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广东省中山市2015届高三下学期第二次模拟考试数学(理)试题


广东省中山市 2015 届高三下学期第二次模拟考试 数学(理)试题
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 1.设随机变量 ? 服从正态分布 N (3, 4) ,若 P (? ? 2a ? 3) ? P (? ? a ? 2) ,则 a ? ( )

A. 3

5 B. 3

C.5

7 D. 3
)A.2 B.6 C.2

2.在△ABC 中,已知 b=4 ,c=2 ,∠A=120°,则 a ? ( 或6 D.2 7

3.设 a>1>b>0,则下列不等式中正确的是 (A)(-a)7<(-a)9 (B)b- 9<b- 7

1 1 lg ? lg b (C) a

1 1 ? (D) ln a ln b
)

4. 设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x ? -2, 则抛物线的方程是( A. y ? 8 x
2

B. y ? ?8 x
2

C. y ? ?4 x
2

D.

y2 ? 4x

5.设

m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,则下列命题中正确的是

(A)若 m / /? , n ? ? 且 ? ? ? ,则 m ? n (B)若 m ? ? , n ? ? 且 m ? n ,则 ? ? ? (C)若 ? ? ? , m / / n 且 n ? ? ,则 m / /? (D)若 m ? ? , n ? ? 且 m / / n ,则 ? / / ? 6.已知某锥体的三视图(单位:cm ) 如图所示,则该锥体的体积为 (A)2 cm (C)6 cm
2
3 3

2 1 2
正视图 侧视图

(B)4 cm (D)8 cm

2
3

3

1 ( x ? 1)( ? 2)5 x 7. 的展开式的常数项是
(A)48 (B)﹣48 (C)112

俯视图

(第 6 题图)

(D)﹣112

第 1 页 共 13 页

8. 袋子里有 3 颗白球, 4 颗黑球, 5 颗红球. 由甲、 乙、 丙三人依次各抽取一个球, 抽取后不放回. 若 每颗球被抽到的机会均等,则甲、乙、丙三人所得之球颜色互异的概率是

1 (A) 4

1 (B) 3

2 (C) 7

3 (D) 11

第 2 页 共 13 页

二.填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题:第 9、10、11、12、13 题为必做题,每道试题考生都必须作答.

z?2 z? 9.已知复数 z 满足 z ? 2 = i(其中 i 是虚数单位) ,则



10 . 设 z ? 2 x ? 5 y , 其 中 实 数 x, y 满 足 6 ? x ? y ? 8 且 ?2 ? x ? y ? 0 , 则 z 的 取 值 范 围 是 .
2

2 11.已知抛物线 x ? 3 y 上两点 A, B 的横坐标恰是方程 x ? 5 x ? 1 ? 0 的两个实根,则直线 AB 的方

程是



12.口袋中装有大小质地都相同、编号为 1,2,3,4,5,6 的球各一只.现从中一次性随机地取出 两个球,设取出的两球中较小的编号为 X ,则随机变量 X 的数学期望是 13.在△ABC 中,∠C=90?,点 M 满足 BM ? 3MC ,则 sin∠BAM 的最大值是 (二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题. . .

? ? cos(? ? ) ? 3 2 4 14. (坐标系与参数方程选做题)若直线的极坐标方程为 ,曲线 C : ? ? 1 上的
点到直线的距离为 d ,则 d 的最大值为 .

15.(几何证明选讲选做题) 如图圆 O 的直径 AB ? 6 , P

是 连

AB 的延长线上一点 ,过点 P 作圆 O 的切线 ,切点为 C ,
接 AC ,若 ?CPA ? 30? ,则 PC ? .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

第 3 页 共 13 页

17.(本小题满分 13 分) 在某校高三学生的数学校本课程选课过程中,规定每位同学只能选一个科 目。已知某班第一小组与第二小组各有六位同学选择科目甲或科目乙,情况如下表: 科目甲 科目乙 总计 第一小组 1 5 6 第二小组 总计 2 3 4 9 6
[]

12

现从第一小组、第二小组中各任选 2 人分析选课情况. (1)求选出的 4 人均选科目乙的概率; (2)设 ? 为选出的 4 个人中选科目甲的人数,求? 的分布列和数学期望.

18. (本题满分 14 分)如图所示, PA ⊥平面 ABCD , △ ABC 为等边三角形, PA ? AB , AC ⊥ CD ,
P

M 为 AC 中点.
(I)证明: BM ∥平面 PCD ; (II)若 PD 与平面 PAC 所成角的正切值
B A D

M C (第 20 题图)

6 为 2 ,求二面角 C - PD - M 的正切值.

第 4 页 共 13 页

19. (本小题满分 14 分)设等差数列 数列

?an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a2 ? 8, S4 ? 40 .
?

?bn ?的前 n 项和为Tn ,且 Tn ? 2bn ? 3 ? 0 , n ? N



(I)求数列

?an ? , ?bn ? 的通项公式;

? a n为奇数 cn ? ? n ?bn n为偶数 , 求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Pn . (II)设

x2 y2 1 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0) 2 a b 20. (本题满分 14 分)已知椭圆 Γ : 的离心率为 2 ,其右焦点 F 与椭圆 Γ 的

左顶点的距离是 3.两条直线 l1 , l2 交于点 F ,其斜率 k1 , k2 满足 点, l2 交椭圆 Γ 于 B、D 两点. (I)求椭圆 Γ 的方程; (II)写出线段 AC 的长

k1k2 ? ?

3 4 .设 l1 交椭圆 Γ 于 A、C 两

y

AC

关于 k1 的函
B

A

数表达式,并求四边形 ABCD 面积 S 的最大值.

x O F D

C (第 20 题图)

第 5 页 共 13 页

21. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? ln x ? ( x ? a) , a ? R .
2

(Ⅰ)若 a ? 0 ,求函数 f ( x ) 在[1,e]上的最小值;

1 [ , 2] f ( x ) (Ⅱ)若函数 在 2 上存在单调递增区间,试求实数 a 的取值范围;

16. (本题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由 cos B ?

11 5 3 ,得 sin B ? , ????????1 分 14 14 又 2 3a sin B ? 5c ,代入得 3a ? 7c , a c ? 由 ,得 3sin A ? 7 sin C , ????????3 分 sin A sin C ???5 分 3sin A ? 7sin( A ? B) , 3sin A ? 7sin A cos B ? 7 cos A sin B 2? 得 tan A ? ? 3 , A ? ????????7 分 3 19 2 2 (Ⅱ) AB ? BD ? 2 AB BD cos B ? , ????????9 分 4 7 7 11 19 c 2 ? ( c) 2 ? 2c c ? , c ? 3 ,则 a ? 7 ????????11 分 6 6 14 4 1 1 5 3 15 3 S ? ac sin B ? 3 7 ? ????????14 分 2 2 14 4

17. (本小题满分 12 分) 解: (1)设“从第一小组选出的 2 人选科目乙”为事件 A , “从第二小组选出的 2 人选科目乙” ”为事件 B .由于事 件 A 、 B 相互独立, 且 P ( A) ?
2 C5 2 , ? 2 C6 3

P( B) ?

2 C 4 2 .????????????4 分 ? 2 C6 5

所以选出的 4 人均选科目乙的概率为

第 6 页 共 13 页

2 2 4 P( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B ) ? ? ? ??????????? 6 分 3 5 15
(2)设 ? 可能的取值为 0,1,2,3.得

P(? ? 0) ?

4 , 15

P(? ? 1) ?

2 1 1 1 2 1 1 C 5 C 2C 4 C 5 C 4 22 , C5 1 , ? ? ? ? P ( ? ? 3) ? ? 2? 2 2 2 2 2 C6 C6 C 6 C 6 45 C 6 C 6 45

P(? ? 2) ? 1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? P(? ? 3) ?

2 ? 9分 9

? 的分布列为 ?
P
0

2
22 45 2 9

3

4 15

1 45
????13 分

∴ ? 的数学期望 E? ? 0 ?

4 22 2 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 1 15 45 9 45

(19) (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由题意, ?

? a1 ? d ? 8 ?a1 ? 4 ,得 ? ,? an ? 4n . ? 4a1 ? 6d ? 40 ?d ? 4

????3 分

Tn ? 2bn ? 3? 0 ,?当n ? 1时,b1 ? 3 , 当n ? 2时,Tn?1 ? 2bn?1 ? 3 ? 0 ,两式相减,得 bn ? 2bn?1 ,(n ? 2)
数列 ?bn ?为等比数列,?bn ? 3 ? 2 (Ⅱ) cn ? ?
n ?1



????7 分

n为奇数 ? 4n . n ?1 ? 3 ? 2 n为偶数
? an?1 ) ? (b2 ? b4 ? ? bn )

当 n 为偶数时,

P n ? (a1 ? a3 ?
(4 ? 4n ? 4) ?
=

2

n n 2 6(1 ? 4 ) 2? ? 2n?1 ? n2 ? 2 . 1? 4
第 7 页 共 13 页

?????10 分

当 n 为奇数时,
( n?1)?1 (法一) n ? 1 为偶数, P ? (n ?1)2 ? 2 ? 4n ? 2n ? n2 ? 2n ? 1 n ? P n ?1 ? cn ? 2

?????13 分 (法二) P n ? (a1 ? a3 ?

? an?2 ? an ) ? (b2 ? b4 ?

? bn?1 )

?

(4 ? 4n) ?

n ?1 n ?1 2 6(1 ? 4 ) 2 ? ? 2 n ? n 2 ? 2n ? 1 . 2 1? 4

?????13 分

? 2n ?1 ? n2 ? 2, n为偶数 ? Pn ? ? n 2 ?2 ? n ? 2n ? 1,n为奇数

?????14 分

18. (本题满分 15 分) 解: (Ⅰ)证明:因为 M 为等边△ABC 的 AC 边的中点,所以 BM⊥AC. 依题意 CD⊥AC,且 A 、B 、C、D 四点共面,所以 BM∥CD. 又因为 BM?平面 PCD,CD?平面 PCD,所以 BM∥平面 PCD. (Ⅱ)因为 CD⊥AC,CD⊥PA , 所以 CD⊥平面 PAC,故 PD 与平面 PAC 所成的角即为∠CPD. ?????7 分 不妨设 PA =AB =1,则 PC= 2 . 由于 tan ?CPD ?
A E M B C (第 18 题图)

????3 分 ????5 分

P F

D

CD 6 , ? PC 2

所以 CD= 3 .?????9 分 (方法一)

在等腰 Rt△PAC 中,过点 M 作 ME ⊥PC 于点 E ,再在 Rt△PCD 中作 EF ⊥PD 于点 F .因 为 ME ⊥PC,ME ⊥CD,所以 ME ⊥平面 PCD,可得 ME ⊥PD. 又 EF ⊥PD,所以∠EFM 即为二面角 C-PD-M 的平面角. ?????12 分 易知 PE =3EC,ME =

3 2 ? 3 3 30 2 ? ,EF = ? , 4 20 4 5

第 8 页 共 13 页

2 ME 15 所以 tan∠EFM= , ? 4 ? EF 3 30 9 20 15 即二面角 C-PD-M 的正切值是 . 9 ?????15 分 (方法二) 以 A 点为坐标原点,AC 为 x 轴,建立 如图所示的空间直角坐标系 A ﹣xyz. 则 P (0,0,1) ,

z P

y A D

M B x (第 18 题图) C

1 M( ,0,0 ) ,C(1,0,0) ,D (1, 3,0) . 2

则 PC ? (1,0, ?1) , PD ? (1, 3, ?1) , PM ? ( ,0, ?1) . 若设 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) 和 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) 分别是平面 PCD 和平面 PMD 的法向量,则

1 2

? ? x1 ? z1 ? 0 ?n1 ? PC ? 0 ? ,可取 n1 ? (1,0,1) . ?? ? ? ?n1 ? PD ? 0 ? x1 ? 3 y1 ? z1 ? 0 ?

?1 ? ?n2 ? PM ? 0 ? x2 ? z2 ? 0 3 ? ?2 由? ,可取 n2 ? (2, ? ,1) . 3 ?n2 ? PD ? 0 ?x ? 3y ? z ? 0 ? 2 2 ? 2
所以 cos ? n1 , n2 ??

???12 分

n1 ? n2 ? | n1 || n2 |

3 2? 16 3

?

27 , 32

故二面角 C-PD-M 的余弦值是 21. (本题满分 14 分)

27 15 ,其正切值是 . 32 9

?????15 分

解: (Ⅰ)设右焦点 F (c,0) (其中 c ? a2 ? b2 ) ,

c 1 ? , a ? c ? 3 ,所以 a ? 2, c ? 1 . a 2 x2 y2 ? 1. 所以 b ? a2 ? c2 ? 3 ,故椭圆 Γ 的方程是 ? 4 3
依题意

?????3 分 ?????5 分

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知, F(1,0) . 将通过焦点 F 的直线方程 y ? k ( x ? 1) 代入椭圆 Γ 的方程
第 9 页 共 13 页

x2 y2 ? ? 1, 4 3

可得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? (4k 2 ? 12) ? 0 , 其判别式 ? ? (8k 2 )2 ? 16(k 2 ? 3)(3 ? 4k 2 ) ? 144(k 2 ? 1) . 特别地,对于直线 l1 ,若设 A( x1 , y1 ), C ( x2 , y2 ) ,则

| AC |? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? 1 ? k12 | x1 ? x2 |
? 1 ? k12 ? 144(k12 ? 1) 3 ? 4k12
, k1 ? R且k1 ? 0 . ??????10 分

又设 B( x3 , y3 ), D( x4 , y4 ) ,由于 B 、D 位于直线 l1 的异侧, 所以 k1 ( x3 ? 1) ? y3 与 k1 ( x4 ? 1) ? y4 异号.因此 B 、D 到直线 l1 的距离之和 21. (本小题满分 14 分) 解: (1) f'(x)=2ax+b ,?????1 分 依题设,有 ?

? f `(3) ? 5 ?6 a ? b ? 5 ,即 ? ,?????2 分 ? f (3) ? 7 ?9a ? 3b ? 1 ? 7

解得 ?

?a ? 1 ?????3 分 ?b ? ?1
?????4 分
2 x

? f ( x)=x 2 ? x ? 1 .

(2)方程? f ( x)=ke x ,即 x ? x ? 1 ? ke ,得 k ? ( x 2 ? x ? 1)e ? x , 记 F(x) ? ( x 2 ? x ? 1)e ? x , 则 F'(x)=(2x ? 1)e
?x

???5 分

? ( x 2 ? x ? 1)e ? x ? ?( x 2 ? 3x ? 2)e ? x ? ?( x ? 1)( x ? 2)e ? x . ??6 分

令 F'(x)=0 ,得 x1 ? 1, x2 ? 2 ???7 分 当 x 变化时, F'(x) 、 F(x) 的变化情况如下表:

第 10 页 共 13 页

∴当 x ? 1 时,F(x)取极小值

1 3 ;当 x ? 2 时,F(x)取极大值 2 ????8 分 e e 1 3 或 k ? 2 时, e e

作出直线 y ? x 和函数 F(x) ? ( x 2 ? x ? 1)e ? x 的大致图象,可知当 k ?

它们有两个不同的交点,因此方程 f ( x) ? k e x 恰有两个不同的实根, ???9 分 (3) 2a1 ? f (2) ? 3 ,得 a1 ?

3 ? 1 ,又 an ? 1 ? f (an) ? an 2 ? an ? 1 。 2

? an ? 1 ? an ? an 2 ? 2an ? 1 ? (an ? 1) 2 ? 0 ,
? an ? 1 ? an ? 1 .
由 an ? 1 ?
? 1

???????10 分

an 2 ? an ? 1 ,得 an ? 1 ? 1=an(an ? 1) ,???11 分
? 1
n n

a

n ? 1

?1

a (a ? 1) a ? 1 a
n

?

1

?

1
n

,即

1
n

a a ?1 a
n

?

1

?

1
n ? 1

?1

???12 分

?

S?
1
1

1
1

a a
?

?

1
2

?

?

1

a

?(

1
1

2013

a ?1 a
?

?

1
2

?1

)?(

1

a

2

?1

?

1

a

3

?1

)?

?(

1

a

2013

?1

?

1

a

2014

?1

)

?

1
2014

a ?1 a
1
1

?1

?

2?

1

a

2014

?1

2

又S ?

a a

?

1
2

?

2 4 3 7
?

?

26 21

? 1???13 分

即 1 ? S ? 2 ,故 S 的整数部分为.

????l4 分

第 11 页 共 13 页

d?

| k1 ( x3 ? 1) ? y3 | | k1 ( x4 ? 1) ? y4 | |[k1 ( x3 ? 1) ? y3 ] ? [k1 ( x4 ? 1) ? y4 ]| ? ? 1 ? k12 1 ? k12 1 ? k12 | k1 ( x3 ? x4 ) ? ( y3 ? y4 ) | 1 ? k12 ? | k1 ? k2 | 1 ? k12 ? | x3 ? x4 | ?
| k1 ? k2 | 1 ? k12 ?
2 144( k2 ? 1) 2 3 ? 4k 2

?



???12 分 综合可得,四边形 ABCD 的面积 S ? 因为 k1k2 ? ?
2 72 (k12 ? 1)(k2 ? 1)(k1 ? k2 )2 1 . | AC | ?d ? 2 2 (3 ? 4k12 )(3 ? 4k2 )

3 3 2 ,所以 t ? k12 ? k2 ? 2 | k1k2 |? ,于是 4 2
25 3 25 1 )(t ? ) t? 16 2 ?6 16 ? 6 1 ? 16 3 3 18 ? 12t t? t? 2 2
3 3 3 ,即 {k1 , k2 } ? {? , } 时, 2 2 2
?????15 分

72 (t ? S ? f (t ) ?

当 t ?[ , ??) 时, f (t ) 单调递减,所以当 t ? 四边形 ABCD 的面积取得最大值 22. (本题满分 14 分) 解: (Ⅰ) ? =2 时, f ( x) ? ln x ?

3 2

7 3. 2

2( x ? 1) ( x ? 1) ,求导可得 x ?1
?????3 分

f ?( x) ?

1 2( x ? 1) ? 2( x ? 1) ( x ? 1)2 ? ? ?0 x ( x ? 1)2 x( x ? 1)2

所以, f ( x) 在 (1, ??) 单调递增,故 f ( x) 的最小值是 f (1) ? 0 .????5 分

(Ⅱ)依题意, kn ?

ln(n ? 1) ? ln n 1 ? ln(1 ? ) . n ?1? n n

?????6 分

(ⅰ)由(Ⅰ)可知,若取 ? ? 2 ,则当 x ? 1 时 f ( x) ? 0 ,即 ln x ?

2( x ? 1) . x ?1

1 2(1 ? ? 1) 1 2 1 2n ? 1 n ? 于是 ln(1 ? ) ? ,即知 ? .????8 分 1 n 2n ? 1 kn 2 1? ?1 n
所以 Sn ? ?
i ?1 n n 1 2i ? 1 n(n ? 2) ?? ? . ki i ?1 2 2

?????9 分

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