4x 的图像( 3?

)

A.向左平移 C.向左平移

π 个单位 12

π B.向右平移 个单位 12 π D.向右平移 个单位 3

π 个单位 3

2.(2010 四川)将函数 y ? sin x 的图像上所有的点向右平行移动 伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,所得图像的函数解析式是( (A) y ? sin(2 x ?

?
10

个单位长度,再把所得各点的横坐标 )

?
10

)

(B) y ? sin( 2x ?

?
5

)

(C) y ? sin( x ?

1 2

?
10

)

(D) y ? sin( x ?

1 2

) 20

?

3. (2006 江苏)为了得到函数 y ? 2 sin( ? 的点( )

x 3

?
6

), x ? R 的图像,只需把函数 y ? 2 sin x, x ? R 的图像上所有

? 6 ? B. 向右平移 6 ? C. 向左平移 6 ? D. 向右平移 6
A. 向左平移

1 倍(纵坐标不变) ; 3 1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) ; 3
个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) ; 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变).

4. 把 y ? sin x 的图象上各点向右平移 倍,则所得图象的解析式是(

? 个单位,再把横坐标缩短到原来的一半,纵坐标扩大到原来的 4 3


1 ? ? A. y ? 4 sin( x ? ) B. y ? 4 sin(2 x ? ) 2 3 3 1 ? ? C. y ? 4 sin( x ? ) D. y ? 4 sin(2 x ? ) 3 2 3 1 ? 5. 要得到 y ? sin( x ? ) 的图象,可将 y ? sin x 的图象( ) 2 6 ? A 各点的横坐标伸长为原来的 2 倍,再向左平移 个单位 6 1 ? B 各点的横坐标伸长为原来的 倍,再向左平移 个单位 2 3 ? C 向左平移 个单位,再将图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍 3 ? D 向左平移 个单位,再将图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍 6
6.(2009 山东)将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 式是( )
2

? 个单位,再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析 4

A. y ? 2 cos x

B. y ? 2 sin x
2

C. y ? 1 ? sin(2 x ?

?
4

)

D. y ? cos 2 x )

7.[2014· 浙江卷] 为了得到函数 y=sin 3x+cos 3x 的图像,可以将函数 y= 2cos 3x 的图像( A.向右平移 C.向左平移 π 个单位 12 B.向右平移 D.向左平移 π 个单位 4 π 个单位 4

π 个单位 12

二.填空: 1. 先将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移

个单位,再将各点横坐标伸长为原来的

倍,便得到函

1 ? 数 y ? sin( x ? ) 的图象. 2 6 2. 先将函数 y ? sin 2 x 图象上各点的横坐标伸长为原来的 1 ? 到函数 y ? sin( x ? ) 的图象. 2 6

倍,再将其向左平移

个单位,便得

课后练习
一. 填空:

1.把函数 y ? cos x 的图象 C 上的所有点向右平移

? 个单位,得到图象 C1 ,再把图象 C1 上的所有点的横 3

坐标伸长到原来的 3 倍,得到图象 C 2 ,则 C 2 的解析式为 2. 把函数 y ? cos(2 x ?

? 3? ) 的图象上各点向右平移 个单位,再把横坐标缩短到原来的一半,纵坐标扩 5 2

大到原来的 5 倍,最后把整个图象向下平移 4 个单位,则所得图象的函数解析式是 π π 3. [2014· 重庆卷] 将函数 f(x)=sin(ωx+φ)?ω >0,- ≤φ < ?图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半, 2 2? ? π π 2 纵坐标不变,再向右平移 个单位长度得到 y=sin x 的图像,则 f? ?=________. 6 2 ?6? 二. 选择: 1.(2016 全国Ⅰ)若将函数 y=2sin (2x+6)的图像向右平移4个周期后,所得图像对应的函数

π

1

为 (A)y=2sin(2x+

? ? ? ? ) (B)y=2sin(2x+ ) (C)y=2sin(2x– ) (D)y=2sin(2x– ) 4 3 4 3
)

2.[2014· 浙江卷] 为了得到函数 y=sin 3x+cos 3x 的图像,可以将函数 y= 2cos 3x 的图像( A.向右平移 C.向左平移 π 个单位 12 π B.向右平移 个单位 4 π D.向左平移 个单位 4

π 个单位 12

3. (2007 山东)要得到函数 y ? sin x 的图象,只需将函数 y ? cos(x ?

?
3

) 的图象(



? 个单位 6 ? C.向左平移 个单位 3
A.向右平移 4.(2008 全国)为得到函数 y ? cos(2 x ?

? 个单位 3 ? D.向左平移 个单位 6
B.向右平移

?
3

) 的图像,只需将函数 y ? sin 2 x 的图像(
5? 个长度单位 12 5? D.向右平移 个长度单位 6
B.向右平移



5? 个长度单位 12 5? C.向左平移 个长度单位 6
A.向左平移

第十节

三角函数的单调性 知识梳理

1. 由正弦函数、 余弦函数、 正切函数的图形特征 (图 5-10-1) , 不难得到三种函数的单调区间 (以下 k ? Z ) .

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x
图 5-10-1

? 3? ? ? ?? ? ? ,2k? ? ? ,单调减区间为 ?2k? ? ,2k? ? ? ; 2 2? 2 2? ? ? (2)余弦函数的单调增区间为 ?2k? ? ? ,2k? ? ,单调减区间为 ?2k? ,2k? ? ? ? ;
(1)正弦函数的单调增区间为 ?2k? ?

? ?? ? , k? ? ? ,没有减区间. 2 2? ? ?x ? ? ) 、 y ? cos(?x ? ? ) 、 y ? tan(?x ? ? ) ( ? ? 0 )的单调区间的方法:把 ?x ? ? 看成 2.求 y ? sin( 一个整体,代入对应的单调区间,再把 x 解出来,便得所求的区间。 (注意,为了避免复合函数有关知识 点的介入,降低难度,统一规定 x 的系数 ? ? 0 ,如果题中 ? ? 0 ,则应转换成 ? ? 0 再求解). 典例精析: ? 例 1.求函数 y ? sin(2 x ? ) 的单调增区间 12 ? ?? ? 解: 因为 y ? sin x 的单调增区间是 ?2k? ? ,2k? ? ? , (k?Z ) 。 2 2? ? ? 把 2x ? 看成一个整体,则有 12 ? ? ? 2k? ? ? 2x ? ? 2k? ? 12 2 2 5? 7? ? 2k? ? ? 2 x ? 2k? ? 12 12 5? 7? 从而 k? ? ? x ? k? ? 24 24 5? 7? ? ? 所以原函数的单调增区间是 ?k? ? , (k ?Z ) 。 , k? ? 24 24 ? ? ? ? 例 2 求函数 y ? sin( ? 4 x) 的单调增区间 6 分析:因为 x 的系数 ? ? ?4 ? 0 ,故先把系数变为正,再求解 ? 解:将原函数变形易得 y ? ? sin(4 x ? ) 6 ? ? 又由函数单调性的有关知识不难得到 y ? ? sin(4 x ? ) 的增区间即为函数 y ? sin(4 x ? ) 的减 6 6
(3)正切弦函数的单调增区间为 ? k? ? 区间 因为 y ? sin x 的单调减区间是 ?2k? ?

? 例 3. 求函数 y ? cos( ? 3x) 的单调增区间
4

2 6 2? 5? ? 4 x ? 2k? ? ? 2k? ? 3 3 k? ? k? 5? 从而 ? ?x? ? 2 6 2 12 ? k? ? k? 5? ? 所以原函数的单调增区间是 ? ( k ?Z ) ? , ? ?, ? 2 6 2 12 ?

2k? ?

?

? 4x ?

?

? ?

?
2

,2k? ?
3? 2

? 3? ? , (k ?Z ) ,把 4 x ? 看成一个整体,则 ? 6 2?

? 2k? ?

? ? ? ? ? 解: y ? cos( ? 3x) = cos?? (3x ? )? = cos(3x ? ) 4 4 4 ? ? ? 所以原函数的增区间就是函数 y ? cos(3x ? ) 的增区间
4

因为 y ? cos x 的增区间是 ?2k? ? ? ,2k? ? ,把 3x ?

?
4

看成一个整体,所以

2k? ? ? ? 3x ?

?
4

? 2k?

3? ? ? 3x ? 2k? ? 4 4 2k? ? 2k? ? 从而 ? ?x? ? 3 4 3 12 ? 2k? ? 2k? ? ? ? , ? ?(k?Z ) 所以原函数的单调增区间为 ? 4 3 12 ? ? 3

? 2k? ?

课堂练习
1.(2009 重庆)下列关系式中正确的是(
? ? ? A. sin11 ? cos10 ? sin168 ? ? ? C. sin11 ? sin168 ? cos10


? ? ? B. sin168 ? sin11 ? cos10 ? ? ? D. sin168 ? cos10 ? sin11

2.(2008 湖南)函数 y ? 2 sin( ? 2 x) 的单调递增区间是

?

3





A. ?k? ?

? ?

?
12

, k? ?

5? ? (k ? Z ) 12 ? ?
6? ? (k ? Z )

B. ?k? ?

? ?

5? 11? ? , k? ? (k ? Z ) 12 12 ? ?

C. ?k? ?

? ?

?
3

, k? ?

??

D. ?k? ?

? ?

?
6

, k? ?

2? ? (k ? Z ) 3 ? ?


3. (2004 天津)函数 y ? 2 sin( ? 2 x)( x ? [0, ? ]) 为增函数的区间是(

?

? 7? ? 5? C. [ , , ] ] 12 12 3 6 4.(2005 福建)函数 y ? cos 2 x 在下列哪个区间上是减函数 ? ? ? 3? ? A. [ ? , ] B. [ , C. [0, ] ] 2 4 4 4 4
A. [0,

?

6

3

]

B. [

D. [

5? , ?] 6
( D. [ )

?
2

,? ]
)

5.[2014· 辽宁卷] 将函数 y=3sin?2x+

π π? 的图像向右平移 个单位长度,所得图像对应的函数( 2 3? π 7 π π 7π A.在区间? , ?上单调递减 B.在区间? , ?上单调递增 ?12 12 ? ?12 12 ? π π π π C.在区间?- , ?上单调递减 D.在区间?- , ?上单调递增 ? 6 3? ? 6 3?

?

6.(2006 全国)函数 f ( x) ? tan(x ? A. (k? ?

?
4

) 的单调增区间为(



, k? ? ) , k ? Z 2 2 3? ? C. (k? ? , k? ? ) , k ? Z 4 4

?

?

B. (k? , (k ? 1)? ) , k ? Z D. (k? ?

?
4

, k? ?

3? ),k ?Z 4

第十一节 对称问题 知识梳理
?x ? ? ) 的图象中(如图 1.三角函数中的对称问题主要是指对称轴和对称中心的问题。在函数 y ? A sin(
5-11-1 所 示 ) ,过该图象的波峰或波谷且垂直于 x 轴的直线均是此函数图象的对称轴,如直线 x ? a, x ? b, x ? c 等。 Q 等。 而此图象与 x 轴的每一个交点都是该图象的对称中心, 如点 M 、N 、 当 x?R

?x ? ? ) 的图象的对称轴有无数多条,对称中心有无数多个。 时, y ? A sin(
?x ? ? ) 的一条对称轴 ? f (m) ? A 或 f (m) ? ? A ;点 (m,0) 是函数 2. 直线 x ? m 是函数 f ( x) ? A sin(
f ( x) ? A sin( ?x ? ? ) 的一个对称中心 ? f (m) ? 0 .
y

A

A

a

B

b

C

c

x

?A

图 5-11-1

3. 在函数 y ? A sin( ?x ? ? ) 的图像中,相邻两条对称轴和相邻两个对称中心之间的距离都是半个周期; 一个对称中心和离它最近的对称轴之间的距离是

1 个周期. 4

典例精析 ? 例.( 2007 福建)已知函数 f ( x) ? sin( ) ?x ? )(? ? 0) 的最小正周期为 ? ,则该函数的图象( 3 ? ? A.关于点 ( ,0) 对称 B.关于直线 x ? 对称 4 3 ? ? C.关于点 ( ,0) 对称 D.关于直线 x ? 对称 3 4 ? ? ? ? 解:依题可知, ? ? 2 .因为 f ( ) ? sin(2 ? ? ) ? sin? ? 0 ,所以 ( ,0) 是 f ( x) 的图像与 x 轴的交 3 3 3 3 ? 点,故 ( ,0) 是该函数图像的对称中心,选 A; 3 ? ? ? 5? 1 f ( ) ? sin(2 ? ? ) ? sin ? ,既不等于函数的最大值 1,也不等于函数的最小值 ?1 ,所以 4 4 3 6 2 ? x ? 不是函数图像的对称轴,排除 B; 4 ? ? 1 由 f ( ) ? ? 0 ,排除 C;由 f ( ) ? 0 ,排除 D. 3 4 2 课堂练习
1.(全国高考)函数 y ? sin(2 x ? A. x ? ?

?
2

5? ) 的图像的一条对称轴的方程是( 2



B. x ? ?

?

4

C. x ?

?

2.(2005 山东)已知函数 y ? sin(x ?

?
12

) cos(x ?

?
12

8

D. x ?

5? 4


) ,则下列判断正确的是(

A. 此函数的最小周期为 2? ,其图像的一个对称中心是 ( B. 此函数的最小周期为 ? ,其图像的一个对称中心是 (

?

?

12

,0) .

12

,0)

C. 此函数的最小周期为 2? ,其图像的一个对称中心是 ( D. 此函数的最小周期为 ? ,其图像的一个对称中心是 (

?
6

, 0)

?
6

, 0)

3.(2006 湖南)设点 P 是函数 f ( x) ? sin?x 的图象 C 的一个对称中心,若点 P 到图象 C 的对称轴上的距离 的最小值

? ,则 f ( x) 的最小正周期是( 4



A. 2?

B. ?

C.

? 2

D.

? 4

π 5π 4.(2012 全国文)已知 ω >0,0<φ <π ,直线 x= 和 x= 是函数 f(x)=sin(ω x+φ )图像的两条相邻的对称 4 4 轴,则 φ = (A) π 4 π (B) 3 π (C ) 2 3π (D ) 4

5.[2014· 安徽卷] 若将函数 f(x)=sin 2x+cos 2x 的图像向右平移 φ 个单位,所得图像关于 y 轴对称,则 φ 的最小正值是( A. π 8 ) π B. 4 3π C. 8 3π D. 4

课后练习

? 1.(2012 福建文)函数 f(x)=sin(x- )的图像的一条对称轴是 4 ? ? ? ? A.x= B.x= C.x=D.x=4 2 4 2
2.函数 y ? cos(2 x ? A. x ? ?

?

?
2

2

) 的图象的一条对称轴方程是(

) D. x ? ?

B. x ? ?

?
4

C. x ?

?
8

π 3.[2014· 福建卷] 将函数 y=sin x 的图像向左平移 个单位,得到函数 y=f(x)的图像,则下列说法正确的 2 是( ) B.y=f(x)的周期为π π 对称 2 D.y=f(x)的图像关于点?-

A.y=f(x)是奇函数

C.y=f(x)的图像关于直线 x=

?

π ,0?对称 2 ?

4. (2009 天津) 已知函数 f ( x) ? sin( ?x ?

?
4

)( x ? R, ? ? 0) 的最小正周期为 ? ,将 y ? f ( x) 的图像向左
) D.

平移 | ? | 个单位长度,所得图像关于 y 轴对称,则 ? 的一个值是( A.

? 2

B.

3? 8

C.

? 4

? 8

第十二节
1.齐次作商求正切.

常用的两个小技巧 知识梳理
2 2

本节把形如 a sin ? ? b cos ? ? 0 和 a sin ? ? b sin? cos? ? c cos ? ? 0 的方程叫做关于 sin ? 、 cos? 的奇次方程,其中前者叫一次齐次方程,后者叫二次齐次方程( a, b, c 为常数).对这两种方程可分
2 别在方程的两边同时除以 cos? 和 cos ? 得到关于 tan? 的方程,从而可解出 tan? 的值.

2. (sin? ? cos? ) ? 1 ? sin2? 的应用.
2

该等式沟通了 sin ? ? cos ? 和 sin 2? 之间的内在联系, 在很多题中如果能巧妙地运用这种关系将能收到 意想不到的效果.

典例精析 例 1. 已知 ? 是第二象限的角,且 sin ? ? 3 cos2 ? ? 2 sin? cos? ? 0 ,求 tan? 的值. 解:方程两边同时除以 cos2 ? 得: tan 2 ? ? 2 tan? ? 3 ? 0
2

所以 tan? ? 3 或 tan? ? ?1 又 ? 是第二象限的角,故 tan? ? ?1 对于齐次分式,也可用类似方法处理.

1 2 sin? cos? ,求 的值. 2 sin2 ? ? cos2 ? 解:分子分母同时除以 cos2 ? 得 4 2 tan? 原式= ? 2 tan ? ? 1 3 1 例 3.已知 sin? ? cos? ? , ? ? (0, ? ) ,求 sin ? ? cos ? 的值. 5

例 2. 已知 tan? ? ?

解:将原式两边同时平方得 1 1 ? sin 2? ? 25 24 故 …………………………………………① sin 2? ? ? 25
又由题设, 2? ? (0,2? ) ,由上述结果,可进一步推断 2? ? (? ,2? ) ,从而 ? ? ( 令 sin ? ? cos ? ? a ,两边同时平方得

?
2

, ? ) ……②

所以

1 ? sin 2? ? a 2 49 a2 ? 25

又由②知 ? ? (

?

2

, ? ) ,所以 sin ? ? 0 , cos? ? 0 ,故 a ? sin ? ? cos ? ? 0 ,于是 a ?

7 . 5

课堂练习 1.已知 ? 是第三象限的角,且 sin ? ? 2 cos2 ? ? sin? cos? ,则 tan? = 4 sin? ? 2 cos? 2. 已知 tan? ? ?2 ,则 = . 5 cos? ? 3 sin?
2



1 ,则 sin 2 x = 5 ? 3? 1 4. 已知 sin? ? cos? ? ,且 ? ? ? ,则 cos 2? 的值是_____________。 2 4 5 ?? 1 ? 5.已知 sin? x ? ? ? ? ,则 sin 2 x = 4? 3 ?
3.已知 sin x ? cos x ? 6.(2012辽宁文)已知 sin ?

? cos ? ? 2 , ? ? (0,π),则 sin 2?
? 2 2 2 2

=





(A)

?1

(B)

(C)

(D) 1

课后练习
? ? 1. cos 75 ? cos15 的值等于(

) C. ?

A.

6 2

B

?

2. 已知 sin? ? A.

1 ? ? ,且 2? ? ? ? 3? ,则 sin ? cos ? ( 4 2 2
B. ?

6 2

2 2

D.

2 2
) D.

5 2

( 3.(2011 辽宁理)设 sin

?
4

5 2

C. ?

5 2

5 4

+?) =

1 ,则 sin 2? ? 3

A. ?

7 9

B. ?

4. (2011 福建)若 tan ? =3,则 A.2 B.3

sin 2? cos 2 a

1 9
的值等于 D.6

C.

1 9

D.

7 9

C.4

5. [2015· 广东卷] 已知 tanα =2.

π (1)求 tan?α + ?的值; 4? ? (2)求 sin 2α 的值. sin2α +sin α cos α -cos 2α-1

第十三节 正弦定理、余弦定理 知识梳理 如图 5-13-1, 在 ?ABC中 (角 A , B , C 所对的边分别为 a 、 b 、 c )中有:
1.正弦定理:

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sinC

( R 为 ?ABC

的外接圆半径)

sin A a sin A a sin B b ? , ? , ? . sin B b sinC c sinC c 2.余弦定理: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC
常用的变式有 图 5-13-1 常用的变式有

cos A ?

b2 ? c2 ? a2 , 2bc

cos B ?

a2 ? c2 ? b2 , 2ac

cosC ?

a2 ? b2 ? c2 2ab

简言之,余弦定理是已知一个三角形的两边和这两边的夹角求第三边的运算;而余弦定理的变式则告 ........................................ 诉我们已知一个三角形的三边可以求出任意一个角的余弦 . ......................... 3.三角形的面积公式:

1 1 1 ab sinC ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2 4.由于在 ?ABC中有 A ? B ? C ? ? ,所以由诱导公式不难有: sin(A ? B) ? sinC cos(A ? B) ? ? cos C S?
5.边角互换:

tan(A ? B) ? ? tan C

在 ?ABC中(角 A、B、C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ) ,边角互换是指在一个关于 a 、 b 、 c 的齐次方程 中, a 、 b 、 c 分别可用 sin A 、 sin B 、 sin C 代替;反过来,如果把 sin A 、 sin B 、 sin C 当成一个整 体,则关于这三个整体的齐次方程中, sin A 、 sin B 、 sin C 也可用 a 、 b 、 c 去代替(在分式中,当分 子分母的每一项次数相等时也可采用类似的方法替换)

典例精析 3 例1. 在 ?ABC中, AC ? 2 , BC ? 1 , cos C ? . 4 (1)求 AB 的值; (2)求 sin A 的值. 解: (1)如图 5-13-2,
由余弦定理,

?2 所以 AB ? 2
(2) 由 cos C ? 图 5-13-2

AB2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC ? cosC 3 ? 2 2 ? 12 ? 2 ? 2 ? 1 ? 4

3 知 C 为锐角,由同角异名三角函数值的有关知识易得 4

sin C?

7 4

AB BC 7 1 14 ,即 2 / ,解得 sin A ? ? ? sinC sin A 4 sin A 8 例 2.(2007 全国)设锐角三角形 ABC的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且 a ? 2b sin A .
由正弦定理, (1)求 B 的大小; (2)若 a ? 3 3 , c ? 5 ,求 b .

解: (1)由正弦定理的变式有

sin A a ? ,所以由已知有 sin B b 1 sin A ? 2 sin B sin A ,于是 sin B ? , 2


B?

?

6

. 图 5-13-3

(2)由余弦定理 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B

? (3 3 ) 2 ? 52 ? 2 ? 3 3 ? 5 ?

?7
所以 b ? 7

3 2

例 3.( 2005 湖北)在 ?ABC中,已知 tan B ? 3 , cosC ? , AC ? 3 6 ,求 ?ABC的面积. 解:依题意可得 B ?
的有关知识可得

?
3

1 3

且 C 为锐角,又由同角异名三角函数值

2 2 3 AB AC 由正弦定理, , ? sinC sin B 解得 AB ? 8 又在 ?ABC中有 A ? B ? C ? ? sinC ?
图 5-13-4 所以 sin A ? sin(B ? C )

? sin B cos C ? cos B sin C

?
?

3 1 1 2 2 ? ? ? 2 3 2 3
3?2 2 6
1 1 bc sin A ? ? 3 6 ? 8 ? 2 2

?ABC的面积 S ?

3?2 2 6

? 6 2 ?8 3

例 4. 求证: (1) b 2 ? ac ? c 2 ? sin2 B ? sin A sinC ? sin2 C (2)
b2 ? c2 sin2 B ? sin2 C ? sin A ? ? sin A a2 sin2 A

证明:由正弦定理

a b c ? ? ? 2R 易得, sin A sin B sinC

a ? 2 R sin A , b ? 2 R sin B , c ? 2 R sin C ,故

(1) b 2 ? ac ? c 2 ? (2R sin B) 2 ? 2R sin A ? 2R sinC ? (2R sinC) 2
? 4R 2 sin2 B ? 4 R 2 sin A sin C ? 4 R 2 sin2 C ? sin2 B ? sin A sin C ? sin2 C (2 R sin B) 2 ? (2 R sin C ) 2 b ?c ? sin A ? ? sin A (2) a2 (2 R sin A) 2
2 2

4R 2 sin2 B ? 4R 2 sin2 C ? sin2 A 4R 2 sin2 A sin2 B ? sin2 C ? ? sin2 A sin2 A 课堂练习 ?
一. 填空:
? 1.(2007 重庆) ?ABC中, AB ? 1, BC ? 2 , B ? 60 ,则 AC =______________。

2. ( 2007 湖南)在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b, c , ,若 a ? 1, b ? 7 , c ? 3 ,则 。 B=

2π 3. [2015· 北京卷] 在△ABC 中,a=3,b= 6,∠A= ,则∠B=________. 3

二.选择: D1. (2016 全国Ⅰ)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 ,则 b= (A) (B) (C)2 (D)3






2.(2004 全国)在 ?ABC中, AB ? 3, BC ? 13, AC ? 4 ,则边 AC 上的高为( A.

3 2 2

B.

3 3 2

C.

3 2

D. 3 3

3.(2013 全国新 2)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=2,B=

,C=

,则△ABC 的面积为

(A)2

+2

(B)

+1

(C)2

-2

(D)

-1

4. (2008 四川) ?ABC的三个内角 A 、 B 、 C 的对边边长分别是 a 、 b 、 c ,若 a ? 则 cos B =( A. ) B.

5 b , A ? 2B , 2

5 3

5 4

C.

5 5

D.

5 6

5.. (2013 安徽文) 设 ?ABC 的内角

若 b ? c ? 2a ,3sin A ? 5sin B , A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c ,

则角 C =( (A)



2? 3? (C) 3 3 4 6.(2013 辽宁文)在 ?ABC ,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c. 若 1 a sin B cos C ? c sin B cos A ? b, 且a ? b, 则?B ? ( ) 2 ? ? 2? 5? A. B. C. D. 3 6 6 3

?

(B)

(D)

5? 6

课后练习
一.选择: 1.( 2006 全国) ?ABC的内角 A 、 B 、C 的对边分别为 a 、b 、 c ,若 a 、b 、 c 成等比数列,且 c ? 2a , 则 cos B =( ) A.

1 4

B.

3 4

C.

2 4

D.

2 3

2. (2013 山东文)?ABC 的内角 则c ? (A)

A、B、C 的对边分别是 a、b、c ,若 B ? 2 A ,a ? 1 ,b ? 3 ,

2 3

(B) 2

(C)

2

(D)1

3.(2013 湖南)在锐角 ? ABC 中,角 A,B 所对的边长分别为 a,b. 若 2asinB= A.

3 b,则角 A 等于

? 3

B.

? 4

C.

? 6

D.

? 12

4.(2013 陕西文) 设△ ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 b cos C ? c cos B ? a sin A , 则△ ABC 的形状为 (A) 直角三角形 (B) 锐角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定

5.(2011 重庆)若△ ABC 的内角,

A, B, C 满足 6sin A ? 4sin B ? 3sin C ,则 cos B ?
3 4

A.

15 4

B.

C.

3 15 16

D.

11 16

二.填空: 1. (2007 北京)在 ?ABC中,若 tan A ?

1 , C ? 150? , BC ? 1 ,则 AB = 3

2. (2016 北京)在△ABC 中, ?A ?

b 2? ,a= 3 c,则 =_________. c 3
2,

3.(2010 山东)在 ?ABC中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,若 a ? 2 , b ? 2 , sin B ? cos B ?

则角 A 的大小为 4.( 2006 全国)已知 ?ABC的三个内角 A ,B ,C 成等差数列, 且 AB ? 1, BC ? 4 ,则 BC 边上的中线 AD 的长为 。

第十四节 三角函数计算题集锦 1. (2016 北京)已知函数 f(x)=2sin ωx cos ωx+ cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为π . (Ⅰ)求 ω 的值; (Ⅱ)求 f(x)的单调递增区间.

2.(2008 江苏) 如图 5-14-1,在平面直角坐标系 xoy 中,以 ox 轴为始边做两个锐角 ? , ? ,它们的终边分 别与单位圆相交于 A, B 两点,已知 A, B 的横坐标分别为 (Ⅰ)求 tan(? ? ? ) 的值; (Ⅱ)求 ? ? 2 ? 的值。

2 2 5 , 10 5

图 4 1 4

3. (2013 天津文) 在△ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c. 已知 b sin A ? 3c sin B , a =

2 3, cos B ? . 3
(Ⅰ) 求 b 的值;

?? ? (Ⅱ) 求 sin ? 2 B ? ? 的值. 3? ?

4. (2016 山东)

设 f ( x) ? 2 3 sin(? ? x)sin x ? (sin x ? cos x)2 (Ⅰ)求 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ)把 y =f (x) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再把得到 的图象向左平移
? ? 个单位,得到函数 y =g( x) 的图象,求 y =g( ) 的值. 3 6

5.(2015 新课标Ⅱ) △ABC 中 D 是 BC 上的点,AD 平分 ? BAC,BD=2DC.

(I)求

sin ?B ; sin ?C

(II)若 ?BAC ? 60? ,求 ? B .

B, C 所对的边分别为 a, b, c. 6. (2014陕西文) ?ABC 的内角 A, b, c 成等差数列,证明: sin A ? sin C ? 2 sin ? A ? C ? ; (I)若 a , b, c 成等比数列,求 cos B 的最小值. (II)若 a ,

7.(2015 重庆) 已知函数 f(x )=

1 sin2x- 3 cos 2 x . 2

(I)求 f(x)的最小周期和最小值; (II 将函数 f (x) 的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍, 纵坐标不变, 得到函数 g (x) 的图像.当 x ? ?

?? ? , ? 时,求 g(x)的值域. ?2 ? ?

8.(2011 湖南)(本小题满分 12 分)

在 ? ABC 中,角

A, B, C 所对的边分别为 a, b, c 且满足 c sin A ? a cos C.

(I)求角 C 的大小; (II)求

3 sin A ? cos( B ?

?
4

) 的最大值,并求取得最大值时角 A, B 的大小.

9. (2015 安微)已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x) ? cos 2 x
2

(1)求 f ( x) 最 小正周期; (2)求 f ( x) 在区间 [0,

?
2

] 上的最大值和最小值.

10.(2015 天 津 ) △ABC 中 , 内 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c, 已 知 △ABC 的 面 积 为

1 3 1 5, b ? c ? 2, cos A ? ? , 4
(I)求 a 和 sinC 的值; (II)求 cos ? 2 A ?

? ?

??

? 的值. 6?

11. (2015 新课标Ⅰ)已知 a, b, c 分别是 ?ABC 内角 A, B, C 的对边,sin

2

B ? 2sin A sin C .

(I)若 a ? b ,求 cos B;

(II)若 B ? 90? ,且 a ?

2, 求 ?ABC 的面积.

12. (2013 山东文) 设函数 f ( x) ?

3 且 y ? f ( x) ? 3 sin 2 ? x ? sin ? x cos ? x (? ? 0) , 2

图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 (Ⅰ)求 ? 的值 (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 [? ,

? , 4

3? ] 上的最大值和最小值. 2

13.(2012 湖南文)

已知函数 f ( x ) ? A sin(?x ? ? )( x ? R, ? ? 0,0 ? ? ?

?
2

) 部分图像如

图 5 所示。 (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数 g ( x ) ? f ( x ?

?
12

) ? f (x ?

?
12

) 的单调递增区间。

14.(2016 四川文) 在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c, 且

o s c a

A

?

o s c b

B

?

n i s C 。 c

(I)证明:sinAsinB=sinC;
2 2 2 (II)若 b ? c ? a ?

6 bc ,求 tanB。 5

1 5 . ( 2 0 1 4 湖 南 ) 如 图

4 , 在 平 面 四 边 形 ABCD 中 ,

DA ? AB , DE ? 1, EC ? 7 , EA ? 2, ?A D ? C
?BEC ?

?
3

2? , 3

(1)求 sin ?CED 的值; (2)求 BE 的长


相关文章:
数学基础模块(上册)第五章三角函数5.4.1(同角三角函数...
数学基础模块(上册)第五章三角函数5.4.1(同角三角函数的基本关系式)_数学_高中教育_教育专区。【课题】5.4 同角三角函数的基本关系 【教学目标】知识目标: 理解...
中职数学基础模块上册人民教育出版社第五章三角函数教...
中职数学基础模块上册人民教育出版社第五章三角函数教案集_数学_高中教育_教育专区。中职数学人民出版社上册第三章函数教案集第五章 三角函数 5.1.1 角的概念的推...
第五章三角函数
第五章三角函数_理学_高等教育_教育专区。第五章第一节 三角函数 三角函数基本概念 知识梳理 1.当角被放在直角坐标系里讨论的时候,角的顶点是原点,角的始边是...
第五章三角函数
第五章三角函数第一节 角的概念的推广与弧度制 A组 1.点 P 从(-1,0)出发,沿单位圆 x2+y2=1 顺时针方向运 到达 Q 点,则 Q 点的坐标为___. π ...
职高数学基础模块上册第五章《三角函数》
职高数学基础模块上册第五章三角函数》_高一数学_数学_高中教育_教育专区。《三角》试题库一、填空: 1.角 375 为第 ? ? 填空) 21. 若 cos ? <0,则 ?...
第五章三角函数
第五章三角函数_数学_高中教育_教育专区。第五章 一 选择题 三角函数 1.时针经过 8 小时,时针转过的角的弧度数是( A、 4 ? 3 )。 D、- 2? 3 B、-...
江苏中职数学学业水平测试指导用书第五章三角函数
第五章 三角函数 § 5.1 角的概念推广【知识要点】 1.角的概念的推广 (1)角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的...
第五章三角函数_图文
∠BOA=-120° . 1 第五章 三角函数 B 120° -120° O A 1. 教师画图, 学生说角的度数. 2.学生练习:画出下列各角: (1)0,360° ,720° , 1 080...
第五章三角函数(A)
第五章三角函数(A)_理学_高等教育_教育专区。第五章三角函数(提高训练) (B)一、选择题 1、角 ? 2851 ? 是( ) A. 第一象限角 B. 第二象限角 C.第...
第五章三角函数
第五章三角函数测试卷 姓名 学号 得分 一、选择题: 1、下列命题为假函数的是 () A、角的度数表示旋转量的大小 B、各角和旋转量等于各角旋转量的和 C、在...
更多相关标签: