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2011届江苏高考数学仿真模拟押题卷8


2011 届高考数学仿真押题卷——江苏卷(8)
一、填空题: 1、已知M ={x ? x -3|<4},N ={x|

x ?1 ? 0, x ? Z }, M ? N ? {0} x?2


2、若将复数 (1 ? i)(1 ? 2i)2 表示为 p ? qi( p, q ? R) )的形式,则 p ? q ? 8

3、 在样本的频率分布直方图中, 一共有 n 个小矩形, 若中间一个小矩形的面积等于其余 (n-1) 个小矩形面积之和的

1 ,且样本容量为 240,则中间一组的频数是 60 5
3

4、一个盒子中装有 4 张卡片,上面分别写着如下四个定义域为 R 的函数:f1(x)=x , f2(x) =|x|, f3(x)=sinx, f4(x)=cosx 现从盒子中任取 2 张卡片,将卡片上的函数相乘得到一个 新函数,所得函数为奇函数的概率是

2 3

5、.已知三条不重合的直线 m、n、l 两个不重合的平面 a、b,有下列命题 ①若 l∥a,m∥b,且 a∥b,则 l∥m ②若 l⊥a,m⊥b,且 l∥m,则 a∥b ③若 m ? a,n ? a,m∥b,n∥b,则 a∥b ④若 a⊥b,a∩b= m,n ? b,n⊥m,则 n⊥a 其中真命题的个数是 2 6、设P是椭圆

x2
25

?

y2
9

? 1上一点, M、N 分别是两圆: (x+4) +y =1 和(x-4) +y =1 上的点,
2 2 2 2

则|PM|+|PN|的最小值、最大值分别为 8,12
a 1 3 7、已知直线ax ? by ? 2 ? 0与曲线y ? x 在点P (1,1)处的切线互相垂直, 则 为 ? b 3

8、双曲线的渐近线方程为 y ? ?

3 x ,则双曲线的离心率是 4

5 3



5 4

??? ? ? ??? ? ??? ? AB ? 9. O 是锐角 ? ABC 所在平面内的一定点,动点 P 满足: OP ? OA ? ? ?2 ? ???

? AB Sin?ABC ?

?

? ? , ? ? ? 0, ??? ,则动点 P 的轨迹一定通过 ? ABC 的___内___心. ???? 2 ? AC Sin?ACB ? ? ???? AC
2 2 10. 对于使 ? x ? 2 x ? M 成立的所有常数 M 中,我们把 M 的最小值 1 叫做 ? x ? 2 x 的上确

界,若 a, b ? R? , 且a ? b ? 1 ,则 ?

1 2 9 ? 的上确界为_______ ? _______. 2a b 2
1 3

11. 如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,点 M 在 AB 上,且 AM= AB,点 P 在平

面 ABCD 上, 且动点 P 到直线 A1D1 的距离的平方与 P 到点 M 的距离的平方差为 1, 在
2 1 x ? _______. 3 9

平面直角坐标系 xoy 中,动点 P 的轨迹方程是_______ y 2 ? 12. 设函数 f ( x) ? a1 ? a2 x ? a3 x2 ? ?? an xn?1 , f (0) ?

1 ,数列 {an } 满足 2

f (1) ? n2an (n ? N * ) ,则数列 {an } 的通项 an =

1 . n(n ? 1)

13. 函数 f(x)是奇函数,且在 [ -1 ,1]是单调增函数,又 f( -1)=- 1, 则满足 f(x) ≤

t +2at+1 对 所 有 的 x ∈ [ - 1,1] 及 a ∈ [ - 1,1] 都 成 立 的 t 的 范 围 是

2

? ??. ? 2? ??0? ? ?2, ???
??? ?

.

14. 已知 O 为坐标原点,OP ? ? x, y ? ,OA ? ? a,0 ? ,OB ? ? 0, a ? ,OC ? ? 3, 4 ? , 记 PA 、

??? ?

??? ?

????

??? ?

??? ? ??? ? PB 、 PC 中 的 最 大 值 为 M , 当 a 取 遍 一 切 实 数 时 , M 的 取 值 范 围 是 ?7 ? 2 ? 6?, ?

?

.

二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分)

15、在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A、B、C 的对边,且 2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 sinB+sinC= 3 ,试判断△ABC 的形状。 解: (Ⅰ)由 2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC, 得 2a =(2b-c)b+(2c-b)c,…………………………………………………… 2 分 即 bc= b + c - a ,
2 2 2 2

? cos A ?

b ?c ?a
2 2

2

2bc

?

1 2

,

………………………………………………4 分

∠A=60°. …………………………………………………………………………5 分 (Ⅱ)∵A+B+C=180°. ∴B+C=180-60=120°.…………………………………………6 分

由sin B ? sin C ? 3,

得 sin B ? sin(120? ? B) ? 3. …………………………………………………………7 分
?sin B ? sin120? cos B ? cos120? sin B ? 3.
3 3 ? sin B ? cos B ? 3, 2 2

………………………………………8 分

即 sin(B+30°)=1. …………………………………………………………10 分 ∴0<B<120°,30°<B+30°<150°. ∴B+30°=90°, B=60°. ………………………………………………11 分 ∴A=B=C=60°,△ABC 为正三角形. ………………………………………12 分 16、将数列 {an } 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表: 将数列 {an } 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表: a1 a2,a 3 a 4,a 5,a 6 a7,a8,a9,a10 …… 记表中的第一列数 a1,a2,a4,a7, ? 构成的数列为 ?bn ? ,b1 ? a1 ? 1 .Sn 为数列 ?bn ? 的前

n 项和,且满足

2bn ? 1(n ≥ 2) . 2 bn Sn ? Sn
?1? ? 成等差数列,并求数列 ?bn ? 的通项公式; ? Sn ?

(Ⅰ)证明数列 ?

(Ⅱ)上表中,若从第三行起,第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比为 同一个正数.当 a81 ? ? 证明: (Ⅰ) 由已知

4 时,求上表中第 k (k ≥3) 行所有项的和. 91

2( S n ? S n?1 ) 2bn ?1, 又 Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn , 所以 ? 1, 2 2 bn Sn ? Sn ( S n ? S n?1 ) S n ? S n



2( Sn ? Sn ?1 ) 1 1 1 ? 1 ,所以 ? ? (n ? 2) , 又 S1 ? b1 ? a1 ? 1 . ? Sn ?1Sn Sn Sn ?1 2
?1? 1 的等差数列.由上式可知 ? 是首项为 1,公差为 2 ? Sn ?
Sn ? 2 n ?1
. 所 以 当

所以数列 ?

1 1 n? 1 , 即 ? 1? ( n ? 1?) Sn 2 2
bn ? Sn ? ?1 2 Sn ? n ?1 2 ? n

n≥ 2





?1,    n ? 1, ? ? .? bn ? ? 2 ,n ≥ 2. ( ?n n1 ) ?? ? n(n ? 1)
2

(Ⅱ) 解: 设上表中从第三行起, 每行的公比都为 q , 且q ? 0. 因为 1 ? 2 ? ? ? 12 ? 78 , 所以表中第 1 行至第 12 行共含有数列 ?an ? 的前 78 项,故 a81 在表中第 13 行第三列, 因此 a81 ? b13 ? q ? ?
2

4 2 又 b13 ? ? ,所以 q ? 2 . 记表中第 k (k ≥3) 行所 91 13 ? 14

有项的和为 S , 则S ?

bk (1 ? q k ) 2 1 ? 2k 2 ?? ? ? (1 ? 2 k )(k ? 3). 1? q k (k ? 1) 1 ? 2 k (k ? 1)

17、已知一条曲线 C 在 y 轴右边,C 上每一点到点 F(1,0)的距离减去它到 y 轴距离的差 都是 1. (1)求曲线 C 的方程; (2)设 n 是过原点的直线,l 是与 n 垂直相交于点 P,且与曲线 C 相交于 A、B 两点的直线, 且 | OP |? 1 ,问:是否存在上述直线 l 使 AP ? PB ? 1 成立?若存在,求出直线 l 的方程,若 不存在,请说明理由 解: (Ⅰ)设 M(x,y)是曲线 C 上任意一点,那么点 M(x,y)满足
( x ? 1) ? y ? x ? 1( x ? 0),
2 2

化简, 得 y =4x(x>0). ………………………………………………………………………3 分 注: (1)未写 x>0 的不扣分; 2 (2)由抛物线的定义直接得方程,只要设出方程 y =2px.说明 p=2,也可得 3 分. (Ⅱ)设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1) , (x2,y2). 假设使 AP?PB ? 1 成立的直线 l 存在. ①当 l 不垂直于 x 轴时,设 l 的方程为 y=kx+m, 由 l 与 n 垂直相交于 P 点且 | OA |? 1. 得

2

??? ???

???

m k ?1

2

? 1, 即m ? k ? 1.

2

2

①……………………………………………………………4

??? ??? ??? ? AP?PB ? 1,| OP |? 1 ??? ??? ??? ?? ? ??? ??? ?OA? OB ? (OP ? PA)? (OP ? PB) ………………………………………………………… 5 ???? ??? ??? ?? ? ??? ?? ? ??? ? OP2 ? OP?PB ? PA?OP ? PA?PB
=1+0+0-1=0,即 x1x2+ y1y2=0. ……………………………………………………6



分 将 y=kx+m 代入方程 y =4x,得 k x +(2km-4)x+m =0. ………………………………………7 分 ∵l 与 C 有两个交点,∴k≠0,
x1 ? x2 ? 4 ? 2km k
2
2 2 2 2

, x1 x2 ?

m k

2

2

.



∴x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m) (kx2+m) 2 2 =(1+k )x1x2+km (x1+x2)+ m =0. 将②代入③得
4 ? 2km 2 m 2 (1 ? k )? 2 ? km? ? m ? 0. 2 k k
2

③……………………………………………8 分

化简,得 m +4km=0. ……………………………………………………………………9 分

2

?| OP |? 1 ∴m≠0 ① ∴m+4k=0
k? 1 15 4 15 或 m? k? 1 15 4 15

???



由①、④得
m?

…………………………………………………10 分

得存在两条直线 l 满足条件,其方程为: y ?

15 15

x?

4 15 15

,y ?

15 15

x?

4 15 15

.

②当 l 垂直于 x 轴时,则 n 为 x 轴,P 点坐标为(1,0) ,A(1,2) ,B(1,-2).

? AP ? (0, ?2), PB ? (0, ?2), 则AP?PB ? 4 ? 1, 不符合题意.
综上,符合题意的直线 l 有两条: y ? 分 注:第Ⅱ问设 l 的方程为 x=ly+m,联立 y =4x 建立 y 的一元二次方程更简单,且不需讨 论. 18、已知函数 f ( x) ? x( x ? a)(x ? b) ,点 A(m, f (m)), B(n, f (n)) .
2

???

???

??? ???

15 15

x?

4 15 15

?y??

15 15

x?

4 15 15

. ………12

(1)设 b ? a ,求函数 f ( x) 的单调区间; (2)若函数 f ( x) 的导函数 f ?( x ) 满足:当 | x |? 1 时,有 | f ' ( x) |?

3 恒成立,求函数 2

f ( x) 的表达式;
(3)若 0 ? a ? b ,函数 f ( x) 在 x ? m 和 x ? n 处取得极值,且 a ? b ? 2 3 .问:是否 存在常数 a , b ,使得 OA ? OB ? 0 ? 若存在,求出 a , b 的值;若不存在,请说明理由. (1) f ( x) ? x3 ? 2ax 2 ? a 2 x

a , x2 ? a . 3 a a 1? 当 a ? 0 时, x1 ? x2 ?所求单调增区间是 (??, ) ,(a, ??) , 单调减区间是 ( ,a ) 3 3 a a 2 ? 当 a ? 0 时,所求单调增区间是 (??, a ) , ( , ??) , 单调减区间是( a , ) 3 3
令 f ?( x) ? 3x2 ? 4ax ? a2 ? 0 , 得: x1 ?

3 ? 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 3x 2 ≥ 0
3 2

所求单调增区间是 (??, ??) .

(2) f ? x ? ? x ? ? a ? b ? x ? abx

? f ? ? x ? ? 3x2 ? 2 ? a ? b? x ? ab,
时 , 恒 有

?



x ???1,1?
1 ??

f ?? x? ?

3 2

3 3 3 ? ? ?f ? ?1? ? , ? ? f ?? 2 2 2

3 ?, 2

3 ?? ?0 ? f? 2

3 ?, 2

3 ? 3 ?? 2 ? 3 ? 2 ? a ? b ? ? ab ? 2 , ? 3 ? 3 ? 3 ? ab ? ? , ? ? 3 ? 2 a ? b ? ab ? , 即? 得? ? ? 2 2 ? 2 ? ? a ? b ? 0, 3 ? 3 ? ? ab ? , ? 2 2 ?
此时,满足当 x ? [?1,1] 时 | f ?( x) | ≤ (3)存在 a , b 使得 OA ?OB ? 0 .

3 3 3 恒成立.? f ? x ? ? x ? x . 2 2

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? 若 OA ? OB ? 0 ,即 m ? n ? f (m) ? f (n) ? 0
由于 0 ? a ? b ,知 mn ? 0

? mn ? mn(m ? a)(m ? b)(n ? a)(n ? b) ? 0

? (m ? a) (m ? b) (n? a) (n ? b) ? ? 1 1 ○ 2(a ? b) ab 由题设, m, n 是 f ?( x) ? 0 的两根 , mn ? ?m ? n ? 3 3
2 代入○ 1 得: ab(a ? b)2 ? 9 ○

2 ○

?(a ? b)2 ? (a ? b)2 ? 4ab ?

9 3 ? 4ab ≥ 2 36 ? 12 , 当 且 仅 当 ab ? 时 取 “ = ” ab 2

?a ? b ≥ 2 3 ?a ? b ≤ 2 3

?a ? b ? 2 3

又 ? ab ?

3 , 0?a?b 2

?a ?

2 3? 6 , 2

b?

2 3? 6 . 2

附加题
1、变换 T1 是逆时针旋转 是 M2 ? ?

? 的旋转变换,对应的变换矩阵是 M 1 ;变换 T2 对应用的变换矩阵 2

?1 1? ?. ?0 1?

(Ⅰ)求点 P(2,1) 在 T1 作用下的点 P ' 的坐标; (Ⅱ)求函数 y ? x2 的图象依次在 T1 , T2 变换的作用下所得曲线的方程. 解: (Ⅰ)M1 ? ?

?0 ?1? ?2? ?0 ?1? ?2? ? ?1? ,M1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以点 P(2,1) 在 T1 作用下的点 P ' ?1 0 ? ? 1 ? ?1 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ?1 ?1? ? x? ,设 ? ? 是变换后图像上任一点,与之 ? ?1 0 ? ? y?

的坐标是 P '(?1, 2) 。 (Ⅱ) M ? M 2 M1 ? ?

对应的变换前的点是 ?

? x0 ? ? 则M ? y0 ?
/

? x0 ? ? x ? ? x0 ? y0 ? x ? x0 ? y ,也就是 ,即 ,所 ? ? ? ? y ? ? y? ? x0 ? y ? y0 ? y ? x ? 0? ? ?

以,所求曲线的方程是 y ? x ? y 2 。

?? ? 2、已知圆的极坐标方程为: ? 2 ? 4 2 ? cos ? ? ? ? ? 6 ? 0 . 4? ?
⑴将极坐标方程化为普通方程; ⑵若点 P(x,y)在该圆上,求 x+y 的最大值和最小值.

3、投掷四枚不同的金属硬币 A、B、C、D,假定 A、B 两枚正面向上的概率均为

1 ,另两枚 2

C、D 为非均匀硬币,正面向上的概率均为 a(0<a<1) ,把这四枚硬币各投掷一次,设孜表 示正面向上的枚数. (1)若 A、B 出现一正一反与 C、D 出现两正的概率相等,求 a 的值; (2)求孜的分布列及数学期望(用 a 表示) ; (3)若出现 2 枚硬币正面向上的概率最大,试求 a 的取值范围.

2 ? 1 ?? 1 ? 解: (Ⅰ)由题意,得 2 ? ? ?? 1 ? ? ? a 2 . ? a ? . ………………………………2 分 2 ? 2 ?? 2 ?

(Ⅱ)着=0,1,2,3,4. 1 2 0 1 0 2 2 p (? ? 0) ? C2 (1 ? ) C2 (1 ? a ) ? (1 ? a ) ; ……………………………………………… 3 2 4 分
1 0 1 2 2 1 2 0 (1 ? )C2 (1 ? a ) ? C2 (1 ? ) C a (1 ? a ) ? (1 ? a ); ……………………4 分 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 0 2 1 1 0 p (? ? 2) ? C2 ( ) C2 (1 ? a ) ? C2 (1 ? )C2 a (1 ? a ) ? C2 (1 ? ) C2 a 2 2 2 2 1 2 ? (1 ? 2a ? 2a ); ………………………………………………………………5 分 4 1 2 2 a 2 1 2 1 1 1 p (? ? 3) ? C2 ( ) C2 a (1 ? a ) ? C2 (1 ? )C2 a ? , …………………………………6 分 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 p (? ? 4) ? C2 ( ) C2 a ? a . …………………………………………………………7 分 2 4 得孜的分布列为: p (? ? 1) ? C2
1

1

孜 p
1

0
(1 ? a )
2

1
1 (1 ? a ) 1

2
(1 ? 2a ? 2a )
2

3
a 1

4
a
2

4 2 4 2 4 孜的数学期望为: 1 1 a 1 2 2 E? ? 1 ? (1 ? a ) ? 2 ? (1 ? 2a ? 2a ) ? 3 ? ? 4 ? a ? 2 a ? 1, ……………………8 分 2 4 2 4 1 1 2 (Ⅲ)? 0 ? a ? 1, 显然 (1 ? a ) ? (1 ? a ), 即p (? ? 0) ? p(? ? 1); …………………9 分 4 2 a 1 2 又 ? a , 即p (? ? 3) ? p (? ? 4). …………………………………………………10 分 2 4 1 1 1 2 2 由p (? ? 2) ? p (? ? 1) ? (1 ? 2a ? 2a ) ? (1 ? a ) ? ? (2a ? 4a ? 1) ≥0 . 4 2 4 1 a 1 2 2 且p (? ? 2) ? p (? ? 3) ? (1 ? 2a ? 2a ) ? ? ? (2 a ? 1) ≥0 . ………………11 分 4 2 4

得?

2 ? ?2a ? 4a ? 1 ? 0, 2 ? ?2a ? 1 ? 0.

解得

2? 2 2

?a?

2 2

.

即a的取值范围是 ?

?2 ? 2 ?
2

,

2? 2 ?

? . ……………………………………………………12 分


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