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常用逻辑用语专题复习


简单逻辑用语复习学案 简单逻辑用语复习学案 用语复习
一、知识梳理
1、命题: 叫命题,如“3>5”是命题, “萝卜好大”不是命题。 (1)命题的一般书写形式是 . (2)不含逻辑联结词“或”“且”“非”的命题叫做 、 、 命题,由简单命题与逻辑联结词构成的命 题叫做 。复合命题的构成形式有 、 和 三种形式。 (3) p 或 q”复合命题只有 “ 时为假,否则为真命题; “p 且 q”复合命题只有当 p,q 同时为真命题时为 ,否则为假命题; p 与“非 p”的真假 。 (4)全称命题与存在性命题: ,符号表示: . 全称命题: 存在性命题: ,符号表示: . 全称命题的否定形式为: ,存在性命题的否定形式为: . 2、命题的四种形式及其关系: ;则逆命题: ; (1)原命题:若 p 则 q(p 为条件,q 为结论) 否命题: ;逆否命题: . (2)原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。 (3)四种命题及其关系如下图所示 :
原原原 若 p则 q 互 否 为 互 否原原 若 ┐p则 ┐q 互 逆 互 为 否 逆 逆 否 逆原原 若 q则 p 互 否 逆否原原 若 ┐q则 ┐p

互 逆

3、充分条件与必要条件: (1)如果命题“若 p 则 q”为真,则记为 p ? q ,否则记作 (2)在命题“若 p 则 q”中, 如果 p ? q,则称 p 是 q 的 条件,同时也称 q 是 p 的 如果 p ? q 但 q ? p,则称 p 是 q 的 如果 p ? q 但 q ? p ,则称 p 是 q 的 如果 p ? q 且 q ? p ,则称 p 是 q 的 (3)p 是 q 的充分条件的四种说法: 文字语言:命题“若 p 则 q”为真命题;
q P

. 条件;

条件; 条件; 条件。 符号语言:p ? q ;

集合语言:

即集合 p ? q ;

逻辑语言: q 是 p 的必要条件

4、命题的否定形式与否命题 已知命题: “若 p 则 q” ,则该命题的否定形式为: “若 p 则非 q” ; (只否定结论) 则该 命题的否命题为: “若非 p 则非 q”(条件和结论都否定) 。 5、反证法:从命题结论的反面出发(假设) ,引出(与已知、公理、定理…)矛盾,从而否定假设证明原 命题成立,这样的证明方法叫做反证法。

二、典型例题
题型一 是否构成命题 例 1、下列语句是命题的有( C ) ① 3 ≥ 3 ;②10 是 2 或 5 的倍数;③2 是 4 和 6 的约数;④相似三角形的对应边不一定相等;⑤这道题好 难啊! ;

A.2

B.3

C.4

D.5

题型二 命题真假的判断 例 2、判断下列命题的真假: ① 若x 2 ≤ 0, 则x ≥ 0 ; ( 真 ) ②若 ?A 是 B 的充分不必要条件,则 A 是 ?B 的必要不充分条件; 真 ) ( ③ x ≠ 2且x ≠ 3 ? x + y ≠ 5 ; 假 ) ( ④ 已知命题 P: ?x ∈ [1, 2], x 2 ? a ≥ 0 ,命题 q: ?x ∈ R, x 2 + 2ax + 2 ? a = 0 ,若 p ∧ q 是真命题,则 ( 实数 a 的取值范围是 a ≤ ?2或a = 1 ; 真 )
2

⑤ 已知实数 a > 1 ,命题 p:函数 y = log 0.5 ( x + 2 x + a ) 的定义域为 R,命题 q: | x |< 1 是 x < a 的充分 不必要条件,则(A) A. p ∨ q 为真命题 C. ?p ∧ q 为真命题 B. p ∧ q 为假命题 D. ?p ∧ ?q 为真命题

⑥设函数 f(x)的定义域为 R,有下列三个命题: ① 若存在常数 M,使得对任意 x∈R,有 f(x)≤M,则 M 是函数 f(x)的最大值; ,则 f(x0)是函数 f(x)的最大值; ②若存在 x0∈R,使得对任意 x∈R,且 x≠x0,有 f(x)<f(x0) ③若存在 x0∈R,使得对任意 x∈R,有 f(x)≤f(x0),则 f(x0)是函数 f(x)的最大值. 这些命题中,真命题的个数是 ( D ) A.0 B.1 C.2 D.3 题型三 命题的否定与否命题 例 3、写出下列命题的否定形式与否命题,并判断真假:
2 2 (1)若 x + y = 0 ,则 x=0,y=0;

(2)若 xy=0,则 x,y 中至少有一个为 0;

(3)若 x + y =0,则 x,y 中至多有一个大于 0. 解: (1)否定:若 x 2 + y 2 = 0 ,则 x ≠ 0或y ≠ 0 ; (假)否命题:若 x 2 + y 2 ≠ 0 ,则 x ≠ 0或y ≠ 0 (真) (2)否定:若 xy=0,则 x,y 都不为 0; (假)否命题:若 xy ≠ 0 ,则 x,y 都不为 0; (真) (3)否定:若 x + y =0,则 x,y 都大于 0.(假)否命题:若 x + y ≠ 0 ,则 x,y 都大于 0(假) 题型四 充分必要条件 例 4、 (1)如果 A 是 B 的必要不充分条件,B 是 C 的充分必要条件,D 是 C 的充分不必要条件,那么 A 是 D 的( B ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)已知 A 是 B 的充分条件, B 是 C 的充要条件,?A 是 E 的充分条件, D 是 C 是必要条件,则 D 是 ?E 的____ 必要不充分条件 _____条件. (3)关于 x 的方程: ax 2 + 2 x + 1 = 0( a ≠ 0) 有一正根和一负根的充分不必要条件是( C ) A. a < 0 B. a > 0 C. a < ?1 D. a > 1 既不充分也不必要条件 .

(4)已知 P: x ≠ 2,x ≠ 3 ,q: x + y ≠ 5 ,则 p 是 q 的
2

试分析 a > 2且b > 1 是 α , β 均大于 1 的什么条件? 例 5、 设 α , β 是方程 x ? ax + b = 0 的两个实根, (1)

(2)已知关于 x 的方程: x 2 + (2k ? 1) x + k 2 = 0 ,求使该方程有两个大于 1 的根的充要条件. 解: (1)必要不充分条件; (2) k < ?2

题型五 综合应用
例 6、 (1)设 P: |4 x - 3 |≤ 1 ,q: x ? (2a + 1) x + a ( a + 1) ≤ 0 .若 ?p是?q 的必要不充分条件,则实数
2

a 的取值范围是
2

.

(2)是否存在实数 p ,使“ 4 x + p < 0 ”是“ x ? x ? 2 > 0 ”的充分条件?如果存在,求出 p 的取值 范围.是否存在实数 p ,使“ 4 x + p < 0 ”是“ x ? x ? 2 > 0 ”的必要条件.如果存在,求出 p 的取
2

值范围. 解: (1) 0 ≤ a ≤

1 ; (2) p ≥ 4 ;不存在 2

例 7、已知 c > 0 ,设 p:函数 y = c x 在 R 上为单调递减函数;命题 q: y = lg(2cx 2 + 2 x + 1) 的值域为 R. 已知 P 且 q 为假,p 或 q 为真,求 c 的取值范围. 答案:

1 < a <1 2

例 8、有 A、B、C 三个盒子,其中一个内放有一个苹果,在三个盒子上各有一张纸条.A 盒子上的纸条写 的是“苹果在此盒内”,B 盒子上的纸条写的是“苹果不在此盒内”,C 盒子上的纸条写的是“苹果不在 A 盒 内”.如果三张纸条中只有一张写的是真的,请问苹果究竟在哪个盒子里?(答案:B 盒) 三、练习 1、命题“对任意的 x ∈ R,x ? x + 1 ≤ 0 ”的否定是(
3 2


3 2

A C

h p /: /w c .8 3 0 .0 o m t x 2 c x c @ 1 2 .6 o m w t k c

王新敞 王新敞 王新敞 王新敞 特级教师 特级教师 特级教师 特级教师 源头 学子小屋 源头 学子小屋 源头 学子小屋 源头 学子小屋
新·新·疆奎7 · 疆奎7 屯 屯 200· 新·2 ·2 0 0 · 疆奎0 ·0 屯 新0 7 屯7 疆奎 20

不存在 x ∈ R,x ? x + 1 ≤ 0
3 2

B

h t : w c 8 3 0 .0 o m p/ / x. 2 c w c t 1 2 .6 o m x @ c k

王新敞 王新敞 王新敞 王新敞 特级教师 特级教师 特级教师 特级教师 源头 学子小屋 源头 学子小屋 源头 学子小屋 源头 学子小屋 新疆 奎屯 新疆 奎屯 ·2 · 0 0 · 0 · 新疆200772 奎屯 新疆77 奎屯 ·2 · ·0 · 0 0

存在 x ∈ R,x ? x + 1 ≤ 0 对任意的 x ∈ R,x ? x + 1 > 0
3 2

h p /: /w c .8 3 0 .0 o m t x 2 c x c @ 1 2 .6 o m w t k c

王新敞 王新敞 王新敞 王新敞 特级教师 特级教师 特级教师 特级教师 源头 学子小屋 源头 学子小屋 源头 学子小屋 源头 学子小屋 新疆 奎屯 新疆 奎屯 ·2 · 0 0 · 0 · 新疆200772 奎屯 新疆77 奎屯 ·2 · ·0 · 0 0

存在 x ∈ R,x ? x + 1 > 0
3 2

D

h t : w c 8 3 0 .0 o m p/ / x. 2 c w c t 1 2 .6 o m x @ c k

王新敞 王新敞 王新敞 王新敞 特级教师 特级教师 特级教师 特级教师 源头 学子小屋 源头 学子小屋 源头 学子小屋 源头 学子小屋 新疆 奎屯 新疆 奎屯 ·2 · 0 0 · 0 · 新疆200772 奎屯 新疆77 奎屯 ·2 · ·0 · 0 0

2、有四个关于三角函数的命题:

p1 : ? x ∈ R, sin 2 p3 : ? x ∈ [ 0, π ] ,
其中假命题的是 (A) p1 , p4

x 1 2 x + cos = 2 2 2

p2 : ? x、y ∈ R, sin(x-y)=sinx-siny p4 : sinx=cosy ? x+y=

1 ? cos 2 x =sinx 2

π
2

(B) p2 , p4
2

(3) p1 , p3

(4) p2 , p4

解析: p1 : ? x ∈ R, sin

x 1 2 x + cos = 是假命题; p2 是真命题,如 x=y=0 时成立; p3 是真命题, 2 2 2

Q ? x ∈ [ 0, π ] , sin x ≥ 0, ∴

1 ? cos 2 x = sin 2 x = sin x = sin x =sinx ; p4 是 假 命 题 , 2

π
如x= 2

,y=2π 时,sinx=cosy,但x+y ≠

π
2

。选 A.

3、 x = 2kπ + “

π
4

( k ∈ Z ) ”是“ tan x = 1 ”成立的

[答]( A )

(A)充分不必要条件. (C )充分条件.
2

(B)必要不充分条件. (D)既不充分也不必要条件.

4、已知 P:关于 x 的不等式 x + 2ax ? a > 0 的解集为 R,q: ?1 < a < 0 ,则 p 是 q 的() (A)充分不必要条件. (C )充分条件. (B)必要不充分条件. (D)既不充分也不必要条件.

5、设 m,n 是平面 α 内的两条不同直线, l1 , l2 是平面 β 内的两条相交直线,则 α // β 的一个充分 而不必要条件是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A.m // β 且 l //

α

B. m // l 且 n

// l 2

C. m // β 且 n // β 【答案】 :B

D. m // β 且 n // l 2

[解析]若 m / / l1 , n / / l2 , m.n ? α , λ1.λ2 ? β ,则可得 α // β .若 α // β 则存在 λ1 ∩ λ2 , m / / l2 , n / / l1 6、已知 k ∈ {a | ?1 < x < 1, a ≠ 0} ,设命题 P:y=kx+2011 值随 x 的增大而增大;命题 q:不等式

x + | x ? k |> 1 的解集为 R。当 P ∨ q 为真, p ∧ q 为假,则实数 k 的取值范围是
7、若 P : x ? 2 x ? 3 > 0, q :
2



1 > 0 ,则 ?P是?q 的 x ? 5x ? 6
2

充分不必要条件

条件.

8、已知 a>0,则 x0 满足关于 x 的方程 ax = b 的充要条件是

1 2 1 2 1 1 2 ax ? bx ≥ ax0 ? bx0 (B) ?x ∈ R, ax 2 ? bx ≤ ax0 ? bx0 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (C) ?x ∈ R, ax ? bx ≥ ax0 ? bx0 (D) ?x ∈ R, ax ? bx ≤ ax0 ? bx0 2 2 2 2
(A) ?x ∈ R, 【答案】C 【命题立意】本题考查了二次函数的性质、全称量词与充要条件知识,考查了学生构造二次函数解 决问题的能力。 【解析】 由于 a>0,令函数 y =

1 2 1 b b2 b ax ? bx = a ( x ? )2 ? , 此时函数对应的开口向上, x= 时, 当 2 2 a 2a a

取得最小值 ?

b2 b 1 2 b2 ,而 x0 满足关于 x 的方程 ax=b,那么 x0== ,ymin= ax0 ? bx0 = ? ,那么对于任意 2a a 2 2a

1 2 b2 1 2 的 x∈R,都有 y = ax ? bx ≥ ? = ax0 ? bx0 2 2a 2
9、记实数 x1 , x2 ,…… xn 中的最大数为 max { x1 , x2 ,......xn } ,最小数为 min { x1 , x2 ,......xn } 。已知 ABC 的三边长位 a,b,c( a ≤ b ≤ c ) ,定义它的亲倾斜度为

?a b c ? ?a b c ? l = max ? , , ? .min ? , , ? , ?b c a ? ?b c a ?

则“ l =1”是“ ? ABC 为等边三角形”的 A.必要而不充分的条件 B.充分而不必要的条件 【答案】A

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

?a b c ? ?a b c ? 【解析】若△ABC 为等边三角形时,即 a=b=c,则 max ? , , ? = 1 = min ? , , ? 则 l=1;若△ABC 为 ?b c a ? ?b c a ? 等腰三角形,如 a=2,b=2,c=3 时,

?a b c ? 3 ?a b c ? 2 则 max ? , , ? = , min ? , , ? = ,此时 l=1 仍成立但△ABC 不为等边三角形,所以 A 正确. b c a? 2 ?b c a ? 3 ?


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