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衡水中学2011—2012学年度第一学期期中考试高一数学试题+答案


高一年级数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分。考试时间120分钟。

7. 若函数 f ? x ? 的零点与 g ? x ? ? 4 ? 2 x ? 2 的零点之差的绝对值不超过 0.25,则 f ( x) 可以是
x



) B. f ( x) ? x ? 1


3
2

A. f ( x) ? 3x ? 1

C. f ? x ? ? e ? 1
x

D. f ( x) ? ln( x ? ) ( )

1 2

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

8. 设 abc ? 0 ,二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的图像可能是 A.

注意事项:1.答卷Ⅰ前,考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2.答卷Ⅰ时,每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 一、选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的序号 填涂在答题卡上) 1. 若 f ( x) ? ? x ? 2ax 与 g ( x) ?
2

B.
2

C.
2

D.
2

9. 设 x , y 是关于 t 的方程 t ? 2at ? a ? 6 ? 0 的两个实根, 则 (x ? 1) ? ( y ? 1) 的最小值是 ( ) A. ?

49 4

B.18

C.8

D. 0

A. (?1,0) ? (0,1)

a 在区间 ?1,2? 上都是减函数,则 a 的取值范围是 ( x 1? B. (?1,0) ? (0,1) C. (0,1) D. ?0,
0.3



10.定义一种运算: g ? h ? ? 象是

? g ( g ? h) x ,已知函数 f ( x) ? 2 ? 1 ,那么函数 y ? f ( x ? 1) 的大致图 ?h ( g ? h )
( )

2. 已知 a ? log 0.5 5 , b ? log 0.5 3 , c ? log 3 2 , d ? 2 A. a ? b ? c ? d B. b ? a ? c ? d
2

,则 D. c ? a ? b ? d





C. a ? b ? d ? c

3.设函数 f ( x) ? ?2 x ? 3ax ? 2a( x, a ?R) 的最大值为 m(a ) , 当 m(a ) 有最小值时 a 的值为 ( A. ?



4 3

B. ?
2

3 4

C. ?

8 9

D. ?

9 8

5 2 4. 已知集合 A ? {x | x ? x ? 1 ? 0}, B ? {y | y ? x ? a, x ? R } ,若 A ? B ? ? ,则 a 的取 2
值范围是 A. (??,? ] ( B. (? )

11. 函数 f ( x ) ? ?

? ?(2a ? 1) x ? 7 a ? 2( x ? 1) , 在 (??,??) 上单调递减, 则实数 a 的取值范围是 ( x a ( x ? 1) ? ?
B. (0, )



A. (0,1)

1 2

1 ,??) 2

C. [?4,? ]

1 4

1 2

C. [ , )

3 1 8 2

D. [ ,1)

3 8

D. (??,?2] ( D.第四象限 )

12. 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x) 满 足 f (? x) ? ? f ( x), f ( x ? 4) ? f ( x) 且 x ? (?1,0) 时 ,

5. 己知 a>1,b<-1,则函数 y=loga(x+b)的图象不经过 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

1 f ( x) ? 2 x ? ,则 f (log 2 20) ? 5
A.1 B.

( C. ? 1 D. ?



6.我市某旅行社组团参加衡水湖湿地一日游,预测每天游客人数在 40 至 100 人之间,游客人数 x (人)与游客的消费总额 y (元)之间近似地满足关系: y ? ? x ? 210 x ? 6400 .那么游客的人
2

4 5

4 5

均消费额最高为( A.40

)元. B.50 C.60
高一数学第1页(共8页)

( D.80



第Ⅱ卷(非选择题
高一数学第2页(共8页)

共 90 分)

二、填空题(每题5分,共20分。把答案填在答题纸的横线上)

13. y ?

log 0.5 (4 ? x) 的定义域为________________________.
2 log3 2

(2)在坐标系中画出函数 f ( x) 的图象; . (3)讨论方程 | x ? 2 x ? 3 |? k (k ? R) 解的情况.
2

14. 计算 lg 5 ? lg 2 ? lg 50 ? 9 15. 已知 f ( x) ? x2011 ? ax3 ? 16.有下列四个命题: ①函数 f ( x ) ?

? log 7 343 ?

b ? 6 , f (?3) ? 10 ,则 f (3) ? ______________. x

a2 ? x2 (b ? a ? 0) 为奇函数; | x ? b | ?b

20. (本小题 12 分)已知函数 f ( x) ? log a ( x ? ax ? 3)
2

(1)若函数 f ( x) 的值域为 R ,求实数 a 的取值范围; (2)当 x ? (0,2) 时,函数 f ( x) 恒有意义,求实数 a 的取值范围。

②函数 y ? 1 ? x 的值域为 { y | 0 ? y ? 1} ; ③已知集合 A={-1,3},B={x|ax-1=0,a∈R},若 A∪B=A,则 a 的取值集合为{-1,13}; ④集合 A={非负实数},B={实数},对应法则 f:“求平方根”,则 f 是 A 到 B 的映射. 其中正确命题的序号为:___ _____.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,写在答题 纸的相应位置) 17.(本小题 10 分)已知函数 f ( x) ? x ? 3x ? 10 的两个零点为 x1 , x2 ( x1 ? x 2 ) ,
2

21. (本小题 12 分)函数 f ( x) 满足:①定义域是 (0, ??) ; ③对任意 x, y ? (0, ??) ,总有 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ? 2 (1)求出 f (1) 的值;

②当 x ? 1 时, f ( x) ? 2 ;

设 A ? {x | x ? x1 , 或x ? x2 } , B ? {x | 2m ? 1 ? x ? 3m ? 2} ,且 A ? B ? ? ,求实数 m 的取值 范围.

(2)判断函数 f ( x) 的单调性,并用单调性的定义证明你的结论; (3)写出一个满足上述条件的具体函数。

ax 2 ? 2 (a, b, c ? Z)是奇函数,又 f (1) ? 1, f (2) ? 4 ? 0 , 18.(本小题 12 分)已知 f ( x) ? bx ? c 求 a, b, c 的值。

22. (本小题12分)已知函数 f (x ) ? 1 ?

1 , (x ? 0) x

(1)当 0 ? a ? b ,且 f (a) ? f (b ) 时,求证: a ? b ? 2ab (2)是否存在实数 a, b (a ? b ) ,使得函数 y ? f (x ) 的定义域、值域都是 [a, b ] ?若存在,则求出

a, b 的值,若不存在,请说明理由。

19.(本小题 12 分)设函数 f ( x) ?| x ? 2 x ? 3 |
2

y

衡水中学 2011-2012 学年度第一学期期中考试高一数学答案
6 5

(1)求函数 f ( x) 的零点;
高一数学第3页(共8页)

一、选择题 DACAD

BADCB

CC

4 3 2 1 -2 -1 0

高一数学第4页(共8页)

1 2 3 4 5

x

二、填空题 13. ?3,4 ? 三、解答题 17. 解: A ? {x | x ? ?2, 或x ? 5} ???????????????????????2 分 ①当 B ? ? 时, 2m ? 1 ? 3m ? 2 解得 m ? ?3 ????????????????5 分 ?2m ? 1 ? 3m ? 2 1 ? ②当 B ? ? 时,因为 A ? B ? ? ,所以 ?2 m ? 1 ? ?2 解得 ? ? m ? 1 。 ??9 分 2 ?3m ? 2 ? 5 ?
综上实数 m 的取值范围为 ? 14.

当 k ? 0 或 k ? 4 时,方程 | x ? 2 x ? 3 |? k 有两个交点;
2

??????????10 分 ?????????11 分 ?????????12 分

13 2

15. -22

16. ①②

当 k ? 4 时,方程 | x ? 2 x ? 3 |? k 有三个交点;
2

当 0 ? k ? 4 时,方程 | x ? 2 x ? 3 |? k 有四个交点。
2

2 2 20. 解: (1)令 g ( x) ? x ? ax ? 3 ,由题设知 g ( x) ? x ? ax ? 3 需取遍 (0,??) 内任意值,

所以 ? ? a 2 ? 12 ? 0 解得 a ? ?2 3或a ? 2 3
2

?????????????????6 分

(2) g ( x) ? x ? ax ? 3 ? 0 对一切 x ? (0,2) 恒成立且 a ? 0, a ? 1 即a ? x ?

1 ? m ? 1或 m ? ?3 。 2

3 对一切 x ? (0,2) 恒成立 x

?????????????????8 分

??????????????10 分 令 h( x ) ? x ? 所以 a ? 2 3

18. 解:∵ f ( x) 为奇函数,∴ f (? x) ? ? f ( x) ,

3 , x ? (0,2) ,当 x ? 3 时, h( x) 取得最小值为 2 3 , x
????????????????????12 分 ?????????4 分

ax 2 ? 2 ax 2 ? 2 ? ? ?bx ? c ? ?bx ? c ? c ? 0, ???????????3 分 ? bx ? c ? bx ? c ax 2 ? 2 a?2 ? f ( x) ? ,? f (1) ? ? 1 ? a ? b ? 2. ???????????5 分 bx b (b ? 2) x 2 ? 2 ???????????6 分 f ( x) ? , bx 4(b ? 2) ? 2 2b ? 3 3 ? f (2) ? 4 ? 0,? ?4?0? ? 4 ? 0 ? ? ? b ? 0, ????10 分 2b b 2 ∵ a, b, c ? Z ,∴ b ? ?1 , ∴ a ? ?3 , 综上, a ? ?3, b ? ?1, c ? 0 . ????????????????????????12 分 2 19. 解: (1)令 | x ? 2 x ? 3 |? 0 解得 x ? ?1或3 ,所以函数 f ( x) 的零点为 ? 1,3 ??4 分 ?
(2)

21. 解: (1)令 x ? 1 ,有 f (1? y) ? f (1) ? f ( y) ? 2 ,? f (1) ? 2
(2) f ( x) 在 (0, ??) 单调递减 事实上,设 x1 , x2 ? (0, ??) ,且 x1 ? x2 ,则

x1 x ? 1, f ( 1 ) ? 2 x2 x2

? f ( x1 ) ? f ( x2 ?

x1 x ) ? f ( x2 ) ? f ( 1 ) ? 2 ? f ( x2 ) , x2 x2 ???????????10 分 ? f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减 (3) f ( x) ? 2 ? log a x ,其中 a 可以取 (0,1) 内的任意一个实数 ?????12 分

? 1 1 ? (x ? 1) ? ? x 22. 解: (1)? x ? 0 ,? f ( x ) ? ? , ? 1 ? 1(0 ? x ? 1) ? ?x
所以 f (x ) 在(0,1)内递减,在(1,+ ? )内递增。 ???????????8 分 由 0 ? a ? b ,且 f (a) ? f (b ) ? 0 ? a ? 1 ? b ,?

1 1 1 1 ?1 ? 1? 即 ? ? 2 。 a b a b
??????????4分

? 2ab ? a ? b
(3)结合图像可知: 当 k ? 0 时,方程 | x ? 2 x ? 3 |? k 无解;
2

(2)不存在满足条件的实数 a, b 。 ??????????9 分
高一数学第6页(共8页)

高一数学第5页(共8页)

? 1 1 ? (x ? 1) ? ? x ? f (x ) ? ? ? 1 ? 1(0 ? x ? 1) ? ?x
①当 a、b ? (0,1) 时, f (x ) ?

1 ? 1 在(0,1)内递减, x

?f ?? ?f

?1 ?1 ? b ? (a ) ? b ?a ?? ? a ? b ,所以不存在。 (b ) ? a ?1 ?1 ? a ? ?b
1 在(1,+ ? )内递增, x

??????????7分

②当 a、b ? (1,??) 时, f (x ) ? 1 ?

?f (a ) ? a ?? ? a , b 是方程 x 2 ? x ? 1 ? 0 的根。 f ( b ) ? b ?
而方程 x
2

? x ? 1 ? 0 无实根。所以不存在。

??????????10分

③当 a ? (0,1), b ? (1,??) 时, f (x ) 在 (a, 1) 内递减, 在 ( 1, b) 内递增, 所以 f (1) ? a ? a ? 0 , 由题意知 a ? 0 ,所以不存在。 ??????????12分

高一数学第7页(共8页)

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