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集合与常用逻辑用语3


第一章

集合与常用逻辑用语

第 3 课时 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 1. (选修 11P20 第 4(1)题改编)命题“若 a、b、c 成等比数列,则 ac=b2”的逆否命题是 ________________________________________________________________________. 2. (选修 11P20 第 6 题改编)若命题 p 的否命题为 q,命题 q 的逆否命题为 r,则 p 与 r 的 关系是__________. 3. (选修 11P20 第 7 题改编)已知 p、q 是 r 的充分条件,r 是 s 的充分条件,q 是 s 的必要 条件,则 s 是 p 的__________条件. 4. (原创)写出命题“若 x+y=5,则 x=3 且 y=2”的逆命题、否命题、逆否命题,并 判断它们的真假. 5. 下列命题中的真命题有________.(填序号) 1 ① $ x∈R,x+ =2; x $ ② x∈R,sinx=-1; ③ " x∈R,x2>0; ④ " x∈R,2x>0. 答案:①②④ 6. 命题 p:有的三角形是等边三角形.命题 ? p:____________________________.

1. 四种命题及其关系 (1) 四种命题

命题 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 (2) 四种命题间的逆否关系

表述形式 若 p,则 q 若 q,则 p 若非 p,则非 q 若非 q,则非 p

(3) 四种命题的真假关系 两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; 两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系. 2. 充分条件与必要条件 (1) 如果 p ? q,那么称 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件. (2) 如果 p ? q,且 q ? p,那么称 p 是 q 的充要条件,记作 p ? q. (3) 如果 p ? q,q?p,那么称 p 是 q 的充分不必要条件. (4) 如果 q ? p,p?q,那么称 p 是 q 的必要不充分条件. (5) 如果 p?q,且 q?p,那么称 p 是 q 的既不充分也不必要条件. 3. 简单的逻辑联结词 (1) 用联结词“且”联结命题 p 和命题 q,记作 p∧q,读作“p 且 q”.

(2) 用联结词“或”联结命题 p 和命题 q,记作 p∨q,读作“p 或 q”. (3) 对一个命题 p 全盘否定记作 ? p,读作“非 p”或“p 的否定”. (4) 命题 p∧q,p∨q, ? p 的真假判断 p∧q 中 p、q 有一假为假,p∨q 有一真为真,p 与非 p 必定是一真一假. 4. 全称量词与存在量词 (1) 全称量词与全称命题 短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词, 并用符号 “ ?x ”表示. 含有全称量词的命题,叫做全称命题. 全称命题“对 M 中任意一个 x,有 p(x)成立”可用符号简记为 " ? x∈M,p(x),读作 “对任意 x 属于 M,有 p(x)成立”. (2) 存在量词与存在性命题 短语“有一个”“有些”“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词, 并用 符号“ ?x ”表示. 含有存在量词的命题,叫做存在性命题. 存在性命题“存在 M 中的一个 x,使 p(x)成立”可用符号简记为 ? x∈M,p(x),读作 “存在一个 x 属于 M,使 p(x)成立”. 5. 含有一个量词的命题的否定 命题 ? ? x∈M,p(x) 命题的否定

? x∈M, ? p(x);
? ? x∈M, ? p(x).

? x∈M,p(x)

题型 1 否命题与命题否定 例 1 (1) 命题“若 a>b,则 2a>2b-1”的否命题为____________________________; (2) 命题:“若 x2+x-m=0 没有实根,则 m≤0”是____(填“真”或“假”)命题; (3) 命题 p:“有些三角形是等腰三角形”,则 ? p 是____________________.

变式训练 把下列命题改写成“若 p 则 q”的形式,并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题. (1) 正三角形的三个内角相等; (2) 已知 a、b、c、d 是实数,若 a=b,c=d,则 a+c=b+d.

题型 2 充分必要条件 例 2 已知 p:x2-8x-20≤0,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),若 ? p 是 ? q 的必要不充 分条件,求实数 m 的取值范围.

变式训练 下列四个结论正确的是________.(填序号) ① “x≠0”是“x+|x|>0”的必要不充分条件; ② 已知 a、b∈R,则“|a+b|=|a|+|b|”的充要条件是 ab>0; ③ “a>0,且Δ =b2-4ac≤0”是“一元二次不等式 ax2+bx+c≥0 的解集是 R”的充 要条件; ④ “x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件. 题型 3 全称命题与存在性命题的否定 例 3 命 题 “ 所 有 不 能 被 2 整 除 的 整 数 都 是 奇 数 ” 的 否 定 是 ________________________________. 变式训练 若命题改为“存在一个能被 2 整除的整数是奇数”,其否定为 ________________________________. 题型 4 求参数范围 例 4 已知命题 p:方程 a2x2+ax-2=0 在[-1,1]上有解;命题 q:只有一个实数 x 满足不等式 x2+2ax+2a≤0,若命题“p 或 q”是假命题,求实数 a 的取值范围.

变式训练 已知命题 p:函数 y=loga(1-2x)在定义域上单调递增;命题 q:不等式(a-2)x2+2(a- 2)x-4<0 对任意实数 x 恒成立.若 p∨q 是真命题,求实数 a 的取值范围.

1. 命题“所有能被 2 整除的数都是偶数”的否定是___________________________ ________________________. 2. “ 若 a + b 为 偶 数 , 则 a 、 b 必 定 同 为 奇 数 或 偶 数 ” 的 逆 否 命 题 为 ______________________________. 3.已知命题 p1:函数 y=ln(x+ 1+x2),是奇函数,p2:函数 y=x2为偶函数,则下列 四个命题: ① p1∨p2;② p1∧p2;③ ( ? p1)∨p2;④ p1∧( ? p2).
1

其中,真命题是________.(填序号) 1 4. 若 a、b 为实数,则 “0<ab<1”是“b< ”的________条件. a 5. 在命题 p 的四种形式的命题(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中,正确命题的个 数记为 f(p),已知命题 p:“若两条直线 l1:a1x+b1y+c1=0,l2:a2x+b2y+c2=0 平行,则 a1b2-a2b1=0”.那么 f(p)=________. - 6. 设命题 p:关于 x 的不等式 2|x 2|<a 的解集为?;命题 q:函数 y=lg(ax2-x+a)的值 域是 R.如果命题 p 和 q 有且仅有一个正确,求实数 a 的取值范围.

1. 在判断四个命题之间的关系时,首先要分清命题的条件与结论,再比较每个命题的 条件与结论之间的关系.要注意四种命题关系的相对性,一旦一个命题定为原命题,也就相 应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”; 判定命题为真命题时要进行推理, 判定 命题为假命题时只需举出反例即可.对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手. 2. 充要条件的判断,重在“从定义出发”,利用命题“若 p,则 q”及其逆命题的真假 进行区分,在具体解题中,要注意分清“谁是条件”“谁是结论”,如“A 是 B 的什么条 件”中,A 是条件,B 是结论,而“A 的什么条件是 B”中,A 是结论,B 是条件.有时还 可以通过其逆否命题的真假加以区分. 3. 含有逻辑联结词的命题真假的判断规律 (1) p∨q:p、q 中有一个为真,则 p∨q 为真,即一真全真; (2) p∧q:p、q 中有一个为假,则 p∧q 为假,即一假即假; (3) ? p:与 p 的真假相反,即一真一假,真假相反.


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