§1.3.2
函数的极值与导数
学习目标：1、了解极大（小）值的概念；2、结合图象，了解函数在某点取得极值的充要条件；3、能利用导
数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值。 一、主要知识： 1、极小值： 。 2、极大值： 3、判别 f ? x0 ? 是极大、极小值的方法： （1）如果在 x0 附近的左侧 。 。
解方程 f ?( x0 ) ? 0 ，当 f ?( x0 ) ? 0 时： ，右侧
（2）如果在 x0 附近的左侧 ，右侧 ，那么 f ? x0 ? 是极小值， x0 是极小值点。 二、典例分析： 3 2 〖例 1〗 ： （1）求函数 y ? x ? 3x ? 9x ? 5 的极值； （2）求函数 f ? x ? ? x2 ? e? x 的极值。
，那么 f ? x0 ? 是极大值， x0 是极大值点；
〖例 2〗 ：设函数 f ? x ? ? x ? e
2
x?1
? ax3 ? bx2 ，已知 x ? ?2 和 x ? 1 为的极值点。
（1）求 a , b 的值； （2）讨论 f ? x ? 的单调性。
9 2 x ? 6x ? a 。 2 （1）对于 ?x ? R ， f ?( x) ? m 恒成立，求 m 的最大值； （2）若方程 f ( x) ? 0 有且仅有一个实根，求 a 的
〖例 3〗 ：设函数 f ( x) ? x ?
3
取值范围。
用心
爱心
专心
1
三、课后作业： 1、若 f ? x ? 可导，则在点 x0 处的导数 f ?( x0 ) ? 0 是 f ? x ? 在该点处取得极值的（ ） A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 3 2、函数 f ? x ? ? ? x ? 3x ? 1 有（ ） A、极大值 1 ，极小值 ?1 B、极大值 3 ，极小值 ?2 ） C、既有极大值又有极小值 ） D、无极值 C、极大值 2 ，极小值 ?2 3、函数 f ? x ? ? x ? A、极小值 4、函数 f ? x ? ? A、
D、极大值 3 ，极小值 ?1
1 在 x ? 0 时有（ x
B、极大值
2
? ln x ?
2x
B、
的极大值为（
2 2 C、 1 D、 2 e e 5、若函数 f ? x ? ? x ? 2x 在 x0 处有极小值，则 x0 ? （ ） 1 1 A、 B、 ? C、 ? ln 2 D、 ln 2 ln 2 ln 2 3 2 6、已知 f ? x ? ? x ? ax ? ? a ? 6? x ? 1有极大值和极小值，则 a 的取值范围为（
7、函数 f ? x ? ? 2x ? 6x ?18x ? 7 的极大值为
3 2
4 e2
）
A、 ? ?1, 2?
B、 ? ?3, 2?
C、 ? ??, ?1?
? 2, ???
D、 ? ??, ?3?
?6, ???
。
；极小值为
8、 若函数 f ? x ? ? x3 ? 3a2 x ? a ? a ? 0? 的极大值为正数， 极小值为负数， 则 a 的取值范围是
。
9、若函数 f ? x ? ?
x2 ? a 在 x ? 1 处取得极值，则 a ? x ?1
3 2 2
。
10、已知函数 f ? x ? ? x ? mx ? m x ? 1? m ? 0? 有极大值 9 ，则 m ?
。
11、已知函数 f ? x ? ? 4 x ? 3x cos ? ?
3 2
（1）当 cos ? ? 0 时，函数 f ? x ? 是否有极值； （2）要使函数 f ? x ? 的极小值大于零，求 ? 的取值范围。
1 ? ?? ?0 ?? ? ? 。 32 ? 2?
12、已知 f ? x ? ? x ? bx ? cx ? 2 。 （1）若 f ? x ? 在 x ? 1 时有极值 ?1 ，求 b, c 的值； （2）若函数 y ? f ? x ? 的
3 2
图象与函数 y ? k 的图象恰有三个交点，求实数 k 的取值范围。
用心
爱心
专心
2
解： （I）因为函数 f ( x) ， g ( x) 的图象都过点（ t ，0） ，所以 f (t ) ? 0 ， 即 t 3 ? at ? 0 .因为 t ? 0, 所以 a ? ?t 2 .
g (t ) ? 0,即bt 2 ? c ? 0, 所以c ? ab.
又因为 f ( x) ， g ( x) 在点（ t ，0）处有相同的切线，所以 f ?(t ) ? g ?(t ). 而 f ?( x) ? 3x 2 ? a, g ?( x) ? 2bx, 所以3t 2 ? a ? 2bt. 将 a ? ?t 2 代入上式得 b ? t . 因此 c ? ab ? ?t 3 . 故 a ? ?t 2 ， b ? t ， c ? ?t 3 .
（II）解法一 y ? f ( x) ? g ( x) ? x 3 ? t 2 x ? tx 2 ? t 3 , y? ? 3x 2 ? 2tx ? t 2 ? (3x ? t )(x ? t ) . 当 y ? ? (3x ? t )(x ? t ) ? 0 时，函数 y ? f ( x) ? g ( x) 单调递减. 由 y ? ? 0 ，若 t ? 0, 则 ?
t t ? x ? t ；若 t ? 0, 则t ? x ? ? . 3 3
由题意，函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在（－1，3）上单调递减，则
t t (?1,3) ? (? , t )或(?1,3) ? (t ,? ). 3 3 t 所以 t ? 3或 ? ? 3.即t ? ?9或t ? 3. 3
又当 ? 9 ? t ? 3 时，函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在（－1，3）上单调递减. 所以 t 的取值范围为 (??,?9] ? [3,??).
用心
爱心
专心
3