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3.4基本不等式(1好


基本不等式









1)对任意一个实数a有a2 ≥ 0 2)若a、b∈R+,则由a2≥b2可得a ≥ b 3)(a-b)2 ≥ 0 4)若a、b∈R+,则 ( a ? b )2≥    0 2 2    (a ? b) ? 0    ( a ? b) ? 0
2 2

? a ? b ? 2 ab ? 0 ? a ? b ? 2ab ? 0 2 2 ? a ? b ? 2 ab.(a ? 0, b ? 0) ? a ? b ? 2ab

当且仅当 a=b a ? b ? 2ab 时,“=”成 不等式 a ? b ? 2 ab, (a ?立 0, b ? 0) 重要
2 2

一般的,如果a,b∈R,那么

a2+b2≥2ab
当且仅当a=b时,等号成立。 特别地,如果a>0,b>0,用 a+b≥2

a , b 分别代替a,b得

ab

基本不等式

a?b ab ? ( a ? o, b ? 0) 2 通常上式写成
当且仅当a=b时取等号

基本不等式

a?b ab≤ (a ? 0, b ? 0) 2
当且仅当a=b时取等号,这个不等式就叫做基本不等式.

适用范围: a>0,b>0

a?b 在数学中,我们把 叫做正数a,b的算术平均数, 2 ab 叫做正数a,b的几何平均数;
文字叙述为: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

注意
1、两个不等式的适用范围不同; 2、一般情况下若“=”存在时,要注明等 号成立的条件; 3、运用重要不等式时,要把一端化为常数 (定值)。

一正 、二定 、三相等

? 如图AB是直径,点C是AB上的一点,设AC=a, BC=b,过C点作垂直与AB的弦DE,并连接 AD,BD,你能此图几何解释基本不等式吗
D

? 半径不小于半弦

a?b 2 ab
A

a

O

C

b

B

E

直角三角形斜边上的中线长不小于 斜边上的高(或半径不小于半弦)。

填表比较

a ? b ≥2ab
2 2

a?b ≥ ab 2
a>0,b>0

适用范围 文字叙述 等号成立 条件

a,b∈R

两数的平方和不 两个正数的算术平均数不 小于它们积的2倍 小于它们的几何平均数

a =b

a =b

注意从不同角度认识基本不等式

上面两个重要不等式有如下变形及推广
a 2 ? b2 (1)ab ? (a ? R, b ? R ) (当且仅当a=b时取”=“号) 2

(2)a ? b ? 2 ab (a ? 0, b ? 0)
a?b 2 (3)ab ? ( ) ( a ? R, b ? R ) 2

(当且仅当a=b时取”=“号) (当且仅当a=b时取”=“号)

a ? b 2 a 2 ? b2 (4)( ) ? (a ? R,b ? R) 2 2

(当且仅当a=b时取”=“号)

例 1 、 ( 1 )用篱笆围一个面积为 100m2 的矩形菜园,
问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短。最
短篱笆是多少?

结论1:两个正数积为定值,则和有最小值
( 2)一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园,问这个矩

形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大。最大面积
是多少?

结论2:两个正数和为定值,则积有最大值

极 值 定 理

利用基本不等式求最值问题
已知x>0,y>0,则 x=y 时,x+y (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当_____

2 p (简记:积定和最小) 有最___ 小值是______.
x=y 时,xy有最 (2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当____
s2 ____ (简记:和定积最大) 大 值是______. 4

一正、二定、三相等

例2 某工厂要建造一个长方形无盖贮水池,其容 积为4800m3,深为3 m。如果池底每平方米的造价为 所以 ,将水池的地面设计成边长为 40 m的正方形 150元 ,池壁每平方米的造价为 120元,怎样设计水池能 时总造价最低,最低造价为297600元 使总造价最低?最低造价为多少元? 解:设底面的长为x m,宽为y m, 水池总造价为z 元,根据题意,有
4800 z ? 150 ? ? 120( 2 ? 3 x ? 2 ? 3 y ) =240000+720(x+y) 3

由容积为4800m3 ,可得3xy=4800,

因此xy=1500,

由基本不等式与不等式性质,可得 240000+720(x+y)≥ 240000+720×2 xy 即:z≥240000+720×2 xy =297600
当且仅当x=y=40时,等号成立

1 例1 :  (1) 已知x ? 0,求x ? 的最值 ; x 1 ( 2) 已知x ? 0,求x ? 的最值 ; x
1 1 解: x ? ? 2 x? ? 2 x x 1 当且仅当x ? 即x ? 1时原式有最小值 2. x

结论1:两个正数积为定值,则和有最小值

1 1 1 2、解 : x ? ? ?[( ? x ) ? ( ? )] ? ?2 ( ? x ) ? ( ? ) ? ?2 x x x 1  当且仅当? x ? ? 即x ? ?1时有最大值? 2. x

探究:下面几道题的解答可能有错,如果 错了,那么错在哪里? 1 1.已知函数 f ( x) ? x ? ,求函数的 x 最小值和此时x的取值.

运用基本不等式的过程中,忽略了“正数” 这个条件.

3 ( x ? 2) , 2.已知函数 f ( x) ? x ? x?2 求函数的最小值.

用基本不等式求最值,必须满足“定值”这 个条件.

4 ? 3 求函数y ? sin ? ? 其中? ? (0, ] sin ? 2 的最小值。 4 4 解:y ? sin ? ? ? 2 sin ? ? sin ? sin ? ? 4,?函数的最小值为4。
用基本不等式求最值,必须注意 “相等” 的条 件.
如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.

练习:
下列函数中,最小值为4的有那些? 4 (A) y ? x ? x (B) y ? 4e x ? e -x (C) y ? log 3 x ? log x 3?0 ? x ? 1?
4 ?0 ? x ? ? ? (D) y ? sinx ? sinx

B

下面解法正确吗?为什么?
1 2 1、已知x ? 时,求x ? 1的最小值 ; 2 解 : x ? 1 ? 2 x ? 1 ? 2 x ,当且仅当x ? 1
2 2 2

即x ? 1时, x ? 1有最小值2 x ? 2. 4 2、已知x ? 3,求x ? 的最小值. x
2

?
?

4 4 解 : x ? ? 2 x ? ? 4,? 原式有最小值 4. x x 4 当且仅当x ? ,即x ? 2时, 等号成立 . x

练习巩固
1.下列函数的最小值为 2的是 ____ :
1 A、y ? x ? x
C、y ? x ? 2 ?
2

1 π B、y ? sin x ? (0 ? x ? ) sin x 2
1 x2 ? 2

1 π D、y ? tan x ? (0 ? x ? ) tan x 2

9 (1)若a ? 0, 则当a ? ____ 时,4a ? 有最小值 ____; a ( 2)正数x , y满足x ? y ? 20, lg x ? lg y的最大值____;

2.求以下问题中的最值 :

注意:在使用“和为常数,积有最大值”
和“积为常数,和有最小值”这两个结论时,应 把握三点:“一正、二定、三相等” . 当条件不 完全具备时,应创造条件.

一正:两项必须都是正数; 二定:求两项和的最小值,它们的积应为定值; 求两项积的最大值,它们的和应为定值。
三相等 : 等号成立的条件必须存在.

1.凑项 :使积成为定值
4 变式(1).设x ? 1, x ? 的最小值是 ____ . x ?1
5 1 练习1.已知x ? , 求函数f ( x) ? 4 x ? 2 ? 的最大值. 4 4x ? 5

9 2.求 f ( x) ? 4 x ? ( x ? 5) 的最小值。 x ?5

2.凑系数:使和成为定值
1 变式( 2).设0 ? x ? , y ? x(1 ? 2 x )最大值是 ____ . 2
练习2:已知

1 0 ? x ? ,求 y ? x(1 ? 3x) 的最大值。 3

( 2)设0 ? x ? 1,则函数y ? x(1 ? x )的最大值是____;

3.分离
x 2 ? 7 x ? 10 例1、求y ? ( x ? ?1)的最小值. x ?1

练 习: x ? 2x ? 2 若x ? 1,求 当x ? ____时, y ? 有 2x ? 2 最 小 值_________ .
2

例2.求函数
此时x的值。

?2 x 2 ? x ? 3 f ( x) ? ( x ? 0) 的最大值,及 x

解: 所以 因此f(x)≤ 当且仅当 号成立。

3 f ( x) ? 1 ? (2 x ? ) x ,因为x>0,

3 3 3 2 x ? ≥ 2 2 x ? ? 2 6 得 ?(2 x ? )≤ -2 6 x x x

1? 2 6
3 2x ? x
3 ,即 x ? 2
2

时,式中等

由于x>0,所以 ,式中等号成立, 6 因此 f ( x)max ? 1 ? 2 6 ,此时 x ? 。
2

6 x? 2

?x+5??x+2? 变式:已知 x>-1,求函数 y= 的最小值为多少? x+1 ?x+5??x+2? 解析: y= x+ 1

?x+1+4??x+1+1? = x+ 1 =(x+1)+

4 +5 x+ 1

≥2

4 ?x+1?· +5=9, x+1

4 当且仅当(x+1)= ,即 x=1 时,ymin=9. x+ 1

4.“1”的妙用
1 1 例1.已知 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 1, 求t ? ? 的最小值 . a b

练习: 1、 已知x>0,y>0,且x+2y=1,求 u ? 1 ? 1

的最小值.

x

y

1 1 x ? 2y x ? 2y 2y x ? ? 3? ? ? 3? 2 2 解析: u ? ? ? x y x y x y
?2y x 2 ? ? y 时,即x ? 2 ? 1, y ? 1 ? 当且仅当? x 时取到等号 . 2 ?x ? 2 y ? 1 ?

“1”的代换

(2)设 x>0,y>0,且 2x+8y=xy,求 x+y 的最小值.
(2)法一:由 2x+8y-xy=0,得 y(x-8)=2x. 2x ∵x>0,y>0,∴x-8>0,y= , x-8 ?2x-16?+16 2x ∴x+y=x+ =x+ x-8 x-8 =(x-8)+ =18. 16 当且仅当 x-8= ,即 x=12 时,等号成立. x-8 ∴x+y 的最小值是 18.
8 2 法二:由 2x+8y-xy=0 及 x>0,y>0,得 + =1. x y 8 2 8y 2x ∴x+y=(x+y)( + )= + +10 x y x y 8y 2x ≥2 · +10=18. x y 8y 2x 当且仅当 = ,即 x=2y=12 时等号成立. x y ∴x+y 的最小值是 18.

16 +10≥2 x-8

16 ? x-8?× +10 x-8

例2

1 9 (1)已知a>0,b>0,且 a ? b ? 1,求a+b的最小值.
1 1 b 9a (a ? b )( ? ) ? 1 ? 9 ? ? a b a b

解法一: a+b=

? 10 ? 2 9 ? 16

1 9 解法二: ? a ? b ? 1

∴9a+b=ab

? (a ? 1)(b ? 9) ? 9,

? a ? 1, b ? 9,
? a ? b ? (a ? 1) ? (b ? 9) ? 10 ? 2 (a ? 1)(b ? 9) ? 10

? 2 9 ? 10 ? 16

两种解法的等号成立的条件均为a=4,b=12。

例:已知x, y均为正数。 1 4 1、求( x ? y )( ? )的最小值。 x y 1 4 2、若x ? y ? 1, 求( ? )的最小值。 x y 1 4 3、若 ? ? 2,求x ? y的最小值。 x y

5.基本不等式与对数相结合
5 2 例:已知lgx+lgy=1, ? 的最小值是______. 2 x y
2 练习:正数x, y满足x ? y ? 20,lg x ? lg y的最大值 ____;

1 a?b Q ? (lg a ? lg b) , R ? lg P ? lg a ? lg b , 例2 若a>b>1, 2 2

比较P,Q,R的大小

1 解:∵lga>lgb>0, ∴ (lga+lgb)> lga ? lgb 2

即 Q> P,

又∵a>b>1,∴

a?b ? ab 2



a?b 1 lg( ) ? lg ab ? 2 2

即R>Q,∴有P<Q<R,

1 例3:x ? y ? 10, 4 求u ? lg x ? lg y的最大值。

小结:
几种利用基本不等式求最值的技巧:
1.凑项 2.凑系数 3.分离

4.“1”的妙用

作业:
1.当x ? 2时, 求y ? x(6 ? 3x)的最大值. 1 2.求函数y ? ? x( x ? 3)的最小值. x ?3 x2 ? 8 3.求函数y ? ( x ? 1)的最小值. x ?1 1 1 4.已知x ? 0, y ? 0, 且 ? ? 1, 求x ? y的最小值. x y

练习:

1 1、当x>0时,x ? 的最小值为 x
2、(04重庆)已知

2

,此时x= 1



1 则x y 的最大值是 。 6 3、若实数 x, y ,且 x ? y ? 5 ,则 3 x ? 3 y 的最小值是( D) A、10 B、 C、4 6 D、 6 3 18 3
4、在下列函数中,最小值为2的是( C ) 1 x 5 A、 B、 y ? lg x ? (1 ? x ? 10) y ? ? ( x ? R, x ? 0) lg x

2 x ? 3 y ? 2( x ? 0, y ? 0)

5 x

x ?x C、 y ? 3 ? 3 ( x ? R)

D、 y ? sin x ?

1 ? (0 ? x ? ) sin x 2

重要

不等式

a ? b ? 2ab a ? b ? 2 ab
2 2

(a、b∈R+)

结(1)两个正数积为定值,和有最小值。 论(2)两个正数和为定值,积有最大值。
应用要点:一正、二定 、三相等

3、基本不等式的变形:

x ? y ? 2 xy ( x ? R , y ? R ) 2 x ? y? ? ? ? xy ? (x ? R , y ? R )
4
积一定,和有最小值; 和一定,积有最大值。

?

?


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