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浙江省宁波市2013-2014学年高一上学期期末数学试卷


宁波市 2013 学年第一学期期末考试

高一数学试卷
说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分. 考试时间 120 分钟.本次考试不得使用计算器.请考生将所有题目都做在答题卷上.

第Ⅰ卷(选择题

共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题

5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.设集合 A ? {1, 2,3}, B ? {2,5} ,则 A ? B ? (A) {2} 2. sin(?60?) 的值是 (B) {2,3} (C) {3} (D) {1,3}

(A) ?

1 2

(B)

1 2

(C) ?

3 2

(D)

3 2

3.函数 y ? sin(2 x ? ? ) 是 (A)周期为 ? 的奇函数 (C)周期为 2? 的奇函数 4.下列函数在区间 (0, ??) 是增函数的是 (B)周期为 ? 的偶函数 (D)周期为 2? 的偶函数

1 1 x 2 (B) y ? ( ) ? 1 (C) y ? x ? x ? 1 x ?1 2 x ? 4 ( x ? 0), 5.设函数 f ( x ) ? ? 则 f ( f (?1)) 的值为 ?log 2 x ( x ? 0),
(A) f ( x) ? (A) 2 6.已知函数 f ( x) ? a 为 (A) (B) 1
x ?1

(D) y ? ln( x ? 1)

(C) ? 1

(D) ? 2

? log a x (a ? 0 且 a ? 1) 在区间 [1, 2] 上的最大值和最小值之和为 a ,则 a 的值

1 4

(B)

1 2

(C) 2

(D) 4

7.定义一种运算 ( a * b) ? ? (A) (0,1)

? a, a ? b x ?x ,则函数 f ( x) ? (2 *2 ) 的值域为 ?b, a ? b
(C) [1, ??)

(D) (1, ??) ??? ? ???? ? ??? ? ? 8.已知 AD, BE 分别是 ?ABC 的边 BC , AC 上的中线,且 AD ? a, BE ? b ,则 BC ? (B) (0,1] (A)

4? 2? a? b 3 3

(B)

2? 4? a? b 3 3

(C)

2? 2? a? b 3 3

(D) ?

2? 2? a? b 3 3

9.将函数 y ? cos(2 x ? ? ) 的图像向左平移 ? (? ? 0) 个单位,所得图像关于 y 轴对称,则 ? 的最小值 为 (A)

4 3

? 6

(B)

? 3

(C)

2? 3

(D)

10.已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ,其中 ? 为实数,若 f ( x ) ? f ( ) 对 x ? R 恒成立,且 f ( ) ? f (? ) ,

?

4? 3

?

6

2

则 f ( x) 的单调递增区间是

? ?? ? , k? ? ? ( k ? Z ) 3 6? ? ? 2? ? ? (C ) ? k ? ? , k ? ? (k ? Z ) 6 3 ? ? ?
(A ) ? k ? ?

(B) ? k? , k? ?

?? ? (k ? Z ) 2? ? ? ? ? ? (D) ? k? ? , k? ? (k ? Z ) 2 ? ?

第Ⅱ卷(非选择题
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.函数

共 100 分)

f ( x) ?

2 ? lg(1 ? 2 x) 的定义域是 x?2

▲ .

1 lg 25 ? lg 2 ? log3 9 ? ▲ . 2 ? ? ? ? ? ? 13.已知向量 a, b 满足 a ? b ? 1 ,且它们的夹角为 60? ,则 2a ? b ?
12.计算:

▲ .

sin( ? ? ) ? cos(? ? ? ) 2 14.已知 tan? ? 2 ,则 ? ? sin( ? ? ) ? sin(? ? ? ) 2
15.函数 y ? 2cos(2 x ?

?

▲ .

?

), x ?[ ? , ] 的值域为 ▲ . 6 6 4
x

? ?

16.设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 ? 2 x ? b 则 f (?2) ? ▲ .

(b 为常数) ,

?a x ( x ? 1) ? 17.若函数 f ( x) ? ? 对于 R 上的任意 x1 ? x2 都有 a (4 ? ) x ? 2 ( x ? 1) ? ? 2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,则实数 a 的取值范围是 ▲ . x1 ? x2
三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 14 分)已知 sin ?

? cos ? ? ?

7 .求 sin ? cos ? 和 tan ? 的值. 5

19. (本小题满分 14 分)函数 f ( x) ? x ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a .
2

(I)若 f ( x) 是偶函数,求实数 a 的值; (II)当 a ? 1 时,求 y ? f (2 ) 在区间 [?1,1] 上的值域.
x

20. (本小题满分 14 分)已知点 M (1, A), N (4, - A) 是函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )

(A ? 0 ,

2 ???? ? ??? ? 满足 PM ?PN

? ? 0, ?

?

?? ?

?
2

)一个周期内图象上的两点,函数 f ( x) 的图象与 y 轴交于点 P ,

1.

(I)求 f ( x) 的表达式; (II)求函数 y = f ( x) -

3 在区间 [0, 6] 内的零点.

21. (本题 15 分)已知向量 a ? (1, 2), b ? (cos ? ,sin ? ), 设c ? a ? tb ( t 为实数) . (I) t ? 1 时,若 c / / b ,求 tan ? ; (II)若 ? ?

?

?

?

?

?

?

?

?
4

,求 c 的最小值,并求出此时向量 a 在 c 方向上的投影.

?

?

?

22. (本题 15 分)已知函数 f ( x) ? x ? a, g ( x) ? a ?

1 (a ? R) . x

(I)判断函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 x ? [1, 4] 的单调性并用定义证明; (II)令 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求 F ( x) 在区间 x ? [1, 4] 的最大值的表达式 M (a) .

宁波市 2013学年第一学期期末考试 高一数学参考答案
一、选择题 1 2 A 二、填空题 11. (?2, C 3 A 4 D 5 D 6 B 7 B 8 B 9 A 10 C

1 ) 2

12. ?1 16. ?7

13.

3

14. ?2

15. [?1, 2] 三、解答题

17. [4,8)

18. (本小题 14 分)解:由 (sin ? ? cos ? ) 2 ? 所以 sin ? cos ? ? ?

49 49 ,得 1 ? 2sin ? cos ? ? , 25 25
(7 分)

12 ; 25



sin 2 ? ? cos 2 ? 25 1 25 1 25 ? ? ,得 tan ? ? ? ? ,即 ?? sin ? cos ? 12 sin ? cos ? 12 tan ? 12
解得: tan ? ? ?

3 4 或 tan ? ? ? . 4 3

(14 分)

19. (本小题 14 分) 解: (I) a ? 4 ; (II)当 a ? 1 时,令 2 ? t , t ? [ , 2] ,
x

(4 分)

1 2

(8 分) 值域为 [ ?

则 y ? f (2 ) ? f (t ) ? t ? 3t ? 2
x 2

20. (本小题 14 分)解: (I)

2 2 6 ???? ? p A A A ???? 3 f (0) = A sin = , P (0, ) , PM = ( 1 , ) PN , = ( 4 ,A ,) 6 2 2 2 2 3 2 p p 得 4.) (9 分) A =1 f ( x )= 2 s i n x (+ A= 2 4 3 6 p p p 13p p p (II) x ? [0, 6] , x + [ , ] , y = f ( x) - 3 = 2sin( x + ) - 3 , 3 6 6 6 3 6
p p 3 p p p p p 2p =) , , y = 0 即 s i n ( x+ x+ = 或 x+ = 3 6 2 3 6 3 3 6 3
得x=

f (1) = A

得 A sin(

?

T 2p ? = 4- 1= 3 ,T = = 6 ,? ? ; 2 w 3 ? ?) ? A

1 3 , ] . 4 4

(14 分) (3 分)

3

A ? 0 ,?

?

?? ?

?

??

?

; (6 分)

1 3 或x= 2 2

(14 分)

21. (本小题 15 分)解: (I) t ? 1, c ? (1 ? cos ? , 2 ? sin ? ) ,

?

? ? c / /b ? cos ? (2 ? sin ? ) ? sin ? (1 ? cos ? ) ? 0 ,
得 tan ? ? 2 ; (II) ? ?

(4 分) (6 分)

?
4

时, c ?

?

(1 ?

2 2 2 2 t ) ? (2 ? t ) ? t 2 ? 3 2t ? 5 , 2 2

(9 分)

当t ?

? 3 2 2 时, c , ? min 2 2

(12 分)

? ? ? ? ? 1 1 a?c 2 此时 c ? (? , ) , a 在 c 方向上的投影 ? ? . 2 2 2 c
22. (本小题 15 分)解: (I) h( x) ? x ?

(15 分)

1 . (6 分) ? 2a 在 x ? [1, 4] 递增; (证明略) x 1 15 (II)若 a ? 1 , F ( x) ? x ? ,在 x ? [1, 4] 递增, M (a ) ? , x 4
若 a ? 4 , F ( x ) ? 2a ? ( x ?

1 )在 x ? [1, 4] 递减, M (a) ? 2a ? 2 , x

(9 分)

? 1 x? , a?x?4 ? ? x 若 a ? (1, 4) ,则 F ( x) ? ? ?2a ? ( x ? 1 ), 1 ? x ? a ? x ?
当 a ? x ? 4 时,函数递增, F ( x)max ?

(11 分)

15 , 4
(13 分)

当 1 ? x ? a 时,函数递减, F ( x)max ? 2a ? 2 ;

2a ? 2 ?

15 23 23 15 23 ,当 1 ? a ? 时, M (a ) ? ,当 ? 2a ? ? a ? 4 时, 4 4 8 4 8

M (a) ? 2a ? 2 .
综上: a ?

23 15 23 时, M (a ) ? ,当 ? a 时, M (a) ? 2a ? 2 . 8 4 8

(15 分)


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