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2012届高考数学二轮复习精品课件(江苏专用)专题4 函数的零点


专题四

函数的零点

专题四 函数的零点

专题四 │ 主干知识整合
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1.函数的零点: .函数的零点: 的零点. 使函数 y=f(x)的值为 0 的实数 x 称为函数 y=f(x)的零点. = 的值为 = 的零点 (1)函数的零点?方程的根; 函数的零点?方程的根; 函数的零点 (2)零点存在理论:在区间 ,b]上连续;f(a)·f(b)<0. 零点存在理论: 上连续; 零点存在理论 在区间[a, 上连续

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2.常见求解方法 . (1)直接解方程,如一元二次方程; 直接解方程, 直接解方程 如一元二次方程; (2)用二分法求方程的近似解; 用二分法求方程的近似解; 用二分法求方程的近似解 (3)一元二次方程实根分布规律; 一元二次方程实根分布规律; 一元二次方程实根分布规律 (4)用数形结合法将方程的根转化为函数零点. 用数形结合法将方程的根转化为函数零点. 用数形结合法将方程的根转化为函数零点 图象可用到以下方法: 画出 y=f(x)图象可用到以下方法: = 图象可用到以下方法 用图象变换法则画复杂函数图象; ①用图象变换法则画复杂函数图象; lnx 用求导得出较复杂函数的单调性,然后再画图象, ②用求导得出较复杂函数的单调性,然后再画图象,如 y= x ; = ③可以将原函数进行分离为两个较为简单的函数如方程 exlnx= = ?1? 1,转化为 y=lnx,y=?e ?x; , = , = ? ? 如果是带有参数的方程, ④如果是带有参数的方程,可以进行参数分离变为 m=g(x),再 = , 常数函数)的图象 画 y=g(x)与 y=m(常数函数 的图象. = 与 = 常数函数 的图象.

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要点热点探究 ? 探究点一 用零点存在定理判断函数零点 零点存在定理是间接判断方程的根或函数零点的间接方 只能大致判断零点所在区间以及区间中零点的个数, 法. 只能大致判断零点所在区间以及区间中零点的个数, 不能 够准确求解零点的值. 够准确求解零点的值. x2 x3 x4 x2011 例 1 已知函数 f(x)=1+x- + - +…+ = + - ,g(x) 2 3 4 2011 x2 x3 x4 x2011 =1-x+ 2 - 3 + 4 -…-2011,设 F(x)=f(x+3)·g(x-3), - + = + - , 的零点均在区间[a, 且函数 F(x)的零点均在区间 ,b](a<b,a,b∈Z)内,则 b 的零点均在区间 , , ∈ 内 的最小值为________. -a 的最小值为 .

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【解答】 (1)f′(x)=3x2+4ax+b,g′(x)=2x-3. 解答】 ′ = + , ′ = - 在点(2,0)处有相同的切线, 处有相同的切线, 由于曲线 y=f(x)与 y=g(x)在点 = 与 = 在点 处有相同的切线 故有 f(2)=g(2)=0,f′(2)=g′(2)=1. = = ,′ = ′ = ?8+8a+2b+a=0, ?a=- , =-2, ? + + + = , ? =- 由此得? 解得? ?12+8a+b=1, ?b=5. ? + + = , ? = =-2, = , 所以 a=- ,b=5,切线 l 的方程为 x-y-2=0. =- - - = (2)由(1)得 f(x)=x3-4x2+5x-2, 由 得 = - , 所以 f(x)+g(x)=x3-3x2+2x. + = 依题意, 依题意,方程 x(x2-3x+2-m)=0 有三个互不相同的实根 0、 + - = 、 x1、x2, 故 x1、x2 是方程 x2-3x+2-m=0 的两相异的实根. + - = 的两相异的实根. 1 所以 ?=9-4(2-m)>0,即 m>-4. = - - , -

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9 【解析】 由 F(x)=f(x+3)·g(x-3)可知,函数 F(x)的零点即为 f(x+3)的零点或 解析】 可知, = + - 可知 的零点即为 + 的零点或 g(x-3)的零点. 的零点. - 的零点 f′(x)=1-x+x2-x3+…+x2010, ′ = - + 1+x2011 + 2 3 2010 >0 成立, 成立, 当 x>-1 时,f′(x)=1-x+x -x +…+x = - ′ = - + 1+x + f′(-1)=2011>0; ′- = ; 1+ 1+x2011 2 3 2010 >0 也成立, 也成立, 当 x<-1 时,f′(x)=1-x+x -x +…+x = - ′ = - + 1+x + 恒成立, 即 f′(x)=1-x+x2-x3+…+x2010>0 恒成立, ′ = - + 2 3 4 2011 x x x x 上单调递增. 所以 f(x)=1+x- 2 + 3 - 4 +…+2011在 R 上单调递增. = + - ? ? 1 1? 1 1 ? ? ? ? f(0)=1,f(-1)=(1-1)+?-2-3?+…+?-2010-2011?<0, = , - = - + , ? ? ? ? ? f(x)的惟一零点在 -1,0]内,即 f(x+3)的惟一零点在 -4,- 内. 的惟一零点在[- 的惟一零点在[- ,- ,-3]内 的惟一零点在 内 + 的惟一零点在 同理, - 的惟一零点在 的惟一零点在[4,5]内,因此 b=5,a=- ,b-a=9. =-4, - = 同理,g(x-3)的惟一零点在 内 = , =-

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【点评】 用零点存在定理判断零点是否存在,如果需要 点评】 用零点存在定理判断零点是否存在, 进一步判断图象连续不断的函数的零点是否惟一, 进一步判断图象连续不断的函数的零点是否惟一,可以判断 函数的单调性.一般地,图象连续不断的函数 f(x)在区间 , 函数的单调性.一般地, 在区间(a, 在区间 b)单调,且 f(a)·f(b)<0,则函数 f(x)在区间 ,b)上有惟一零 单调, 在区间(a, 上有惟一零 单调 , 在区间 点.

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? 探究点二 用图象判定方程的根
由于函数的零点?方程的根, 由于函数的零点?方程的根,所以当方程的根不能够直接求 出时,可以通过图象来判断对应方程的根的个数. 出时,可以通过图象来判断对应方程的根的个数.
例 2 (1)已知函数 f(x)=2x+x,g(x)=x+log2x,h(x)=x3+x 的零 已知函数 = , = + , = 点依次为 a,b,c,则 a,b,c 的大小顺序为 , , , , , 的大小顺序为________. . ? 1 ? ,x≠3, ≠ , (2)设定义在 R 上的函数 f(x)=?|x-3| 若关于 x 的方 设定义在 = - ?1,x=3, ? , = , 个不同实数解, 程 f2(x)+af(x)+b=0 有 5 个不同实数解,则实数 a 的取值范围是 + + = ________. .

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(1)a<c<b (2)(-∞,- ∪(-2,- ,-1) - ,-2)∪ - ,- 解析】 =-x, 【解析】 (1)令 f(x)=0,g(x)=0,h(x)=0 得:2x=- ,log2x 令 = , = , = =-x, =-x, =- ,x3=- , =-x 分别作出 y=2x,y=log2x,y=x3,y=- 的图象如下: = = , = =- 的图象如下:
x

可知 a<0,b>0,c=0,即 a<c<b. , , = ,

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(2)设 t=f(x),则原方程即化为 t2+at+b=0, 设 = , + = , 图象如下: 由 t=f(x)图象如下: = 图象如下

可得: 有三解, 有两解. 可得:当 t=1 时,x 有三解,当 t>0 且 t≠1 时,x 有两解. = ≠ =-a, ,+∞ 又 t1+t2=- ,所以当 t1=1,t2∈(0,1)∪(1,+∞)时,原方程 , ∪ ,+ 时 个解, 有 5 个解, ,-1). 即 a∈(-∞,- ∪(-2,- . ∈ - ,-2)∪ - ,-

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中的方程根都不能够解出, 【点评】 (1)和(2)中的方程根都不能够解出,所以用图象进 点评】 和 中的方程根都不能够解出 行研究比较简单. 行研究比较简单. (1)题中直接画题干所给的三个函数的图象不 第 题中直接画题干所给的三个函数的图象不 容易, 故转化为两个较为简单函数, 再画图象可以判断零点大小; 容易, 故转化为两个较为简单函数, 再画图象可以判断零点大小; 题中是一个符合的方程, 第(2)题中是一个符合的方程,需要进行换元,分两步进行研究, 题中是一个符合的方程 需要进行换元,分两步进行研究, 一是 t=f(x);二是 t2+at+b=0. = ; + =

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? 探究点三 不定方程的根的判断 所谓不定方程,是指未知数的个数多于方程个数, 所谓不定方程,是指未知数的个数多于方程个数,且未知 数受到某些限制(如要求是有理数 整数或正整数等等)的方程 如要求是有理数、 数受到某些限制 如要求是有理数、整数或正整数等等 的方程 或方程组.常见问题有: 求不定方程的解 求不定方程的解; 判定不定方 或方程组.常见问题有:(1)求不定方程的解;(2)判定不定方 程是否有解; 判定不定方程的解的个数 判定不定方程的解的个数. 程是否有解;(3)判定不定方程的解的个数.
例 3 设 m∈N, ∈ , 若函数 f(x)=2x-m 10-x-m+10 存在整数 = - - - + 零点, 的取值集合为________. 零点,则 m 的取值集合为 .

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{0,3,14,30} 【解析】 原命题等价为 f(x)=2x-m 10-x-m 解析】 = - - - +10=0 有整根, = 有整根, 2x+10 + 有整数解. 即方程 m= = 有整数解 . 因为 m∈ N, 所以 2x+ ∈ , + 10-x+1 - + 10≥0,且 10-x≥0, ≥ , - ≥ , 所以 x∈[-5,10],且 x∈Z,又 10-x∈Z, ∈- , ∈ , - ∈ , 22 =-5 当 x=- 时,m=0;当 x=1 时,m=3;当 x=6 时,m= 3 =- = ; = = ; = = (舍去 ; 舍去); 舍去 当 x=9 时,m=14;当 x=10 时,m=30. = = ; = =

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点评】 含有参数的方程整数解的问题, 【点评】 含有参数的方程整数解的问题,可以考虑将参 分离,再利用整除(有理 奇偶、约数)来得到参 有理、 数和未知数 x 分离,再利用整除 有理、奇偶、约数 来得到参 数和未知数的特征,通过逐一代入得到结果. 数和未知数的特征,通过逐一代入得到结果.

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? 探究点四 含参数的方程根的问题
含有参数的方程根的问题,随着参数取值不同, 含有参数的方程根的问题,随着参数取值不同,方程根的 个数不同, 个数不同 , 所以需要借助于数形结合和分类讨论的思想来解 决.
1 2 例 4 已知函数 f(x)=2x -alnx(a∈R). = ∈ . (1)若函数 f(x)在 x=2 处的切线方程为 y=x+b,求 a,b 的值; 若函数 在 = = + , , 的值; (2)讨论方程 f(x)=0 的解的个数,并说明理由. 讨论方程 = 的解的个数,并说明理由.

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a 【解答】 (1)因为 f′(x)=x-x(x>0), 解答】 因为 ′ = - , 又 f(x)在 x=2 处的切线方程为 y=x+b 在 = = + - = + , ?2-aln2=2+b, ? 解得: = , =- =-2ln2. 所以? 解得:a=2,b=- a 2- =1, -2 , ? ? (2)当 a=0 时,f(x)在定义域 ,+∞)上恒大于 0,此时方程无解; 在定义域(0,+ 当 = 在定义域 ,+∞ 上恒大于 ,此时方程无解; a ,+∞ 上恒成立, 当 a<0 时,f′(x)=x-x>0 在(0,+∞)上恒成立, ′ = - ,+ 上恒成立 在定义域(0,+ 上为增函数. 所以 f(x)在定义域 ,+∞)上为增函数. 在定义域 ,+∞ 上为增函数 ? 1? 1 1 2 ∵f(1)=2>0,f?ea?=2ea-1<0,所以方程有惟一解; = ,? ? ,所以方程有惟一解; ? ? 2 )(x- ) + )( a x -a (x+ a)( - a) 当 a>0 时,f′(x)=x-x= x = ′ = - , x 内为减函数; 因为当 x∈(0, a)时,f′(x)<0,所以 f(x)在(0, a)内为减函数; ∈ , 时 ′ , 在 , 内为减函数 ,+∞ ,+∞ 内为增函数. 当 x∈( a,+∞)时,f′(x)>0,所以 f(x)在( a,+∞)内为增函数. ∈ ,+ 时 ′ , 在 ,+ 内为增函数 1 1 所以当 x= a时,f(x)有极小值即为最小值 f( a)=2a-aln a=2a(1-lna), = 时 有极小值即为最小值 = - = - ,

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1 当 a∈(0,e)时,f( a)=2a(1-lna)>0,此方程无解; ∈ , 时 = - ,此方程无解; 1 当 a=e 时,f( a)= a(1-lna)=0.此方程有惟一解 x= a, = = - = 此方程有惟一解 = , 2 1 ,+∞ 当 a∈(e,+∞)时,f( a)=2a(1-lna)<0, ∈ ,+ 时 = - , 1 上有惟一解, , = 在区间(0, 上有惟一解 因为 f(1)=2>0 且 1< a,所以方程 f(x)=0 在区间 , a)上有惟一解, = 因为当 x>1 时,(x-lnx)′>0,所以 x-lnx>1, - ′ , - , 1 1 所以 x>lnx,f(x)=2x2-alnx>2x2-ax, , = , 1 , , 因为 2a> a>1,所以 f(2a)>2(2a)2-2a2=0, ,+∞ 上有两解. 所以方程 f(x)=0 在区间 ,+∞)上有两解. = 在区间(0,+ 上有两解 综上所述:当 a∈[0,e)时,方程无解;当 a<0 或 a=e 时,方程有惟一解;当 a>e 综上所述: ∈ , 时 方程无解; = 方程有惟一解; 方程有两解. 时,方程有两解.

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【点评】 含有参数的方程根的个数问题,需要重点研究三个 点评】 含有参数的方程根的个数问题, 方面的问题:一是函数的单调性;二是函数极值的值的正负; 方面的问题:一是函数的单调性;二是函数极值的值的正负;三 是区间端点的值正负. 是区间端点的值正负.

专题四 │ 规律技巧提炼
规律技巧提炼
1.函数的零点是方程根的几何特征,方程的根是函数零 .函数的零点是方程根的几何特征, 点的代数值. 点的代数值. 2.方程的根的特征如个数或所在区间不易判断时,可以 .方程的根的特征如个数或所在区间不易判断时, 转化为用图象进行研究. 转化为用图象进行研究. 3.函数的零点或函数图象交点问题,也可以转化为对应 .函数的零点或函数图象交点问题, 方程或方程组的根求解 程组的根求解. 方程或方程组的根求解. 4.不定方程或含参数的方程的根研究,需要用分类讨论 .不定方程或含参数的方程的根研究, 的思想进行研究. 的思想进行研究.

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课本挖掘提升 (教材必修 1 P95 探究 拓展 30 改编 教材必修 探究·拓展 改编) 例 已知直线 x=2 及 x=4 与函数 y=log2x 图象的交点分 = = = 别为 A,B,与函数 y=lgx 图象的交点分别为 C、D,则直线 , , = 、 , AB 与 CD 交点坐标为 交点坐标为________. . 【分析】 图象的交点坐标问题直接从图形观察得不到结 分析】 可以转化为对应方程的根的问题,通过解方程得出交点. 果,可以转化为对应方程的根的问题,通过解方程得出交点.

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答案】 【答案】 (0,0) 【解析】 由图象可知直线 AB 与 CD 相交,两直线方程分别 解析】 相交, 1 lg2 为 AB:y=2x,CD:y= 2 x,则其交点坐标为 : = , : = ,则其交点坐标为(0,0). .

图 4-1 -

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1 3 已知函数 f(x)=3x -ax2+(a2-1)x,且方程 f(x)=0 有 = , = 三个不同零点, 的取值范围. 三个不同零点,求 a 的取值范围.

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【解答】 因为 f′(x)=x2-2ax+(a2-1)=[x-(a-1)][x-(a 解答】 ′ = + = - - - +1)], , 所以方程 f′(x)=0 的两根为 x=a-1 和 x=a+1, ′ = = - = + , 显然, 显然,函数 f(x)在 x=a-1 处取得极大值,在 x=a+1 处取 在 = - 处取得极大值, = + 得极小值. 得极小值. 因为方程 f(x)=0 有三个不等实根, = 有三个不等实根, ?1 )(a- ) , (a+2)( -1)2>0, ?f(a-1)>0, ?3 + )( ? ( - ) , 所以? 即? ?f(a+1)<0, ? ( + ) , ?1(a-2)( +1)2<0, )(a+ ) , - )( ?3 解得- 解得-2<a<2 且 a≠±1. ≠ 的取值范围是(- ,- ,-1)∪ - 故 a 的取值范围是 -2,- ∪(-1,1)∪(1,2). ∪ .


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