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【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版)选修2-2练习:综合测试2 第2章]


第二章综合测试
时间 120 分钟,满分 150 分。

一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.曲线 y=ex 在点 A(0,1)处的切线斜率为( A.1 C.e [答案] A [解析] 根据导数的几何意义可得,k=y′|x=0=e0=1. 4 2.已知使函数 y

=x3+ax2- a 的导数为 0 的 x 值也使 y 值为 0,则常数 a 的值为( 3 A.0 C.0 或± 3 [答案] C [解析] 求出使 y′=0 的值的集合,再逐一检验.y′=3x2+2ax.令 y′=0,得 x=0 2 或 x=- a. 3 4 由题设 x=0 时,y=0,故- a=0,则 a=0.且知当 x=2,a=-3 或 x=-2,a=3 时, 3 也成立.故选 C. 3.设 f(x)为可导函数,且满足条件lim
x→0

)

B. 2 1 D. e

)

B.± 3 D.非以上答案

f?1?-f?1-x? =-1,则曲线 y=f(x)在点(1,f(1)) 2x

处的切线的斜率为( A.-1 C.1 [答案] B

) B.-2 D.2

[解析] 因为 f(x)为可导函数,且lim
x →0

f?1?-f?1-x? f?1?-f?1-x? 1 =-1,所以 lim =-1, 2x 2 x→0 x

f?1?-f?1-x? 所以lim =-2,即 f′(1)=-2,所以 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为-2. x x→0 4.(2014· 河南开封二模,12)过点 A(2,1)作曲线 f(x)=x3-3x 的切线最多有( A.3 条 C.1 条 [答案] A B.2 条 D.0 条 )

2 [解析] 由题意得,f′(x)=3x2-3,设切点为(x0,x3 0-3x0),那么切线的斜率为 k=3x0- 3 3, 利用点斜式方程可知切线方程为 y-(x0 -3x0)=(3x2 将点 A(2,1)代入可得关于 0-3)(x-x0),

x0 的一元三次方程,利用导数的思想可知方程有三个解,故过点 A(2,1)作曲线 f(x)=x3-3x 的切线最多有 3 条,故选 A. ex 5.若函数 y= 在 x=x0 处的导数值与函数值互为相反数,则 x0 的值( x A.等于 0 1 C.等于 2 [答案] C ?ex?′x-ex· ?x?′ ex?x-1? [解析] y′= = , x2 x2 ex0?x0-1? ex0 当 x=x0 时,y′= ,y= .由题意,知 y′+y=0,即 ex0(x0-1)+ex0· x0=0, x2 x0 0 1 所以 x0= . 2 6.(2014· 邹城一中月考,9)已知函数 f(x)在 R 上满足 f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,则曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是( A.y=2x-1 C.y=3x-2 [答案] A [解析] ∵f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8, ∴f(2-x)=2f(x)-(2-x)2+8(2-x)-8 =2f(x)-x2-4x+4. 将②代入①,得 f(x)=4f(x)-2x2-8x+8-x2+8x-8. ∴f(x)=x2,y′=2x. ∴y=f(x)在(1,f(1))处的切线斜率为 y′|x=1=2. ∴函数 y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为 y-1=2(x-1),即 y=2x-1. 5π? sinθ 3 3cosθ 2 7.设函数 f(x)= x+ x +tanθ,其中 θ∈? ?0,12?,则导数 f′(1)的取值范围是 3 2 ( ) A.[-2,2] C.[ 3,2] [答案] D B.[ 2, 3] D.[ 2,2] ② ① ) B.y=x D.y=-2x+3 B.等于 1 D.不存在 )

[解析] ∵f′(x)=x2sinθ+ 3xcosθ, π ∴f′(1)=sinθ+ 3cosθ=2sin(θ+ ), 3 5π π 2 ∵θ∈[0, ],∴sin(θ+ )∈[ ,1], 12 3 2 ∴f′(1)∈[ 2,2].故选 D. [点评] 本题考查导数的运算法则以及常用函数的导数公式,应熟练掌握常用函数的导 数公式以及四则运算法则. 8.若曲线 xy=a(a≠0),则过曲线上任意一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积 是( ) A.2a2 C.2|a| [答案] C a a a [解析] 设切点的坐标为(x0, y0), 曲线的方程即为 y= , y′=- 2, 故切线斜率为- 2, x x x0 a a 切线方程为 y- =- 2(x-x0).令 y=0 得 x=2x0,即切线与 x 轴的交点坐标为(2x0,0);令 x x0 x0 2a? 2a =0 得 y= , 即切线与 y 轴的交点坐标为? ?0, x0 ?.故切线与两坐标轴所围成的三角形的面积 x0 2a? 1 为 ×|2x0|×? ? x0 ?=2|a|. 2 9.已知函数 f(x)=x2+bx 的图像在点 A(1,f(1))处的切线 l 与直线 3x-y+2=0 平行, 1 若数列{ }的前 n 项和为 Sn,则 S2 012 的值为( f?n? 2 009 A. 2 010 2 011 C. 2 012 [答案] D [解析] f′(x)=2x+b,由 f′(1)=2+b=3,得 b=1. 则 f(x)=x2+x. 1 1 1 1 1 于是 = 2 = = - , n f?n? n +n n?n+1? n+1 S2 012= 1 1 1 1 1 1 1 1 2 012 + +…+ =1- + - +…+ - = . 2 2 3 2 012 2 013 2 013 f?1? f?2? f?2 012? ) ) B.a2 D.|a|

2 010 B. 2 011 2 012 D. 2 013

15 10.若存在过点(1,0)的直线与曲线 y=x3 和 y=ax2+ x-9 都相切,则 a 等于( 4 25 A.-1 或- 64 21 B.-1 或 4

7 25 C.- 或- 4 64 [答案] A

7 D.- 或 7 4

[解析] 考查导数的应用,求曲线的切线方程问题. 设过(1,0)的直线与 y=x3 相切于点(x0,x3 0),
2 所以切线方程为 y-x3 0=3x0(x-x0), 3 即 y=3x2 0x-2x0,又(1,0)在切线上,

3 则 x0=0 或 x0= . 2 15 x0=0 时,由 y=0 与 y=ax2+ x-9 相切得 4 25 a=- 64 3 27 27 15 当 x0= 时,由 y= x- 与 y=ax2+ x-9 相切得 a=-1,所以选 A. 2 4 4 4 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.球的半径从 1 增加到 2 时,球的体积平均膨胀率为____________. [答案] 28 π 3

4 4 28π [解析] ∵Δy= π×23- π×13= , 3 3 3 28π 3 Δy 28 ∴ = = π. Δx 2-1 3 12. 设 f(x)是偶函数, 若曲线 y=f(x)在点(1, f(1))处的切线的斜率为 1, 则该曲线在点(- 1,f(-1))处的切线的斜率为________. [答案] -1 [解析] 考查偶函数性质. 偶函数图像关于 y 轴对称,则曲线上关于 y 轴对称的两点的切线也关于 y 轴对称,斜率 互为相反数. ∴斜率为-1. 1 13.已知 0<x< ,f(x)=x2,g(x)= x,则 f′(x)与 g′(x)的大小关系是________. 4 [答案] f′(x)<g′(x) [解析] 由题意,得 f′(x)=2x,g′(x)= 1 1 由 0<x< ,知 0<f′(x)< ,g′(x)>1, 4 2 故 f′(x)<g′(x). . 2 x 1

14.函数 y=cosx· cos2x· cos4x 的导数为________. cosxsin8x [答案] y′= sin2x [解析] ∵y=cosx· cos2x· cos4x= sinx· cosx· cos2x· cos4x 1 sin8x = · , sinx 8 sinx cos8x-cosx· sin8x cos8x cosx· 1 sin8x? 1 8sinx· sin8x ∴y′= ? ′= · = - . 2 sin x ? ? 8 8 sin x sinx 8sin2x 15.设 f(x)=x(x+1)(x+2)· …· (x+n),则 f′(0)=____________. [答案] 1×2×……×n [解析] 令 g(x)=(x+1)(x+2)……(x+n),则 f(x)=x· g(x).求导数得 f′(x)=x′g(x)+ x· g′(x)=g(x)+x· g′(x). 所以 f′(0)=g(0)+0· g′(0)=g(0)=1×2×…×n 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,前 4 题每题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分) 16.路灯距地平面为 8 m,一个身高为 1.6 m 的人以 84 m/min 的速率在地面上行走,从 路灯在地平面上射影点 C,沿某直线离开路灯,求人影长度的变化率. [解析] 如图,路灯距地平面的距离为 DC,人的身高为 EB.设人从 C 点运动到 B 处路 程为 x m,时间为 t(单位:s),AB 为人影长度,设为 y,则

AB BE ∵BE∥CD,∴ = , AC CD ∴ y 1.6 = , y+x 8

又 84 m/min=1.4 m/s, 1 7 ∴y= x= t(x=1.4t). 4 20 7 ∴y′= . 20 [点评] 人影长度的变化率即人影长度关系时间 t 的导数. 1 17.求曲线 y= x3+x2+4 上斜率最小的切线的倾斜角及切线方程. 3 [分析] 斜率最小即函数的导数值最小. [解析] 由于 y′=x2+2x,当 x=-1 时,(y′)min=-1, 14 即切点为(-1, )时,切线斜率最小为-1, 3

3π 此时切线倾斜角为 , 4 14 切线方程为 y- =-1(x+1), 3 即 3x+3y-11=0, 18.已知曲线 C1:y=x2 与 C2:y=-(x-2)2,直线 l 与 C1、C2 都相切.求直线 l 的方 程.
2 [解析] 设 l 与 C1 相切于点 P(x1,x2 1),与 C2 相切于点 Q(x2,-(x2-2) ).

对于 C1,y′=2x,则与 C1 相切于点 P 的切线方程为 y-x2 1=2x1(x-x1),即 y=2x1x- x2 1 ①. 对于 C2,y′=-2(x-2),则与 C2 相切于点 Q 的切线方程为 y+(x2-2)2=-2(x2-2)(x -x2), 即 y=-2(x2-2)x+x2 2-4
? ?2x1=-2?x2-2? ∵两切线重合,∴? 2 2 , ?-x1=x2-4 ? ?x1=0 ?x1=2 ? ? 解得? 或? , ?x2=2 ? ? ?x2=0

②.

∴直线 l 的方程为 y=0 或 y=4x-4. 19.(1)求曲线 y=f(x)=x3-2x 在点(1,-1)处的切线方程; (2)过曲线 y=f(x)=x3-2x 上的点(1,-1)的切线方程. [分析] 要注意(1)(2)中的不同之处,在点(1,-1)处的切线方程即(1,-1)为切点,而 过点(1,-1)的切线方程中切点需设出后,再利用导数的几何意义(可利用斜率相等),求出 切点坐标后再求切线方程. [解析] (1)由题意 f′(x)=3x2-2,f′(1)=1, ∴点(1,-1)处的切线的斜率 k=1,其方程为 y+1=x-1,即 x-y-2=0. (2)设切点为(x0,y0),则 y0=x3 0-2x0, 则切点处的导数值 f′(x0)=3x2 0-2; 若点(1,-1)为切点,由(1)知切线方程为 x-y-2=0;若点(1,-1)不为切点,则 y0+1 3x2 (x ≠1), 0-2= x0-1 0 即 x3 0-2x0+1 2 3x0-2= , x0-1

2 3 ∴3x3 0-2x0-3x0+1=x0-2x0. 2 ∴2x3 0-3x0+1=0,

即(x0-1)(2x2 0-x0-1)=0. 1 ∴x0=1 或 x0=- ,其中 x0=1 舍去. 2 1 7 则切点坐标为(- , ), 2 8 1 1 5 ∴斜率为 f′(- )=3×(- )2-2=- . 2 2 4 ∴切线方程为 5x+4y-1=0. ∴过点(1,-1)的切线方程为 x-y-2=0 或 5x+4y-1=0. [点评] 利用导数求切线方程时要注意: 求在点 P(x0, y0)处的切线方程, 与经过点 P(x0, y0)的切线方程求法不同,后者需要先把切点设出来. 20.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)=2x2. (1)求 x<0 时,f(x)的表达式; (2)令 g(x)=lnx,问是否存在 x0,使得 f(x),g(x)在 x=x0 处的切线互相平行?若存在, 请求出 x0 的值;若不存在,请说明理由. [解析] (1)当 x<0 时,-x>0,f(x)=-f(-x)=-2(-x)2=-2x2. (2)若 f(x),g(x)在 x0 处的切线互相平行, 则 f′(x0)=g′(x0),且 x0>0, 1 故 f′(x0)=4x0=g′(x0)= , x0 1 解得 x0=± . 2 1 ∵x0>0,∴x0= . 2 21.已知函数 f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R),若 x∈[0,1],f(x)图像上任意一点处切线的 斜率为 k,当|k|≤1 时,求 a 的范围. [解析] ∵f′(x)=-3x2+2ax, ∴k=f′(x)=-3x2+2ax. 由|k|≤1 知|-3x2+2ax|≤1(0≤x≤1), a a2 即|-3(x- )2+ |≤1 在 x∈[0,1]上恒成立. 3 3 又 f′(0)=0, a ①当 <0,即 a<0 时,-3+2a≥-1,即 a≥1.故无解; 3 a ? ? 3 ≤1, a ②当 0≤ ≤1,即 0≤a≤3 时,? 3 ? ?-3+2a≥-1, 得 1≤a≤ 3;
2

a ③当 >1,即 a>3 时,-3+2a≤1 得 a≤2,此时无解. 3 综上知 1≤a≤ 3, ∴a 的范围为[1, 3].


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