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《新新练案系列》2013-2014学年高中数学(人教A版必修五)同步练测:25+等比数列的前n项和(含答案解析)


2.5
建议用时 45 分钟

等比数列的前 n 项和(人教 A 版必修 5)
实际用时 满分 100 分 1 9.已知 ?an ? 是等比数列, a2=2 , a 5 = ,则 4 a1a2+a2 a3 + +an an+1= ( ) A. 16(1-4-n ) C. B. 16(1-2-n ) 实际得分

一、选择题

(每小题 4 分,共 40 分) 1.已知在等比数列 ?an ? 中,公比 q 是整数, a1+a4 = 18, a2+ a3 =12,则此数列的前 8 项和为( ) A.514 B.513 C.512 D.510 2.设 S n 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和, 8a2-a5=0 ,则

S4 =( S2 A.5 C.-8

) B.8 D.15

32 32 (1-4-n ) D. (1-2-n ) 3 3 1, 10.若正项等比数列 ?an ? 满足 a2 a4=
S3=13 , bn=log 3 an ,则数列 ?bn ? 的前 10 项和是

5 3.已知在等比数列 ?an ? 中, a1+a3 =10, a4+ a6 = , 4 则等比数列 ?an ? 的公比 q 的值为( ) 1 1 A. B. 4 2 C.2 D.8 4.已知某等比数列的前 n 项和 S n = 4 n+a ,则 a 等 于( ) A.-4 B.-1 C.0 D.1 5.在等比数列 ?an ? 中, a2=9 , a5=243 ,则 ?an ? 的 前 4 项和为( ) A.81 B.120 C.168 D.192 6.设 S n 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和, 8a2+a5=0 ,则
S6 等于( S2

( ) A.65 B.-65 C.25 D.-25 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 1 1 1 1 1 11. + + + + =________. 3 15 35 63 99 12.等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 S1 ,2S 2 ,3S3 成等差数列,则 ?an ? 的公比 q =________.

1, 13.在等比数列 ?an ? 中,若前 n 项的和为 Sn=2n-
14.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n =1-5+9-13+17 -21+…+ (-1)n-1 (4n-3) ,则 S22-S11 = ________. 三、解答题(共 44 分) 15. (6 分) 在等比数列 ?an ? 中, S 3= 求 an . 13 364 , S 6= , 9 9
2 2 + +an 则 a12+a2 =________.

)

A.-11 B.-8 C.5 D.11 7.已知 ?an ? 是首项为 1 的等比数列, S n 是 ?an ? 的前

?1? n 项和,且 9S3=S6 ,则数列 ? ? 的前 5 项和为 ? an ? ( ) 15 31 A. 或 5 B. 或 5 8 16 31 15 C. D. 16 8 1 8.数列 ?an ? 的通项公式是 an= ,若前 n 项 n ? n ?1 和为 10,则项数 n =( ) A.11 B.99 C.120 D.121

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16.(7 分)已知 ?an ? 为等差数列,且 a3=-6,a6=0 . (1)求 ?an ? 的通项公式; (2)若等比数列 ?bn ? 满足 b1=-8 ,
b2=a1+a2+a3 ,求 ?bn ? 的前 n 项和.

18. (7 分)已知等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 设 bn=log3a1+log 3a2+ +log 3an , 求 数 列
2 =9a2 a6 . 2a1+3a2= 1 , a3

?1? ? ? 的前 n 项和. ? bn ?

1 17.(7 分)在数列 ?an ? 中, a1 = ,前 n 项和 S n 满足 3

?1? S n+1-S n = ? ? ?3?

n ?1

( n ? N* ) .

(1)求数列 ?an ? 的通项公式 a n 以及前 n 项和 S n ; (2) 若 S1 , t ( S1+S2 ),3( S2+S3 ) 成等差数列,求实数 t 的值.

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19.(8 分)已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且
S1 , S3 , S 2 成等差数列.

20. (9 分) 设数列 ?an ? 满足 a1+3a2+32 a3+ +3n-1an=

(1)求 ?an ? 的公比 q ; (2)若 a1-a3=3 ,求 S n .

n ( n ? N* ) . 3 (1)求数列 ?an ? 的通项公式 a n ;
(2)设 bn=

n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n . an

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一、选择题 题号 答案 二、填空题 11. 三、解答题 15. 12. 1

等比数列的前 n 项和(人教 A 版必修 5)答题纸
得分: 2 3 4 5 6 7 8 9 10

13.

14.

16.

17.

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18.

19.

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一、选择题 1.D

等比数列的前 n 项和(人教 A 版必修 5)答案

?a ? a q 3 ? 18, 1 ? 解析:由已知得 ? 1 1 2 解得 q =2 或 q = . 2 ? ?a1q ? a1q ? 12,

∵ q 为整数,∴ q =2.∴ a1=2 .∴ S 8 = 2.A 3.B 4.B

2(1 ? 28 ) 9 =2 -2=510. 1? 2
S4 1 ? q 4 ? ? 1 ? q2 ? 5 . S2 1 ? q 2

解析:∵ 8a2-a5=0 ,∴ 8a1q=a1q 4 ,∴ q3=8 ,∴ q=2 ,∴

5 5 1 1 10 , a1q3 (1+q 2 )= .两式相除,得 q 3 = ,∴ q = . 10,a4+a6 = ,得 a1 (1+q 2 )= 解析:由 a1+a3= 4 4 8 2 12,a3=S3-S2=48 . 解析:设等比数列为 ?an ? ,由已知得 a1=S1=4+a,a2=S2-S1=
a5 243 a 3(1 ? 34 ) = =27, q =3, a1= 2 =3, S4= =120. 9 a2 1? 3 q

2 =a1a3 ,即 144=(4+ a )×48,∴ a =-1. 又 a2

5.B 6.A 7.C

解析: q 3=

解析:设公比为 q ,依题意得 8a2+a2q3=0 .∵ a2 ? 0 ,∴ q =-2,∴ 解析:显然 q≠1,由题意知

S5 q 5 ? 1 (?2)5 ? 1 ? ? ? ?11 . S2 q 2 ? 1 (?2) 2 ? 1

?1? 1 9(1 ? q 3 ) 1 ? q 6 ? ,∴ 1+q3=9 ,∴ q =2,∴ ? ? 是首项为 1,公比为 的 2 1? q 1? q ? an ?
5

?1? 1? ? ? ? 2 ? = 31. 等比数列,其前 5 项和 T5= 16 1 1? 2 1 8.C 解析:∵ an= ? n ?1 ? n , n ? n ?1 ∴ S n =( 2-1)+( 3- 2)+…+ ( n ? 1 ? n ) = n ? 1 -1=10,解得 n =120.
9.C 1 4 1 1 1 a5 解析:由 = q 3= = 知 q = ,而新的数列 {an an+1} 仍为等比数列,且公比为 q 2 = . 2 8 2 4 a2

? ? 1 ?n ? 8 ?1 ? ? ? ? ? ?4? ? ? 32 又 a1a2 =4×2=8,故 a1a2+a2 a3+ +an an+1 = ? = (1- 4- n ). 3 1 1? 4 1 ,∴ a3= 1 .又∵ S3=13 ,∴ 公比 q ? 1 . 10.D 解析:∵ ?an ? 为正项等比数列, a2 a4=
由 S3= 1 a1 (1 ? q 3 ) ?1? ? 13 , a3=a1q 2= 1 ,解得 q= ,∴ an=a3 q n-3=? ? 3 1? q ?3?
n ?3

? 33? n ,∴ bn=log3an=3-n ,

10(b1 ? b10 ) 10 ? (?5) ∴ b1=2 , b10=-7 ,∴ S10= = =-25. 2 2 二、填空题 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11. 解析:∵ a1 = = , a2 = = , a3 = = , a4 = = , a5 = = , 11 3 1×3 15 3×5 35 5×7 63 7×9 99 9×11
1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 ? 1? 5 ∴ 原式= a1+a2+a3+a4+a5 = ??1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ?1 ? ? = . 2 ?? 3 ? ? 3 5 ? ? 5 7 ? ? 7 9 ? ? 9 11 ? ? 2 ? 11 ? 11 1 3a (1 ? q 3 ) 12. 解析:依题意 S1 ,2S 2 ,3S3 成等差数列,故 4S2=S1+3S3 ,当 q≠1 时, 4( a1+a1q )=a1+ 1 ,由 3 1? q

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1 a1 ? 0 ,得 3q 2-q=0 .又 q ? 0 ,故 q = ;当 q =1 时,不成立. 3 1 1,a2=S2-S1=3- 1=2 ,∴ q =2. 13. ( 4 n -1) 解析:∵ a1=S1= 3
2 } 也是等比数列,首项为 a12 =1,公比为 q 2 =4, 又∵ 数列 {an

1 ? 4n 1 n ? (4 ?1) . 1? 4 3 1)n-1 (4n-3) , 14.-65 解析:∵ Sn=-4-4-4+ +(-
2 2 + +an = ∴ a12+a2

1)10 (4 ?11-3)=21 ,∴ S22-S11=-65 . ∴ S22=-4 ?11=-44 , S11=-4 ? 5+(-
三、解答题 15.解:由题意知 S6 ? 2S3 ,则 q ? 1 .

? a1 (1 ? q 3 ) 13 ? ,① ? 13 364 9 ? 1? q 又 S3 = , S6 = ,∴ ? 6 9 9 ? a1 (1 ? q ) ? 364 .② ? 9 ? 1? q
1 ②÷①,得 1+ q 3 =28,∴ q =3, a1 = .因此 an=a1q n-1=3n-3 . 9 16.解:(1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d .

? a1 ? ?10, ?a1 ? 2d ? ?6, ∵ a3=-6,a6=0 ,∴ ? 解得 ? ? d ? 2. ?a1 ? 5d ? 0, 10+(n- 1) ? 2=2n- 12 . ∴ an=-

(2)设等比数列 ?bn ? 的公比为 q ,∵ b2=a1+a2+a3=-24 ,b1=-8,∴ -8q=-24 ,∴ q=3 , ∴

?bn ? 的前 n 项和 Sn=

b1 (1 ? q n ) ?8(1 ? 3n ) ? ? 4(1-3n ) . 1? q 1? 3
n ?1

?1? 17.解:(1)由 S n+1-S n=? ? ?3?

?1? ,得 an+1= ? ? ?3?

n ?1

1 ?1? (n ? N* ) .又 a1 = ,故 an= ? ? (n ? N* ) . 3 ?3?

n

n 1 ? ?1? ? ? ?1 ? ? ? ? n 3 ? ?3? ? ? 1 ? ?1? ? 从而 Sn= ? ? ?1 ? ? ? ? (n ? N* ) . 1 2? ? ?3? ? ? 1? 3 1 4 13 (2)由(1)可得 S1 = , S 2 = , S 3 = , 3 9 27 1 ? 4 13 ? ?1 4? 又由 S1 , t ( S1+S2 ),3( S2+S3 ) 成等差数列可得 +3× ? ? ? =2× ? ? ? t ,解得 t =2. 3 ? 9 27 ? ?3 9?

1 2 2 2 =9a2 a6 ,得 a3 =9a4 18.解:(1)设数列 ?an ? 的公比为 q ,由 a3 ,所以 q 2 = . 9 1 1 1 ,得 2a1+3a1q= 1 ,所以 a1 = . 由条件可知 q ? 0 ,故 q = .由 2a1+3a2= 3 3 1 故数列 ?an ? 的通项公式为 a n = n . 3 n(n ? 1) (2) bn=log3 a1+log3a2+ +log3an=-(1+2+ +n )=, 2 1 2 1 ? ?1 ? ?2 ? ? 故 ?? ?, bn n(n ? 1) ? n n ?1?

1 1 ? ? b1 b2

?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? ?2 ??1 ? ? ? ? ? ? ? bn ?? 2 ? ? 2 3 ?

1 ?? 2n ?1 ?? ? . ?? ? ? n ?1 ? n n ? 1 ??

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?1? 2n 所以数列 ? ? 的前 n 项和为 ? . b n ?1 ? n? 19.解:(1)依题意,得 a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q 2 ) ,∵ a1 ? 0 ,∴ 2q 2+q=0 .
1 又 q ? 0 ,∴ q =- . 2

? 1? (2)由已知,得 a1-a1 ? ? ? ? 3 ,∴ a1 =4, ? 2? n ? ? 1? ? 4 ?1 ? ? ? ? ? n ? ? 2? ? ? 8? ? 1? ? ∴ Sn= ? ? ?1 ? ? ? ? ? . 3? ? 1? ? ? 2? ? ? 1? ? ? ? ? 2? n 20.解:(1)∵ a1+3a2+32 a3+ +3n-1an= ,① 3 n ?1 ∴ 当 n ≥2 时, a1+3a2+32 a3+ +3n-2 an-1 = .② 3 1 1 ①-②,得 3n-1an = ,∴ an= n ( n ≥2). 3 3 1 1 又 a1 = 满足上式,∴ an= n (n ? N* ) . 3 3 n n (2)∵ bn= ,∴ bn=n ? 3 . an
∴ Sn=3+2 ? 32+3 ? 33+ +n ? 3n .③

2

1)3n+n ? 3n+1 .④ ∴ 3Sn=32+2 ? 33+ +(n-
③-④,得 -2Sn=3+32+33+ +3n-n ? 3n+1

3(1 ? 3n ) ? n ? 3n+1 1? 3 3 1)-n ? 3n+1 = (3n- 2 3n?1 3 = - -n ? 3n+1 , 2 2 3n?1 3 n ? 3n?1 (2n ?1)3n?1 3 ∴ Sn=- ,∴ Sn= ? ? ? ( n ? N* ) . 4 4 2 4 4 ?

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