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函数与导数专题复习(家教解析)


函数与导数专题复习
类型一 导数的定义 运算及几何意义

例 1:已知函数 f ( x) 的导函数为 f ' ( x) ,且满足 f ( x) ? 2 xf ' (1) ? ln x ,则 f ' (1) ? ( ) A.-e
'

B.-1
'

C

.1

D.e

解: f ( x) ? 2 f (1) ?

1 , f ' (1) ? 2 f ' (1) ? 1? f ' (1) ? ?1 x

【评析与探究】求值常用方程思想,利用求导寻求 f ' ( x) 的方程是求解本题的关键。 变式训练 1 曲线 y ? x 3 ? x ? 3 在点(1,3)处的切线方程为

类型二 利用导数求解函数的单调性 例 2: f ( x) ? 么?
' 2 解: f ( x) ? x ? 2bx ? c, 当 ? ? 4b ? 4c ? 0 时,
2

1 3 x ? bx 2 ? cx ? d 何时有两个极值,何时无极值? f ( x) 恒增的条件是什 3

即 b ? c 时, f ' ( x) ? 0 有两个异根 x1, x2 ,由 y ? f ' ( x) 的图像知,在 x1, x2 的左右两侧
2

f ' ( x) 异号,故 x1, x2 是极值点,此时 f ( x) 有两个极值。
' ' ' 当 b ? c 时, f ( x) ? 0 有实数根 x0 ,由 y ? f ( x) 的图像知,在 x0 左右两侧 f ( x) 同号,
2

故 x0 不是 f ( x) 的极值点
' 当 b ? c 时, f ( x) ? 0 无根,当然无极值点
2

综上所述,当时 b ? c , f ( x) 恒增。
2

【评析与探究】①此题恒增条件 b ? c 易掉“=”号,② b ? c 时,根 x0 不是极值点也易
2 2

错。
3 2 变式训练 2 已知函数 f ( x) ? x ? ax, g ( x) ? 2x ? b , 它们的图像在 x ? 1 处有相同的切线

⑴求函数 f ( x) 和 g ( x) 的解析式;
1

⑵如果 F ( x) ? f ( x) ? m g( x) 在区间 ? ,3? 上是单调增函数,求实数 m 的取值范围 2

?1 ? ? ?

解:(1)f′(x)=3x2+a,g′(x)=4x,由已知条件可知

∴f(x)=x3+x,g(x)=2x2.

(2)F(x)=f(x)-mg(x)=x3+x-2mx2

F′(x)=3x2-4mx+1,F(x)在区间[

,3]上为单调增函数的充要条件是恒有 F′(x)≥0.

若 F(x)在区间[

,3]上为增函数,则需 F′(x)≥0,即 3x2-4mx+1≥0

m≤

.

要使上式恒成立只需 m 不大于

的最小值.

令 h(x)=

,x∈[

,3],则 h(x)在区间[

,3]上最小值是 h(

)=

,

因此,实数 m 的取值范围是 m≤
类型三 函数的极值与最值问题

.

例 3 已知 f ( x) ? x ln x ? ax, g ( x) ? ? x 2 ? 2 ⑴对一切 x ? ?0,???, f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; ⑵当 a ? ?1 时,求函数 f ( x) 在 ?m, m ? 3?(m ? 0) 上的最值; 解:对一切 x ? ?0,???, f ( x) ? g ( x) 恒成立,即 x ln x ? ax ? ? x ? 2 恒成立。
2

2 在恒成立 x 2 令 F ( x ) ? ln x ? x ? x 1 2 ( x ? 2)( x ? 1) ' 则 F ( x) ? ? 1 ? 2 ? x x x2
也就是 a ? ln x ? x ?

2

在(0,1)上, F ' ( x) <0,在(1, ? ? )上 F ' ( x) >0,因此, F ( x) 在 x ? 1 处取最小值,也 就是最小值,即 F ( x) min ? F (1) ? 3 ,所以 a ? 3
' ⑵当 a ? ?1 时, f ( x) ? x ln x ? x, f ' ( x) ? ln x ? 2 ,由 f ( x) ? 0得x ?

1 e2

①当 0 ? m ?

1 ? 1 时,在 x ? ?m, 2 2 e ? e

? ?1 ? ' ' ? 上, f ( x) ? 0 ,在 x ? ? 2 , m ? 3? 上, f ( x) ? 0 , ?e ? ?

因此, f ( x) 在 x ?

1 1 处取得极小值,也是最小值, f ( x ) min ? ? 2 2 e e

由于 f (m) ? 0, f (m ? 3) ? (m ? 3)?ln(m ? 3) ? 1? ? 0 因此 f ( x) max ? f (m ? 3) ? (m ? 3)?ln(m ? 3) ? 1? ② 当 m?

1 ' 时 , f ( x) ? 0 , 因 此 f ( x) 在 ?m, m ? 3? 上 单 调 递 增 , 所 以 2 e

f ( x) min ? f (m) ? m?ln m ? 1? , f ( x) max ? f (m ? 3) ? (m ? 3)?ln(m ? 3) ? 1?
【 评 析 与 探 究 】 ① f ( x) ? g ( x) 恒 成 立 , 求 实 数 a 的 取 值 范 围 常 用 分 离 常 数 法 化 为

a ? h( x) min ,当不能分离常数时需视情况讨论;②区间含参数而函数不含参数讨论最值时,
最好作出其图像,从左自右地移动区间,观察函数图像的变化,然后求解,这样对区间参数 的讨论就会直观明了. 变式训练 3 已知函数 f ( x) ? ax ? 1(a ? 0), g ( x) ? x ? bx
2 3

⑴若曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 在他们的交点(1,c)处具有公共切线,求 a , b 的值 ⑵当 a ? 3, b ? ?9 时,若函数 f ( x) + g ( x) 在区间 ?k ,2? 上的最大值为 28,求 k 的取值范围
解: (1) ,又在(1,c)处有公共切线

所以

,所以解得

解: (2)





时:

,在[k,2]上最大值为 28 符合条件



时:

,在[k,2]上最大值不是 28 不符合



时:

,在[k,2]上最大值不是 28 不符合条件

综上:

的取值范围是

3

类型四 导数与方程不等式问题 例 4 设函数 f ( x) ? (1 ? x) 2 ? 2 ln( 1 ? x) ⑴若在定义域内存在 x0 ,使得不等式 f ( x0 ) ? m ? 0 能成立,求实数 m 的最小值 ⑵若函数 g ( x) ? f ( x) ? x 2 ? x ? a 在区间 ?0,2? 上恰有两个不同的零点,求实数 a 的取值范 围 解 : ⑴ 要 使 得 不 等 式 f ( x0 ) ? m ? 0 能 成 立 , 只 需 m ? f ( x) min , 求 导 得

f ' ( x) ? 2(1 ? x) ? 2

1 2 x( x ? 2) ? 1? x x ?1

? 函数的定义域为 (?1,??)
当 x ? (?1,0) 时, f ' ( x) ? 0 ,所以函数在区间 (?1,0) 上是减函数 当 x ? (0,??) 时, f ' ( x) ? 0 ,所以函数在区间 (0,??) 上是增函数

? f ( x) min ? f (0) ? 1,? m ? 1,所以最小值为 1
1 ? x) ? a 在 ⑵ g ( x) ? (1 ? x) 2 ? 2 ln( 由题设可得: 方程 (1 ? x) ? 2 ln( 1 ? x) ? ( x 2 ? x ? a) , 1 ? x) 区间 ?0,2? 上恰好有两个相异实根。设 h( x) ? (1 ? x) ? 2 ln(
画出函数 h( x) 的草图得 2 ? 2 ln 2 ? a ? 3 ? 2 ln 3 【评析与探究】利用导数作出函数的草图,有助于求解函数的零点问题 变式训练 4 已知函数 f ( x) ? x ,函数 g ( x) ? ?f ( x) ? sin x 是区间 ?? 1,1? 上的减函数 ⑴求 ? 的最大值 ⑵若 g ( x) ? t ? t? ? 1在 x ? ?? 1,1? 上恒成立,求 t 的取值范围
2

⑶讨论关于 x 的方程

ln x ? x 2 ? 2ex ? m 根的个数 f ( x)

解: (Ⅰ)f(x)=x,∴g(x)=λ x+sinx, ∵g(x)在[-1,1]上单调递减, ∴g′(x)=λ +cosx≤0,∴λ ≤-cosx 在[-1,1]上恒成立, ∴λ ≤-1,故λ 的最大值为-1。

(Ⅱ)由题意,得

∴只需



(其中λ ≤-1)恒成立,

4









∴ ∴t<-1。

,而

恒成立,

(Ⅲ)由









时,

,∴



上为增函数;



时,

,∴



上为减函数;

当 x=e 时,

,而

∴当

,即

时,方程无解;



,即

时,方程有一个根;



,即

时,方程有两个根。

类型五 优化问题 例 5 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y (单位:千克)与销售价格 x (单位:元)满足关系式 y ?

a ? 10( x ? 6) 2 ,其中 3 ? x ? 6 , a 为常数。已知销售价 x?3

格为 5 元,每日可销售出该商品 11 千克。 ⑴求 a 的值 ⑵若该商品的成本为 3 元,试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品利润最大 解:⑴因为 x ? 5 时, y ? 11,所以

a ? 10 ? 11, a ? 2 2

5

⑵由⑴可知,商场每日销售量 y ? 利润 f ( x) ? ( x ? 3)?

2 ? 10( x ? 6) 2 ,所以商场每日销售该商品所获得的 x?3

从而 f ' ( x) ? 10 ( x ? 6) 2 ? 2( x ? 3)(x ? 6) ? 30( x ? 4)(x ? 6) 得, x ? 4 是函数 f ( x) 在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值,所以当 x ? 4 时,函 数 f ( x) 取得最大值,且最大值等于 42 【评析与探究】 求解优化问题的关键在于从实际情境中收集整理信息, 利用相关知识建立目 标函数,抽象出函数表达式然后再用导数求解。 变式训练 5 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得 10 万元-1000 万元的 投资收益,现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金 y (单位:万元)随投资收益 x (单位:万元)的增加而增加,且奖金不超过 9 万元,同时奖金不超过投资收益的 20% ⑴若建立函数 f ( x) 模型制定奖励方案,试用数学语言表述公司对奖励函数 f ( x) 模型的基 本要求 ⑵现有两个奖励函数模型 ①y?

?

2 ? 10( x ? 6) 2 x?3

? ? 2 ? 10( x ? 3)( x ? 6) 2 (3 ? x ? 6)

?

x ?2 150

② y ? 4 lg x ? 3 试分析这两个函数模型是否符合公司要求?

强化闯关
' 1.设 f ( x) 在区间 ?? ?,??? 上可导,其导函数为 f ( x) ,给出下列四组条件 ' ①p: f ( x) 是奇函数,q: f ( x) 是偶函数 ' ②p: f ( x) 是以 T 为周期的函数,q: f ( x) 是以 T 为周期的函数 ' ③p: f ( x) 在 ?? ?,??? 上为增函数,q: f ( x) ? 0 在 ?? ?,??? 上恒成立

6

④p: f ( x) 在 x0 处取得极值,q : f ' ( x0 ) ? 0 其中 p 是 q 的充分条件的是 A①②③ B①②④ C①③④ D②③④

2. 已知定义在 R 上的奇函数为 f ( x) ,设其导函数为 f ' ( x) ,当 x ? ?? ?,0? 时,恒有

xf ' ( x) ? f (? x) ,令 F ( x) ? xf ( x) ,则满足 F (3) ? F (2 x ? 1) 的实数 x 的取值范围是
A ?? 1,2? B ? ? 1, ?

? ?

1? 2?

C ? ,2 ?

?1 ?2

? ?

D ?? 2,1?

3.设函数 f ( x) ? xe x ,则 A x ? 1 为 f ( x) 的极大值点 C x ? ?1 为 f ( x) 的极大值点 4.已知函数 f ( x) ? B x ? 1 为 f ( x) 的极小值点 D x ? ?1 为 f ( x) 的极小值点

1 2 x ? (a ? 3) x ? ln x 时其定义域上的单调函数,则实数 a 的取值范围 2

5.直线 y ? kx ? b 与曲线 y ? ax2 ? 2 ? ln x 相切于点 p(1,4) ,则 b 的值为 6.设 x1, x2 ( x1, ? x2 ) 是函数 f ( x) ? ax ? bx ? a x 的两个极值点,若 x1 ? x2 ? 2 2 ,
3 2 2

则 b 的最大值为 7.已知函数 f ( x ) ? ⑴求 k 的值 ⑵求 f ( x) 的单调区间
2 ' ' ⑶ 设 g ( x) ? ( x ? x) f ( x) , 其 中 f ( x) 为 f ( x) 的 导 函 数 , 证 明 : 对 任 意

ln x ? k (k 为常数) ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与 x 轴平行 ex

x ? 0, g ( x) ? 1 ? e ?2

7

8.设函数 f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? ax , g ( x) ? 2 x 2 ? 4 x ? c 3

⑴试问函数 f ( x) 能否在 x ? ?1 时取得极值?说明理由; ⑵若 a ? ?1 ,当 x ? ?? 3,4? 时,函数 f ( x) 与 g ( x) 的图像有两个公共点,求 c 的取值范围

8


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