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第三章 空间向量与立体几何 导学案


§3.1.1 空间向量及其运算
学习目标
1. 理解空间向量的概念,掌握其表示方法; 2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及 它们的运算律; 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立 体几何中的问题.

OB ?



AB ?



试试

:1.

分别用平行四边形法则和三角形法则求

a ? b, a ? b.

a

b

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P84~ P86,找出疑惑之处) 复习 1:平面向量基本概念: 具有 和 的量叫向量, 叫向量的 模(或长度) ; 叫零向量,记 着 ; 叫单位向量. 叫相反向量, a 的相反向量记着 . 叫 相 等 向 量 . 向 量 的 表 示 方 法 有 , , 和 共三种方法. 复习 2:平面向量有加减以及数乘向量运算: 1. 向 量 的 加 法 和 减 法 的 运 算 法 则 有 法则 和 法则. 2. 实数与向量的积: 实数 λ 与向量 a 的积是一个 量,记作 ,其长 度和方向规定如下: (1)|λa|= . (2)当 λ>0 时,λa 与 A. ; 当 λ<0 时,λa 与 A. ; 当 λ=0 时,λa= . 3. 向量加法和数乘向量,以下运算律成立吗? 加法交换律:a+b=b+a 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 数乘分配律:λ(a+b)=λa+λb

2. 点 C 在线段 AB 上,且
AC ?
AB ,

AC 5 ? ,则 CB 2 AB . BC ?

反思:空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗? ⑴加法交换律:A. + B. = B. + a; ⑵加法结合律:(A. + b) + C. =A. + (B. + c); ⑶数乘分配律:λ(A. + b) =λA. +λb.

※ 典型例题 例 1 已知平行六面体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' (如图) , 化简下列向量表达式,并标出化简结果的向量: ⑴AB ? BC ;
⑵ AB ? AD ? AA '; 1 ⑶ AB ? AD ? CC ' 2 1 ⑷ ( AB ? AD ? AA ' ). 2

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:空间向量的相关概念 问题: 什么叫空间向量?空间向量中有零向量,单 位向量,相等向量吗?空间向量如何表示? 新知:空间向量的加法和减法运算:

' 变式 :在上图中,用 AB, AD, AA' 表示 AC , BD' 和

DB ' .

小结:空间向量加法的运算要注意:首尾相接的若 干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量 的终点的向量,求空间若干向量之和时,可通过平 移使它们转化为首尾相接的向量. 例 2 化简下列各式: ⑴ AB ? BC ? CA ; ⑵ AB ? MB ? BO ? OM ; ⑷ OA ? OD ? DC . ⑶ AB ? AC ? BD ? CD;

空间任意两个向量都可以平移到同一平面内,变为 两个平面向量的加法和减法运算,例如右图中,
1

变式:化简下列各式: ⑸ OA ? OC ? BO ? CO ; ⑹ AB ? AD ? DC ; ⑺ NQ ? QP ? MN ? MP .

2.

D. 在四边形 ABCD 中,一定有 AB ? AD ? AC . 长 方 体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中 , 化 简

A A '?

'

' ' A ? B = A' D

3. 已知向量 a ,b 是两个非零向量,a0 , b0 是与 a ,b 同方向的单位向量,那么下列各式正确的是( ) A. a0 ? b0 C. a0 ? 1 B. a0 ? b0 或 a0 ? ?b0 D. ∣ a0 ∣=∣ b 0 ∣

小结:化简向量表达式主要是利用平行四边形法则 或三角形法则,遇到减法既可转化成加法,也可按 减法法则进行运算,加法和减法可以转化.

※ 动手试试 练 1. 已 知 平 行 六 面 体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' , M 为 A 1 C 1 与 B 1 D 1 的交点,化简下列表达式:
⑴ AA1 ? A1B1 ; 1 1 ⑵ A1 B1 ? A1D1 ; 2 2 1 1 ⑶ AA1 ? A1 B1 ? A1D1 2 2 ⑷ AB ? BC ? CC1 ? C1 A1 ? A1 A .

4. 在四边形 ABCD 中,若 AC ? AB ? AD ,则四边形 是( ) A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形 5. 下列说法正确的是( ) A. 零向量没有方向 B. 空间向量不可以平行移动 C. 如果两个向量不相同,那么它们的长度不相等 D. 同向且等长的有向线段表示同一向量

课后作业
1. 在三棱柱 ABC-A'B'C'中,M,N 分别为 BC,B'C'的 中点,化简下列式子:
⑴ AM + BN ⑵ A ' N - MC + BB
'
'

2. 如图,平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 M 为

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 空间向量基本概念; 2. 空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律 ※ 知识拓展 平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的 平移,而空间向量研究的是空间的平移,它们的共 同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相 同的长度” ,空间的平移包含平面的平移.

AC 与的 BD 的交点, AB ? a , AD ? b , A1 A ? c ,

则下列向量中与 B1M 相等的是( ) 1 1 A. ? a ? b ? c 2 2 1 1 B. a? b?c 2 2 1 1 C. a? b?c 2 2 1 1 D. ? a ? b ? c 2 2

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
).

§3.1.2 空间向量的数乘运算(一)
学习目标
1. 掌握空间向量的数乘运算律,能进行简单的代数 式化简; 2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推 论; 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立
2

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 下列说法中正确的是( ) A. 若∣ a ∣=∣ b ∣,则 a , b 的长度相同,方向 相反或相同; B. 若 a 与 b 是相反向量,则∣ a ∣=∣ b ∣; C. 空间向量的减法满足结合律;

体几何中的问题.

的 b ? 0 ,注意零向量与任何向量共线.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P86~ P87,找出疑惑之处) 复习 1:化简: ⑴ 5( 3a ? 2b )+4( 2b ? 3a ) ;

※ 典型例题 例 1 已知直线 AB,点 O 是直线 AB 外一点,若 OP ? xOA ? yOB ,且 x+y=1,试判断 A,B,P 三点是 否共线?

⑵ 6 a ? 3b ? c ? ?a ? b ? c .

?

? ?

?

变式: 已知 A,B,P 三点共线, 点 O 是直线 AB 外一点, 1 若 OP ? OA ? tOB ,那么 t= 2 例 2 已知平行六面体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' , 点 M 是棱 ' ' AA 的中点, 点 G 在对角线 A C 上, 且 CG:GA ' =2:1, 设 CD = a , CB ? b, CC ' ? c ,试用向量 a, b, c 表示向 量 CA, CA' , CM , CG .

复习 2:在平面上,什么叫做两个向量平行? 在平面上有两个向量 a, b , 若 b 是非零向量, 则a与
b 平行的充要条件是

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:空间向量的共线 问题:空间任意两个向量有几种位置关系?如何判 定它们的位置关系?
新知:空间向量的共线: 1. 如果表示空间向量的 所在的直 线互相 或 ,则这些向量叫共线向量, 也叫平行向量. 2. 空间向量共线: 定理:对空间任意两个向量 a, b ( b ? 0 ) , a // b 的 充要条件是存在唯一实数 ? ,使得 推论:如图,l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量的直线, 对空间的任意一点 O, 点 P 在直 线 l 上的充要条件是

变式 1:已知长方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' ,M 是对角 线 AC ' 中点,化简下列表达式: ⑴ AA' ? CB ; ⑵ AB' ? B'C ' ? C ' D' 1 1 1 ⑶ AD ? AB ? A' A 2 2 2

试试:已知 AB ? a ? 5b, BC ? ?2a ? 8b,

CD ? 3 a ? b ,求证: A,B,C 三点共线.

?

?

变式 2:如图,已知 A, B, C 不共线,从平面 ABC 外 任一点 O ,作出点 P, Q, R, S ,使得: ⑴ OP ? OA ? 2 AB ? 2 AC ⑵ OQ ? OA ? 3AB ? 2 AC ⑶OR ? OA ? 3 AB ? 2 AC ⑷ OS ? OA ? 2 AB ? 3 AC .

反思: 充分理解两个向量 a, b 共线向量的充要条件中
3

C. 任意两个共线向量相等 D. 若向量 a 与 b 共线,则 a ? ? b 2. 正 方 体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中 , 点 E 是 上 底 面
A ' B ' C ' D ' 的中心,若 BB' ? xAD ? yAB ? z AA' ,

则 x= ,y= ,z= . 3. 若点 P 是线段 AB 的中点,点 O 在直线 AB 外, OB . OA + 则 OP ? 小结:空间向量的化简与平面向量的化简一样,加 法注意向量的首尾相接,减法注意向量要共起点, 并且要注意向量的方向. 4. 平行六面体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' , O 为 A 1 C 与 B 1 D 1 AO 的交点,则 ( AB ? AD ? AA' ) ? 3 5. 已知平行六面体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' ,M 是 AC 与 BD 交点,若 AB ? a, AD ? b, AA' ? c ,则与 B' M 相等 的向量是( ) 1 1 1 1 A. ? a ? b ? c ; B. a? b?c; 2 2 2 2 1 1 1 1 C. a ? b ? c ; D. ? a ? b ? c . 2 2 2 2

※ 动手试试 练 1. 下列说法正确的是( ) A. 向量 a 与非零向量 b 共线,b 与 c 共线,则 a 与 c 共线; B. 任意两个共线向量不一定是共线向量; C. 任意两个共线向量相等; D. 若向量 a 与 b 共线,则 a ? ? b .
2. 已 知 a ? 3 m ? 2 n, b ? ( x? 1 )m? 8 , n a?0 ,若
a // b ,求实数 x.

课后作业:

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律; 2. 空间两个向量共线的充要条件及推论. ※ 知识拓展 平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的 平移,而空间向量研究的是空间的平移,它们的共 同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相 同的长度” ,空间的平移包含平面的平移.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
).

§3.1.2 空间向量的数乘运算(二)
学习目标
1. 掌握空间向量的数乘运算律,能进行简单的代数 式化简; 2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推 论; 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立
4

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 下列说法正确的是( ) A. a 与非零向量 b 共线, b 与 c 共线,则 a 与 c 共线 B. 任意两个相等向量不一定共线

体几何中的问题. 反思:若空间任意一点 O 和不共线的三点 A,B,C 满

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P86~ P87,找出疑惑之处) 复习 1:什么叫空间向量共线?空间两个向量 a, b , 若 b 是非零向量,则 a 与 b 平行的充要条件是

足关系式 OP ? xOA ? yOB ? zOC , 且点 P 与 A,B,C 共面,则 x ? y ? z ? .

复习 2:已知直线 AB,点 O 是直线 AB 外一点,若 1 2 OP ? OA ? OB ,试判断 A,B,P 三点是否共线? 3 3

※ 典型例题 例 1 下列等式中, 使 M,A,B,C 四点共面的个数是 ( ) ① OM ? OA ? OB ? OC; 1 1 1 ② OM ? OA ? OB ? OC; 5 3 2 ③ MA ? MB ? MC ? 0;
④ OM ? OA ? OB ? OC ? 0 . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:空间向量的共面 问题: 空间任意两个向量不共线的两个向量 a,b 有怎 样的位置关系?空间三个向量又有怎样的位 置关系?
新知:共面向量: 2. 空间向量共面: 定理:对空间两个不共线向量 a, b ,向量 p 与向量
a, b 共面的充要条件是存在 使得 .

变式:已知 A,B,C 三点不共线,O 为平面 ABC 外一 1 7 点,若向量 OP ? OA ? OB ? ?OC ? ? ? R ? , 5 3 则 P,A,B,C 四点共面的条件是 ? ?

同一平面的向量.



推论:空间一点 P 与不在同一直线上的三点 A,B,C 共面的充要条件是: ⑴ 存在 ,使 ⑵ 对空间任意一点 O,有

例 2 如图, 已知平行四边形 ABCD,过平面 AC 外一 点 O 作射线 OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点 OE OF OG OH E,,F,G,H,并且使 ? ? ? ? k, OA OB OC OD 求证:E,F,G,H 四点共面.

试试:若空间任意一点 O 和不共线的三点 A,B,C 满 1 1 1 足关系式 OP ? OA ? OB ? OC ,则点 P 与 A,B,C 2 3 6 共面吗?

变式:已知空间四边形 ABCD 的四个顶点 A,B,C,D 不共面, E,F,G,H 分别是 AB,BC,CD,AD 的中点, 求证: E,F,G,H 四点共面.

A

E B

H
D G

F
5

C

C.共面向量 D.不共面向量. 2. 正 方 体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中 , 点 E 是 上 底 面
A ' B ' C ' D ' 的中心,若 BB' ? xAD ? yAB ? z AA' ,

小结:空间向量的化简与平面向量的化简一样,加 法注意向量的首尾相接,减法注意向量要共起点, 并且要注意向量的方向.

则 x= ,y= ,z= . 3. 若点 P 是线段 AB 的中点,点 O 在直线 AB 外, OB . OA + 则 OP ?

4. 平行六面体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' , O 为 A 1 C 与 B 1 D 1 AO . 的交点,则 ( AB ? AD ? AA' ) ? 3 5. 在下列命题中:①若 a、b 共线,则 a、b 所在的直 ※ 动手试试 线平行;②若 a、b 所在的直线是异面直线,则 a、 练 1. 已知 A, B, C 三点不共线,对平面外任一点,满 b 一定不共面; ③若 a、 b、 c 三向量两两共面, 则 a、 1 2 2 b、c 三向量一定也共面;④已知三向量 a、b、c, 足条件 OP ? OA ? OB ? OC,试判断:点 P 与 5 5 5 则空间任意一个向量 p 总可以唯一表示为 p=xa+ A, B, C 是否一定共面? yb+zc.其中正确命题的个数为 ( ). A.0 B.1 C. 2 D. 3

课后作业:
1. 若 a ? 3m ? 2n ? 4 p, b ? ( x ? 1)m ? 8n ? 2 yp ,
a ? 0 ,若 a // b ,求实数 x, y .

练 2. 已知 a ? 3m ? 2n, b ? ( x ? 1)m ? 8n , a ? 0 ,若
a // b ,求实数 x.

2. 已 知 两 个 非 零 向 量 e1 , e2 不 共 线 , AB ? e1 ? e2 ,

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律; 2. 空间两个向量共线的充要条件及推论. ※ 知识拓展 平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的 平移,而空间向量研究的是空间的平移,它们的共 同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相 同的长度” ,空间的平移包含平面的平移.

AC ? 2e1 ? 8e2 , AD ? 3e1 ? 3e2 . 求证: A, B, C , D 共面.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
).

§3.1.3.空间向量的数量积(1)
学习目标
1. 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法; 2. 掌握两个向量的数量积的计算方法,并能利用两 个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问 题.

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. 在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,向量 D1 A 、 是( ) D1C 、 AC 1 1 A. 有相同起点的向量 B.等长向量
6

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P90~ P92,找出疑惑之处) 复习 1:什么是平面向量 a 与 b 的数量积?

反思: ⑴ (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 吗?举例说明.

⑵ 若 a ? b ? a ? c ,则 b ? c 吗?举例说明. ⑶ 若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 吗?为什么? ※ 典型例题 例 1 用向量方法证明:在平面上的一条直线,如果 和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这 条斜线垂直.

复习 2: 在边长为 1 的正三角形⊿ ABC 中, 求 AB ? BC .

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:空间向量的数量积定义和性质 问题:在几何中,夹角与长度是两个最基本的几何 量,能否用向量的知识解决空间两条直线的 夹角和空间线段的长度问题?
新知: 1) 两个向量的夹角的定义:已知两非零向量 a , b , 一点 O ,作 OA ? a ,OB ?b ,则 ?AOB 叫 做向量 a 与 b 的夹角,记作 . 在空间 试试: ⑴ 范围:

变式 1:用向量方法证明:已知: m, n 是平面 ? 内的 两条相交直线,直线 l 与平面 ? 的交点为 B ,且 l ? m, l ? n. 求证: l ? ? .

?? a, b ??

? a, b? =0 时, a 与 b

; ? a, b? =π 时, a 与 b .

⑵ ? a, b ??? b , a ? 成立吗? ⑶ ? a, b ?? ,则称 a 与 b 互相垂直,记作 2) 向量的数量积: 已知向量 a , b ,则 作 a ? b ,即 a ? b ?

叫做 a , b 的数量积,记 .

规定:零向量与任意向量的数量积等于零.

例 2 如图,在空间四边形 ABCD 中, AB ? 2 , BC ? 3 , BD ? 2 3 , CD ? 3 , ?ABD ? 30 , ?ABC ? 60 ,求 AB 与 CD 的夹角的余弦值
王新敞
奎屯 新疆

D
反思: ⑴ 两个向量的数量积是数量还是向量? ⑵ 0?a ? (选 0 还是 0 ) ⑶ 你能说出 a ? b 的几何意义吗? 3) 空间向量数量积的性质: (1)设单位向量 e ,则 a ? e ?| a | cos ? a, e ? . (2) a ? b ? a ? b ? . (3) a ? a ? = . 4) 空间向量数量积运算律: (1) (? a) ? b ? ? (a ? b ) ? a ? (?b ) . (2) a ? b ? b ? a (交换律) . (3) a ? (b ? c ) ? a ? b ? a ? c (分配律
7

A
变式:如图,在正三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中,若

C

B ) AB= 2 BB 1 ,则 AB 1 与 C 1 B 所成的角为( A. 60° B. 90° C. 105° D. 75°

④ (3a ? 2b) ? (3a ? 2b) ? 9 a ? 4 b 例 3 如图,在平行四边形 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,
AB ? 4, AD ? 3 , AA ? 5 , ?BAD ? 90? , ?BAA =
'
'

2

2

正确有个数为( ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个

D. 3 个

?DAA =60°,求 AC 的长.
'

'

2. 已知 e1 和 e2 是两个单位向量,夹角为 向量中与 2e2 ? e1 垂直的是( A. e1 ? e2 B. e1 ? e2 ) C. e1

? ,则下面 3
D. e2

3.已知 ?ABC 中, ?A, ?B, ?C 所对的边为 a , b, c ,

且 a ? 3, b ? 1 , ?C ? 30? ,则 BC ? CA =
4. 已知 a ? 4 , b ? 2 ,且 a 和 b 不共线,当 a ? ? b 与 a ? ? b 的夹角是锐角时, ? 的取值范围是 5. 已知向量 .

a,b 满足 a

? 4 , b ? 2, a ?b ?3,

则 a ? b ? ____

※ 动手试试
练 1. 已知向量 则 a ? b ? ____.

课后作业:

a,b 满足 a

?1, b ? 2, a ? b ? 3,

1. 已知空间四边形 ABCD 中,AB ? CD ,AC ? BD , D 求证: AD ? BC .

A
练 2. 已知 a ? 2 2 , b ? 的夹角大小为_____.
2 , a ? b ? ? 2 , 则 a 与b 2

C
B

2. 已知线段 AB、BD 在平面 ? 内,BD⊥ AB, 线段 AC ? ? , 如果 AB=a,BD=b,AC=c,求 C、D 间的距离.

三、总结提升 ※ 学习小结 1..向量的数量积的定义和几何意义. 2. 向量的数量积的性质和运算律的运用. ※ 知识拓展 向量给出了一种解决立体几何中证明垂直问题,求 两条直线的夹角和线段长度的新方法.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
).

§3.1.4 空间向量的正交分解 及其坐标表示
学习目标
1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和 坐标表示; 2. 掌握空间向量的坐标运算的规律;

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 下列命题中: ①若 a ? b ? 0 ,则 a , b 中至少一个为 0 ②若 a ? 0 且 a ? b ? a ? c ,则 b ? c ③ (a ? b) ? c ? a ? (b ? c)
8

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P92-96 找出疑惑之处) 复习 1:平面向量基本定理: 对平面上的任意一个向量 P , a,b 是平面上两个 向量,总 是存在 做 实数对 ? x, y ? , 使得向量 P 可以用 a,b 来表 ,其中 a,b 叫 . 若 a ? b ,则称向量 P 正交分解. 示,表达式为

⑹向量的直角坐标运算: 设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) ,则 ⑴a+b= (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; ⑵a-b= (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; ⑶λa= (? a1 , ? a2 , ? a3 ) (? ? R) ; ⑷a·b= a1b1 ? a2b2 ? a3b3 . 试试: 1. 设 a ? 2i ? j ? 3k ,则向量 a 的坐标为 . 2. 若 A (1,0, 2) ,B (3,1, ?1) ,则 AB = . 3. 已知 a= (2, ?3,5) , b= (?3,1, ?4) , 求 a+b, a-b, 8a,a·b

复习 2:平面向量的坐标表示: 平面直角坐标系中,分别取 x 轴和 y 轴上的 向量

i, j 作为基底,对平面上任意向量 a ,有且只有一对
实数 x,y,使得 a ? xi ? y j , ,则称有序对 ? x, y ? 为向量 a 的 ,即 a = .

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:空间向量的正交分解 问题: 对空间的任意向量 a , 能否用空间的几个向量 唯一表示?如果能,那需要几个向量?这几个向量 有何位置关系?
新知: ⑴ 空间向量的正交分解: 空间的任意向量 a , 均可 分解为不共面的三个向量 ?1 a1 、 ?2 a2 、 ?3 a3 ,使

※ 典型例题
例 1 已知向量 a, b, c 是空间的一个基底,从向量
a, b, c 中选哪一个向量,一定可以与向量 p ? a ? b,

q ? a ? b 构成空间的另一个基底?

a ? ?1 a1 ? ?2 a2 ? ?3 a3 . 如果 a1 , a2 , a3 两两 种分解就是空间向量的正交分解.
(2)空间向量基本定理:如果三个向量 a, b, c

,这

变式: 已知 O,A,B,C 为空间四点, 且向量 OA, OB, OC 那么点 O,A,B,C 是否共面? 对空间任一向量 p ,存在有序实数组 {x , y , z} ,使得 不构成空间的一个基底, ,

p ? xa ? yb ? zc . 把 向量.

的一个基底,a, b, c 都叫做基

反思:空间任意一个向量的基底有

个.

⑶单位正交分解:如果空间一个基底的三个基向量互 相 ,长度都为 ,则这个基底叫做单位正交基 底,通常用{i,j,k}表示. ⑷空间向量的坐标表示:给定一个空间直角坐标系 O-xyz 和向量 a,且设 i、j、k 为 x 轴、y 轴、z 轴正 方向的单位向量,则存在有序实数组 {x, y, z} ,使得

小结:判定空间三个向量是否构成空间的一个基底 的方法是:这三个向量一定不共面. 例 2 如图, M,N 分别是四面体 QABC 的边 OA,BC 的 中点,P,Q 是 MN 的三等分点,用 OA, OB, OC 表示 OP 和 OQ .

a ? xi ? y j ? zk ,则称有序实数组 {x, y, z} 为向量 a
的坐标,记着 p ? . .

⑸设 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则 AB =

9

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. 若 a,b,c 为空间向量的一组基底, 则下列各项中, 能构成基底的是( ) A. a, a ? b, a ? b B. b, a ? b, a ? b C. c, a ? b, a ? b D. a ? 2b, a ? b, a ? b 2. 设 i、j、k 为空间直角坐标系 O-xyz 中 x 轴、y 轴、 z 轴正方向的单位向量,且 AB ? ?i ? j ? k ,则点 B 的坐标是 是侧面 BB 'C 'C 的中心, 且 OA ? a ,OC ? b, OO' ? c , 3. 在三棱锥 OABC 中,G 是 ?ABC 的重心(三条中 试用向量 a, b, c 表示下列向量: 线的交点) ,选取 OA, OB, OC 为基底,试用基底表示 变式:已知平行六面体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' ,点 G ⑴ OB' , BA' , CA' ; ⑵ OG .
OG = 4. 正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 的棱长为 2,以 A 为坐

? ?

标原点,以 AB,AD,AA' 为 x 轴、y 轴、z 轴正方向建 立空间直角坐标系,E 为 BB1 中点,则 E 的坐标 是 . 5. 已知关于 x 的方程 x2 ? ?t ? 2? x ? t 2 ? 3t ? 5 ? 0 有 两个实根, c ? a ? tb ,且 a ? ? ?1,1,3? , b ? ?1,0, ?2? , 当 t= 时, c 的模取得最大值.

※ 动手试试
练 1. 已知 a ? ? 2, ?3,1?, b ? ?2,0,3 ?, c ? ?0,0,2 ? ,求: ⑴a? b?c ;

课后作业
1. 已知 A ? ? 3,5, ?7 ?, B ? ? ?2,4,3 ? ,求 AB, BA, 线段 AB 的中点坐标及线段 AB 的长度.

?

?

⑵ a ? 6b ? 8c .

练 2. 正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 的棱长为 2, 以A为 坐标原点,以 AB,AD,AA' 为 x 轴、y 轴、z 轴正方向 建立空间直角坐标系,则点 D1 , AC, AC ' 的坐标分 别是 , , . 2. 已 知 a, b, c 是 空 间 的 一 个 正 交 基 底 , 向 量
a ? b, a ? b, c 是另一组基底,若 p 在 a, b, c 的坐标是

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 空间向量的正交分解及空间向量基本定理; 2. 空间向量坐标表示及其运算 ※ 知识拓展 建立空间直角坐标系前,一定要验证三条轴的垂直 关系,若图中没有建系的环境,则根据已知条件, 通过作辅助线来创造建系的图形.

?1, 2,3? ,求 p 在 a ? b, a ? b, c 的坐标.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为(
).
10

§3.1.5 空间向量运算的坐标表示

学习目标
1. 掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距 离公式、中点坐标公式; 2. 会用这些公式解决有关问题.

4. 线段中点的坐标公式: 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 , 已 知 点 A( x1 , y1 , z1 ) , . B( x2 , y2 , z2 ) ,则线段 AB 的中点坐标为: ※ 典型例题 例 1. 如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 点 E1 , F1 分 别是 A1 B1 , C1 D1 的一个四等分点, 求 BE1 与 DF1 所成的 角的余弦值.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P95~ P97,找出疑惑之处) 复习 1:设在平面直角坐标系中,A (1,3) ,B (?1, 2) , 则线段︱AB︱= . 复习 2:已知 a ? ? ?3,2,5? , b ? ?1,5, ?1? ,求: ⑴a+B. ⑵3a-b; ⑶6A. ; ⑷a·b.

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:空间向量坐标表示夹角和距离公式 问题:在空间直角坐标系中,如何用坐标求线段的 长度和两个向量之间的夹角? 新知: 1. 向量的模:设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,则|a|=
2. 两个向量的夹角公式: 设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) , 由向量数量积定义: a·b=|a||b|cos<a,b>, 又由向量数量积坐标运算公式:a·b= 由此可以得出:cos<a,b>=
? 1A 1B 1C 1 D , 变式:如上图,在正方体 ABCD 中 AB B1 E1 ? D1 F1 ? 1 1 ,求 BE1 与 DF1 所成角的余弦值. 3



试试: ① 当 cos<a、b>=1 时,a 与 b 所成角是 ; ② 当 cos<a、 b>=-1 时, a 与 b 所成角是 ; ③ 当 cos<a、b>=0 时,a 与 b 所成角是 , 例 2. 如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 E,F 分 即 a 与 b 的位置关系是 ,用符合表示 别是 BB1 , D1 B1 的中点,求证: EF ? DA1 . 为 . 反思: 设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) ,则 ⑴ a//B. ? a 与 b 所成角是 ? a 与 b 的坐标 关系为 ; ⑵ a⊥b ? a 与 b 的坐标关系为 ;

3. 两点间的距离公式: 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 , 已 知 点 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) ,则线段 AB 的长度为:
AB ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? ( z1 ? z2 )2 .
11

变 式 : 如 图 , 正 方 体

ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 M 是 AB 的中点,求 DB1 与

CM 所成角的余弦值.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
).

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. 若 a= (a1 , a2 , a3 ) , b= (b1 , b2 , b3 ) , 则
a1 a2 a3 ? ? 是 b1 b2 b3

a // b 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不不要条件

小结:求两个向量的夹角或角的余弦值的关键是在 合适的直角坐标系中找出两个向量的坐标,然后再 用公式计算.

2. 已知 a ? ? 2, ?1,3?, b ? ??4,2, x ? ,且 a ? b , 则 x= . 3. 已知 A ?1, 0, 0? ,B ? 0,? 1,1 ? , OA ? ?OB 与 OB 的夹角 为 120°,则 ? 的值为( ) 6 6 6 A. ? B. C. ? 6 6 6 D. ? 6

※ 动手试试 练 1. 已知 A(3,3,1)、B(1,0,5),求: ⑴线段 AB 的中点坐标和长度; ⑵到 A、B 两点距离相等的点 P( x, y, z ) 的坐标 x、y、 z 满足的条件.

4. 若 a ? ? x,2,0? , b ? 3,2 ? x, x2 ,且 a, b 的夹角为钝 角,则 x 的取值范围是( ) A. x ? ?4 B. ?4 ? x ? 0 C. 0 ? x ? 4 D. x ? 4 5. 已知 a ? ?1,2, ? y ? , b ? ? x,1,2? , 且

?

?

练 2. 如图,正方体的棱长为 2,试建立适当的空间 直角坐标系,写出正方体各顶点的坐标,并和你的 同学交流.

(a ? 2b) //(2a ? b) ,则( ) 1 1 A. x ? , y ? 1 B. x ? , y ? ?4 3 2 1 C. x ? 2, y ? ? D. x ? 1, y ? ?1 4

课后作业:
1. 如图,正方体 ABCD ? A' B'C ' D' 棱长为 a , ⑴ 求 A' B, B'C 的夹角;⑵求证: A' B ? AC ' .

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公 式、中点坐标公式; 2. 解决立体几何中有关向量问题的关键是如何建立 合适的空间直角坐标系,写出向量的坐标,然后 再代入公式进行计算. ※ 知识拓展 在平面内取正交基底建立坐标系后,坐标平面内的 任意一个向量,都可以用二元有序实数对表示,平 面向量又称二维向量.空间向量可用三元有序实数组 表示,空间向量又称三维向量.二维向量和三维向量 统称为几何向量.
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2. 如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 M,N 分别 为棱 A1 A, B1 B 的中点, 求 CM 和 D1 N 所成角的余弦值.

§3.1 空间向量及其运算(练习)
学习目标
1. 熟练掌握空间向量的加法,减法,向量的数乘运 算,向量的数量积运算及其坐标表示; 2. 熟练掌握空间线段的长度公式、夹角公式、两点 间距离公式、中点坐标公式,并能熟练用这些公式 解决有关问题.

相 ,长度都为 ,则这个基底叫做单位正交基 底,通常用{i,j,k}表示. 9.空间向量的坐标表示:给定一个空间直角坐标系 O-xyz 和向量 a,且设 i、j、k 为 x 轴、y 轴、z 轴正 方向的单位向量,则存在有序实数组 {x, y, z} ,使得

a ? xi ? y j ? zk ,则称有序实数组 {x, y, z} 为向量 a
的坐标,记着 p ? . .

学习过程

10. 设 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则 AB =

一、课前准备: (阅读课本 p115) 复习: 11. 向量的直角坐标运算: 1. 具有 和 的量叫向量, 叫向量 设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) ,则 的模; 叫零向量, 记着 ; ⑴a+b= ; ⑵a-b= 具有 叫单位向量. ⑶λa= ; ⑷a·b= 2. 向 量 的 加 法 和 减 法 的 运 算 法 则 有 法则 和 法则.



3.实数 λ 与向量 a 的积是一个 量,记作 长度和方向规定如下: (1)|λa|= . (2)当 λ>0 时,λa 与 A. ; 当 λ<0 时,λa 与 A. ; 当 λ=0 时,λa= . 4. 向量加法和数乘向量运算律: 交换律:a+b= 结合律:(a+b)+c= 数乘分配律:λ(a+b)=

※ 动手试试 1.在下列命题中:①若 a、b 共线,则 a、b 所在的 ,其 直线平行; ②若 a、 b 所在的直线是异面直线, 则 a、 b 一定不共面;③若 a、b、c 三向量两两共面,则 a、b、c 三向量一定也共面;④已知三向量 a、b、 c, 则空间任意一个向量 p 总可以唯一表示为 p=xa +yb+zc.其中正确命题的个数为( ) A.0 B. 1 C. 2 D. 3
2.在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,向量 D1 A 、 是( ) D1C 、 AC 1 1 A.有相同起点的向量 C.共面向量 B.等长向量 D.不共面向量

5.① 表示空间向量的 所在的直线 互相 或 ,则这些向量叫共线向量,也 叫平行向量. ②空间向量共线定理:对空间任意两个向量 a, b (b?0) , a // b 的充要条件是存在唯一实数 ? , 使得 ; ③ 推论: l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向 量 a 的直线,对空间的任意一点 O,点 P 在直线 l 上的充要条件是 6. 空间向量共面: ①共面向量:

3.已知 a=(2,-1,3) ,b=(-1,4,-2) , c=(7,5,λ ) ,若 a、b、c 三向量共面,则实数 λ=( ) 62 63 64 65 A. B. C. D. 7 7 7 7 4.若 a、b 均为非零向量,则 a ? b ?| a || b | 是 a 与 b 共线的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 5.已知△ABC 的三个顶点为 A(3,3,2) ,B(4, -3, 7) , C (0, 5, 1) , 则 BC 边上的中线长为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 6. a ? 3i ? 2 j ? k , b ? i ? j ? 2k , 则 5a ? 3b ? ( ) A.-15 B.-5 C.-3 D.-1

同一平面的向量.

②定理:对空间两个不共线向量 a, b ,向量 p 与向量
a, b 共面的充要条件是存在 , 使得 . ③推论: 空间一点 P 与不在同一直线上的三点 A,B,C 共面的充要条件是: ⑴ 存在 ,使

⑵ 对空间任意一点 O,有 7. 向量的数量积: a ? b ? . 8. 单位正交分解:如果空间一个基底的三个基向量互 ※ 典型例题
13

例 1 如图,空间四边形 OABC 中, OA ? a,OB ? b ,
OC ? c , 点 M 在 OA 上, 且 OM=2MA,点 N 为 BC 的

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

).

中点,则 MN ?

.

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1.直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若 CA ? a ,CB ? b , ) CC1 ? c , 则 A1 B ? ( A. a ? b ? c B. a ? b ? c C. ? a ? b ? c D. ? a ? b ? c 2. m ? a, m ? b, 向量n ? ? a ? ?b(?, ? ? R且? 、 ? ? 0)则 ( ) A. m // n C. m ? n , B. m 与 n 不平行也不垂直 D.以上情况都可能.

变 式 : 如 图 , 平 行 六 面 体 ABCD ? A' B'C ' D' 中 ,
A B? a , AD ? b, AA' ? c , 点 P, M , N 分 别 是 CQ 4 ? , CA' , CD' , C ' D' 的中点,点 Q 在 CA' 上,且 QA' 1

3. 已知 a + b + c = 0 ,| a |=2,| b |=3,| c |= 19 , 则向量 a 与 b 之间的夹角 ? a, b ? 为( ) A.30° B.45° C.60° D.以上都不对 4. 已知 a ? ?1,1, 0 , ? ? ? 1, 0,?2 且 , ka ? b 与 2a ? b 互 ?b 相垂直,则 k 的值是( ) 1 3 7 A. .1 B. C. D. 5 5 5 5. 若 A(m+1,n-1,3), B. (2m,n,m-2n), C(m+3,n-3,9)三点共线,则 m+n=

用基底 a, b, c 表示下列向量: ⑴ AP ; ⑵ AM ; ⑶ AN ; ⑷ AQ .

例 2

如 图 , 在 直 三 棱 柱 ABC — A1B1C1 中 ,

课后作业
如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 E , F , G 分别是 DD1 , BD, BB1 的中点. ⑴ 求证: EF ? CF ; ⑵ 求 EF 与 CG 所成角的余弦; ⑶ 求 CE 的长.

,6 点 M 是 CC1 的 ?A B C ?9 0 ?, C B ? 1, C A? 2, A 1 A? 中点,求证: AM ? BA1 .

变式:正三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧棱长为 2,底面 边长为 1,点 M 是 BC 的中点,在直线 CC1 上求一点 N,使得 MN ? AB1

学习评价
14

§3.2 立体几何中的向量方法(1)
学习目标
1. 掌握直线的方向向量及平面的法向量的概念; 2. 掌握利用直线的方向向量及平面的法向量解决平 行、垂直、夹角等立体几何问题.

试试: . 1. 如 果 a, b 都 是 平 面 ? 的 法 向 量 , 则 a, b 的 关 系 . 2.向量 n 是平面 ? 的法向量,向量 a 是与平面 ? 平行 或在平面内,则 n 与 a 的关系是 反思: 1. 一个平面的法向量是唯一的吗? 2. 平面的法向量可以是零向量吗? .

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P102~ P104,找出疑惑之处) 复习 1: 可以确定一条直线;确定 一个平面的方法有哪些?

⑸ 向量表示平行、垂直关系: 设直线 l , m 的方向向量分别为 a, b ,平面 ? , ? 的 法向量分别为 u , v ,则 ① l ∥ m ? a ∥ b ? a ? kb ② l ∥? ? a ? u ? a ?u ? 0 ③ ? ∥ ? ? u ∥ v ? u ? kv.

复习 2:如何判定空间 A,B,C 三点在一条直线上?

复习 3:设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) , a·b=

※ 典型例题 例 1 已知两点 A ?1, ?2,3? , B ? 2,1, ?3? ,求直线 AB 与坐标平面 YOZ 的交点.

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一: 向量表示空间的点、直线、平面 问题:怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中 的位置?
新知: ⑴ 点:在空间中,我们取一定点 O 作为基点,那么 空间中任意一点 P 的位置就可以用向量 OP 来表示, 我们把向量 OP 称为点 P 的位置向量. ⑵ 直线: ① 直线的方向向量:和这条直线平行或共线的非 零向量. ② 对于直线 l 上的任一点 P , 存在实数 t ,使得
AP ? t AB ,此方程称为直线的向量参数方程. ⑶ 平面: ① 空间中平面 ? 的位置可以由 ? 内两个不共线向

变式 :已知三点 A ?1, 2,3? , B ? 2,1, 2? , P ?1,1,2? , 点 Q 在
OP 上运动(O 为坐标原点),求当 QA ? QB 取得最小

值时,点 Q 的坐标.

量确定.对于平面 ? 上的任一点 P , a, b 是平面 ? 内两 个 不 共 线 向 量 , 则 存 在 有 序 实 数 对 ( x, y ) , 使 得

O P? x a ? y. b ② 空间中平面 ? 的位置还可以用垂直于平面的直 线的方向向量表示空间中平面的位置.
⑷ 平面的法向量:如果表示向量 n 的有向线段所在 直线垂直于平面 ? ,则称这个向量 n 垂直于平面 ? , 记作 n ⊥ ? ,那 么向量 n 叫做平面 ? 的法向量.
15

小结:解决有关三点共线问题直接利用直线的参数

方程即可. 例 2 用向量方法证明两个平面平行的判定定理:一 个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这 两个平面平行.

⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
).

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. 设 a ? ? 2, ?1, ?2? , b ? ? 6, ?3, ?6? 分别是直线 l1 , l2 的 方向向量,则直线 l1 , l2 的位置关系是 向量,则平面 ? , ? 的位置关系是 变 式 : 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 , 已 知 A?3 , 0 , 4 ? , ,试求平面 0 , 0ABC , 0 的一个 , 2 ? ,B ?0 , ? 0?C 法向量. . . 2. 设 u ? ? ?2,2,5? , v ? ? 6, ?4,4? 分别是平面 ? , ? 的法 3. 已知 n ? ? ,下列说法错误的是( ) A. 若 a ? ? ,则 n ? a B.若 a // ? ,则 n ? a C.若 m ? ? , ,则 n // m D.若 m ? ? , ,则 n ? m 4.下列说法正确的是( ) A.平面的法向量是唯一确定的 B.一条直线的方向向量是唯一确定的 C.平面法向量和直线的方向向量一定不是零向量 D.若 m 是直线 l 的方向向量, l // ? ,则 m // ? 5. 已知 AB ? ?1,0, ?1?, AC ? ?0,3, ?1 ? , 能做平面 ABC 小结:平面的法向量与平面内的任意向量都垂直. 的法向量的是( ) ? 1 ? A. ?1,2,1? B. ? 1, ,1? ? 3 ? C. ?1,0,0? D.

※ 动手试试
练 1. 设 a, b 分别是直线 l1 , l2 的方向向量,判断直线
l1 , l2 的位置关系:

? 2,1,3?

⑴ a ? ?1,2, ?2? , b ? ? ?2,3,2? ; ⑵ a ? ? 0,0,1? , b ? ? 0,0,3? .

课后作业
1. 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,求证:DB1 是平面
ACD1 的一个法向量.

练 2. 设 u , v 分别是平面 ? , ? 的法向量,判断平面 ? , ? 的位置关系: ⑴ u ? ?1,2, ?2? , v ? ? ?2, ?4,4? ; ⑵ u ? ? 2, ?3,5? , v ? ? ?3,1, ?4? .

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 空间点,直线和平面的向量表示方法 2. 平面的法向量求法和性质. ※ 知识拓展: 求平面的法向量步骤: ⑴设平面的法向量为 n ? ( x, y, z) ; ⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标; ⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程组;
16

2 .已知 AB ? ? 2, 2,1? , AC ? ? 4,5,3 ? ,求平面 ABC 的 一个法向量.

端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系?

§3.2 立体几何中的向量方法(2)
学习目标
1. 掌握利用向量运算解几何题的方法,并能解简单 的立体几何问题; 2. 掌握向量运算在几何中求两点间距离和求空间图 形中的角度的计算方法.

变式 1: 上题中平行六面体的对角线 BD1 的长与棱长 有什么关系?

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P105~ P107,找出疑惑之处. 复习 1:已知 a ? b ? 1 , a ? 1, b ? 2 ,且 m ? 2a ? b , 求m. 变式 2:如果一个平行六面体的各条棱长都相等,并 且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 ? , 那 么由这个平行六面体的对角线的长可以确定棱长 吗?

复习 2: 什么叫二面角?二面角的大小如何度量?二 面角的范围是什么?

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:用向量求空间线段的长度 问题:如何用向量方法求空间线段的长度?
新知 :用空间向量表示空间线段,然后利用公式
a ? a 求出线段长度.
? ' A ' B 'C 中 'D, 已 知 试试:在长方体 ABCD ' ' AB ? 1, BC ? 2, CC ? 1 ,求 AC 的长.
2

探究任务二:用向量求空间图形中的角度 例 2 如图,甲站在水库底面上的点 A 处,乙站在水 坝斜面上的点 B 处.从 A,B 到直线 l (库底与水坝的 CD 的长为 c ,AB 交线) 的距离 AC , BD 分别为 a , b , 的长为 d .求库底与水坝所成二面角的余弦值.

反思:用向量方法求线段的长度,关键在于把未知 量用已知条件中的向量表示.

变式:如图,60 ? 的二面角的棱上有 A, B 两点,直线 AC , BD 分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂 直于 AB , 已知 AB ? 4, AC ? 6, BD ? 8 ,求 CD 的长.

※ 典型例题 例 1 如图,一个结晶体的形 状为平行六面体,其中,以 顶点 A 为端点的三条棱长都 相等,且它们彼此的夹角都 是 60°,那么以这个顶点为
17

(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.

※ 动手试试 学习评价 练 1. 如图, 已知线段 AB 在平面 α 内, 线段 AC ? ? , ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). 线段 BD⊥AB,线段 DD ' ? ? , ?DBD ' ? 30 ,如果 A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 AB=a,AC=BD=b,求 C、D 间的距离. ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 已知 A ?1,02 ?, B ? ?1,1,3 ? ,则 AB ? . 1 2. 已知 cos a, b ? ? ,则 a, b 的夹角为 . 2 3. 若 M 、 N 分 别 是 棱 长 为 1 的 正 方 体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 的棱 A' B ', BB' 的 中点 , 那么直 线 AM , CN 所成的角的余弦为( ) 3 10 3 2 A. B. C. D. 2 10 5 5 4. 将锐角为 60 ? 边长为 a 的菱形 ABCD 沿较短的对 角线折成 60 ? 的二面角,则 AC , BD 间的距离是( ) 3 3 3 3 a a A. a B. C. a D. 2 4 2 4 练 2. 如 图 , M 、 N 分 别 是 棱 长 为 1 的 正 方 体 ' B ' 中 C ' 棱 D长 为 a , 5. 正 方 体 A B C? D ' A ABCD ? A ' B ' C ' D ' 的棱 BB ' 、 B ' C ' 的中点.求异面 1 直线 MN 与 CD ' 所成的角. AM ? AC ' , N 是 BB ' 的中点,则 MN 为( ) 3
A.
21 a 6

B.

6 a 6

C.

15 a 6

D.

15 a 3

课后作业
1. 如图,正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 的棱长为 1, M , N 分别是 BB' , B'C ' 的中点,求:

⑴ MN , CD' 所成角的大小; ⑵ MN , AD 所成角的大小; ⑶ AN 的长度.

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 求出空间线段的长度: 用空间向量表示空间线段,
然后利用公式 a ? a ; 2. 空间的二面角或异面直线的夹角,都可以转化为 a?b 利用公式 cos a, b ? 求解. a?b
2

※ 知识拓展 解空间图形问题时,可以分为三步完成: (1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量 表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问 题转化为向量问题(还常建立坐标系来辅助); (2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位 置关系以及它们之间距离和夹角等问题;
18

§3.2 立体几何中的向量方法(3)
学习目标
1. 进一步熟练求平面法向量的方法; 2. 掌握向量运算在几何中如何求点到平面的距离和 两异面直线间距离的计算方法; 3. 熟练掌握向量方法在实际问题中的作用.

试试:在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中, 求点 C ' 到平面 A' BCD ' 的距离.

学习过程
一、课前准备 复习 1:已知 A ?1,2,0 ?, B ?0,1,1 ?, C ?1,1,2 ? ,试求平面
ABC 的一个法向量.

反思:当点到平面的距离不能直接求出的情况下, 可以利用法向量的方法求解.

※ 典型例题 例 1 已知正方形 ABCD 的边长为 4,E、F 分别是 AB、AD 的中点,GC⊥平面 ABCD,且 GC=2,求 点 B 到平面 EFG 的距离.

复习 2: 什么是点到平面的距离?什么是两个平面间 距离?

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:点到平面的距离的求法 问题:如图 A ?? , 空间一点 P 到平面 ? 的距离为 d ,
已知平面 ? 的一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能 否用 AP 与 n 表示 d ? 分析:过 P 作 PO ⊥ ? 于 O, 连结 OA,则 d=| PO |= | PA | ?cos ?APO. ∵ PO ⊥ ? , n ? ? , ∴ PO ∥ n . ∴cos∠APO=|cos ? PA, n? |

变 式 : 如 图 , ABCD 是 矩 形 , PD ? 平 面 A B C ,D PD ? DC ? a , AD ? 2a , M 、N 分 别 是 AD 、PB 的中点,求点 A 到平面 MNC 的距离.
P

?P
n
?
?O

N

A?
M A

D

C

∴D. =| PA ||cos ? PA, n? | = | PA |? | n | ? | cos? PA, n? | = | PA ? n |
|n| |n|

B

新知:用向量求点到平面的距离的方法: 设 A ?? , 空间一点 P 到平面 ? 的距离为 d ,平面 ? 的 一个法向量为 n ,则

D. =

| PA ? n | |n|

小结:求点到平面的距离的步骤: ⑴ 建立空间直角坐标系,写出平面内两个不共线向 量的坐标;⑵ 求平面的一个法向量的坐标;
19

⑶ 找出平面外的点与平面内任意一点连接向量的坐 标;⑷ 代入公式求出距离. 探究任务二:两条异面直线间的距离的求法 例 2 如图, 两条异面直线 a , b 所成的角为 ? , 在直线 ' ' a , b 上分别取点 A , E 和 A, F ,使得 AA ? a ,且
AA' ? b .已知 A' E ? m, AF ? n, EF ? l ,求公垂线 AA ' 的长.

※ 知识拓展 用向量法求距离的方法是立体几何中常用的方法.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
).

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中,平面 ABB ' A' 的一个法向量为 ; 2. 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中,异面 直线 A ' B 和 CB ' 所成角是 ; 3. 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中,两个 平行平面间的距离是 ; 4. 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中,异面 直线 A ' B 和 CB ' 间的距离是 ; 5. 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中,点 O 是底面 A' B'C ' D' 中心,则点 O 到平面 A'CDB ' 的距离 是 .
变式 :已知直三棱柱 ABC ─A1 B1C1 的侧棱 AA1 ? 4 , 底面 △ ABC 中, AC ? BC ? 2 ,且 ?BCA ? 90 , E 是 AB 的中点,求异面直线 CE 与 AB1 的距离.

课后作业
1. 如图, 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1, 点M 是棱 AA1 中点,点 O 是 BD1 中点,求证:OM 是异面 直线 AA1 与 BD1 的公垂线,并求 OM 的长.

小结:用向量方法求两条异面直线间的距离,可以 先找到它们的公垂线方向的一个向量 n , 再在两条直 线 上 分 别 取 一 点 A, B , 则 两 条 异 面 直 线 间 距 离
d? n ? AB n

2. 如图, 空间四边形 OABC 各边以及 AC , BO 的长都 是 1,点 D, E 分别是边 OA, BC 的中点,连结 DE . ⑴ 计算 DE 的长; ⑵ 求点 O 到平面 ABC 的距离.

求解.

三、总结提升 ※ 学习小结 1.空间点到直线的距离公式 2.两条异面直线间的距离公式

20

2. 立体几何问题的解决──向量是很好的工具 ①平行与垂直的判断 ②角与距离的计算

§第三章
学习目标

空间向量(复习)

※ 典型例题 例 1 如图,一块均匀的正三角形面的钢板的质量为 500kg ,在它的顶点处分别受力 F1 、 F2 、 F3 ,每个
力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是 60 , 且 F1 ? F2 ? F3 ? 200kg . 这块钢板在这些力的作用 下将会怎样运动?这三个力最小为多大时,才能提 起这块钢板?

1. 掌握空间向量的运算及其坐标运算; 2. 立体几何问题的解决──熟练掌握向量是很好的 工具.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P115-116,找出惑之处) 复习 1:如图,空间四边形 OABC 中, 且 OM=2MA, OA ? a, OB ? b, OC ? c .点 M 在 OA 上, N 为 BC 中点,则 MN ?

变式:上题中,若不建立坐标系,如何解决这个问 题?

复习 2:平行六面体 ABCD ? A ' B ' C ' D' 中, AB ? a

AD ? b, AA' ? c ,点 P,M,N 分别是 CA' , CD' , C ' D' 的中点,点 Q 在 CA' 上,且 CQ : QA' ? 4 :1 ,用基底

?a, b, c? 表示下列向量:

⑴ AP ; ⑵ AM ; ⑶ AN ; ⑷ AQ .

小结:在现实生活中的问题,我们可以转化我数学 中向量的问题来解决,具体方法有坐标法和直接向 量运算法,对能建立坐标系的题,尽量使用坐标计 算会给计算带来方便. 例 2 如 图 , 在 直 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 中 , M 是 CC1 的 ?A B C?9 0 ?, C B? 1 , C A ? 21 , A A ?,点 6 中点,求证: AM ? BA1 .

※主要知识点: 1. 空 间 向量 的运算 及其坐 标运算: 空间向量是平面向量的推 广, 有关运算方法几乎一样 , 只是“二维的”变成 “三维 的”了.

变式:正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面边长为 1,棱长 为 2,点 M 是 BC 的中点,在直线 CC1 上求一点 N,
21

使 MN ? AB .
cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 . | n1 || n2 |

例3 如图,长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 E,F 分 别在 BB1 , DD1 上,且 AE ? A1 B , AF ? A1 D .
? 平面 AEF ; ⑴ 求证: AC 1

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
1. 已 知 ).

⑵ 当 AB ? 4, AD ? 3, AA1 ? 5 时,求平面 AEF 与平 面 D1 B1 BD 所成的角的余弦值.

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
a ? ?1 ,? b ? 1 ?? , 0 ?
, , 且 1

,

0

(k ? a
值是( A.
5

)? b
) B.

( ,则 ? 2ak= b) ;

2. 已知 a ? ?1 ? t,2t ? 1,0 ?, b ? ?2, t, t ? , 则 b ? a 的最小
6

C.

2

D.

3

3. 空间两个单位向量 OA ? ? m ,n , 0? , OB ? ? 0, n, ? p与

※ 动手试试 练 1. 如图,正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面边长为 a ,
侧棱长为 2a . ⑴试建立适当的坐标系,写出点 A, B, A1 , C 1 的坐标 ⑵求 AC1 的侧面 ABB1 A1 所成的角.

OC ? ?1,1,1? 的夹角都等于

? ,则 cos ?AOB ? 4

4.将正方形 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角后,异 面直线 AB, CD 所成角的余弦值为 . 5. 正 方 体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的 棱 长 为 a , 1 AM ? AC1 ,N 是 BB1 的中点,则 MN =( ) 3 15 15 21 6 a a a B. a A. C. D. 6 3 6 6

课后作业
1. 如图, 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 点 E , F , G 分别为 DD1 , BD, BB1 的中点. ⑴ 求证: EF ? CF ; ⑵ 求 EF 与 CG 所成角的余弦值; ⑶ 求 CE 的长.

练 2. 已知点 A(1,-2,0),向量 a ? ? ?3,4,12 ? ,求点 B 的 坐标,使得 AB // a ,且 AB ? 2a .

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 空间向量的运算与平面向量的方法相同; 2. 向量的数量积和平面的法向量是向量解决立体几 何问题常用的方法. ※ 知识拓展
若二面角两个面的法向量分别是 n1 , n2 ,二面角为 ? 则 cos? ? ? cos n1 , n2 ,而
22


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