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中考数学二轮专题复习:几何型综合题
【简要分析】 几何型综合题包括几何论证型综合题和几何计算型综合题两大类,一般以相似为中心, 以圆为重点,还常与代数综合.它以知识上的综合性与中考中的重要性而引人注目. 值得一提的是,在近两年各地的中考试题,几何综合题的难度普遍下降,出现了一大批 探索性试题,根据新课标的要求,减少几何中推理论证的难度,加强探索性训练,将成为几 何型综合题命题的新趋势. 【典型考题例析】 D A 例 1:如图 2-4-27,四边形 ABCD 是正方形,△ECF 是等 腰直角三角形,其中 CE=CF,G 是 CD 与 EF 的交点. (1)求证:△BCF≌△DCE. (2)若 BC=5,CF=3,∠BFC=900,求 DG:GC 的值. (2005 年吉林省中考题) 分析与解答 (1)∵四边形 ABCD 是正方形, 0 ∴∠BCF+∠FCD=90 ,BC=CD. ∵△ECF 是等腰直角三角形,CF=CE. 0 ∴∠ECD+∠FCD=90 .∴∠BCF=∠ECD.∴△BCF≌△DCE 0 (2)在△BFC 中,BC=5,CF=3,∠BFC=90 . ∴BF= BC 2 ? CF 2 ? 52 ? 32 ? 4 . ∵△BCF≌△DCE,∴DE=BF=4,∠BFC=∠DEC=∠FCE=90 . ∴DE∥FC.∴△DGE∽△CGF.∴DG:GC=DE:CF=4:3. 例 2:已知如图 2-4-28,BE 是⊙O 的走私过圆上一点作⊙ O 的切线交 EB 的延长线于 P. 过 E 点作 ED∥AP 交⊙O 于 D, 连 结 DB 并延长交 PA 于 C,连结 AB、AD. (1)求证: AB ? PB BD .
2
0

F B

G

E

C 图 2-4-27

A C 1 3 P B 2 O E

(2)若 PA=10,PB=5,求 AB 和 CD 的长. (2005 年湖北省江汉油田中考题) 分析与解答 (1) 证明: ∵PA 是⊙O 的切线, ∴∠1=∠2. ∵ED∥AP,∴∠P=∠PED. 而∠3=∠BED,∴∠3=∠P.∴△ABD∽△PBA.∴ AB ? PB BD .
2

图2-4-28

2 (2)连结 OA、AE.由切割线定理得, PA ? PB BD .即 10 ? 5 ? (5 ? BE) ,
2

∴BE=15.又∴△PAE∽△PBA,∴
2 2

AE PA ? ? 2 ,即 AE=2AB. AB PB
2

在 Rt△EBA 中, 15 ? AB ? (2 AB) , ∴ AB ? 3 5 .将 AB、PB 代入 AB ? PB BD ,得 BD=9.
2

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又∵∠BDE=90 ,ED∥AP, ∴DC⊥PA.∴BC∥OA.∴ ∴ BC ?
0

BC PB ? . OA PO

5 15 ? ? 3 .∴CD=12 15 2 5? 2
A C H D O1 F O2 B G 图2-4-28 E

例 2: 如图 2-4-29, ⊙ O1 和⊙ O2 相交于 A、 B 两点, 圆心 O1 在 ⊙ O2 上,连心线 O1 O2 与⊙ O1 交于点 C、D,与⊙ O2 交于点 E, 与 AB 交于点 H,连结 AE. (1)求证:AE 为⊙ O1 的切线. (2)若⊙ O1 的半径 r=1,⊙ O2 的半径 R ?

3 ,求公共弦 AB 的长. 2

(3)取 HB 的中点 F,连结 O1 F,并延长与⊙ O2 相交于点 G,连结 EG,求 EG 的长 (2005 年广西壮族自治区桂林市中考题) 分析与解答 (1)连结 A O1 .∵ O1 E 为⊙ O2 的直径,∴∠ O1 AE=90 .
0

又∵ O1 A 为⊙ O1 的半径,∴AE 为⊙ O1 的切线. (2)∵ O1 A=r=1, O1 E=2R=3,△A O1 E 为 Rt△,AB⊥ O1 E, ∴△A O1 E∽△H O1 A.∴ O1 A2 ? O1H O1E . ∴ O1 H ?

1 4 2 2 2. . AB ? 2 AH ? 2 OA ? OH ? 3 3

(3)∵F 为 HB 的中点,∴HF= HF ?

1 2 AB ? , 4 3

∴ O1F ? O1H ? HF ?
2 2

3 . 3

∵ ?HO1F ? ?GO1E . ∴Rt△ O1HF ∽Rt△ O1GE .∴

O1F HF ? . O1E EG

2 ?3 HF O1E ? 6. ∴ EG ? ,即 EG ? 3 O1F 2 3

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例 4 如图 2-4-30, A 为⊙O 的弦 EF 上的一点, OB 是和这条弦垂直的半径, 垂足为 H,BA 的延长线交⊙O 于点 C,过点 C 作⊙O 的切线与 EF 的延长线交于点 D. (1)求证:DA=DC (2)当 DF:EF=1:8 且 DF= 2 时,求 AB AC 的值. (3)将图 2-4-30 中的 EF 所在的直线往上平移到⊙O 外,如图 2-4-31,使 EF 与 OB 的 延长线交⊙O 于点 C,过点 C 作⊙O 的切线交 EF 于点 D.试猜想 DA=DC 是否仍然成立,并证 明你的结论. (2005 年山东省菏泽市中考题)
B E H O C 图 2-4-30 A F D

ED B

H

A

F

C

O

分析与解答 ( 1 )连结 OC ,则 OC ⊥DC ,∴∠ 0 0 DCA=90 -∠ACO=90 -∠B. 0 又∠DAC=∠BAE=90 -∠B,∴∠DAC=∠DCA.∴DA=DC.

K 图 2-4-30

(2)∵DF:EF=1:8, DF ? 2 ,∴EF=8DF= 8 2 , 又 DC 为⊙O 的切线,∴ DC 2 ? DF DE ? 2 ? 9 2 ? 18 . ∴ DC ? 18 ? 3 2 . ∴ AD ? DC ? 3 2 , AF ? AD ? DF ? 3 2 ? 2 ? 2 2 , AE ? EF ? AF ? 8 2 ? 2 2 ? 6 2 . ∴ AB AC ? AE AF ? 6 2 ? 2 2 ? 24 . (3)结论 DA=DC 仍然成立.理由如下:如图 2-4-31, 0 延长 BO 交⊙O 于 K,连结 CK,则∠KCB=90 . 0 又 DC 是⊙O 的切线,∴∠DCA=∠CKB=90 -∠CBK. 0 0 又∠CBK=∠HBA,∴∠BAH=90 -∠HBA=90 -∠CBK. ∴∠DCA=∠BAH.∴DA=DC. 说明:本题是融几何证明、计算和开放探索于一体的综合题,是近几年中考的热点题目 型,同学们复习时要引起注意. 【提高训练】 1.如图 2-4-32,已知在△ABC 中,AB=AC,D、E 分别是 AB 和 BC 上的点,连结 DE 并 延长与 AC 的延长线相交于点 F.若 DE=EF,求证:BD=CF.
A

D B E 图 2-4-32 C F

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2.点 O 是△ABC 所在平面内一动点,连结 OB、OC,并将 AB、OB、OC、AC 的中点 D、E、F、 G 依次连结,如果 DEFG 能构成四边形. (1)如图 2-4-33,当 O 点在△ABC 内时,求证四边 形 DEFG 是平行四边形. (2)当点 O 移动到△ABC 外时, (1)中的结论是否成立?画出图形, 并说明理由. (3)若四边形 DEFG 为矩形,O 点所在位置应满足什么条件?试说明理由.

A D O B E F 图 2-4-33 C G

3.如图 2-4-35,等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠DBC=450.翻折梯形 ABCD,使点 B 重 合于点 D,折痕分别交边 AB、BC 于点 F、E.若 AD=2,BC=8,求: (1)BE 的长. ( 2) ∠CDE 的正切值.
A F B 图 2-4-34 C E D

4.如图 2-4-35,四边形 ABCD 内接于⊙O,已知直径 AD=2,∠ABC=120 ,∠ACB=45 ,连结 OB 交 AC 于点 E. (1)求 AC 的长. (2)求 CE:AE 的值. (3)在 CB 的延长上取一点 P, 使 PB=2BC,试判断直线 PA 和⊙O 的位置关系,并加以证明你的结论.
D O A E B P 图 2-4-35 C

0

0

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5.如图 2-4-36,已知 AB 是⊙O 的直径,BC、CD 分别是⊙O 的切线,切点分别为 B、D,E 是 BA 和 CD 的延长线的交点. (1)猜想 AD 与 OC 的位置关系,并另以证明. (2)设 A DO C 的 值为 S,⊙O 的半径为 r,试探究 S 与 r 的关系. (3)当 r=2, sin ?E ? 长.
C D E A O B
1 时,求 AD 和 OC 的 3

图 2-4-36

【答案】 1.过 D 作 DG∥AC 交 BC 于 G,证明△DGE≌△FCE 2. (1)证明 DG∥EF 即可 (2)结论仍然成立,证明略 (3)O 点应在过 A 点且垂直于 BC 的直线上(A 点除外) ,说理略. 3. (1)BE=5 (2) tan ?CDE ? 4. (1) AC ? 3 (2) CE : AE ?
1 2 1 ,PB=2BC,∴CE:AE=CB:PB. 2

3 5

(3)∵ CE : AE ?

∴BE∥AP.∴AO⊥AP.∴PA 为⊙O 的切线 5. (1)AD∥OC,证明略 0 (2)连结 BD,在△ABD 和△OCB 中,∵AB 是直径,∴∠ADB=∠OBC=90 . 又∵∠OCB=∠BAD,∴Rt△ABD∽Rt△OCB. ∴
AD AB . S ? AD OC ? AB OB ? 2r r ? 2r 2 , ? OB OC
4 3 , OC ? 2 3 . 3

∴ S ? 2r 2 (3) AD ?

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