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高中数学高考36个必考考点系列导数与三次函数


高中数学高考 36 个必考考点系列——导数与三次函数
三次函数 f ? x ? ? ax3 ? bx2 ? cx ? d ( a 、 b 、 c 、 d ? R 且 a ? 0 )是中学数学利用导数研究函数的单 调性、极值(最值)的一个重要载体,是应用二次函数图象和性质的好素材,既可以整合函数图象和性质、 不等式、方程、导数等相关知识,完善知识结构,又能体会其中蕴涵的数学思想方法。近几年的全国各省市 高考试卷以导数为工具,有重点地考查了有关三次函数的单调性、极值、在闭区间上的最值、对参数的取值 范围的探究等函数性质,凸显“在知识网络交汇点上”命题的理念。 例 1、已知函数 f ? x ? ? x3 ? 3x ⑴求函数 f ? x ? 的单调区间及极值;⑵求 f ? x ? 在 ?0,3? 上的最值。 解:令 f ? ? x ? ? 3x2 ? 3 ? 0 ? x1 ? 1, x2 ? ?1

x 、 f ? ? x ? 、 f ? x ? 的变化情况如下表
x
f ? ? x? f ? x?

? ??, ?1?


-1 0 极大值

(-1,1) -

1 0 极小值

? ?1, ???


∴ f ? x ? 的单调递增区间是 ? ??, ?1? 和 ?1, ?? ?

f ? x ? 的单调递减区间是 ? ?1,1?
当 x ? ?1 时, f ? x ? 有极大值 f ? ?1? ? ? ?1? ? 3 ? ? ?1? ? 2
3

当 x ? 1 时, f ? x ? 有极小值 f ?1? ? 1 ? 3?1 ? ?2
3

⑵ f ? 0? ? 0 , f ? 3? ? 3 ? 3? 3 ? 18
3

∵ f ? x ? 在 ?0,3? 上只有一个极值点 f ?1? ? ?2 ∴ f ? x ? 在 ?0,3? 上的最小值为-2,最大值为 18 变式一、已知函数 f ? x ? ? x ? 3x ? 3x ,其他不变
3 2
2 解: f ? ? x ? ? 3 x ? 6 x ? 3 ? 3 ? x ? 1? ? 0 2

∴ f ? x ? 在 ? ??, ??? 单调递增, f ? x ? 没有极值

f ? x ? 在 ?0,3? 上的最小值为 f ? 0? ? 0 ,最大值为 f ?3? ? 63
变式二、已知函数 f ? x ? ? x ? x ? 3x ;其他不变
3 2

解: f ? ? x ? ? 3x ? 2x ? 3
2

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△ ? 2 ? 4 ? 3 ? 3 ? ?20 ? 0
2

∴ f ? ? x ? ? 0 没有实数根

∴ f ? ? x ? ? 0 在 R 上恒成立

∴ f ? x ? 在 ? ??, ??? 上单调递增, f ? x ? 没有极值

f ? x ? 在 ?0,3? 上的最小值为 f ? 0? ? 0 ,最大值为 f ?3? ? 45
变式三、已知函数 y1 ? t , y2 ? x3 ? 3x ,实数 t 为何值时,函数 y1 与 y2 的图象的交点有一个、二个、三个? 解:由例 1 画出函数 y2 的大致图象如图,观察图象,可得 y 当 t ? 2 或 t ? ?2 时,函数 y1 与 y2 只有一个交点。 当 t ? ?2 或 t ? 2 时,函数 y1 与 y2 有二个交点。 当 ?2 ? t ? 2 时,函数 y1 与 y2 有三个交点。 变式四、 a 为何值时,函数 f ( x) ? x3 ? 3x ? a 有一个零点?两个零点?三个零点?
-1 -2

2 O 1 x

解:令 f ? ? x ? ? 3x2 ? 3 ? 0 ? x1 ? 1, x2 ? ?1

x 、 f ? ? x ? 、 f ( x) 的变化情况如下表 x
f ? ? x?
f ( x)

? ??, ?1?


-1 0 极大值

(- 1,1) -

1 0 极小值

? ?1, ???


∴ f ( x ) 的单调递增区间是 ? ??, ?1? 和 ?1, ?? ?

f ( x) 的单调递减区间是 ? ?1,1?
当 x ? ?1 时, f ? x ? 有极大值 f ? ?1? ? ? ?1? ? 3 ? ? ?1? ? a ? a ? 2
3

当 x ? 1 时, f ? x ? 有极小值 f ?1? ? 1 ? 3?1 ? a ? a ? 2
3

要使 f ( x ) 有一个零点,需且只需 ?

?a ? 2 ? 0 ,解得 a ? ?2 a ? 2 ? 0 ?

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要使 f ( x ) 有二个零点,需且只需 ?

?a ? 2 ? 0 ,解得 a ? ?2 ?a ? 2 ? 0 ?a ? 2 ? 0 ,解得 ?2 ? a ? 2 ?a ? 2 ? 0

要使 f ( x ) 有三个零点,需且只需 ?

变式五、已知函数 f ? x ? ? x3 ? 3x, a ? 0 ,如果过点 A? a,2? 可作曲线 y ? f ? x ? 的三条切线,求 a 的取值范 围 解:设切点为 ? x0 , y0 ? ,则 f ? ? x ? ? 3x2 ? 3 ∴切线方程 y ? y0 ? f ? ? x0 ?? x ? x0 ? ∵切线过点 A ? a,2?
2 3 即 y ? 3x0 ? 3 x ? 2 x0

?

?

2 3 ∴ 2 ? 3 x0 ? 3 a ? 2 x0

?

?

3 2 即 2x0 ? 3ax0 ? 3a ? 2 ? 0 ???

∵过点 A? a,2? 可作 y ? f ? x ? 的三条切线 ∴方程 ? ?? 有三个相异的实数根
3 2 2 设 g ? x0 ? ? 2x0 ? 3ax0 ? 3a ? 2 ,则 g? ? x0 ? ? 6x0 ? 6ax0 ? 6x0 ? x0 ? a ?

当 x0 变化时, g ? ? x0 ? 、 g ? x0 ? 的变化情况如下表

x0

? ??,0?


0 0 极大值

? 0, a ?


a
0 极小值

? a, ???


g ? ? x0 ? g ? x0 ?

3a ? 2
3

?a3 ? 3a ? 2

由单调性知:①若极大值 3a ? 2 ? 0 或极小值 ?a ? 3a ? 2 ? 0 ,方程 g ? x0 ? ? 0 只有一个实数根;②若

3a ? 2 ? 0 或 ?a3 ? 3a ? 2 ? 0 ,方程 g ? x0 ? ? 0 只有两个相异的实数根,综上,要使方程 g ? x0 ? ? 0 有三个

2 ? ?3a ? 2 ? 0 ?a ? ? 相异的实根, 须且只须 ? 3 所以, 所求的 a 的取值范围是 ? 2, ??? 。 ? ? 3 ? a ? 2, ??a ? 3a ? 2 ? 0 ? ?a ? 2
变式六、已知函数 f ? x ? ? 的取值范围。 解:∵ f ? ? x ? ? x ? 2x ? a
2

1 3 x ? x 2 ? ax ? a 3

? a ? R? ,若函数 f ? x ? 的图象与 x 轴有且只有一个交点,求 a

∴ ? ? 4 ? 4a ? 4 ?1 ? a ?

①若 a ? 1 ,则 ? ? 0 ∴ f ? ? x ? ? 0 在 R 上恒成立 ∵ f ? 0? ? ?a ? 0 ∴ f ? x ? 在 R 上单调递增

f ? 3? ? 2a ? 0
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∴当 a ? 1 时,函数 f ? x ? 的图象与 x 有且只有一个交点。 ②若 a ? 1 ,则 ? ? 0 ∴ f ? ? x ? ? 0 有两个不相等的实根,不妨设为 x1 、 x2 且 x1 ? x2 , 则 ? 当 x 变化时, f ? ? x ? 、 f ? x ? 的取值变化情况如下表

? x1 ? x2 ? 2 ? x1 x2 ? a

x
f ? ? x? f ? x?

? ??, x1 ?


x1
0 极大值

? x1 , x2 ?


x2
0 极小值

? x2 , ???


f ? x1 ?

f ? x2 ?

2 ∵ x1 ? 2x1 ? a ? 0

2 ∴ a ? ? x1 ? 2x1

∴ f ? x1 ? ?

1 3 1 x1 ? x12 ? ax1 ? a ? x13 ? x12 ? ax1 ? x12 ? 2 x1 3 3 1 1 ? x13 ? ? a ? 2 ? x1 ? x1 ? x12 ? 3 ? a ? 2 ? ? ? 3 3 ? 1 2 x2 ? 3 ? a ? 2 ?? 同理 f ? x2 ? ? x2 ? ? ? 3 1 2 ? x12 ? 3 ? a ? 2 ? ? x2 ? 3 ? a ? 2 ?? ∴ f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? x1 x2 ? ? ? ? ? 9 1 2 2 2 ? x1 x2 ?? x1 x2 ? ? 3 ? a ? 2 ? ? x12 ? x2 ? 9 ? a ? 2? ? ? ? ? 9 1 2 2 ? a ? a 2 ? 3 ? a ? 2 ? ?? x1 ? x2 ? ? 2 x1 x2 ? ? 9 ? a ? 2 ? ? ? 9

?

?

2 4 4 ?? 3 ? 3? 2 ? a ? a ? 3a ? 3? ? a ?? a ? ? ? ? 9 9 ? 2 ? 4? ?? ?

令 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ,解得 a ? 0 当 0 ? a ? 1 时, f ? 0? ? ?a ? 0 , f ? 3? ? 2a ? 0 ∴当 0 ? a ? 1 时,函数 f ? x ? 的图象与 x 轴 有且只有一个交点 ∴ f ? x ? 的大致图象如图所示: 综上所述, a 的取值范围是 ? 0, ??? 综 合 练 习 题
-a x2 x1 3 x y y=f(x)

1、 已知函数 f ? x ? ? ax ? bx ? cx 在点 x0 处取得极大值 5, 其导函数 y ? f ? ? x ? 的图象经过点 ?1,0 ? , ? 2, 0 ? ;
3 2

如图所示, 求:⑴ x0 的值; y
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O

1

2

x

⑵ a 、 b 、 c 的值。 (2006 北京) 解:⑴由数形结合可知 当 1 ? x ? 2 时, f ? ? x ? ? 0 ; ∴ f ? x ? 在 ?1, 2 ? 上递减 当 x ? 1或 x ? 2 , f ? ? x? ? 0 , ∴ f ? x ? 在 ? ??,1? 和 ? 2, ??? 上递增 ∴当 x ? x0 ? 1 时, f ? x ? 有极大值 ⑵解法一、 f ? ? x ? ? 3ax2 ? 2bx ? c

? f ? ?1? ? 3a ? 2b ? c ? 0 ?a ? 2 ? ? 由已知,得 ? f ? ? 2 ? ? 12a ? 4b ? c ? 0 解得 ?b ? ?9 ?c ? 12 ? ? ? f ?1? ? a ? b ? c ? 5
解法二、由数形结合可设

f ? ? x ? ? m ? x ?1?? x ? 2? ? mx2 ? 3mx ? 2m
m ? ?a ? 3 ?m ? 3a ? 3 ? ? ∴ ? ?3m ? 2b ? ?b ? ? m 2 ? 2m ? c ? ? ?c ? 2 m ? ?


又 f ? ? x ? ? 3ax2 ? 2bx ? c

由 f ?1? ? 5 ? a ? b ? c ? 5

m 3 ? m ? 2m ? 5 ? m ? 6 3 2 m 3m ? 2 ,b ? ? ? ?9, c ? 2m ? 12 ∴a ? 3 2 1 3 1 2 2、若函数 f ? x ? ? x ? ax ? ? a ? 1? x ? 1 在区域 ?1, 4 ? 内为减函数,在区间 ? 6, ??? 上为增函数,试求实 3 2 数 a 的取值范围。 (2004 全国卷)
解: f ? ? x ? ? x ? ax ? a ?1令 f ? ? x ? ? 0 解得 x1 ? 1 , x2 ? a ?1
2

①当 a ? 1 ? 1 即 a ? 2 时, f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上为增函数,不合题意 ②当 a ? 1 ? 1 即 a ? 2 时,函数 f ? x ? 在 ? ??,1? 上为增函数,在 ?1, a ?1? 内为减函数,在 ? a ?1, ?? ? 上 为增函数,依题意应有: 当 x ? ?1, 4? 时, f ? ? x ? ? 0 ,当 x ? ? 6, ??? 时, f ? ? x ? ? 0 所以 4 ? a ? 1 ? 6 ,解得 5 ? a ? 7

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综上, a 的取值范围是 ?5,7? 3、已知函数 f ? x ? ? ax3 ? bx2 ? 3x 在 x ? ?1 处取得极值, ⑴讨论 f ?1? 和 f ? ?1? 是函数 f ? x ? 的极大值还是极小值; ⑵过点 A ? 0,16? 作曲线 y ? f ? x ? 的切线,求此切线方程。 (2004 天津) 解:⑴ f ? ? x ? ? 3ax2 ? 2bx ? 3 ,依题意有

?3a ? 2b ? 3 ? 0 f ? ?1? ? f ? ? ?1? ? 0 即 ? ?3a ? 2b ? 3 ? 0
解得 ?

?a ? 1 ?b ? 0

∴ f ? x ? ? x3 ? 3x

∴ f ? ? x ? ? 3x2 ? 3 ? 3? x ? 1?? x ?1? 令 f ? ? x ? ? 0 得 x1 ? ?1 , x2 ? 1 若 x ? ? ??, ?1? ? ?1, ??? ,则 f ? ? x ? ? 0 ∴ f ? x ? 的单调递增区间为 ? ??, ?1? 和 ?1, ?? ? 若 x ? ? ?1,1? ,则 f ? ? x ? ? 0 ∴ f ? x ? 的单调递减区间为 ? ?1,1? 所以, f ? ?1? ? 2 是极大值, f ?1? ? ?2 是极小值 ⑵曲线方程为 y ? x ? 3x ,点 A ? 0,16? 不在曲线上,
3

3 设切点为 M ? x0 , y0 ? ,则点 M 的坐标满足 y0 ? x0 ? 3x0
2 2 因 f ? ? x0 ? ? 3 x0 ? 1 ,故切线方程为 y ? y0 ? 3 x0 ? 1 ? x ? x0 ?

?

?

?

?

∵点 A 在切线上
3 2 ∴ 16 ? x0 ? 3 x0 ? 3 x0 ? 1 ? 0 ? x0 ?

?

? ?

?

解得 x0 ? ?2

∴切点为 ? ?2, ?2? ,切线方程为 9 x ? y ? 16 ? 0 3、已知函数 f ? x ? ? x ? ax ? bx ? c 在 x ? ?
3 2

2 与 x ? 1 时都取得极值。 3

⑴求 a 、 b 的值及函数 f ? x ? 的单调区间;

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⑵若对 x ?? ?1, 2? ,不等式 f ? x ? ? c2 恒成立,求 c 的取值范围。 (2006 江西) 解:⑴ f ? ? x ? ? 3x2 ? 2ax ? b ,依题意,得

? ? 2 ? 12 4 1 ? a?? ? f ?? ? ? ? ? a ? b ? 0 ? ,解得 ? 2 ? ? 3? 9 3 ? f ? ?1? ? 3 ? 2a ? b ? 0 ? ?b ? ? 2 ?

∴ f ? ? x ? ? 3x2 ? x ? 2 ? ?3x ? 2?? x ?1?

x 变化时, f ? ? x ? 、 f ? x ? 的变化情况如下表 x
f ? ? x? f ? x?
? ? 2? ? ? ??, ? ? 3? ?


?

2 3

? 2 ? ? ? ,1? ? 3 ?


1 0 极小值

?1, ???


0 极大值

所以 f ? x ? 的递增区间为 ? ??, ? ⑵ f ? x? ? x ?
3

2? ? 2 ? ? 与 ?1, ?? ? ,递减区间为 ? ? ,1? 3? ? 3 ?

1 2 x ? 2 x ? c , x ?? ?1, 2? 2 2 22 ? c 为极大值,而 f ? 2? ? 2 ? c 当 x ? ? 时, f ? x ? ? 3 27
要使 f ? x ? ? c2 , x ???1,2? 恒成立只须 c2 ? f ? 2? ? 2 ? c
3

∴ f ? 2? ? 2 ? c 为最大值 解得 c ? ?1 或 c ? 2

4、已知函数 f ? x ? ? ax ? cx ? d ? a ? 0? 是 R 上的奇函数,当 x ? 1 时, f ? x ? 取得极值 ?2 ,⑴求 f ? x ? 的 单调区间和极大值;⑵证明:对任意 x1 , x2 ?? ?1,1? ,不等式 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 4 恒成立。 ⑴解:由奇函数的定义,应有 f ? ? x ? ? ? f ? x ? , x ? R 即 ?ax ? cx ? d ? ?ax ? cx ? d
3 2

∴d ? 0
3

注意:可用 f ? 0? ? 0 ? d ? 0 因此, f ? x ? ? ax ? cx 由条件 f ?1? ? ?2 为 f ? x ? 的极值,得

? ? f ? ?1? ? 0 ? ? ? f ?1? ? ?2
3



?3a ? c ? 0 ? ?a ? c ? ?2

解得 a ? 1 , c ? ?3

∴ f ? x ? ? x ? 3x

f ? ? x ? ? 3x2 ? 3 ? 3? x ?1?? x ?1? f ? ? ?1? ? f ? ?1? ? 0

当 x ? ? ??, ?1? 时, f ? ? x ? ? 0 ,故 f ? x ? 在单调区间 ? ??, ?1? 上为增函数 当 x ? ? ?1, ?1? 时, f ? ? x ? ? 0 ,故 f ? x ? 在单调区间 ? ?1,1? 上为减函数

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当 x ? ?1, ?? ? 时, f ? ? x ? ? 0 ,故 f ? x ? 在单调区间 ?1, ?? ? 上为增函数 所以 f ? x ? 在 x ? ?1 处取得极大值,极大值为 f ? ?1? ? 2 ⑵证明:由⑴知, f ? x ? ? x3 ? 3x , x ?? ?1,1? 是减函数 且 f ? x ? 在 ??1,1? 上的最大值为 M ? f ? ?1? ? 2

f ? x ? 在 ??1,1? 上的最小值为 N ? f ?1? ? ?2

所以对任意 x1 , x2 ? ? ?1,1? 恒有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? M ? m ? 2 ? ? ?2 ? ? 4 5、已知 b ? ?1 , c ? 0 ,函数 f ? x? ? x ? b 的图象与函数 g ? x ? ? x2 ? bx ? c 的图象相切。⑴求 b 与 c 的关 系式(用 c 表示 b ) ;⑵设函数 F ? x ? ? f ? x ??g ? x ? 在 ? ??, ??? 内有极值点,求 c 的取值范围。 (2004 湖 北) 解:⑴依题意,令 f ? ? x ? ? g ? ? x ? ,得 2 x ? b ? 1 ? x ? 由f?

1? b 2
∴ b ? ?1 ? 2 c

2 ? 1? b ? ? 1? b ? ? ? g? ? ,得 ? b ? 1? ? 4c ∵ b ? ?1, c ? 0 ? 2 ? ? 2 ?

3 2 2 ⑵ F ? x ? ? f ? x ??g ? x ? ? x ? 2bx ? b ? c x ? bc

?

?

∴ F ? ? x ? ? 3x2 ? 4bx ? b2 ? c

2 2 2 2 2 令 F ? ? x ? ? 0 即 3x ? 4bx ? b ? c ? 0 则△ ? 16b ? 12 b ? c ? 4 b ? 3c

?

?

?

?

①若 ? ? 0 ,则 F ? ? x ? ? 0 有一实根上,且 x 变化时, F ? ? x ? 的变化如下

x
f ? ? x?

? ??, x0 ?


x0
0

? x0 , ???


于是 x ? x0 不是函数 F ? x ? 的极值点 ②若 ? ? 0 ,则 F ? ? x ? ? 0 有两个不等的实根 x1 , x2 ? x1 ? x2 ?

x 变化时, f ? ? x ? 的变化如下

x
f ? ? x?

? ??, x1 ?


x1
0

? x1 , x2 ?


x2
0

? x2 , ???


由此, x ? x1 是函数 F ? x ? 的极大值点, x ? x2 是函数 F ? x ? 的极小值点。 综上所述,当且仅当 ? ? 0 时,函数 F ? x ? 在 ? ??, ??? 上有极值点
2 由 ? ? 4 b ? 3c ? 0 ,得

?

?

b ? ? 3c 或 b ? 3c

∵ b ? ?1 ? 2 c ∴ ?1 ? 2 c ? ? 3c 或 ?1 ? 2 c ? 3c
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解得 0 ? c ? 7 ? 4 3 或 c ? 7 ? 4 3 故所求 c 的取值范围是 0, 7 ? 4 3 ? 7 ? 4 3, ??

?

? ?

?

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