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高考数学精品学案第34讲直线与圆锥曲线的位置关系


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2013 年普通高考数学科一轮复习精品学案
第 34 讲 直线与圆锥曲线的位置关系
京翰高考网试题(gaokao.zgjhjy.com) 一.课标要求:
1.通过圆锥曲线与方程的学习,进一步体会数形结合的思想; 2.掌握直线与圆锥曲线的位置关系判定及其相关问题。

二.命题走向
近几年来直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考解答题压轴题的位置,且选择、填空 也有涉及,有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及线段中点、弦长等。分析这类问题, 往往利用数形结合的思想和“设而不求”的方法,对称的方法及韦达定理等。 预测 2013 年高考: 1.会出现 1 道关于直线与圆锥曲线的位置关系的解答题; 2.与直线、圆锥曲线相结合的综合型考题,等轴双曲线基本不出题,坐标轴平移或平移化简 方程一般不出解答题,大多是以选择题形式出现。

三.要点精讲
1.点 M(x0,y0)与圆锥曲线 C:f(x,y)=0 的位置关系

2.直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系,从几何角度可分为三类:无公共点,仅有一个公共点及有两个
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相异公共点。 直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究。因为方程 组解的个数与交点的个数是一样的。

直线与圆锥曲线的位置关系可分为:相交、相切、相离.对于抛物线来说,平行于对称轴的 直线与抛物线相交于一点,但并不是相切;对于双曲线来说,平行于渐近线的直线与双曲线只有 一个交点,但并不相切.这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为:

注意:直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件,但不 是充分条件. 3.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 设直线 l:y=kx+n,圆锥曲线:F(x,y)=0,它们的交点为 P1 (x1,y1),P2 (x2,y2), 且由 ?

? F ( x, y ) ? 0 ,消去 y→ax2+bx+c=0(a≠0) ,Δ=b2 -4ac。 ? y ? kx ? n

则弦长公式为:
2 2 2 2 d= ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y 2 ) = (1 ? k )( x1 ? x2 ) =

(1 ? k 2 ) (1 ? k 2 ) Δ Δ。 = |a| a2

焦点弦长:

| PF | ? e (点 P 是圆锥曲线上的任意一点, F 是焦点, d 是 P 到相应于焦点 F d

的准线的距离, e 是离心率) 。

四.典例解析
题型 1:直线与椭圆的位置关系

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例 1.已知椭圆: AB 的长。

? x2 ? y 2 ? 1 ,过左焦点 F 作倾斜角为 的直线交椭圆于 A、B 两点,求弦 6 9

解析:a=3,b=1,c=2 2 ,则 F(-2 2 ,0) 。

x2 ? y 2 ? 1 联立消去 y 得: 4x 2 ? 12 2 x ? 15 ? 0 。 (x ? 2 2) 与 由题意知: l : y ? 9 3 1
设 A( x1 , y1 ) 、B( x 2 , y 2 ) ,则 x1 , x 2 是上面方程的二实根,由违达定理, x1 ? x2 ? ?3 2 ,

x1 ? x 2 ?

x ? x2 3 2 15 , xM ? 1 又因为 A、B、F 都是直线 l 上的点, ?? 4 2 2

所以|AB|= 1 ? ? | x1 ? x2 |?

1 3

2 3

? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?

2 3

18 ? 15 ? 2

点评:也可让学生利用“焦半径”公式计算。 例 2. 中心在原点, 一个焦点为 F1 (0, 50 ) 的椭圆截直线 y ? 3x ? 2 所得弦的中点横坐标为 求椭圆的方程。 解析:设椭圆的标准方程为

1 , 2

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,由 F1(0, 50 )得? a 2 ? b 2 ? 50 2 a b

2 2 2 2 2 2 把直线方程 y ? 3x ? 2 代入椭圆方程整理得: (a ? 9b ) x ? 12b x ? b (4 ? a ) ? 0 。

设弦的两个端点为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则由根与系数的关系得:

x1 ? x2 1 12b 2 6b 2 1 ? 2 ? x1 ? x 2 ? 2 ,又 AB 的中点横坐标为 ,? 2 2 2 2 2 a ? 9b a ? 9b
? a 2 ? 3b 2 ,与方程 a 2 ? b 2 ? 50 联立可解出 a 2 ? 75, b 2 ? 25
故所求椭圆的方程为:

x2 y2 ? ? 1。 75 25

点评:根据题意,可设椭圆的标准方程,与直线方程联立解方程组,利用韦达定理及中点坐 标公式,求出中点的横坐标,再由 F1(0, 50 )知,c= 50 ,? a ? b ? 50 ,最后解关于 a、
2 2

b 的方程组即可。 例 3.直线 y ? 2k 与曲线 9k x ? y ? 18k x
2 2 2 2

(k ? R ,且k ? 0 ) 的公共点的个数为(



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(A)1

(B)2
2 2 2

(C)3
2 2 2

(D)4
2 2

解析:将 y ? 2k 代入 9k x ? y ? 18k x 得: 9k x ? 4k ? 18k x 。

? 9 | x |2 ?18 x ? 4 ? 0 ,显然该关于 | x| 的方程有两正解,即 x 有四解,所以交点有 4 个,
故选择答案 D。 点评:本题考查了方程与曲线的关系以及绝对值的变换技巧,同时对二次方程的实根分布也 进行了简单的考查。 例 4. 已知椭圆 C 的焦点分别为 F1 (?2 0) 和 F2 (2 2 , 0) , 长轴长为 6, 设直线 y=x+2 2,

交椭圆 C 于 A、B 两点,求线段 AB 的中点坐标。 解析:设椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1, a2 b2

由题意 a=3,c=2

2 ,于是 b=1.

x2 2 ∴ 椭圆 C 的方程为 +y =1. 9
?y ? x ? 2 ? 由 ? x2 得 10x2+36x+27=0, 2 ? 9 ? y ?1 ?
因为该二次方程的判别式 Δ>0,所以直线与椭圆有两个不同的交点, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则 x1+x2= ?

18 , 5 9 1 , ) . 5 5

故线段 AB 的中点坐标为( ?

点评:本题主要考查椭圆的定义标准方程,直线与椭圆的位置关系及线段中点坐标公式。 题型 2:直线与双曲线的位置关系

x2 y 2 ? ? 1 有且只有一个公共点的直线有几条,分别求出它们 例 5. (1)过点 P( 7,5) 与双曲线 7 25
的方程。 (2)直线 y ? kx ? 1 与双曲线 3x ? y ? 1 相交于 A、B 两点,当 a 为何值时,A、B 在双曲
2 2

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线的同一支上?当 a 为何值时,A、B 分别在双曲线的两支上? 解析: (1)解:若直线的斜率不存在时,则 x ?

7 ,此时仅有一个交点 ( 7,0) ,满足条件;

若直线的斜率存在时,设直线的方程为 y ? 5 ? k ( x ? 7) 则 y ? kx ? 5 ? k 7 ,

x 2 (kx ? 5 ? k 7)2 ? ? 1 , ∴25x2 ? 7(kx ? 5 ? k 7)2 ? 7 ? 25 , 7 25

(25 ? 7k 2 ) x2 ? 7 ? 2kx(5 ? k 7) ? (5 ? k 7)2 ? 7 ? 25 ? 0 ,
当k ?

5 7 时,方程无解,不满足条件; 7 5 7 时, 2 ? 5 7 x ?10 ? 75 方程有一解,满足条件; 7

当k ? ? 当k ?
2

25 时,令 ? ? [14k (5 ? k 7)]2 ? 4(25 ? 7k 2 )[(5 ? k 7)2 ?165] ? 0 , 7

化简得: k 无解,所以不满足条件; 所以满足条件的直线有两条 x ?
2 2

7和y??

5 7 x ? 10 。 7
2 2

(2)把 y ? kx ? 1 代入 3x ? y ? 1 整理得: (3 ? a ) x ? 2ax ? 2 ? 0 ……(1) 当 a ? ? 3 时, ? ? 24 ? 4a 。
2

由 ? >0 得 ? 6 ?a? 6 且 a ? ? 3 时,方程组有两解,直线与双曲线有两个交点。 若 A、B 在双曲线的同一支,须 x1 x2 ?

2 >0 ,所以 a? ? 3 或 a? 3 。 a ?3
2

故当 ? 6 ?a? ? 3 或 3? a 6 时,A、B 两点在同一支上;当 ? 3?a 3 时,A、B 两点在双 曲线的两支上。 点评:与双曲线只有一个公共点的直线有两种。一种是与渐近线平行的两条与双曲线交于一 点的直线。另一种是与双曲线相切的直线也有两条。

y2 ? 1截得的弦长; 例 5. (1)求直线 y ? x ? 1 被双曲线 x ? 4
2

(2)求过定点 (0,1) 的直线被双曲线 x ?
2

y2 ? 1截得的弦中点轨迹方程。 4

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? 2 y2 ?1 ?x ? 4 ? 2 2 ? y ? x ?1 2 解析:由 ? 得 4 x ? ( x ? 1) ? 4 ? 0 得 3x ? 2 x ? 5 ? 0 (*)
设方程(*)的解为 x1 , x2 ,则有

2 5 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? ? 3 3

得,

d ? 2 | x1 ? x2 |? 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 2

4 20 8 ? ? 2 9 3 3

(2)方法一:若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点,则设直线的方程为 y ? kx ? 1 ,它 被双曲线截得的弦为 AB 对应的中点为 P( x, y) ,

? y ? kx ? 1 ? ? 2 y2 ?1 2 2 ?x ? 4 由? 得 (4 ? k ) x ? 2kx ? 5 ? 0 (*)
设方程(*)的解为 x1 , x2 ,则 ? ? 4k ? 20(4 ? k ) ? 0 ,
2 2

∴16k ? 80,| k |? 5 ,
2



x1 ? x2 ?

2k 5 , x1 x2 ? ? 2 4?k 4 ? k2 ,

x?


1 k 1 1 4 ( x1 ? x2 ) ? , y ? ( y1 ? y2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 2 2 4?k 2 2 4 ? k2 ,

k ? x ? ? ? 4 ? k2 ? ?y ? 4 ? 4 ? k2 ?
得 4x ? y ? y ? 0( y ? ?4 或 y ? 0) 。
2 2

方法二:设弦的两个端点坐标为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,弦中点为 P( x, y) ,则
2 2 ? ?4 x1 ? y1 ? 4 ? 2 2 ? ?4 x2 ? y2 ? 4 得: 4( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ,

y1 ? y2 4( x1 ? x2 ) ? x ? x y1 ? y2 , 2 ∴ 1

y 4x ? 即 x y ?1 ,

即 4 x ? y ? y ? 0 (图象的一部分)
2 2

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点评: (1)弦长公式 | AB |? 1 ? k | x1 ? x2 |? 1 ?
2

1 (2)有关中点弦问题的两 | y1 ? y2 | ; k2

种处理方法。 例 7.过双曲线的一焦点的直线垂直于一渐近线,且与双曲线的两支相交,求该双曲线离心 率的范围。

b x2 y 2 解析:设双曲线的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) , F (c, 0) ,渐近线 y ? x ,则过 F 的 a a b

?b2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b 2 ? 0 a ? 直线方程为 y ? ? ( x ? c ) ,则 ? , a b ? y ? ? ( x ? c) b ?
代入得 (b4 ? a4 ) x2 ? 2a4cx ? a4c2 ? a2b4 ? 0 , ∴ ?

?? ? 0 4 4 即得 b ? a , ? x1 x2 ? 0
2。

b ? a ,即得到 e ? ∴

点评:直线与圆锥曲线的位置关系经常和圆锥曲线的几何要素建立起对应关系,取值范围往 往与判别式的取值建立联系。 题型 3:直线与抛物线的位置关系
2 例 8.已知抛物线方程为 y ? 2 p( x ? 1)( p ? 0) ,直线 l : x ? y ? m 过抛物线的焦点 F 且被

抛物线截得的弦长为 3,求 p 的值。 解析:设 l 与抛物线交于 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), 则 | AB |? 3. 由距离公式|AB|= ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 = 1 ? 1 | y1 ? y2 |? 2 | y1 ? y2 |, 则有( y1 ? y2 )2 ? 9 . 2
k 2

由 ? x ? y ? ?1 ? 2 ,消去x, 得y 2 ? 2 py ? p 2 ? 0. ?
? y 2 ? 2 p( x ? 1). ?

?

p

? ? (2 p) 2 ? 4 p 2 ? 0.

? y1 ? y2 ? ?2 p, y1 y2 ? ? p 2 .
2

从而 ( y1 ? y 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ,即(?2 p) 2 ? 4 p 2 ? 9 . 由于 p>0,解得 p ? 3 .
4

点评:方程组有两组不同实数解或一组实数解则相交;有两组相同实数解则相切;无实数解 则相离。 例 9.直线 y=x-1 被抛物线 y2=4x 截得线段的中点坐标是_____.
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答案: (3,2) 解法一:设直线 y=x-1 与抛物线 y2=4x 交于 A(x1,y1),B(x2,y2),其中点为 P(x0,y0) 。 由题意得 ?

? y ? x ?1 ? y ? 4x
2

, (x-1)2=4x,x2-6x+1=0。

∴ x0=

x1 ? x2 =3.y0=x0-1=2.∴ P(3,2) 。 2

解法二:y22=4x2,y12=4x1,y22-y12=4x2-4x1,

( y 2 ? y1 )( y 2 ? y1 ) =4.∴ y1+y2=4,即 y0=2,x0=y0+1=3。 x2 ? x1
故中点为 P(3,2) 。 点评:本题考查曲线的交点与方程的根的关系.同时应注意解法一中的纵坐标与解法二中的横 坐标的求法。 例 10.抛物线方程为 y2=p(x+1) (p>0) ,直线 x+y=m 与 x 轴的交点在抛物线的准线的右边. (1)求证:直线与抛物线总有两个交点; (2)设直线与抛物线的交点为 Q、R,OQ⊥ OR,求 p 关于 m 的函数 f(m)的表达式; (3) (文)在(2)的条件下,若抛物线焦点 F 到直线 x+y=m 的距离为 程; (理)在(2)的条件下,若 m 变化,使得原点 O 到直线 QR 的距离不大于 的范围. 解: (1)抛物线 y2=p(x+1)的准线方程是 x=-1-

2 ,求此直线的方 2

2 ,求 p 的值 2

p ,直线 x+y=m 与 x 轴的交点为(m,0) , 4

由题设交点在准线右边,得 m>-1-

p ,即 4m+p+4>0. 4

由?

? y 2 ? p ( x ? 1) ?x ? y ? m

得 x2-(2m+p)x+(m2-p)=0. 而判别式 Δ=(2m+p)2-4(m2-p)=p(4m+p+4). 又 p>0 及 4m+p+4>0,可知 Δ>0.
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因此,直线与抛物线总有两个交点; (2)设 Q、R 两点的坐标分别为(x1,y1) 、 (x2,y2) ,由(1)知,x1、x2 是方程 x2-(2m+p) x+m2-p=0 的两根, ∴ x1+x2=2m+p,x1· x2=m2-p. 由 OQ⊥ OR,得 kOQ· kOR=-1, 即有 x1x2+y1y2=0. 又 Q、R 为直线 x+y=m 上的点, 因而 y1=-x1+m,y2=-x2+m. 于是 x1x2+y1y2=2x1x2-m(x1+x2)+m2=2(m2-p)-m(2m+p)+m2=0, ∴ p=f(m)=

m2 , m?2

由?

?p ? 0 得 m>-2,m≠0; ?4 m ? 4 ? p ? 0

(3) (文)由于抛物线 y2=p(x+1)的焦点 F 坐标为(-1+

p ,0) ,于是有 4

| ?1 ?

p ?0?m| 2 4 ? ,即|p-4m-4|=4. 2 2

m2 3m 2 ? 12m ? 8 又 p= ∴ | |=4. m?2 m?2
解得 m1=0,m2=-

8 4 ,m3=-4,m4=- . 3 3

但 m≠0 且 m>-2,因而舍去 m1、m2、m3,故所求直线方程为 3x+3y+4=0. (理)解法一:由于原点 O 到直线 x+y=m 的距离不大于

2 ,于是 2

|0?0?m| 2 ,∴ |m|≤1. ? 2 2
由(2) ,知 m>-2 且 m≠0, 故 m∈ [-1,0)∪ (0,1].

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由(2) ,知 f(m)=

4 m2 =(m+2)+ -4 , m?2 m?2

当 m∈ [-1,0)时,任取 m1、m2,0>m1>m2≥-1,则 f(m1)-f(m2)=(m1-m2)+(

4 4 ) ? m1 ? 2 m2 ? 2

=(m1-m2) [1-

4 ]. (m1 ? 2)(m2 ? 2) 4 <0. (m1 ? 2)(m2 ? 2)

由 0>m1>m2≥-1,知 0<(m1+2) (m2+2)<4,1-

又由 m1-m2>0 知 f(m1)<f(m2)因而 f(m)为减函数. 可见,当 m∈ [-1,0)时,p∈ (0,1]. 同样可证,当 m∈ (0,1]时,f(m)为增函数,从而 p∈ (0, 解法二:由解法一知,m∈ [-1,0)∪ (0,1].由(2)知 p=f(m)=

1 ]. 3

m2 1 . ? m?2 1 ? 2 m m2

设 t=

1 ,g(t)=t+2t2,则 t∈ (-∞,-1]∪ [1,+∞) ,又 m
1 2 1 )- . 4 8

g(t)=2t2+t=2(t+

∴ 当 t∈ (-∞,-1]时,g(t)为减函数,g(t)∈ [1,+∞). 当 t∈ [1,+∞)时,g(t)为增函数,g(t)∈ [3,+∞). 因此,当 m∈ [-1,0]时,t∈ (-∞,-1] ,p=

1 ∈ (0,1] ; g (t )

当 m∈ (0,1]时,t∈ [1,+∞) ,p∈ (0,

1 ]. 3

点评:本题考查抛物线的性质与方程,抛物线与直线的位置关系,点到直线的距离,函数与 不等式的知识,以及解决综合问题的能力。 例 11.已知抛物线 y2=4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则 y12+y22
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的最小值是



2 2 解析:显然 x1 , x2 ?0,又 y1 =4( x1 ? x2 )?8 x1 x2 ,当且仅当 x1 ? x2 ? 4 时取等号, ? y2

所以所求的值为 32。 点评:该题考查直线与抛物线位置关系下的部分求值问题,结合基本不等式求得最终结果。

五.思维总结
1.加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习 由于直线与圆锥曲线的位置关系一直为高考的热点。这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直 线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题,因此分析问题时利用数形结合思想来设。而不 求法与弦长公式及韦达定理联系去解决。这样就加强了对数学各种能力的考查; 2. 关于直线与圆锥曲线相交弦则结合韦达定理采用设而不求法。 利用引入一个参数表示动点 的坐标 x、y,间接把它们联系起来,减少变量、未知量采用参数法。有些题目还常用它们与平面 几何的关系,利用平面几何知识会化难为易,化繁为简,收到意想不到的解题效果; 3.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题,实际上是研究它们的方程组成的方程 是否有实数解成实数解的个数问题,此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法; 4.当直线与圆锥曲线相交时 涉及弦长问题,常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用

弦长公式);涉及弦长的中点问题,常用“点差法”设而不求,将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标 联系起来,相互转化。同时还应充分挖掘题目的隐含条件,寻找量与量间的关系灵活转化,往往 就能事半功倍;

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