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高中数学 1.3.2 函数的极值与导数导学案 新人教A版选修2-2


§1.3.2

函数的极值与导数

学习目标:1、了解极大(小)值的概念;2、结合图象,了解函数在某点取得极值的充要条件;3、能利用导
数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值。 一、主要知识: 1、极小值: 。 2、极大值: 3、判别 f ? x0 ? 是极大、极小值的方法: (1)如果在 x0 附近的左侧 。 。


解方程 f ?( x0 ) ? 0 ,当 f ?( x0 ) ? 0 时: ,右侧

(2)如果在 x0 附近的左侧 ,右侧 ,那么 f ? x0 ? 是极小值, x0 是极小值点。 二、典例分析: 3 2 〖例 1〗 : (1)求函数 y ? x ? 3x ? 9x ? 5 的极值; (2)求函数 f ? x ? ? x2 ? e? x 的极值。

,那么 f ? x0 ? 是极大值, x0 是极大值点;

〖例 2〗 :设函数 f ? x ? ? x ? e
2

x?1

? ax3 ? bx2 ,已知 x ? ?2 和 x ? 1 为的极值点。

(1)求 a , b 的值; (2)讨论 f ? x ? 的单调性。

9 2 x ? 6x ? a 。 2 (1)对于 ?x ? R , f ?( x) ? m 恒成立,求 m 的最大值; (2)若方程 f ( x) ? 0 有且仅有一个实根,求 a 的
〖例 3〗 :设函数 f ( x) ? x ?
3

取值范围。

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1

三、课后作业: 1、若 f ? x ? 可导,则在点 x0 处的导数 f ?( x0 ) ? 0 是 f ? x ? 在该点处取得极值的( ) A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 3 2、函数 f ? x ? ? ? x ? 3x ? 1 有( ) A、极大值 1 ,极小值 ?1 B、极大值 3 ,极小值 ?2 ) C、既有极大值又有极小值 ) D、无极值 C、极大值 2 ,极小值 ?2 3、函数 f ? x ? ? x ? A、极小值 4、函数 f ? x ? ? A、

D、极大值 3 ,极小值 ?1

1 在 x ? 0 时有( x
B、极大值
2

? ln x ?
2x
B、

的极大值为(

2 2 C、 1 D、 2 e e 5、若函数 f ? x ? ? x ? 2x 在 x0 处有极小值,则 x0 ? ( ) 1 1 A、 B、 ? C、 ? ln 2 D、 ln 2 ln 2 ln 2 3 2 6、已知 f ? x ? ? x ? ax ? ? a ? 6? x ? 1有极大值和极小值,则 a 的取值范围为(
7、函数 f ? x ? ? 2x ? 6x ?18x ? 7 的极大值为
3 2

4 e2



A、 ? ?1, 2?

B、 ? ?3, 2?

C、 ? ??, ?1?

? 2, ???

D、 ? ??, ?3?

?6, ???


;极小值为

8、 若函数 f ? x ? ? x3 ? 3a2 x ? a ? a ? 0? 的极大值为正数, 极小值为负数, 则 a 的取值范围是



9、若函数 f ? x ? ?

x2 ? a 在 x ? 1 处取得极值,则 a ? x ?1
3 2 2



10、已知函数 f ? x ? ? x ? mx ? m x ? 1? m ? 0? 有极大值 9 ,则 m ?



11、已知函数 f ? x ? ? 4 x ? 3x cos ? ?
3 2

(1)当 cos ? ? 0 时,函数 f ? x ? 是否有极值; (2)要使函数 f ? x ? 的极小值大于零,求 ? 的取值范围。

1 ? ?? ?0 ?? ? ? 。 32 ? 2?

12、已知 f ? x ? ? x ? bx ? cx ? 2 。 (1)若 f ? x ? 在 x ? 1 时有极值 ?1 ,求 b, c 的值; (2)若函数 y ? f ? x ? 的
3 2

图象与函数 y ? k 的图象恰有三个交点,求实数 k 的取值范围。

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2

解: (I)因为函数 f ( x) , g ( x) 的图象都过点( t ,0) ,所以 f (t ) ? 0 , 即 t 3 ? at ? 0 .因为 t ? 0, 所以 a ? ?t 2 .

g (t ) ? 0,即bt 2 ? c ? 0, 所以c ? ab.
又因为 f ( x) , g ( x) 在点( t ,0)处有相同的切线,所以 f ?(t ) ? g ?(t ). 而 f ?( x) ? 3x 2 ? a, g ?( x) ? 2bx, 所以3t 2 ? a ? 2bt. 将 a ? ?t 2 代入上式得 b ? t . 因此 c ? ab ? ?t 3 . 故 a ? ?t 2 , b ? t , c ? ?t 3 .

(II)解法一 y ? f ( x) ? g ( x) ? x 3 ? t 2 x ? tx 2 ? t 3 , y? ? 3x 2 ? 2tx ? t 2 ? (3x ? t )(x ? t ) . 当 y ? ? (3x ? t )(x ? t ) ? 0 时,函数 y ? f ( x) ? g ( x) 单调递减. 由 y ? ? 0 ,若 t ? 0, 则 ?

t t ? x ? t ;若 t ? 0, 则t ? x ? ? . 3 3

由题意,函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在(-1,3)上单调递减,则

t t (?1,3) ? (? , t )或(?1,3) ? (t ,? ). 3 3 t 所以 t ? 3或 ? ? 3.即t ? ?9或t ? 3. 3
又当 ? 9 ? t ? 3 时,函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在(-1,3)上单调递减. 所以 t 的取值范围为 (??,?9] ? [3,??).

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3


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