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河北省石家庄市2011届高三数学第一次模拟考试 理


试卷类型:A

2011 石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷 市高中毕业班第一次模拟考试 2011 年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷 数 学( 理科)
说明: 1.本试卷共 4 页,包括三道大题,22 道小题,共 150 分.其中第一道大题为选择题. 2.所有答案请在答题卡上作答,在本试卷和草稿纸上作答无效.答题前请仔细阅读答题 卡上的“注意事项”,按照“注意事项”的规定答题. 3.做选择题时,如需改动,请用橡皮将原选答案擦干净,再选涂其他答案. 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率 是 p,那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 P n (k)=C n p k (1-p)
k n?k

(k=0,l,2,…,n)

球的表面积公式 S=4 π R 2 其中 R 表示球的半径 球的体积公式 V=

4 π R 3 其中 R 表示球的半径 3

一、选择题:本大题共 l2 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中。只有 一项是符合题目要求的. 1.已知 i 是虚数单位,复数 A.-1 B.1 C.i

1? i 的虚部为 1+ i
D.-i

2.若 A = {x ∈ R || x |< 2}, B = {x ∈ R | 3 x < 1}, 则 A ∩ B = A.(-2,2) B.(-2,-1) C.(0,2) D. (-2,0)

抛物线 y 2 =4x 的焦点坐标为 A.(2,0) B.(1,0) C.(0,-4) D. (-2,0) 3.右图中的小网格由等大的小正方形拼成,则向量 a ? b = A. e1 + 3e2 B. ? e1 ? 3e2 C. e1 ? 3e2 D. ? e1 + 3e2

4.已知 α ∈ (0, π ), 且 sin α + cos α =

2 ,则 sin α ? cos α 的值为 2
D.

A. ?

2

B. ?

6 2

C. 2

6 2

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-1-

5.已知椭圆

x2 y 2 + =1 的焦点分别是 F1 、 F2 , P 是椭圆上一点,若连结 F1 、 F2 、 P 三点 16 25

恰好能构成直角三角形,则点 P 到 y 轴的距离是 A.

16 5

B.3
10

C.

16 3

D.

25 3
10

2 6.若多项式 x = a 0 + a 1 (x-1)+ a 2 (x-1) +…+ a 10 (x-1) ,则 a 8 的值为

A.10

B.45

C.-9

D. -45
2 2

7.已知 a、b、c 成等差数列,则直线 ax ? by + c = 0 被曲线 x + y ? 2 x ? 2 y = 0 截得的弦 长的最小值为 A. 2 B. 1 C. 2 2 D.2

8.已知 α , β ∈ [ ? A. α 3 >

π π

, ], 且 α sin α ? β sin β > 0, 则下列结论正确的是 2 2
C. | α |<| β | D. | α |>| β |

β3

B. α + β > 0

?x ? y + 2 ≥ 0 ?4 x ? y ? 4 ≤ 0 ? 9.设 x,y 满足约束条件 ? ,若目标函数 z = ax + by ( a > 0, b > 0) 的最大值为 ?x ≥ 0 ?y ≥ 0 ? 1 2 6,则 log 3 ( + ) 的最小值为 A.1 B.3 C.2 D. 4 a b 10.对于非空数集 A,若实数 M 满足对任意的 a ∈ A 恒有 a ≤ M, 则 M 为 A 的上界;若 A 的所 ..
有上界中存在最小值,则称此最小值为 A 的上确界,那么下列函数的值域中具有上确界的是 .. ... ...

1 x D.y= ln x 2 π 11.在直三棱柱 ABC—A 1 B 1 C 1 中, ∠BAC = , AB = AC = AA1 = 1, D和F 分别为棱 AC、AB 2
A.y=

x+2

B.y= ? ( )

1 2

x

C.y=

上的动点(不包括端点) ,若 C1 F ⊥ B1 D, 则线段 DF 长度的取值范围为

A. [

2 3 , ] 2 2

B. [

3 ,1) 3

C. [

2 ,1 ) 2

D. [

2 2 , ] 3 2

12. 设函数 f ( x ) = ?

? x ? [ x], x ≥ 0 , 其中 [ x] 表示不超过 x 的最大整数, [?1,2] =-2,1.2] =1, 如 [ ? f ( x + 1), x < 0

[1] =1,若直线 y= kx + k (k > 0) 与函数 y= f ( x) 的图象恰有三个不同的交点,则 k 的取值范围


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-2-

A. ( , ]

1 1 4 3

B. (0, ]

1 4

C. [ , ]

1 1 4 3

D. [ , )

1 1 4 3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分;共 20 分. 13. 已知直线 l1 : ax + 2 y + 1 = 0 与直线 l2 : (3 ? a ) x ? y + a = 0 ,若 l1 ⊥ l2 ,则实数 a 的值 为 .

14.在三棱锥 P-ABC 中, ∠ABC = 90 ° , PB ⊥ 平面 ABC,AB=BC=2 2 ,PB=2,则点 B 到平面 PAC 的距离是 .

2 2 15.用直线 y=m 和直线 y=x 将区域 x +y ≤ 6 分成若干块。现在用 5 种不同的颜色给这若干

块染色,每块只染一种颜色,且任意两块不同色,若共有 120 种不同的染色方法,则实数 m 的取值范围是 . 16.已知 ? ABC 中,角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,且满足 5a = c + b ,BE 与 CF 分
2 2 2

别为边 AC、AB 上的中线,则 BE 与 CF 夹角的余弦值为 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文宇说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 l0 分) 在 ? ABC 中,角 A、B、C 的对边长分别是 a、b、c,若 b cos C + ( 2a + c ) cos B = 0. (I)求内角 B 的大小; (Ⅱ)若 b=2,求 ? ABC 面积的最大值.

如图所示,五面体 ABCDE 中,正 ? ABC 的边长为 1,AE ⊥ 平面 ABC,CD∥AE,且 CD= (I)设 CE 与平面 ABE 所成的角为 α ,AE= k ( k > 0), 若 α ∈ [

π π

1 AE. 2

, ], 求 k 的取值范围; 6 4

(Ⅱ)在(I)和条件下,当 k 取得最大值时,求平面 BDE 与平面 ABC 所成角的大小.

19.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) = ln x + x 2 ? ax( a ∈ R ). (I)求函数 f (x) 的单调区间.

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-3-

(II)若 f ( x) ≤ 2 x , 求 a 的取值范围.
2

20.(本小题满分 l2 分) 在“环境保护低碳生活知识竞赛”第一环节测试中,设有 A、B、C 三道必答题,分值依 次为 20 分、30 分、50 分.竞赛规定:若参赛选手连续两道题答题错误,则必答题总分记为 零分; 否则各题得分之和记为必答题总分已知某选手回答 A、 C 三道题正确的概率分别为 B、

1 、 2

1 1 、 ,且回答各题时相互之间没有影响 3 4
(I) 若此选手可以自由选择答题顺序,求其必答题总分为 50 分的概率; (Ⅱ) 若此选手按 A、B、C 的顺序答题,求其必答题总分 ξ 的分布列和数学期望.

21.(本小题满分 l2 分) 已知椭圆 x +
2

y2 = 1 的上、 下顶点分别为 A1和A2 , M ( x1 , y )和N (? x1 , y1 ) 是椭圆上两个不同 3

的动点. (I)求直线 A1M 与 A2 N 交点的轨迹 C 的方程;

?→ (Ⅱ)若过点 F(0,2)的动直线 z 与曲线 C 交于 A、B 两点, ??→ = λ ?FB , 问在 y 轴上 AF
是否存在定点 E,使得 ??→ ⊥ ( ?EA ?λ ?EB ) ?若存在,求出 E 点的坐标;若不存在, ?→ ?→ OF 说明理由.

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-4-

22.(本小题满分 l2 分) 已知数列 {a n } 中, a1 = 1, a n +1 = (1 + (I) (II)
*

1 1 )a n + n ?1 , n ∈ N * . 2 n 3
n

求证:当 n ≥ 2且n ∈ N 时,a
3 *

≥ 3;

求证: an < e , n ∈ N (e 为自然对数的底数,参考数据 ln 3 < 1.1, ln 4 < 1.4 ) .

2010-2011 年度石家庄市第一次模拟考试 理科数学答案
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分. (A 卷答案):1-5 ADCDA 6-10 BDDAB 11-12 CD (B 卷答案):1-5 BDCDB 6-10 ADDBA 11-12 CD 二、填空题: 本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分 13.1 或 2 14.

2

15.

(?

3, 3

)

16. 0

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分) 解: (I)解法一: ∵ b cos C + ( 2a + c ) cos B = 0 ,由正弦定理得:

sin B cos C + sin C cos B = ?2 sin A cos B ,
即 sin( B + C ) = ?2 sin A cos B .………………2 分 在 △ ABC 中, B + C = π ? A , ∴ sin A = ?2 sin A cos B , sin A ≠ 0 ………………3 分 ∴ cos B = ? 解法二: 因为 b cos C + ( 2a + c ) cos B = 0 ,由余弦定理 b 化简得 a + ac + c = b ,……………2 分
2 2 2

1 2π ,∴ B = .………………5 分 2 3 a2 + b2 ? c2 a 2 + c2 ? b2 + (2a + c) = 0, 2ab 2ac

又余弦定理 a + c ? 2ac cos B = b ,……………3 分
2 2 2

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-5-

所以 cos B = ? (II)解法一:

1 2 ,又 B ∈ (0, π) ,有 B = π .……………5 分 2 3
2 2

∵ b = a + c ? 2ac cos B ,∴ 4 = a + c + ac ,……………6 分
2 2 2

≥ 2ac + ac = 3ac . 4 ∴ ac ≤ ,………………8 分 3
∴ S ?ABC =

1 1 4 3 3 ac sin B ≤ × × = .………………9 分 2 2 3 2 3 2 3 时取得等号.……………………10 分 3

当且仅当 a = c = 解法二:

π 2 ? sin( ? A) b sin C 4 3 π c b 3 = = sin( ? A) .……………… 由正弦定理知: = ,c= 2π sin B 3 3 sin C sin B sin 3
6分 ∴ S △ ABC =

1 4 3 π π bc sin A = sin( ? A) sin A(0 < A < ) , 2 3 3 3 4 3 3 1 2 3 ( cos A ? sin A) sin A = 2 sin A cos A ? sin 2 A 3 2 2 3 3 3 3 cos 2 A ? (1 ? cos 2 A) = sin 2 A + 3 3 3

=

= sin 2 A ?

=
∵0 < A <

2 3 π 3 sin(2 A + ) ? ,………………8 分 3 6 3

π π π 5π ,∴ < 2 A + < , 3 6 6 6 π π ∴ sin( 2 A + ) ≤ sin = 1 ,………………9 分 6 2


2 3 π 3 3 sin(2 A + ) ? ≤ , 3 6 3 3 3 .………………10 分 3

即 △ ABC 的面积 S △ ABC 的最大值是

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-6-

18.(本小题满分 12 分) 解:方法一: EM ,由 ?ABC (Ⅰ) AB 中点 M ,连结 CM 、 取 为正三角形, CM ⊥ AB , AE ⊥ 面ABC , 得 又 则 AE ⊥ CM , 可 知 CM ⊥ 面ABE , 所 以

∠MEC 为 CE 与平面 ABE 所成角. ……………
2分

3 CM π π 3 tanα = = 2 , … … … … … … 4 分 因 为 α ∈ [ , ] , 得 tan α ∈ [ ,1] , 得 EM 6 4 3 1 2 +k 4
2 ≤ k ≤ 2 .……………6 分 2
(Ⅱ)延长 AC、ED 交于点S,连 BS , 可知平面 BDE ∩ 平面 ABC = BS .………………………7 分 由 CD / / AE ,且 CD =

1 AE ,又因为 AC = CS = BC =1,从而 AB ⊥ BS ,………………… 2

8分 又 AE ⊥ 面 ABC ,由三垂线定理可知 BE ⊥ BS ,即 ∠EBA 为平面 BDE 与平面 ABC 所成的 角;……………………10 分 则 tan ∠EBA =

AE = 2, AB

从而平面 BDE 与面 ABC 所成的角的大小为 arc tan 2 .………………12 分 方法二: 解: (Ⅰ)如图以 C 为坐标原点,CA、CD 为 y、z 轴, 垂直于 CA、CD 的直线 CT 为 x 轴,建立空间直 角坐标系(如图) ,则 设 A(0,1, 0) , D (0, 0, ) , E (0,1, k ) ,

k 2

B(

3 1 , , 0) .……………2 分 2 2 3 3 , , 0) , 4 4
一 个 法 向 量 为

取 AB 的中点 M,则 M (





,ABE



CM = (

3 3 , , 0) 4 4







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-7-

sin α =

CE ? CM | CE |? | CM |

=

3 4 3 9 + 1+ k2 ? 16 16

=

3 2 1+ k
2

.………………4 分

由 α ∈ [ , ] ,则

π π 6 4

3 2 1 ≤ sin α = ≤ , 2 2 2 2 1+ k



2 ≤ k ≤ 2 .…………………6 分 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 k 最大值为 2 ,则当 k =

2 时,设平面 BDE 法向量为 n = ( x, y,z) ,则

? 2 z = 0, ?n ? DE = y + ? 2 ? ?n ? BE = 3 x + y + 2 z = 0. ? ? 2 2 2
,………………8 分 取 n = (- 3, -1, 2) 又平面 ABC 法向量为 m = (0, 0,1) ,……………………10 分

所以 cos( n, m ) =

2 2 + 3 +1

=

3 , 3 3 . ……………………12 分 3

所以平面 BDE 与平面 ABC 所成角大小 arccos 19.(本小题满分 12 分)

解:(Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 (0, +∞ ) .…………………1 分

f ′( x) =

1 2 x 2 ? ax + 1 + x2 ? a = ( x > 0 ) g ( x) = 2 x 2 ? ax + 1 , 设 只需讨论 g ( x) 在 (0, +∞ ) x x

上的符号.…………………2 分 (1) 若

a ≤ 0 , a ≤ 0 , g ( x) 过定点 (0,1) , g ( x) 在 (0, +∞ ) 上恒正, f ′( x) > 0 ,f ( x) 即 由 知 故 4 在(0,+ ∞ )上为增函数.…………………3 分
(2)若

a 2 > 0 ,当 a 2 ? 8 ≤ 0 时,即 0 < a ≤ 2 2 时,知 g ( x) ≥ 0 (当 x = 时,取“=”, ) 4 2

故 f ′( x) ≥ 0 , f ( x) 在(0,+ ∞ )上为增函数;……………………4 分

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-8-

a ± a2 ? 8 当 a ? 8 > 0 时,由 2 x ? ax + 1 = 0, 得 x = , 4
2

2

当0 < x <

a ? a2 ? 8 a + a2 ? 8 或x > 时, g ′( x) > 0 ,即 f ′( x) > 0 , 4 4



a ? a2 ? 8 a + a2 ? 8 <x< 时, g ′( x) < 0 ,即 f ′( x) < 0 . 4 4 a ? a2 ? 8 a + a2 ? 8 a ? a2 ? 8 , ) 上为减函数,在 (0, ), 4 4 4

则 f ( x) 在 (

a + a2 ? 8 ( , +∞) 上为增函数.………………5 分 4
综上可得:当 a ≤ 2 2 时,函数 f ( x) 的单调增区间(0,+ ∞ ); 的单调增区间为 (0, 当 a > 2 2 时,函数 f ( x)

a ? a2 ? 8 a + a2 ? 8 ),( , +∞) ; 4 4

a ? a2 ? 8 a + a2 ? 8 函数 f ( x) 的单调减区间为 ( , ) .…………………6 分 4 4
( Ⅱ ) 由 条 件 可 得 ln x ? x 2 ? ax ≤ (x > 0) , 则 当 x > 0 时 , a ≥ 0 立,………………8 分 令 h( x) =

ln x ?x 恒成 x

ln x 1 ? x 2 ? ln x ? x( x > 0) ,则 h ′( x) = , …………………9 分 x x

方法一:令 k ( x ) = 1 ? x 2 ? ln x ( x > 0) , 则当 x > 0 时, k ′( x ) = ?2 x ? 又 h ′(1) = 0 , 所以在(0,1)上, h ′( x ) > 0 ;在(1,+ ∞ )上, h ′( x ) < 0 .………10 分 所以 h( x ) 在(0,1)上为增函数;在(1,+ ∞ )上为减函数. 所以 h( x ) max = h(1) = ?1 ,所以 a ≥ ?1. ……………12 分 方法二:当 0 < x < 1 时, 1 ? x 2 > 0, ? ln x > 0, h ′( x ) > 0 ;
2 当 x > 1 时, 1 ? x < 0, ? ln x < 0, h ′( x ) < 0 .……………10 分

1 < 0 ,所以 k ( x) 在(0,+ ∞ )上为减函数. x

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-9-

所以 h( x ) 在(0,1)上为增函数;在(1,+ ∞ )上为减函数. 所以 h( x) max = h(1) = ?1 ,所以 a ≥ ?1. ………………12 分 20.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)记总分得 50 分为事件 D,记 A,B 答对,C 答错为事件 D1,记 A,B 答错,C 答对为 事件 D2,则 D=D1+D2,且 D1,D2 互斥.……………1 分 又 P ( D1 ) =

1 1 1 1 × × (1 ? ) = ,………………3 分 2 3 4 8

P ( D2 ) =

1 1 1 A2 1 × (1 ? ) × × 2 = .…………………5 分 3 2 3 4 A3 36 1 1 11 + = . 8 36 72 11 .……………6 分 72

所以 P ( D ) = P ( D1 + D2 ) = P ( D1 ) + P ( D2 ) =

所以此选手可自由选择答题顺序,必答题总分为 50 分的概率为 (Ⅱ) ξ 可能的取值是 100 , , 70 , 50 , 30 , 0 .……………7 分 80

ξ = 100 表示 A,B,C 三题均答对,
1 1 1 1 × × = ,……………8 分 2 3 4 24 1 1 1 1 同理, P (ξ = 80) = (1 ? ) × × = , 2 3 4 24 1 1 1 1 1 1 1 1 P (ξ = 70) = × (1 ? ) × = , P (ξ = 50) = × × (1 ? ) = , 2 3 4 12 2 3 4 8 1 1 1 1 P (ξ = 30) = (1 ? ) × × (1 ? ) = , 2 3 4 8 1 1 1 1 1 7 P (ξ = 0) = × (1 ? ) × (1 ? ) + (1 ? ) × (1 ? ) = , 2 3 4 2 3 12
则 P (ξ = 100) = 所以, ξ 的分布列为

ξ
P

100

80

70

50

30

0

1 24

1 24

1 12

1 8

1 8

7 12

……………10 分 所以 ξ 的数学期望

Eξ = 100 ×

1 1 1 1 1 70 + 80 × + 70 × + 50 × + 30 × = .……………12 分 24 24 12 8 8 3

21.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)方法一:设直线 A1 M 与 A2 N 的交点为 P ( x, y ) ,

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- 10 -

∵ A,A2 是椭圆 x + 1
2

y2 = 1 的上、下顶点, 3

∴ A1 (0,3),A2 (0,- 3) …………………1 分

A1 M :y ? 3 =

y1 ? 3 y + 3 x , A2 N:y + 3 = 1 x, x1 ? x1 y12 ? 3 2 x .………………………3 分 ? x12
2

两式相乘得 y ? 3 =
2

而 M ( x1 , y1 ) 在椭圆 x +

y2 = 1 ( x1 ≠ 0 )上, 3

y12 ? 3 y12 = 1 ,即 = 3 ,所以 y 2 ? 3 = 3 x 2 .……………4 分 所以 x + 2 3 ? x1
2 1

又当 x = 0 时,不合题意,去掉顶点.

y2 ∴直线 A1 M 与 A2 N 的交点的轨迹 C 的方程是 ? x 2 = 1( x ≠ 0) ;……………5 分 3
方法二:设直线 A1 M 与 A2 N 的交点为 P ( x, y ) , ∵ A,A2 是椭圆 x + 1
2

y2 = 1 的上、下顶点, 3

∴ A1 (0,3),A2 (0,- 3) …………………1 分 ∵ A1、M、P 共线, A2、N、P 共线, ∴

y1 ? 3 y ? 3 = …………① x1 x

y1 + 3 y + 3 = …………②…………………3 分 ? x1 x

2 y12 ? 3 y ? 3 ① × ②得 = , ? x12 x2

又∵ x1 +
2

y12 y2 ? 3 = 1即 1 2 = 3 , 3 ? x1



y2 ? 3 x2

= 3 ,即

y2 ? x 2 = 1( x ≠ 0) , 3

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- 11 -

∴直线 A1 M 与 A2 N 的交点的轨迹 C 的方程是

y2 ? x 2 = 1 ; x ≠ 0 )……………5 分 ( 3

(Ⅱ)假设存在满足条件的直线,由已知,其斜率一定存在,设其斜率为 k , 设 A( x1,y1 ) , B ( x2,y 2 ) , E (0,y 0 ) ,

? y = kx + 2, ? 2 2 2 由 ? y2 得 ( k ? 3) x + 4kx + 1 = 0( k ≠ 3) , 2 ? ? x = 1. ?3
x1 + x2 = ? 4k 1 .…………………6 分 ,x1 x2 = 2 2 k ?3 k ?3

AF = (? x1,? y1 ), = ( x2,y2 ? 2) , 2 FB
∵ AF = λ FB ,∴ ? x1 = λx2 , ∵ x2 ≠ 0 ,∴ λ = ?

x1 , x2

∵ OF = (0,, = (x1,y1 ? y0 ) , EB = ( x2,y2 ? y0 ) , 2) EA

EA ? λ EB = ( x1 ? λ x2,y1 ? y0 ? λ y2 + λ y0 ), ,
又∵ OF ⊥ ( EA ? λ EB ) ,∴ OF ? ( EA ? λ EB ) = 0 ,

+ ( ∴ 0 × ( x1 ? λx 2) 2 × y1 ? y 0 ? λ y 2 + λ y 0 ) = 0 ,
即 y1 ? y 0 ? λ y 2 + λy 0 = 0 .………………………8 分 将 y1 = kx1 + 2 , y2 = kx2 + 2 , λ = ?

x1 代入上式并整理得 x2

2kx1 x2 + 2( x1 + x2 ) = ( x1 + x2 ) y 0 ,…………………9 分 2k 2kx1 x2 3 +2 = k ?3 +2 = , 当 x1 + x2 ≠ 0 时, y 0 = ? 4k x1 + x2 2 2 k ?3
2

当 x1 + x2 = 0 时, k = 0 , 2kx1 x 2 + 2( x1 + x 2 ) = ( x1 + x2 ) y 0 恒成立, …………………11 分 所以, 在 y 轴上存在定点 E ,使得 OF ⊥ ( EA ? λ EB ) ,点 E 的坐标为 (0, ) .………12 分

3 2

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- 12 -

22.(本小题满分 12 分) (I)证明:方法一: ∵ a1 = 1 > 0 ,由 a n +1 = (1 +

1 1 )a n + n?1 得 a 2 > 0 , 2 n 3

于是易得 a n > 0 .………………2 分 又 an +1 ? an =

an 1 + n ?1 > 0(n ∈ N* ) ,即 an +1 > an (n ∈ N* ) 2 n 3

又∵ a 2 = 3 ,∴ a n ≥ a 2 = 3 ( n ≥ 2 ).…………………4 分 方法二:数学归纳法 (1)当 n = 2 时, a n = a 2 = 3 ≥ 3 ,命题成立.………………1 分 (2)假设当 n = k ( n ≥ 2 )时命题成立,即 a k ≥ 3 , 当 n = k + 1 时,

a k +1 = (1 +

a 1 1 1 )a k + k ?1 = a k + k + k ?1 > a k ≥ 3 2 2 k 3 k 3

∴ n = k + 1 时命题成立.………………3 分 由(1) (2)可知,当 n ≥ 2 时, a n ≥ 3 .…………………4 分 (II)证明:由(I)知

a 1 1 1 1 1 )a n + n?1 ≤ (1 + 2 )an + nn1 = (1 + 2 + n ?1 )an ,……………5 分 ? 2 n 3 n 3 n 3 1 1 两边取自然对数得: ln a n +1 ≤ ln a n + ln(1 + 2 + n ?1 ) .………………6 分 n 3 a n+1 = (1 +
令 f ( x ) = ln(1 + x ) ? x ( x ≥ 0) , 则当 x > 0 时, f ′( x ) =

1 ?x ?1 = < 0 恒成立, 1+ x 1+ x

∴ f (x ) 为 [0, ∞) 上的减函数,∴ f ( x ) ≤ f (0) = 0 + ∴ ln(1 + x ) < x 在 x > 0 时恒成立,………………7 分

ln an +1 < ln an +

1 1 1 1 1 1 1 + n ?1 < ln an + + n ?1 = ln a n + ? + n ?1 2 n(n ? 1) 3 n ?1 n 3 n 3 1 1 1 ? + n?1 ( n ≥ 2 ) ,………………9 分 n ?1 n 3 1 1 1 < ? + n ?2 , n ? 2 n ?1 3

即 ln a n +1 ? ln a n < 故, ln a n ? ln a n ?1

用心

爱心

专心

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1 1 1 ? + n ?3 , …………………………… n?3 n?2 3 1 1 ln a 3 ? ln a 2 < 1 ? + ,以上各式相加得: 2 3 1 1 [1 ? ( ) n ? 2 ] 1 1 3 3 ln an ? ln a2 < 1 ? +3 < 1 + = , n ≥ 3 )…………10 分 ( 1 n ?1 2 2 1? 3 3 3 又∵ a 2 = 3 ,∴ ln a n < + ln 3 < 3 ,∴ a n < e ( n ≥ 3 ) ,………………11 分 2 ln a n ?1 ? ln a n ? 2 <
ww ww ww ww

又∵ a1 = 1 < e , a 2 = 3 < e ,
3 3

∴ a n < e ( n ∈ N ).…………………12 分
3
*

用心

爱心

专心

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