当前位置:首页 >> 数学 >>

1.02命题及其关系充分必要条件(复习设计)


SCH 南极数学 2017 届理科数学高三一轮复习第一章《集合与常用逻辑用误》

NO1.02:命题及其关系充分条件与必要条件(复习设计) 【知识梳理】 1.四种命题及相互关系

2.四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; (2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系. 3.充分条件与必要条件 (

1)如果 p?q,则 p 是 q 的充分条件,同时 q 是 p 的必要条件; (2)如果 p?q,但 q p,则 p 是 q 的充分不必要条件; (3)如果 p?q,且 q?p,则 p 是 q 的充要条件; (4)如果 q?p,且 p q,则 p 是 q 的必要不充分条件; (5)如果 p q,且 q p,则 p 是 q 的既不充分又不必要条件. 4.用集合法解决充分必要条件: (1)若 A?B,则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件;若 A=B,则 A 是 B 的充要条件. (2)若 A B,则 A 是 B 的充分不必要条件。

【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)“x2+2x-3<0”是命题.( × ) π π (2)命题“α= ,则 tan α=1”的否命题是“若 α= ,则 tan α≠1”.( × ) 4 4 (3)若一个命题是真命题,则其逆否命题是真命题.( √ (4)当 q 是 p 的必要条件时,p 是 q 的充分条件.( √ ) )

(5)当 p 是 q 的充要条件时,也可说成 q 成立当且仅当 p 成立.( √ ) (6)若 p 是 q 的充分不必要条件,则綈 p 是綈 q 的必要不充分条件.( √ ) 【考点自测】 1.(教材改编)命题“若 x2>y2,则 x>y”的逆否命题是( A.“若 x<y,则 x2<y2” C.“若 x>y,则 x2>y2” 答案 B
1

)

B.“若 x≤y,则 x2≤y2” D.“若 x≥y,则 x2≥y2”

SCH 南极数学 2017 届理科数学高三一轮复习第一章《集合与常用逻辑用误》

解析

根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系,得命题 “若 x2>y2,则 x>y”的逆否命题是“若 x≤y,则

x2≤y2”. 2.已知命题 p:若 x=-1,则向量 a=(1,x)与 b=(x+2,x)共线,则在命题 p 的原命题、逆命题、否命题、逆否 命题中,真命题的个数为( A.0 B.2 C.3 D.4 答案 B 解析 向量 a,b 共线?x-x(x+2)=0?x=0 或 x=-1, ∴命题 p 为真,其逆命题为假, 故在命题 p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为 2. 3.(2015· 重庆)“x>1”是“log 1 (x+2)<0”的(
2

)

)

A.充要条件 C.必要而不充分条件 答案 B 解析

B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件

x>1?x+2>3?log 1 (x+2)<0,log 1 (x+2)<0?x+2>1?x>-1,故“x>1”是“log 1 (x+2)<0”成立
2 2 2

的充分不必要条件.因此选 B. 4.已知集合 A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A?B”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 a=3 时 A={1,3},显然 A?B. 但 A?B 时,a=2 或 3.所以 A 正确. 5.(教材改编)下列命题: ①x=2 是 x2-4x+4=0 的必要不充分条件; ②圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的充分必要条件; ③sin α=sin β 是 α=β 的充要条件; ④ab≠0 是 a≠0 的充分不必要条件. 其中为真命题的是________(填序号). 答案 ②④ 【例题选讲】 题型一 例1 命题及其关系 )
2

)

(1)命题“若 x,y 都是偶数,则 x+y 也是偶数“的逆否命题是(

A.若 x+y 是偶数,则 x 与 y 不都是偶数

SCH 南极数学 2017 届理科数学高三一轮复习第一章《集合与常用逻辑用误》

B.若 x+y 是偶数,则 x 与 y 都不是偶数 C.若 x+y 不是偶数,则 x 与 y 不都是偶数 D.若 x+y 不是偶数,则 x 与 y 都不是偶数 (2)原命题为“若 z1,z2 互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正 确的是( ) B.假,假,真 D.假,假,假

A.真,假,真 C.真,真,假 答案 解析 (1)C (2)B

(1)由于“x,y 都是偶数”的否定表达是“x,y 不都是偶数”,“x+y 是偶数”的否定表达是“x+y 不是偶

数”,故原命题的逆否命题为“若 x+y 不是偶数,则 x,y 不都是偶数”. (2)先证原命题为真:当 z1,z2 互为共轭复数时,设 z1=a+bi(a,b∈R),则 z2=a-bi,则|z1|=|z2|= a2+b2, ∴原命题为真,故其逆否命题为真;再证其逆命题为假:取 z1=1,z2=i,满足|z1|=|z2|,但是 z1,z2 不互为共轭复 数,∴其逆命题为假,故其否命题也为假,故选 B. 思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时,需注意:

①对于不是“若 p,则 q“形式的命题,需先改写; ②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提. (2)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题是假命题,只需举出反例. (3)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可 转化为判断其等价命题的真假. π 1 (1)命题“若 α= ,则 cos α= ”的逆命题是( 3 2 π 1 π 1 A.若 α= ,则 cos α≠ B.若 α≠ ,则 cos α≠ 3 2 3 2 1 π 1 π C.若 cos α= ,则 α= D.若 cos α≠ ,则 α≠ 2 3 2 3 (2)已知命题 α:如果 x<3,那么 x<5;命题 β:如果 x≥3,那么 x≥5;命题 γ:如果 x≥5,那么 x≥3.关于这三个命 题之间的关系,下列三种说法正确的是( ) )

①命题 α 是命题 β 的否命题,且命题 γ 是命题 β 的逆命题; ②命题 α 是命题 β 的逆命题,且命题 γ 是命题 β 的否命题; ③命题 β 是命题 α 的否命题,且命题 γ 是命题 α 的逆否命题. A.①③ C.②③ 答案 解析 (1)C (2)A π 1 1 π (1)命题“若 α= ,则 cos α= ”的逆命题是“若 cos α= ,则 α= ”. 3 2 2 3 B.② D.①②③

(2)命题的四种形式,逆命题是把原命题中的条件和结论互换,否命题是把原命题的条件和结论都加以否定,逆否命 题是把原命题中的条件与结论先都否定,然后交换条件与结论所得,因此①正确,②错误,③正确,故选 A.
3

SCH 南极数学 2017 届理科数学高三一轮复习第一章《集合与常用逻辑用误》

题型二 例2

充分必要条件的判定 )

(1)(2015· 四川)设 a,b 都是不等于 1 的正数,则“3a>3b>3”是“loga3<logb3”的(

A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 m 1 (2)一次函数 y=- x+ 的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( n n A.m>1,且 n<1 C.m>0,且 n<0 答案 解析 (1)B (2)B (1)根据指数函数的单调性得出 a,b 的大小关系,然后进行判断. B.mn<0 D.m<0,且 n<0 )

1 1 ∵3a>3b>3,∴a>b>1,此时 loga3<logb3 正确;反之,若 loga3<logb3,则不一定得到 3a>3b>3,例如当 a= ,b= 时, 2 3 loga3<logb3 成立,但推不出 a>b>1.故“3a>3b>3”是“loga3<logb3”的充分不必要条件. m 1 m 1 (2)∵y=- x+ 经过第一、三、四象限,故- >0, <0,即 m>0,n<0,但此为充要条件,因此,其必要不充分条 n n n n 件为 mn<0. 思维升华 充要条件的三种判断方法 (1)定义法:根据 p?q,q?p 进行判断; (2)集合法:根据 p,q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断; (3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适 合以否定形式给出的问题,如“xy≠1”是“x≠1 或 y≠1”的某种条件,即可转化为判断“x=1 且 y=1”是“xy= 1”的某种条件. (1)(2015· 陕西)“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

π (2)若命题 p:φ= +kπ,k∈Z,命题 q:f(x)=sin(ωx+φ)(ω≠0)是偶函数,则 p 是 q 的( 2 A.充要条件 C.必要不充分条件 答案 解析 (1)A (2)A B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

(1)∵sin α=cos α?cos 2α=cos2α-sin2α=0;cos 2α=0?cos α=± sin α sin α=cos α,故选 A.

π (2)当 φ= +kπ,k∈Z 时,f(x)=± cos ωx 是偶函数,所以 p 是 q 的充分条件;若函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω≠0)是偶函 2 π 数,则 sin φ=± 1,即 φ= +kπ,k∈Z,所以 p 是 q 的必要条件,故 p 是 q 的充要条件,故选 A. 2 题型三 充分必要条件的应用

例 3 已知 P={x|x2-8x-20≤0},非空集合 S={x|1-m≤x≤1+m}.若 x∈P 是 x∈S 的必要条件,求 m 的取值范
4

SCH 南极数学 2017 届理科数学高三一轮复习第一章《集合与常用逻辑用误》

围. 解 由 x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10, ∴P={x|-2≤x≤10}, 由 x∈P 是 x∈S 的必要条件,知 S?P. 1-m≤1+m, ? ? 则?1-m≥-2, ∴0≤m≤3. ? ?1+m≤10, ∴当 0≤m≤3 时,x∈P 是 x∈S 的必要条件,即所求 m 的取值范围是[0,3]. 引申探究 1.本例条件不变,问是否存在实数 m,使 x∈P 是 x∈S 的充要条件. 解 若 x∈P 是 x∈S 的充要条件,则 P=S,
? ? ?1-m=-2, ?m=3, ∴? ∴? ?1+m=10, ?m=9, ? ?

即不存在实数 m,使 x∈P 是 x∈S 的充要条件. 2.本例条件不变,若 x∈綈 P 是 x∈綈 S 的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围. 解 由例题知 P={x|-2≤x≤10},

∵綈 P 是綈 S 的必要不充分条件, ∴P?S 且 S P. ∴[-2,10]?[1-m,1+m].
?1-m≤-2, ?1-m<-2, ? ? ∴? 或? ? ? ?1+m>10 ?1+m≥10.

∴m≥9,即 m 的取值范围是[9,+∞). 思维升华 充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意: (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或 不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验.

[方法与技巧] 1.写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论,然后按定义来写;在判断原命 题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时,要借助原命题与其逆否命题同真或同假,逆命题与否命题同真或同假 来判定. 2.充要条件的几种判断方法 (1)定义法:直接判断若 p 则 q、若 q 则 p 的真假. (2)等价法:即利用 A?B 与綈 B?綈 A;B?A 与綈 A?綈 B;A?B 与綈 B?綈 A 的等价关系,对于条件或结论是否
5

SCH 南极数学 2017 届理科数学高三一轮复习第一章《集合与常用逻辑用误》

定形式的命题,一般运用等价法. (3)利用集合间的包含关系判断:设 A={x|p(x)},B={x|q(x)}:若 A?B,则 p 是 q 的充分条件或 q 是 p 的必要条件; 若 A?B,则 p 是 q 的充分不必要条件,若 A=B,则 p 是 q 的充要条件. 【SCH 南极数学巩固作业】(时间:30 分钟) 1.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数” B.“若一个数的平方是正数,则它是负数” C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数” D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数” 答案 B 解析 依题意,得原命题的逆命题:若一个数的平方是正数,则它是负数. 2.(2015· 天津)设 x∈R,则“1<x<2”是“|x-2|<1”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由|x-2|<1 得 1<x<3,所以 1<x<2?1<x<3;但 1<x<3 1<x<2,故选 A. ) )

3.给出命题:若函数 y=f(x)是幂函数,则函数 y=f(x)的图象不过第四象限,在它的逆命题、否命题、逆否命题 3 个命题中,真命题的个数是( A.3 B.2 C.1 D.0 答案 C 解析 原命题是真命题,故它的逆否命题是真命题; 它的逆命题为“若函数 y=f(x)的图象不过第四象限,则函数 y=f(x)是幂函数”, 显然逆命题为假命题,故原命题的否命题也为假命题. 因此在它的逆命题、否命题、逆否命题 3 个命题中真命题只有 1 个. 4.下列结论错误的是( ) )

A.命题“若 x2-3x-4=0,则 x=4”的逆否命题为“若 x≠4,则 x2-3x-4≠0” B.“x=4”是“x2-3x-4=0”的充分条件 C.命题“若 m>0,则方程 x2+x-m=0 有实根”的逆命题为真命题 D.命题“若 m2+n2=0,则 m=0 且 n=0”的否命题是“若 m2+n2≠0,则 m≠0 或 n≠0” 答案 C 解析 C 项命题的逆命题为“若方程 x2+x-m=0 有实根,则 m>0”.若方程有实根,则 Δ=1+4m≥0, 1 即 m≥- ,不能推出 m>0.所以不是真命题,故选 C. 4
6

SCH 南极数学 2017 届理科数学高三一轮复习第一章《集合与常用逻辑用误》

5.设四边形 ABCD 的两条对角线为 AC,BD,则“四边形 ABCD 为菱形”是“AC⊥BD”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A

)

解析 因为菱形的对角线互相垂直,所以“四边形 ABCD 为菱形”?“AC⊥BD”,所以“四边形 ABCD 为菱形” 是“AC⊥BD”的充分条件;又因为对角线垂直的四边形不一定是菱形,所以“AC⊥BD” “四边形 ABCD 为菱 形”,所以“四边形 ABCD 为菱形”不是“AC⊥BD”的必要条件. 综上,“四边形 ABCD 为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件. 6.设 U 为全集.A,B 是集合,则“存在集合 C 使得 A?C,B??UC”是“A∩B=?”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件 答案 C 解析 由 Venn 图易知充分性成立.反之,A∩B=?时,由 Venn 图(如图)可知,存在 A=C,同时满足 A?C,B??
UC .

)

故“存在集合 C 使得 A?C,B??UC”是“A∩B=?”的充要条件. 7.(2015· 北京)设 α,β 是两个不同的平面,m 是直线且 m?α.则“m∥β”是“α∥β”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 m?α,m∥β α∥β,但 m?α,α∥β?m∥β,∴m∥β 是 α∥β 的必要而不充分条件.
? ?log2x,x>0, 8.函数 f(x)=? x 有且只有一个零点的充分不必要条件是( ?-2 +a,x≤0 ?

)

)

A.a<0 1 C. <a<1 2 答案 A

1 B.0<a< 2 D.a≤0 或 a>1

7

SCH 南极数学 2017 届理科数学高三一轮复习第一章《集合与常用逻辑用误》

解析 因为函数 f(x)过点(1,0),所以函数 f(x)有且只有一个零点?函数 y=-2x+a(x≤0)没有零点?函数 y=2x(x≤0) 与直线 y=a 无公共点.由数形结合,可得 a≤0 或 a>1. 观察选项,根据集合间关系得{a|a<0}?{a|a≤0 或 a>1},故答案选 A. 9.“若 a≤b,则 ac2≤bc2”,则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________. 答案 2 解析 其中原命题和逆否命题为真命题,逆命题和否命题为假命题. 10.若 x<m-1 或 x>m+1 是 x2-2x-3>0 的必要不充分条件,则实数 m 的取值范围是________. 答案 [0,2]

解析 由已知易得{x|x2-2x-3>0}?{x|x<m-1 或 x>m+1},又{x|x2-2x-3>0}={x|x<-1 或 x>3},
? ? ?-1≤m-1, ?-1<m-1, ∴? 或? ∴0≤m≤2. ?m+1<3, ?m+1≤3, ? ?

11.给定两个命题 p、q,若綈 p 是 q 的必要而不充分条件,则 p 是綈 q 的________条件. 答案 充分不必要 解析 若綈 p 是 q 的必要不充分条件,则 q?綈 p 但綈 p q,其逆否命题为 p?綈 q 但綈 q?/p,所以 p 是綈 q 的充 分不必要条件. 12.下列命题: ①若 ac2>bc2,则 a>b; ②若 sin α=sin β,则 α=β; ③“实数 a=0”是“直线 x-2ay=1 和直线 2x-2ay=1 平行”的充要条件; ④若 f(x)=log2x,则 f(|x|)是偶函数. 其中正确命题的序号是________. 答案 ①③④ 解析 对于①,ac2>bc2,c2>0,∴a>b 正确; 对于②,sin 30° =sin 150° 30° =150° , 所以②错误; 对于③,l1∥l2?A1B2=A2B1,即-2a=-4a?a=0 且 A1C2≠A2C1,所以③正确; ④显然正确. 确,④正确.

8


相关文章:
1.02命题及其关系充分必要条件(复习设计)
SCH 南极数学 2017 届理科数学高三一轮复习第一章《集合与常用逻辑用误》 NO1.02:命题及其关系充分条件与必要条件(复习设计) 【知识梳理】 1.四种命题及相互关系...
1.02命题及其关系充分必要条件(学生学案)
SCH 南极数学 2017 届理科数学高三一轮复习第一章《集合与常用逻辑用误》 NO1.02:命题及其关系充分条件与必要条件(学生学案) 【知识梳理】 1.四种命题及相互关系...
命题及其关系、充分条件与必要条件 知识点与题型归纳
命题及其关系充分条件必要条件 知识点与题型归纳_数学_高中教育_教育专区。●高考明方向 1.理解命题的概念. 2.了解“若 p,则 q”形式的命题的逆命题、 否...
2016届高三数学复习 第一章 第二节 命题及其关系、充要条件
2016届高三数学复习 第一章 第二节 命题及其关系充要条件_数学_高中教育_...的( A.必要不充分条件 C.充要条件 解析 B.充分不必要条件 D.既不充分也不...
命题及其关系充要条件练习题
班级: 姓名: 学号: 命题及其关系充分条件必要条件 2012.10.22 一、选择...2012年数学一轮复习试题... 6页 免费 2011届高考数学复习好题... 4页 免费...
一轮复习文数第一章2:命题及其关系、充分必要条件
高三一轮复习(文数)第一章:集合、常用逻辑用语 第二节:命题及其关系充分条件必要条件 考纲要求: 1.理解命题的概念. 2.了解“若 p,则 q”形式的命题及其...
命题及其关系充要条件练习题
命题及其关系充要条件练习题_高二数学_数学_高中教育_教育专区。阶段性测试 ...充分非必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要...
命题及其关系、充分条件与必要条件习题及答案
命题及其关系充分条件与必要条件习题及答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。命题的逻辑关系命题及其关系充分条件必要条件 (时间:45 分钟 满分:100 分) 一...
1.2(2015文)命题及其关系,充分条件与必要条件(知识点)
1.2(2015文)命题及其关系,充分条件必要条件(知识点)_数学_高中教育_教育专区。1.2 命题及其关系,充分条件与必要条件 1.命题的概念 一般地,在数学中,用语言...
更多相关标签: