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ch-7-5微积分实际应用举例


数学分析

第五节 微积分实际应用举例
一、微元法 二、定积分在物理上的应用 平均值与均方根 三、平均值与均方根 四、简单数学模型和求解 五、小 结 重点:求功、压力、 重点:求功、压力、引力

数学分析

一、微元法
1、面积表示为定积分的步骤 面积表示为定积分的步骤 表示为定积分的
(1) 把区间[a , b]分成 n 个长度为 ?x i 的小区间, 的小区间, 个小窄曲边梯形, 应的曲边梯形被分为 n 个小窄曲边梯形, i 个小 第 窄曲边梯形的面积为 ?Ai ,则 A = ∑ ?Ai .
n i =1

) (2)计算?Ai 的近似值

?Ai ≈ f (ξ i )?xi

ξ i ∈ ?x i
n i =1

(3) 求和,得A的近似值 A ≈ ∑ f (ξ i )?xi . ) 求和, 的近似值

数学分析 (4) 求极限,得A的精确值 ) 求极限, 的精确值


b

A = lim ∑ f (ξ i )?xi = ∫ f ( x )dx a λ →0
i =1

n

积 元 素

提示 若用 ?A 表示任一小区间

y [ x , x + ?x ]上的窄曲边梯形的面积, 上的窄曲边梯形的面积,
A = ∑ ?A ,
?A ≈ f ( x )dx ,
b

y = f (x)

dA

A ≈ ∑ f ( x )dx
A = lim ∑ f ( x )dx = ∫a f ( x )dx .

o a x x + dx x b

数学分析

符合下列条件: 当所求量U 符合下列条件:
(1)U 是与一个变量 x 的变化区间[a,b]有关的 量;
具有可加性,就是说, (2)U 对于区间[a, b]具有可加性,就是说, ) 分成许多部分区间, 如果把区间[a, b]分成许多部分区间,则 U 相 应地分成许多部分量, 应地分成许多部分量,而 U 等于所有部分量 之和; 之和;

) (3)部分量?U i 的近似值可表示为 f (ξ i )?x i ;

就可以考虑用定积分来表达这个量 U

数学分析

2、微元法的步骤 、
1) 根据问题的具体情况 , 选取一个变量例如 x ) 根据问题的具体情况, 为积分变量, 为积分变量,并确定它的变化区间[a , b];

2)设想把区间[a , b]分成 n 个小区间,取其中任 ) 个小区间, 一小区间并记为[ x , x + dx ],求出相应于这小区 的近似值.如果 间的部分量 ?U 的近似值 如果 ?U 能近似地表示 为[a , b]上的一个连续函数在 x 处的值 f ( x ) 与 dx 的乘积, 的乘积,就把 f ( x )dx 称为量 U 的元素且记作 dU ,即 dU = f ( x )dx ;

数学分析
为被积表达式, 3)以所求量U 的元素 f ( x )dx 为被积表达式,在 ) 上作定积分, 区间[a , b]上作定积分,得U = 的积分表达式. 即为所求量U 的积分表达式
b

∫a f ( x )dx ,

这个方法通常叫做微元法或元素法. 这个方法通常叫做微元法或元素法. 微元法 应用方向: 应用方向: 平面图形的面积;体积;平面曲线的弧长; 平面图形的面积;体积;平面曲线的弧长; 水压力;引力和平均值等. 功;水压力;引力和平均值等. 定积分的物理意义: 定积分的物理意义:非均匀线形物体的质量

m = ∫a ρ ( x )dx .

b

数学分析 例 1 求曲线 y = sin x (0 ≤ x ≤ π ) 与 x 轴围成的图形

绕 y 轴旋转一周所成的旋转体的体积 V. 解 取积分变量为 x , x ∈ [0, π ]
任取[ x , x + dx ] ? [0, π] ,

y y=sin x x

?V = π( x + dx ) 2 sin x ? πx 2 sin x = 2πx sin xdx + π sin x (dx ) 2

dV = 2πx sin xdx π
V =

∫0

π

2π x sin xdx = 2π 2 .

推广 曲线 y = f ( x )( x ∈ [ a , b ]) 绕 y轴旋转形成的旋转体
的体积 V = 2 π ∫a x f ( x )dx .
b

数学分析
y y=sin x

解法二

取积分变量为 y , y ∈ [0,1]
任取 [ y , y + dy ] ? [0,1] ,

arcsin y

π ? arcsin y

x

dV = π( π ? arcsin y ) 2 dy ? π(arcsin y )dy = π( π 2 ? 2π arcsin y )dy ,
2 V = π ∫ ( π 2 ? 2π arcsin y )dy = 2π .

1

0

数学分析 例 2 求由曲线 y = 4 ? x 2及 y = 0所围成的图形 绕直线 x = 3旋转构成旋转体的体积. 解 取积分变量为 y , 体积元素为

y ∈ [ 0 ,4 ]
P

dy
Q
M

dV = [ π PM ? πQM ]dy

2

2

= [ π( 3 + 4 ? y ) 2 ? π( 3 ? 4 ? y ) 2 ]dy

= 12π 4 ? ydy ,
∴V = 12π ∫
4 0

π 4 ? ydy = 64π.

数学分析

定积分在物理上的应用 二、定积分在物理上的应用 1、质量 、 2、变力沿直线所作的功 、 3、水压力 、 4、引力 、

数学分析

二、定积分在物理上的应用
1、质量 例 3 如图 7.5.1 的一根金属棒,其密度布为 的一根金属棒,其密度布为 金属棒 ρ( x) = 2 x 2 + 3 x + 6 (kg/m ), 求这根金属棒的质量 M 。 解 M =
(2 x 3 + 3 x + 6)dx ∫0
6

0

6

x

?2 3 3 2 ? = ? x + x + 6 x ? = 234 (kg)。 图7.5.1 2 ?3 ?0
6

数学分析 2、变力沿直线所作的功

由物理学知道, 由物理学知道,如果物体在作直线运动 的过程中有一个不变的力 F 作用在这物体 且这力的方向与物体的运动方向一致, 上,且这力的方向与物体的运动方向一致, 那么, 那么,在物体移动了距离 s 时,力 F 对物体所 作的功为W = F ? s . 如果物体在运动的过程中所受的力是变化 就不能直接使用此公式,而采用“微元法” 的,就不能直接使用此公式,而采用“微元法” 思想. 思想

数学分析 例 4 一圆柱形蓄水池 高为 5 米,底半径为 池内盛满了水. 3 米,池内盛满了水 问要把池内的水全部 吸出,需作多少功? 吸出,需作多少功?
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解 建立坐标系如图
为积分变量, 取x 为积分变量, x ∈ [0,5]
取任一小区间[ x , x + dx ],

o
x

x + dx
5

x

数学分析
o

这一薄层水的重力为
9.8 π ? 3 2 dx
5

x

x + dx

功元素为 dw = 88 .2 π ? x ? dx ,

x

w = ∫ 88.2π ? x ? dx
0

5

?x ? 千焦). 千焦 = 88.2π ? ? ≈ 3462 (千焦 . ? 2 ?0

2 5

数学分析 用铁锤把钉子钉入木板, 例5 用铁锤把钉子钉入木板,设木板对铁钉的 阻力与铁钉进入木板的深度成正比, 阻力与铁钉进入木板的深度成正比,铁锤在第 一次锤击时将铁钉击入1厘米 厘米, 一次锤击时将铁钉击入 厘米,若每次锤击所作 的功相等, 次锤击时又将铁钉击入多少? 的功相等,问第 n次锤击时又将铁钉击入多少?
o

解 建立坐标系 1] 取 x ∈ [0,为积分变量
任取[ x , x + dx ] ? [0,1]

x
x + dx

该小区间对应的功为

dw1 = kxdx ,

x

第一次锤击时所作的功为

w1 =

1 ∫0 kxdx

k = , 2

设 n次击入的总深度为 h 厘米 n 次锤击所作的总功为 w = ∫ hkxdx . h 0

数学分析
kh 2 wh = ∫0 kxdx = , 2 依题意知,每次锤击所作的功相等. 依题意知,每次锤击所作的功相等.
h

kh2 k wh = nw1 ? = n? , 2 2
n 次击入的总深度为 h = n ,
第 n 次击入的深度为
n ? n ? 1.

数学分析 3、水压力
由物理学知道,在水深为 h处的压强为 是水的比重. p = γh , 这里 γ 是水的比重 . 如果有一面积为 的平板水平地 水平地放置在水深为 那么, A 的平板 水平地 放置在水深为 h 处 , 那么 , 平 板一侧所受的水压力为 F = p ? A .
如果平板垂直放置在水中 如果平板垂直放置在水中,由于水深不同 垂直放置在水中, 不相等, 的点处压强 p 不相等 ,平板一侧所受的水压力 就不能直接使用此公式,而采用“微元法” 就不能直接使用此公式,而采用“微元法”思 想.

数学分析
水,设桶的底半径为 R ,水的比重为γ ,计算桶的 一端面上所受的压力. 一端面上所受的压力.

例 6 一个横放着的圆柱形水桶 , 桶内盛有半桶 一个横放着的圆柱形水桶,

解 在端面建立坐标系如图
为积分变量, 取x 为积分变量,x ∈ [0, R ]
取任一小区间[ x , x + dx ]

小矩形片上各处的压强近 似相等 p = γ x ,
小矩形片的面积为 2 R 2 ? x 2 dx .

o
x

x + dx

x

数学分析
小矩形片的压力微 小矩形片的压力微元为 dF = 2 γx R 2 ? x 2 dx
端面上所受的压力

F=

∫0 2γx
R

R

R ? x dx
2 2

o
x

x + dx

= ?γ ∫0

R ? x d(R ? x )
2 2 2 2

x

?2 = ?γ ? ?3

(

R ?x
2

2 3

)

? 2γ 3 ?0 = 3 R . ?

R

数学分析 例 7 设船在底舱侧面有一个椭圆形的窗,长、 设船在底舱侧面有一个椭圆形的窗, 短半轴分别为 a 及 b ,长轴平行于水面,位于 长轴平行于水面, 水下 5 米,已知船舱侧面与水平面的倾角为 60 ?kg / m 3 . 求窗面所受的侧压力. 度,求窗面所受的侧压力.水的密度为 y 解 建立坐标系如图 任取 [ y , y + dy ] ? [ ? b, b] 5 3 y x dF = ?g (5 ? y )2 xdy , x 2 b 3 F = ∫ ?g (5 ? y )2 xdy ?b 2
=

∫0



3 π b sin t )2ab cos 2 tdt = 10?gabπ( N ). ?g (5 ? 2

数学分析 4、引力
由物理学知道, 由物理学知道,质量分别为 m1 , m 2 相距为

m1 m 2 r 的两个质点间的引力的大小为 F = k 2 , r 为引力系数, 其中 k 为引力系数,引力的方向沿着两质点的
连线方向. 连线方向.

如果要计算一根细棒对一个质点的引力, 如果要计算一根细棒对一个质点的引力, 那么,由于细棒上各点与该质点的距离是变化 那么,由于细棒上各点与该质点的距离是变化 且各点对该质点的引力方向也是变化 引力方向也是变化的 的,且各点对该质点的引力方向也是变化的, 就不能用此公式计算. 就不能用此公式计算.

例8

数学分析 的均匀细棒, 有一长度为 l、 、 线密度为ρ的均匀细棒,

在其中垂线上距棒 a 单位处有一质量为 m 的 的引力. 质点 M,计算该棒对质点 M 的引力. ,
解 建立坐标系如图
l y 2 y + dy

? l l? 取 y为积分变量 y ∈ ? , , ? 2 2? ? ? 取任一小区间[ y , y + dy ]
将典型小段近似看成质点 小段的质量为 ρdy ,

y

r
a
? l 2

o

?

M

x

数学分析 小段与质点的距离为 r = a + y ,
2 2

l y 2 y + dy

m ρdy 引力 ?F ≈ k 2 , 2 a +y
水平方向的分力元素 dFx = ? k

y o

r
a
l ? 2

?

M

x

am ρdy
2 2
3 2

(a + y ) l am ρdy ? 2km ρl 2 Fx = ? ∫? l k 2 , = 3 2 2 2 (a + y ) a ( 4a 2 + l 2 )
1 2

,

由对称性知, 由对称性知,引力在铅直方向分力为 Fy = 0.

数学分析

三、平均值与均方根
平均值为 函数 f ( x )在区间 [a , b] 上的平均值为

y0 + y1 + y2 + L yn?1 y = lim , n→ ∞ n

y0 + y1 + y2 + L yn?1 b ? a Q y = lim ? n→ ∞ b?a n = ?x n n 1 1 lim ∑ yi ?1?x = = lim ∑ f ( xi ?1 )?x , b ? a ? x → 0 i =1 b ? a ? x → 0 i =1 1 b 几何平均值公式 y= ∫a f ( x )dx b?a = (b ? a ) y = ( b ? a ) f (ξ ) 区间长度

数学分析 例 10 计算纯电阻电路中正弦交流电 i = I m sin ω t 在 平均功率) 一个周期上的功率的平均值(简称平均功率 一个周期上的功率的平均值(简称平均功率). 解 设电阻为 R, 则电路中的电压为

u = iR = I m R sin ω t ,
p = ui = I m R sin 2 ω t , 功率
2

一个周期区间 [0, 平均功率 p =



ω


], I m R sin 2 ω tdt
2



∫0 ω

1

ω

数学分析

p=

1


ω

∫0
2



ω

2

Im

I m R 2ωπ 2 R sin ω tdt = ∫0 sin ω td (ω t ) 2π
2

2

I m R 2ωπ = ∫0 (1 ? cos 2ω t )d (ω t ) 4π
2 Im R ? sin 2ω t ? ω I m 2 R Im R = ωt ? ? ? 0 = 4π ? 2π = 4π ? 2 ? 2 2


I mU m . (U m = I m R ) = 2 结论:纯电阻电路中正弦交流电的平均功率 结论: 等于电流、电压的峰值的乘积的二分之一. 等于电流、电压的峰值的乘积的二分之一.

数学分析 通常交流电器上标明的功率就是平均功 率.交流电器上标明的电流值都是一种特 有效值. 定的平均值,习惯上称为有效值 定的平均值,习惯上称为有效值.

周期性非恒定电流 i (如正弦交流 的有效值规定如下: 电)的有效值规定如下:当 i (t ) 在它的一 个周期T 内在负载电阻 R 上消耗的平均功 率,等于取固定值 I 的恒定电流在 R 上消 耗的功率时, 的有效值. 耗的功率时,称这个值 I 为 i (t ) 的有效值

1 b 2 上的均方根 函数 f ( x ) 在[a , b ]上的均方根 ∫a f ( x )dx . b?a

数学分析 有效值计算公式的推导
固定值为 I 的恒定电流在 R 上消耗的功率为 I R ,
电流 i (t ) 在 R 上消耗的功率为 i ( t ) R ,
2

2

1 T 2 它在[0, T ]上的平均功率为 ∫0 i ( t ) Rdt , T 1 T 2 2 按定义有 I R = ∫ i ( t ) Rdt , T 0 1 T 2 1 T 2 2 ∴ I = ∫0 i ( t )dt 即 I = ∫0 i ( t )dt . T T

数学分析
正弦交流电 i ( t ) = I m sin ω t 的有效值

I= =

1


ω

∫0
2



ω

I m sin ω tdt =
2 2


Im 2π

2

∫0



ω

sin 2ω td (ω t )

Im 4π

sin 2ω t ? ω = I m . ? ωt ? ? 2 2 ?0 ? ?

1 结论: 结论:正弦交流电的有效值等于电流的峰值的 2

1 b 2 上的均方根 函数 f ( x ) 在[a , b ]上的均方根 ∫a f ( x )dx . b?a

数学分析

四、简单数学模型和求解
要用数学技术去解决实际问题, 要用数学技术去解决实际问题,首先必须建立数 学模型。由于最重要的数学建模工具是微分, 学模型。由于最重要的数学建模工具是微分,而微分 与积分互为逆运算, 与积分互为逆运算,所以积分便理所当然地成为求解 数学模型的有力手段。将微分与积分结合起来, 数学模型的有力手段。将微分与积分结合起来,就可 以为许多实际问题建立起相应的数学关系。 以为许多实际问题建立起相应的数学关系。

数学分析 例 10 Malthus人口模型 人口模型
5.5.7 解 例 5.5.7 给出的 Malthus 人口模型 ? p′( t ) = λp( t ), , ? ? p( t0 ) = p0 ,
对微分等式

dp = λdt p 上求积分, 的两边在[t0 , t ]上求积分,这时 p 的变化范围相应地为[ p0 , p], p dp t ∫p0 p = λ ∫t0 dt ,

p λ( t ? t0 ) = λ( t ? t0 ), p = p0 e 于是 ln 即 。 p0

数学分析 例 11 Logistic人口模型 人口模型 人口

Malthus 人口模型的解为 λ( t ? t0 ) p = p0 e , 这显然是荒谬的, 当 t → ∞ 时有 p( t ) → ∞ ,这显然是荒谬的,因为 人口的数量增加到一定程度后, 人口的数量增加到一定程度后,自然资源和环境 条件就会对人口的继续增长起限制作用, 条件就会对人口的继续增长起限制作用,并且限 制的力度随人口的增加而越来越强。也就是说, 制的力度随人口的增加而越来越强。也就是说, 在任何一个给定的环境和资源条件下, 在任何一个给定的环境和资源条件下,人口的增 长不可能是无限的, 长不可能是无限的,它必定有一个上界 pmax 。

数学分析
认为, 荷兰生物数学家 Verhulst 认为,人口的增长速率应随着 p( t )接近 pmax 而越来越小,他提出了一个修正的人口模型 而越来越小, ? p( t )? ? ? p′( t ) = λ ?1 ? ? p( t ), pmax ? ? ? ? p( t ) = p , ? 0 0 的项全部移 左边, 上积分, 将含有 p 的项全部移到左边,两边在[t0 , t ]上积分, p dp λ t ∫p0 p ? p ? p2 = p ∫t0 dt , max max

利用有理函数的积分公式, 利用有理函数的积分公式,即可解出 pmax p = 。 ? λ( t ? t0 ) pmax 1 + p0 ? 1 e

(

)

在这模型中, 在这模型中,当 t → ∞ 时有 p( t ) → pmax 。 美国和法国都曾用这个模型预测过人口,结果是 美国和法国都曾用这个模型预测过人口, 令人满意的。 令人满意的。

数学分析

五、小结

利用“微元法”思想求变力作功、 利用“微元法”思想求变力作功、 水压力和引力等物理问题. 水压力和引力等物理问题.
(注意熟悉相关的物理知识) 注意熟悉相关的物理知识)

数学分析

1 b 函数的平均值 y = ∫a f ( x )dx; b?a 1 b 2 函数的有效值 ∫a f ( x )dx . b?a
(理解平均功率、电流的有效值等概念) 理解平均功率、电流的有效值等概念)

数学分析

作 业 P345: 2, 4, 5, 6, 10, 12, 16. P330: 6, 7(4)

有一半径为R的四分之一圆周, 练习 有一半径为R的四分之一圆周,线密度为 ρ 的质点, 的均匀细丝, 的均匀细丝,在其圆心处 有一质量为 m 的质点, 计算该细丝对质点 的引力. 的引力.
x ∈ [0, R ],

数学分析 ρ

解 建立坐标系如图

取任一小区间 [ x , x + dx ]

质量微元为 ρ 1 + ( y ′ ) 2 dx , 引力微元 dF = G
m ρ 1 + ( y ′ ) 2 dx R
2

x x+dx R

,

水平方向的分力微元
m ρ x 1 + ( y ′ ) 2 dx dFx = dF cosθ = G , 3 R

引力微元 dF = G

m ρ 1 + ( y ′ ) 2 dx R
2

数学分析
,

水平方向的分力微元: 水平方向的分力微元 m ρ x 1 + ( y ′ ) 2 dx , dFx = dF cosθ = G 3
R
x x+dx 垂直方向的分力微元 m ρ y 1 + ( y ′ ) 2 dx dF y = dF sin θ = G , y = R2 ? x2 . 3



R

于是
Fx =

R


0

G

m ρx 1 + ( y ′ ) 2 dx R
3

R

=


0

G

m ρxdx R2 R2 ? x2

Gmρ ρ . = R

m ρ y 1 + ( y ′ ) 2 dx Fy = ∫ G = 3 R 0 → Gm ρ Gm ρ , }. ∴F = { R R
R

∫ 0

R

Gm ρ dx Gm ρ , = 2 R R


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