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云南师大附中2015届高考适应性月考卷(五)文科数学-答案


云南师大附中 2015 届高考适应性月考卷(五) 文科数学参考答案 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 【解析】 1 . ∵痧 , 3, 5, 6, 8}, ∴( U A ? {2 2. z ?
U

1 B

2 A

3 A

4 D

5 D

6 C

7 B

8 C

9 A

10 C

11 B

12 D

A)

B ? {3, 6, 8} ,故选 B.

5 ? i (5 ? i)(1 ? i) ? ? 2 ? 3i, 在复平面内对应的点的坐标为 (2,3) ,故选 A. 1 ? i (1 ? i)(1 ? i) 3. 1 ? 2 ? 4 ? 8 ? 16 ? 1024 ,结束循环时 i ? 32 ,故条件可为 i≥32 ,故选 A. 2 4.A 选项中 ?p 为假命题, ?p ??q 为假命题;B 选项中“ x ? 1 ”是“ x ? 2 x ? 3 ? 0 ”的充分不必要条

, 2? ? 2), a ? b ? (? ? 1, ? ? 4), ∵ (2a ? b) ? (a ? b), ∴ (2? ? 1)(? ? 1) ? 5. 2a ? b ? (2? ? 1

件;C 选项中命题“ ?x ? R,f ( x) ? 0 ”的否定是“ ?x0 ? R,f ( x0 )≤0 ” ;D 选项正确,故选 D.

(2? ? 2)(? ? 4) ? 0 ,即 4? 2 ? 11? ? 7 ? 0 ,解得 ? ? 1或? ?
4 4 2 2 2 2

7 ,故选 D. 4

6.易知,A、B、D 选项分别对应的是俯视、正视、侧视时的投影,故选 C. 7 .① f ( x) ? cos x ? sin x ? (cos x ? sin x)(cos x ? sin x) ? cos 2 x ,最小正周期为 π ,①错;②

π? ? ? π ? π? ? y ? sin 2 x ? sin ?2 ? x ? ? ? ? ,②对;③ f ( x) ? 2cos x ? 2cos ? x ? ? ? 2cos x ? 3? 6 ? 3? ? ? ? π? π π ? ? π? 2cos x cos ? 2sin x sin ? 3sin x ? cos x ? 2sin ? x ? ? ,故易知 f ( x) 在 ? 0, ? 上的值域为 6? 3 3 ? ? 2? [1 ,2],③错,故选 B.
8.斜率为 1,∴ Rt△MF1 F2 为等腰直角三角形, MF2 ? F 1 F2 ? 2c , MF 1 ? 2 2c ,由双曲线定义知:

c ? 2 ? 1 ,故选 C. a 0) (0,? ?) 上恒成立,∴ x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ; x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,即 f ( x) 9. xf ?( x) ? 0 在 (??, 0) 上递减,在 (0,? ?) 上递增,∴ f (1) ? f (2) ? f (3) ,由 f ( x) 为偶函数, f (?2) ? f (2) , 在 (??, ∴ f (1) ? f (?2) ? f (3) ,故选 A.
MF1 ? MF2 ? 2a ,即 (2 2 ? 2)c ? 2a ,化简得
∴ MN ∥ PB, 10.如图 1,∵ M、N 分别为AB和AP的中点,
∵ MN ? CN, ∴ PB ? CN ,又 P ? ABC 为正三棱锥, ∴ PB ? AC , AC CN ? C , ∴ PB ? 平面 PAC ,∴ PB ? PA,PB ? PC ,
同理可得 PA ? PC ,所以 PA,PB,PC 两两垂直,且 PA ? PB ? PC ? 1 ,所以外接球半径为 所以外接球表面积为 3π ,故选 C.

3 , 2

,2) ,圆关于直线 2ax ? by ? 6 ? 0 对称,即圆心在直线上, 图1 11. ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 2 ,圆心坐标为 C (?1
2 2

? x? y?3?0 圆心坐标代入直线方程得: ?2a ? 2b ? 6 ? 0 ,即点 ( a,b ) 在直线 l: ,2) 作 l 的垂线,垂足设为 D ,过 D 作圆 C 的切线,切点设为 E ,则切线长 DE 最短, 上,过 C (?1
此时 CD ?

1? 2 ? 3 2

? 3 2, CE ? 2 ,由勾股定理, DE ? 4 ,故选 B.

文科数学参考答案·第 1 页(共 6 页)

12. f ( x) ? kx ? 0 ,即方程 f ( x) ? kx 有四个实数根, 即函数 y ? f ( x) 和函数 y ? kx 的图象有四个交点,

ln x 的图象先增后减,在 x ? e 处取 x ln x 得最大值,如图 2 所示,设直线与 y ? (x ≥1) x
分析得, y ? 的图象相切时斜率为 k 0 ,则 0 ? k ? k0 即可.设切点为 ? x0,

?

? ln x0 1 ? ln x0 1 y? ? ( x ? x0 ) ,又切线经过点 (0,0) ,代入解得 x0 ? e ,故 k0 ? ,故概率为 2 x0 x0 2e

1 ? ln x0 ln x0 ? ,则切线方程为 ? ,则 k0 ? 2 x0 x0 ?

P?

1 ,故选 D. 4e

第Ⅱ 卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 题号 答案 【解析】 13 2n 14 3 15 2017 16

(?4,2)

a2,a4 成等比数列,所以 a2 ? a1a4 ,即 (a1 ? 2) ? a1 (a1 ? 6), 13. a1, ∴a1 ? 2, ∴an ? 2n .
2 2

14.如图 3 所示, x, y 所满足的可行域为图中阴影 部分区域,对于直线 y ? ?

x z ? ,显然经过 P 3 3

点时截距取得最小值,即 z 取得最小值, 此时 z ? 3 ? 3 ? 0 ? 3 . 图3 15.当 x≤2015 时, f ( x) ? ? f ( x ? 3) ? ?[? f ( x ? 6)] ? f ( x ? 6) ,此时 f ( x) 为周期为 6 的周期函数,

2015 ? 6 ? 335 ? 5 ,∴ f (1) ? f (2011) ? ? f (2014) ? f (2017) ? 2017 .
16. x ? 2 y ? m ? 2m 恒成立,则 ( x ? 2 y)min ? m ? 2m 即可,∵
2 2

2 1 ? ? 1 ,∴ x ? 2 y ? ( x ? 2 y) ? x y

?2 1? x 4y x 4y ? 2≥4 ? 2 ? ? 8 ,故 8 ? m 2 ? 2m ,即可解得 m ? (?4,2) . ? ? ??2? ? x y y x y x ? ?
三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由正弦定理得: sin B sin A ? sin A(cos B ? 2) ? 0 ,

π? ? ∵sin A ? 0, ∴sin B ? cos B ? 2 ? 0 ,∴ 2 sin ? B ? ? ? 2 , 4? ? π? π π π ? 即 sin ? B ? ? ? 1 ,∵ B ? (0, π), ∴B ? ? , ∴B ? . 4? 4 2 4 ?
(Ⅱ) S△ ABC ?

???????(6 分)

1 2 ac sin B ? ac ? 3, ∴ ac ? 6 2 , 2 4
2 2

又 a ? c ? 3 ? 2 2 , (a ? c) ? (3 ? 2 2) ? 17 ? 12 2 ,

a 2 ? c2 ? 2ac ? 17 ? 12 2 ,∴ a 2 ? c 2 ? 17 ,

文科数学参考答案·第 2 页(共 6 页)

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? 17 ? 2 ? 6 2 ?

2 ? 5 ,∴ b ? 5 . 2

??????(12 分)

18. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:在题图甲中连接 BD,交 AE 于点 F,因为 E 为 CD 中点,故 DE=1,

∴ ?DAE ? ?ADB ? ?ABD ? ?ADB ? 90? , ∴ ?AFD ? 90? ,即 AE ? BD . 因为是沿着 AE 折叠的,故不改变 D1 F ? AE,BF ? AE ,
又 D1 F

AD AB ? ? 2 ,又 ?BAD ? ?ADE ? 90? , DE AD ∴△BAD∽△ ADE ,∴?ABD ? ?DAE ,

BF ? F ,∴ AE ? 平面 BD1 F ,
???????????????????(6 分)

而 BD1 ? 平面 BD1 F ,∴ AE ? BD1 .

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 D1 F ? AE ,因为平面 AD1 E ? 平面 ABCE ,∴ D1 F ? 平面ABCE , 又 S△ ABC ?

1 1 ? AB ? BC ? ? 2 ? 2 ? 2 , 2 2
6 .∵DF ? AE ,∴ DF ?
AD ? DE 6 ? , AE 3

在题图甲中易求 AE ? 3, BD ? 即 D1 F ?

∴VD1 ? ABC

6 2 6 ,而 BF ? , 3 3 1 1 6 2 3 ? ? S△ ABC ? D1 F ? ? 2 ? ? , 3 3 3 9 D1 F 2 ? BF 2 ?

30 , 3 AB 2 ? AD1 2 ? BD12 7 2 ? 在 △ ABD1 中, cos ?BAD1 ? ,∴ sin ?BAD1 ? , 3 2 AB ? AD1 3
又 平面AD1 E ? 平面ABCE ,∴ D1 F ? BF ,∴ BD1 ?

S△ ABD 1 ?

1 1 7 14 AB ? AD1 ? sin ?BAD1 ? ? 2 ? 2 ? ? , 2 2 3 3 设点 C 到平面 ABD1 的距离为 h ,因为 VC ? ABD1 ? VD1 ? ABC ,

∴h ?

3VD1 ? ABC S△ ABD1

?

3?

2 3 9 ? 42 ,故点 C 到平面 ABD 的距离为 42 . 1 7 7 14 3
??????????????????????(12 分)
5 5 5

19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)求得

?x
i ?1

5

2 i

? 90,? xi yi ? 112,? xi ? 20,? yi ? 25,
i ?1 i ?1 i ?1

?? b

?x y
i ?1 5 i

5

i

? 5x y ? ? 5x 2

?x
i ?1

2 i

112 ? 5 ? 4 ? 5 ? ? 5 ? 1.2 ? 4 ? 0.2 , ? ? y ? bx ? 1.2,a 90 ? 5 ? 42
??????????????????(8 分) ??????????????(12 分)

? ? 1.2 x ? 0.2 . 故线性回归方程为 y
为 11 万元. 20. (本小题满分 12 分)

? ? 1.2 ? 9 ? 0.2 ? 11 ,即使用年份为 9 年时,返厂所需要支出的费用 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 x ? 9 时, y

文科数学参考答案·第 3 页(共 6 页)

c a 2 ? b2 1 ? ? ,又菱形面积 S ? 2ab ? 4 3 ,易得: a ? 2, b? 3, a a 2 x2 y 2 故椭圆 C 的方程为 ????????????????(4 分) ? ?1. 4 3 (Ⅱ)设点 M ( x1,y1 ),N ( x2,y2 ) ,当切线与 x 轴不垂直时,设切线方程为 y ? kx ? m ,
解: (Ⅰ) e ?

? x2 y 2 ? 1, ? ? 2 2 2 联立 ? 4 得 (4k ? 3) x ? 8kmx ? 4m ? 12 ? 0 , 3 ? y ? kx ? m, ? ?8km 4m2 ? 12 , x1 ? x2 ? 2 ,x1 x2 ? 4k ? 3 4k 2 ? 3
?? ?8km ?2 4m 2 ? 12 ? ∴ MN ? (1 ? k )[( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ] ? (1 ? k ) ?? 2 ?, ? ? 4? 4k 2 ? 3 ? ? ?? 4k ? 3 ? ?
2 2 2

化简得: MN ?

(1 ? k 2 )

(192k 2 ? 144 ? 48m2 ) ,① (4k 2 ? 3)2
2 2

因为直线 y ? kx ? m 与圆 x ? y ? 2 相切,故 即 m ? 2(k ? 1) ,将其代入①式得: MN ?
2 2

m 1? k2

? 2 , ?????????(8 分)

(1 ? k 2 )

(96k 2 ? 48) , (4k 2 ? 3)2

令 t ? k (t≥0) ,
2

则 MN ?

(t ? 1)(96t ? 48) 96t 2 ? 144t ? 48 6(4t ? 3)2 ? 6 6 , ? ? ? 6? 2 2 2 (4t ? 3) (4t ? 3) (4t ? 3) (4t ? 3)2
6? 6 单调递增, (4t ? 3)2

显然,在 t≥0 时,函数 f (t ) ?

4 3 . 3 4 3 2 当斜率不存在时, x ? 2 ,代入算得 MN ? 6 ? , 3 4 3 1 故当直线为 y ? ? 2 时, MN 取得最小值 ,又 S△OMN ? ? MN ? r , r 为定值 2 , 3 2 2 6 故 MN 取得最小值时, S△OMN 亦取得最小值 . ???????????(12 分) 3
故最小值在 t ? 0 时取得,此时, k ? 0 , MN ? 21. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)解: f ?( x) ? ln x ? x ?

1 ? a ? ln x ? 1 ? a ,令 f ?( x) ? 0 得 x ? ea ?1 , x 令 f ?( x) ? 0 ,即 x ? (0, ea ?1 ) ,此时 f ( x) 单调递减;
令 f ?( x) ? 0 ,即 x ? (e , ? ?) ,此时 f ( x) 单调递增.
a ?1

故x?e

a ?1

为 f ( x) 的最小值点. f (e

a ?1

) ? ?ea ?1 ,
a ?1

? ?) 上有极小值 ?e 所以 f ( x) 在 x ? (0,

,无极大值.

???????????(5 分)

+?) 时,要想证 (Ⅱ)证明:当 x ? (0,

x ?1 2 ? ln x ? 2 ? 1恒成立, x xe xe

文科数学参考答案·第 4 页(共 6 页)

即证

x ?1 2 ? x ?1 2 ? ? 2 ? x ln x ? x 恒成立.可尝试证 ? x ? 2 ? ? ( x ln x ? x)min , e ?max ex e ? e
也即最
?2

?2 不等式右边为(Ⅰ)中 a ? ?1 的情况,故知 x ln x ? x 在 x ? e 处取得极小值,

小值 ?e . 令 h( x) ?

?????????????????????????(8 分)

e x ? ( x ? 1)e x 2 ? x x ?1 2 ? x , ? 2 , h?( x) ? x (e x )2 e e e
?2

容易看出 h( x)max ? h(2) ? ?e

,又 h( x) 和 x ln x ? x 分别取得最大值和最小值的 x 并不相同,故

x ?1 2 ? 2 ? x ln x ? x 恒成立, ex e +?) 时, g ( x) ? 1 恒成立. 即当 x ? (0,

?????????????????(12 分)

22. (本小题满分 10 分) 【选修 4?1:几何证明选讲】 (Ⅰ)证明:如图 4,∵ PA 是切线, AB 是弦, ∴ ?BAP ? ?C . 又∵ ?APD ? ?CPE , ∴ ?BAP ? ?APD ? ?C ? ?CPE . ?ADE ? ?BAP ? ?APD , ?AED ? ?C ? ?CPE , ∴ ?ADE ? ?AED . ?????????????????????????(5 分) (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 ?BAP ? ?C ,又∵ ?APC ? ?BPA , ∴ △ APC ∽ △ BPA ,∴

∵ AC ? AP ,∴ ?APC ? ?C ,∴ ?APC ? ?C ? ?BAP . 由三角形内角和定理可知, ?APC ? ?C ? ?CAP ? 180? . ∵ BC 是圆 O 的直径,∴ ?BAC ? 90? ,∴ ?APC ? ?C ? ?BAP ? 180? ? 90? ? 90? ,

PC CA . ? PA AB

图4

1 ? 90? ? 30? . 3 1 CA 1 CA 在 Rt △ ABC 中, ,即 , ? ? tan C AB tan 30? AB CA PC CA ∴ ?????????????????(10 分) ? 3 ,∴ ? ? 3. AB PA AB
∴ ?C ? ?APC ? ?BAP ? 23. (本小题满分 10 分) 【选修 4?4:坐标系与参数方程】 解: (Ⅰ)圆的直角坐标方程为: ? x ?

? ? ?

2? ? 2? ? y ? ? r2 , ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ?
2 2

2

2

? 2? ? 2? ? ? ? ? 2 ? ? ?? ? ? ?1, ? ? ? 2 ? 3π ? 3π ? 圆心 C 在第二象限, ? ? ,圆心极坐标为 ? 1, ? . ??????????(5 分) 4 ? 4 ? (Ⅱ)圆 C 上的点到直线 l 的最大距离等于圆心 C 到直线 l 的距离和半径之和, l 的直角坐标方程为 x ? y ?1 ? 0 ,
圆心坐标为 C ? ?

? ? ?

2 2? ,?= , ? 2 2 ? ?

?

2 2 ? ?1 2 2 2

? r ? 2 2, r ?

3 2 . 2

?????????????????(10 分)

24. (本小题满分 10 分) 【选修 4?5:不等式选讲】

文科数学参考答案·第 5 页(共 6 页)

?3x ? 1( x ? 1), ? 解: (Ⅰ) f ( x) ? ? x ? 3(?1≤x≤1), ??3x ? 1( x ? ?1), ?

? 4 ? ∴ f ( x) ? 5 的解集为 ? x x ? 或x ? ?2 ? . ??????????????(5 分) 3 ? ? ? ?) , f ( x) ? a(a ? R ) 的解集为空集,则 a ? (??,2] . ????(10 分) (Ⅱ) f ( x) ? [2,

文科数学参考答案·第 6 页(共 6 页)


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