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2012年数学一轮复习精品试题第36讲 直接证明与间接证明


第三十六讲

直接证明与间接证明

班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一、选择题:(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后的 括号内.) 1.命题“对于任意角 θ,cos4θ-s in4θ=cos2θ”的证明:“cos4θ-sin

4θ=(cos2θ- sin2 θ)(cos2θ+sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos2θ”过程应用了( A.分析法 B.综合法 C.综合法、分析法综合使用 D.间接证明法 解析:因为证明过程是“从左往右”,即由条件?结论. 故选 B. 答案:B 2. 已知 x1>0,x1≠1 且 xn+1= xn· n+3) (x2 (n=1,2,?),试证:“数列{xn}对任意的正整 3x2+1 n ) )

数 n,都满足 xn>xn+1,”当此题用反证法否定结论时应为( A.对任意的正整数 n,有 xn=xn+1 B.存在正整数 n,使 xn≤xn+1 C.存在正整数 n,使 xn≥xn-1,且 xn≥xn+1 D.存在正整数 n,使(xn-xn-1)(xn-xn+1)≥0

解析: 根据全称命题的否定, 是特称命题, 即“数列{xn}对任意的正整数 n, 都满足 xn>xn
+1

”的否定为“存在正整数 n,使 xn≤xn+1”,故选 B. 答案:B 3.要证:a2+b2-1-a2b2≤0,只要证明( A.2ab-1-a2b2≤0 )

a4+b4 B.a2+b2-1- ≤0 2 (a+b)2 C. -1-a2b2≤0 2 D.(a2-1)(b2-1)≥0 解析:因为 a2+b2-1-a2b2≤0?(a2-1)(b2-1)≥0,故选 D. 答案:D 4.已知 a、b 是非零实数,且 a>b,则下列不等式中成立的是 ( b A. <1 a C.|a+b|>|a-b| B.a2>b2 1 1 > ab2 a2b )

D.

b-a b 解析: <1? <0?a(a-b)>0. a a ∵a>b,∴a-b>0.而 a 可能大于 0 ,也可能小于 0, 因此 a(a-b)>0 不一定成立,即 A 不一定成立; a2>b2?(a-b)(a+b)>0, ∵a-b>0,只有当 a+b>0 时,a2>b2 才成立,故 B 不一定成立; |a+b|>|a-b|?(a+b)2>(a-b)2?ab>0,而 ab<0 也有可能,故 C 不一定成立; 1 1 a-b 由于 2> 2 ? 2 2 >0?(a-b)·2b2>0. a ab a b a b ∵a,b 非零,a> b,∴上式一定成立,因此只有 D 正确.故选 D. 答案:D 1 a+b? 5.(2009· 杭州市模拟)已知函数 f(x)=?2?x,a,b∈(0,+∞),A=f? ? ? ? 2 ?,B=f( ab), 2ab C=f?a+b?,则 A、B、C 的大小关系为(

?

?

)

A.A≤B≤C C.B≤C≤A

B.A≤C≤B D.C≤B≤A

a+b 1 2ab 解析:因为当 a,b∈(0,+∞)时, ≥ ab≥ ,且函数 f(x)=?2?x,在 R 上为减 ? ? 2 a+b 函数,所以 A≤B≤C,故选 A. 答案:A 1 6.设 0<x<1,则 a= 2x,b=1+x,c= 中最大的一个是( 1-x A.a C.c B.b D.不能确定 )

解析:易得 1+x>2 x> 2x. ∵(1+x)(1-x)=1-x2<1,又 0<x<1,即 1-x>0. 1 ∴1+x< . 1-x 答案:C 二、 填空题: (本大题共 4 小题, 每小题 6 分, 24 分, 共 把正确答案填在题后的横线上. ) 7.否定“任何三角形的外角都至 少有两个钝角”其正确的反设应是________. 解析:本题为全称命题,其否定为 特称命题. 答案:存在一个三角形,它的外角至多有一个钝角 8. 已知 a, 是不相等的正数, b x= a+ b , y= a+b, x, 的大小关系是________. 则 y 2

2(a+b) ( a+ b)2 2 解析:y2=( a+b)2=a+b= > =x . 2 2 答案:x<y 1 9 9. 已知 a, μ∈(0, b, +∞)且 + =1, 则使得 a+b≥μ 恒成立的 μ 的取值范围是________. a b 1 9 b 9a b 9a 解析: 因为 a+b=(a+b)?a+b?= + +10≥16(当且仅当 = , b=3a 时取等号), 即 ? ? a b a b a+b≥μ 恒成立? μ≤(a+b)min, 所以 μ≤16.又 μ∈(0,+∞), 故 0<μ≤16.

答案:(0,16] 10.(原创题)如果 a a+b b>a b+b a,则 a、b 应满足的条件是________. 解析:∵a a+b b>a b+b a?( a- b)2· a+ b)>0?a≥0,b≥0 且 a≠b. ( 答案:a≥0,b≥0 且 a≠b 三、解答题:(本大题共 3 小题,11、12 题 13 分,13 题 14 分,写出证明过程或推演步骤.) 11.已知 a, b,c 是不等正数,且 abc=1. 1 1 1 求证: a+ b+ c< + + . a b c 证明:∵a,b,c 是不等正数,且 abc=1, 1 1 1 1 1 1 + + + 1 b c c a a b 1 1 1 < + + = + + . ab 2 2 2 a b c

∴ a+ b+ c=

1 + bc

1 + ca

12.已知:a>0,b>0,a+b=1. 求证: 1 a+ + 2 1 b+ ≤2. 2 1 b+ ≤2. 2 1 1 (a+ )(b+ )≤4, 2 2

证明:要证

1 a+ + 2

1 1 只要证:a+ +b+ +2 2 2 ∵由已知知 a+b=1, 故只要证:

1 1 (a+ )(b+ )≤1, 2 2

1 1 只要证:(a+ )(b+ )≤1, 2 2 1 只要证 :ab≤ , 4 1 ∵a>0,b>0,1=a+b≥2 ab,∴ab≤ , 4 故原不等式成立. 13.(2010· 浦东模拟)△ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,a,b,c 分别为三内角 A,

B,C 的对边.求证:

1 1 3 + = . a+b b+c a+b+c

a+b+c a+b+c 1 1 3 c a 解: 要证明 + = , 只需证明 + =3, 只需证明 + a+b b+c a+b+c a+b b+c a+b b+c =1,只需证明 c(b+c)+a(a+b)=(a+b)· (b+c),只需证明 c2+a2=ac+b2. ∵△ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,∴B=60° , 则余弦定理,有 b2=c2+a2-2accos60° ,即 b2=c2+a2-ac , ∴c2+a2=ac+b2 成立.故原命题成立,得证.


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