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2013年4月上海市浦东新区高三数学二模试卷理科含答案


浦东新区 2013 年高考预测 数学试卷(理科)
注意:1. 答卷前,考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚. 2. 本试卷共有 23 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 一、填空题(本大题满分 56 分,每小题 4 分) ;本大题共有 14 小题,考生应在答题纸相应 编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.

已知复数 z 满足 i ? z ? 1 ? i (其中 i 为虚数单位) ,则 z = 2.已知集合 A= ??2,1, 2? ,B=
2

. 1 .

?

a ? 1, a ,且 B ? A ,则实数 a 的值是

?

3.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 3 : 4 : 3 ,现用分层抽样的方法从该校高 中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本,则应从高二年级抽取 20 名学生. 4.函数 f ( x) ? 1 ? log2 x 与 y ? g (x) 的图像关于直线 y ? x 对称,则 g (3) ? 4 .

2x
5. 把三阶行列式 x

0 4

3

1

0 中第 1 行第 3 列元素的代数余子式记为 f (x) , 则关于 x x ? 3 ?1

的不等式 f ( x) ? 0 的解集为

(?1,4)

.

6.若双曲线的渐近线方程为 y ? ?3x ,它的一个焦点是 ( 10,0) ,则双曲线的标准方程



x2 ?

y2 ?1 9

.
2 2

7.若直线 3x ? 4 y ? m ? 0 与圆 C : ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 1有公共点,则实数 m 的取值范围 是

[0,10]

.
*

8. 记直线 l n :nx ? (n ? 1) y ? 1 ? 0( n ? N )与坐标轴所围成的直角三角形的面积为 Sn , 则 lim ( S1 ? S 2 ? S3 ? ? ? S n ) ?
n??

1 2

.

9. ?ABC 中, A、 C 所对的边分别为 a 、b 、c , a 在 角 B、 若 则b ? 4 .

? 2, b ? c ? 7, cos B ? ?

1 , 4

10 . 若 等 式 x5 ? a0 ? a1 (1 ? x) ? a2 (1 ? x)2 ? a3 (1 ? x)3 ? a4 (1 ? x)4 ? a5 (1 ? x)5 对 一 切

x ? R 都成立,其中 a 0 , a1 , a 2 ,?, a 5 为实常数,则 a 4 =
11.方程 x cos x ? 0 在区间 ?? 3,6? 上解的个数为 4 .

?5

.

— 1 —

12.某人从标有 1、2、3、4 的四张卡片中任意抽取两张.约定如下:如果出现两个偶数或两 个奇数, 就将两数相加的和记为 ? ; 如果出现一奇一偶, 则将它们的差的绝对值记为 ? , 则随机变量 ? 的数学期望为

8 3

.

13.如果 M 是函数 y ? f (x) 图像上的点, N 是函数 y ? g (x) 图像上的点,且 M , N 两点之 间的距离 MN 能取到最小值 d ,那么将 d 称为函数 y ? f (x) 与 y ? g (x) 之间的距离.

按这个定义,函数 f ( x) ?

x 和 g ( x) ? ? x 2 ? 4 x ? 3 之间的距离是

7 ?1 . 2

14.数列 {an } 满足 an?1 ?

4an ? 2 ? (n? N ) . an ? 1

①存在 a1 可以生成的数列 {an } 是常数数列; ②“数列 {an } 中存在某一项 a k ?

49 ”是“数列 {an } 为有穷数列”的充要条件; 65

③若 {an } 为单调递增数列,则 a1 的取值范围是 (??,?1) ? (1,2) ; ④只要 a1 ?

3k ? 2k ?1 ? ,其中 k ? N ,则 lim an 一定存在; n?? 3k ? 2k
①④ .

其中正确命题的序号为

二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分) 每小题都给出四个选项,其中有且只有一个 ; 选项是正确的,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. “a=1” “直线 l1: 是 ax+2y-1=0 与直线 l2: x+(a+1)y+4=0 平行” 的 (

A



( A) 充分不必要条件 (C ) 充分必要条件

(B ) 必要不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件


16. 已知 a ? 3, b ? 4, (a ? b) ? (a ? 3b) ? 33, 则 a 与 b 的夹角为

C



( A)

? 6

(B )

? 3

(C )

2? 3

(D)

5? 6

— 2 —

?m 1 ? x 2 , x ? ?? 1,1? ? 17.已知以 4 为周期的函数 f ( x ) ? ? ,其中 m ? 0 .若方程 ?x , x ? ?1,3? ?? cos 2 ?

f ( x) ?

x 恰有 5 个实数解,则 m 的取值范围为 3



B



( A) (

15 8 , ) 3 3

(B ) (

15 , 7) 3

? 4 8? (C ) ? , ? ? 3 3?

4 (D) ( , 7) . 3

18.从集合 ? ,2,3,4,?,2013 中任取 3 个元素组成一个集合 A ,记 A 中所有元素之和被 3 ? 1 除余数为 i 的概率为 P (0 ? i ? 2) , P0 , P , P2 的大小关系为 则 1 i (

B



( A) P0 ? P ? P2 1

( B) P0 ? P ? P2 1

(C) P0 ? P ? P2 1

( D) P0 ? P ? P2 1

三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分) ;解答下列各题必须写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 6 分. 如图, 已知正四棱柱 ABCD? A1 B1C1 D1 的底面边长
D1 C1 B1 N

是 2 ,体积是 16 , M , N 分别是棱 BB1 、 B1C1 的中点. (1)求直线 MN 与平面 ACC1 A1 所成的角(结果用 反三角函数表示); (2)求过 A1, B, C1 的平面与该正四棱柱所截得的多 面体 AC1D1 ? ABCD 的体积. 1 解: (1)连结 BC1 ,? BC1 // MN ,

A1

M D C A

B

? 直线 MN 与平面 ACC1 A1 所成的角等于直线 BC1 与平面 ACC1 A1 所成的角.
连结 BD, BD ? AC ? O ,连结 C1O ,

??BC1O 是直线 BC1 与平面 ACC1 A1 所成的角.???????????2 分 ?BC1O 中, BO ? 2, C1B ? 2 5 ,????????????????4 分
sin ?BC1O ? 10 10 . ,??BC1O ? arcsin 10 10

— 3 —

? 直线 MN 与平面 ACC1 A1 所成的角等于 arcsin

10 .????????6 分 10

(2)? 正四棱柱 ABCD? A1 B1C1 D1 的底面边长是 2 ,体积是16 ,

? AA1 ? 4 .???????????????????????????8 分
1 1 8 VB ? A1B1C1 ? ? ? 2 ? 2 ? 4 ? ; 3 2 3 8 40 ?VA1C1D1 ? ABCD ? VABCD ? A1B1C1D1 ? VB ? A1B1C1 ? 16 ? ? ,????????11 分 3 3

? 多面体 AC1D1 ? ABCD 的体积为 1

40 .??????????????12 分 3
?? ? 3? ,且 m ? n ? ?1 . 4

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 5 分,第(2)小题满分 9 分. 已知向量 m ? ?1,1? , 向量 n 与向量 m 的夹角为 (1)求向量 n ; (2)若向量 n 与 q ? (1,0) 共线,向量 p ? ? 2cos 2

??

?

??

?

C ? ,cos A ? ,其中 A 、C 为 ?ABC 的 2 ? ? ? ? 内角,且 A 、 B 、 C 依次成等差数列,求 n ? p 的取值范围.

?

?

? ? ? ?

解: (1)设 n ? (x, y) .由 m ? n ? ?1 ,得 x ? y ? ?1 ①??????????????2 分 又向量 n 与向量 m 的夹角为

?

?? ?

?

??

3? 2 2 ,得 x ? y ? 1 ②???????????4 分 4

由①、②解得 ?

? ? ? x ? ?1 ? x ? 0 或? ,? n ? (?1,0) 或 n ? (0, ?1) .??????5 分 ?y ? 0 ? y ? ?1 ?

(2)向量 n 与 q ? (1,0) 共线知 n ? (?1,0) ;?????????????????6 分 由 2B ? A ? C 知 B ?

?

?

?
3

,

A?C ?

2? 2? , 0? A? .?????????7 分 3 3

? ? ? ? C ? n ? p ? ? ?1 ? 2cos 2 , cos A ? ? ? cos C, cos A? , ???????????8 分 2 ? ?

? ? 2 ? 1 ? cos 2 A 1 ? cos 2C ? n ? p ? cos 2 C ? cos 2 A ? ? ??????????9 分 2 2

— 4 —

1? 1 ?? ? 4? ?? ? ? 1 ? ?cos 2 A ? cos ? ? 2 A ?? ? 1 ? cos ? 2 A ? ? .???11 分 2? 2 3? ? 3 ?? ?
?0 ? A ? 2? ? ? 5? ?? 1 ? , ? 2A ? ? , ??1 ? cos ? 2 A ? ? ? ,????12 分 3 3 3 3 3? 2 ?



? ? 2 ?1 5 ? ? 1 ?? 5 ? ? 1 ? cos ? 2 A ? ? ? ,即 n ? p ? ? , ? ,??????????13 分 2 3? 4 ? ?2 4 ?

? ? ? 2 5? ? ? n? p ?? , ? .??????????????????????14 分 ? ? 2 2 ?

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分. 设函数 f ( x) ? ( x ? a) | x | ?b (1)当 a ? 2, b ? 3 ,画出函数 f ( x ) 的图像,并求出函数 y ? f ( x) 的零点; (2)设 b ? ?2 ,且对任意 x ?[?1,1] , f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

? x2 ? 2 x ? 3 ? 解: (1) f ( x) ? ? 2 ?2 x ? x ? 3 ?

x?0 x?0

,???????????????????2 分

画图正确.????????????????????????????4 分 当 x ? 0 时,由 f ( x) ? 0 ,得 x ? 2 x ? 3 ? 0 ,此时无实根;
2

当 x ? 0 时,由 f ( x) ? 0 ,得 x ? 2 x ? 3 ? 0 ,得 x ? ?1 , x ? 3(舍) .
2

所以函数的零点为 x ? ?1 .?????????????????????6 分 (2)由 f ?x ? <0 得, ( x ? a) | x |? 2 . 当 x ? 0 时, a 取任意实数,不等式恒成立.?????????????8 分 当 0 ? x ? 1 时, a ? x ?

2 2 .令 g ( x ) ? x ? ,则 g ( x) 在 0 ? x ? 1 上单调递增, x x

∴ a ? gmax ( x) ? g (1) ? ?1 ;????????????????????10 分 当 ?1 ? x ? 0 时, a ? x ?

2 2 ,令 h( x ) ? x ? , x x

则 h( x) 在[- 2,0) 上单调递减,所以 h( x) 在 ?1 ? x ? 0 上单调递减.

— 5 —



.???????????????????12 分 a ? h a ( x ? h ? 1 )? ? 3 ( m x )

综合 a ? ?1 .??????????????????????????14 分 22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分, 第(3)小题满分 6 分. 已知直角 ?ABC 的三边长 a, b, c ,满足 a ? b ? c (1)在 a, b 之间插入 2011 个数,使这 2013 个数构成以 a 为首项的等差数列 ?an ? ,且 它们的和为 2013 ,求 c 的最小值; (2)已知 a, b, c 均为正整数,且 a, b, c 成等差数列,将满足条件的三角形的面积从小到 大排成一列 S1, S2 , S3 ,?, Sn , Tn ? ?S1 ? S2 ? S3 ? ? ? (?1)n Sn , 且 求满足不等式

T2n ? 6 ? 2n ?1 的所有 n 的值;
c a (3)已知 a, b, c 成等比数列,若数列 ? X n ? 满足 5 X n ? ? ? ? ? ? ? (n ? N ? ) ,证明: ? ? ? ? a? ? c? ?
数列
n n

?

X n 中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形,且 X n 是正整数.

?

解: (1) ?an ? 是等差数列,∴
2 2 2

2013 ? (a ? b) ? 2013 ,即 a ? b ? 2 .???????2 分 2

所以 c ? a ? b ? ? ? 2 , c 的最小值为 2 ;???????????4 分 (2)设 a , b, c 的公差为 d (d ? Z ) ,则 a2 ? (a ? d )2 ? (a ? 2d )2 ? a ? 3d ?????5 分 设三角形的三边长为 3d , 4d ,5d , 面积 Sd ?

1 ? 3d ? 4d ? 6d 2 (d ? Z ) ,Sn ? 6n2 , 2

T2n ? ?S1 ? S2 ? S3 ? ? ? S2n ? 6[?12 ? 22 ? 32 ? 42 ? ? ? (2n)2 ]

? 6(1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ?2n) ? 12n2 ? 6n .?????????????7 分
由 T2n ? 6 ? 2n ?1 得 n ?
2

1 n ? 2n , 2 n(n ? 1) 1 ? ? ? 2 ? 2n ? ( n 2 ? n) ? n 2 ? n , 2 2
2

当 n ? 5 时, 2 ? 1 ? n ?
n

1 1 n ? 2n ,当 n ? 1 时, n 2 ? n ? 2n .???9 分 2 2 n ?1 综上所述,满足不等式 T2n ? 6 ? 2 的所有 n 的值为 2、3、4.?????10 分
经检验当 n ? 2,3,4 时, n ? (3)证明:因为 a, b, c 成等比数列, b ? ac .
2

由于 a , b, c 为直角三角形的三边长,知 a ? ac ? c ,
2 2

c 1? 5 ,???11 分 ? a 2
n n

n n ?1? 5 ? ?1? 5 ? c a ? ? ? 又 5 X n ? ? ? ? ? ? ? (n ? N ? ) ,得 5 X n ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ?? 2 ? , ?a? ? c? ? ? ? ?

— 6 —

?1? 5 ? ?1? 5 ? ?1? 5 ? ? ? ? ? ? 于是 5 X n ? 5 X n ?1 ? ? ? 2 ? ?? 2 ? ?? 2 ? ? ? ? ? ? ? ?1? 5 ? ? ?? ? 2 ? ? ?
? X n +X n ?1 ? X n ? 2 ,则有?
n?2

n

n

n ?1

?1? 5 ? ? ?? ? 2 ? ? ?

n ?1

?1? 5 ? ? ?? ? 2 ? ? ?
2

n?2

? 5 X n ? 2 .????12 分
X n?2

?

Xn

? +?
2

X n ?1

? ??

?.
2

故数列

?

X n 中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形.?????14 分

?

1 1 2 2 ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ? 因为 X ? 5 ?? 5 ? 1 ? ? ? 1 ? 5 ? ? =1 , X ? 5 ?? 5 ? 1 ? ? ? 1 ? 5 ? ? =1 ? ? ? ? 1 2 5 ?? 2 ? ? 2 ? ? 5 ?? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?

? X 3 ? X1 ? X 2 ? 2 ? N ? ,????????????????????15 分
由 X n ? X n ?1 ? X n ? 2 ,同理可得 X n ? N ? , X n ?1 ? N ? ? X n ? 2 ? N ? , 故对于任意的 n ? N ? 都有 X n 是正整数.???????????????16 分 23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分, 第(3)小题满分 8 分.

x2 y2 9 y2 2 ? 1 有相同的焦点 F、F2 ,M (1)设椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1 与双曲线 C2 :9 x ? 1 8 a b 是椭圆 C1 与双曲线 C2 的公共点,且 ?MF F2 的周长为 6 ,求椭圆 C1 的方程; 1
我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”.

(0 ? x ? 3) ? 4x (2)如图,已知“盾圆 D ”的方程为 y ? ? . ? ? 12( x ? 4) (3 ? x ? 4) 设“盾圆 D ”上的任意一点 M 到 F ? 1,0 ? 的距离为 d1 , M 到
2

y

直线 l : x ? 3 的距离为 d 2 ,求证: d1 ? d 2 为定值; (3) 由抛物线弧 E1 :y 2 ? 4 x( 0 ? x ?

o

3

x

2 ) (1) 与第 小题椭圆弧 E2 : 3

x2 y2 2 ? 2 ? 1 ( ? x ? a )所合成的封闭曲线为“盾圆 E ”.设 2 3 a b 过点 F ? 1, 0 ? 的直线与“盾圆 E ”交于 A、B 两点, | FA |? r1 , | FB |? r2 且
?AFx ? ? ( 0 ? ? ? ? ) ,试用 cos? 表示 r1 ;并求
解: (1)由 ?MF F2 的周长为 6 得 a ? c ? 3 , 1 椭圆 C1 与双曲线 C2 : 9 x ?
2

r1 的取值范围. r2

9 y2 ? 1 有相同的焦点,所以 c ? 1 , 8
x2 y 2 ? ? 1 椭圆 C1 的方程;???????4 分 4 3
— 7 —

2 2 2 即 a ? 2,b ? a ? c ? 3,

(2)证明:设“盾圆 D ”上的任意一点 M 的坐标为 ( x, y ) , d2 ?| x ? 3 | .???5 分 当 M ? C1 时, y 2 ? 4 x (0 ? x ? 3) , d1 ?

( x ? 1) 2 ? y 2 ?| x ? 1 | , ( x ? 1) 2 ? y 2 ?| 7 ? x | ,

即 d1 ? d2 ?| x ? 1 | ? | x ? 3 |? ( x ? 1) ? (3 ? x) ? 4 ;??????????7 分 当 M ? C2 时, y 2 ? ?12( x ? 4) (3 ? x ? 4) , d1 ? 即 d1 ? d2 ?| 7 ? x | ? | x ? 3 |? (7 ? x) ? ( x ? 3) ? 4 ;??????????9 分 所以 d1 ? d2 ? 4 为定值;??????????????????????10 分 (3)显然“盾圆 E ”由两部分合成,所以按 A 在抛物线弧 E1 或椭圆弧 E2 上加以分类, 由“盾圆 E ”的对称性,不妨设 A 在 x 轴上方(或 x 轴上) : 当x? 当?

2 5 1 2 6 时, y ? ? ,此时 r ? , cos ? ? ? ;????????11 分 3 3 5 3
y

1 ? cos ? ? 1 时, A 在椭圆弧 E2 上, 5 x2 y 2 ? ? 1 得, 由题设知 A(1 ? r1 cos? , r1 sin ? ) 代入 4 3 3(1 ? r1 cos? )2 ? 4(r1 sin ? )2 ? 12 ? 0 ,
整理得 (4 ? cos 解 得
2

o

x

? )r ? 6r1 cos? ? 9 ? 0 ,
2 1

r1 ?

3 或 2?c o s ?

r1 ?

3 cos ? ? 2





去). ?????????????12 分 当 ? 1 ? cos ? ? ?

1 时 A 在抛物线弧 E1 上, 5

2 , 1 ? cos ? 2 1 3 1 综上, r1 ? ( ? 1 ? cos ? ? ? )或 r1 ? ( ? ? cos ? ? 1 ) ; 1 ? cos ? 5 2 ? cos ? 5 相应地, B(1 ? r2 cos? ,?r2 sin ? ) ,????????????????14 分 1 当 ? 1 ? cos ? ? ? 时 A 在抛物线弧 E1 上, B 在椭圆弧 E2 上, 5 r1 2 2 ? cos? 2 1 11 ? ? ? (1 ? ) ? [1, ] ;????????15 分 r2 1 ? cos? 3 3 1 ? cos? 9 1 当 ? cos ? ? 1 时 A 在椭圆弧 E2 上, B 在抛物线弧 E1 上, 5 r1 3 1 ? cos? 3 1 9 ? ? ? (1 ? ) ? [ ,1] ;????????16 分 r2 2 ? cos? 2 2 2 ? cos? 11 1 1 当 ? ? cos ? ? 时 A 、 B 在椭圆弧 E2 上, 5 5 r1 3 2 ? cos? 2 ? cos? 9 11 ? ? ? ? ( , ) ;??????????17 分 r2 2 ? cos? 3 2 ? cos? 11 9 9 11 r 综上 1 的取值范围是 [ , ] .???????????????????18 分 11 9 r2
由方程或定义均可得到 r ? 2 ? r cos? ,于是 r1 ? 1 1

— 8 —

— 9 —


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