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平面与平面垂直的判定


§2.3.2

平面与平面垂直的判定

人造卫星轨道

赤道

讲授新课
1.半平面的定义 平面内的一条直线把平面分为两部
分,其中的每一部分都叫做半平面. 半 平 面 半 平 面

2.二面角的定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形

叫做二面角。 这条直线叫做二面角的棱,
这两个半平面叫做二面角的面。

l

?

?

二面角的画法及其表示方法
A 直 立 式

二面角?-AB- ?
?
B ?

?
平卧式 l

?

二面角?- l- ?

5

以二面角的棱上任意一点为端点,在两 个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这 两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

二面角的大小用它的平面角来度量
∠A O B
B1 B ?

∠A1O1B1 平面角是直角的二 面角叫做直二面角 l
O1

O

A

A1

?

注 意

二面角的平面角必须满足的条件:
1)角的顶点在棱上 2)角的两边分别在两个面内 3)角的边都要垂直于二面角的棱
? A

?

A O

l
O B

? ? B

指出上图中画法正确的二面角的平面角

一、几何法:
1、定义法: 以二面角的棱a上任意一点O为端点,在两个面内
分别作垂直于a 的两条射线OA,OB,则∠AOB就是 此二面角的平面角。 垂足为B,再过点B向棱a作垂线BO,垂足 为O, 连结AO,则∠AOB就是二面角的平面角。

2、三垂线法:在一个平面 ? 内选一点A向另一平面 ? 作垂线AB, 3、垂面法:
a
O
?

B
?

? 过二面角内一点A作AB⊥ 于B,作AC⊥ ?于C,面 ABC交棱a于点O,则∠BOC就是二面角的平面角。 ? A ? A C
?
?

A

B

a O

a

O

B

4、射影面积法:cosθ=s射影/s

例1:已知正三角形ABC,PA⊥面ABC,且 PA=AB=a, 求二面角A-PC-B的大小。
过E作ED⊥PC于D,连结BD, 三垂线法:过B作BE⊥AC于E,
则∠BDE就是此二面角的平面角。 P ∵△ABC为正△,∴ BE=
3 2 a

在Rt△PAC中,E为AC中点,

D
E A B

则DE=

2 4

a

在Rt△DEB中 C tan ∠ BDE=

BE DE

?

6

∴∠ BDE=arctan 6

几点说明:
⑴定义法是选择一个平面内的一点(一般为这个面的一个 顶点)向棱作垂线,再由垂足在另一个面内作棱的垂线。 此法得出的平面角在任意三角形中,所以不好计算,不是 我们首选的方法。 ⑵三垂线法是从一个平面内选一点(一般为这个面的一个 顶点)向另一个面作垂线,再由垂足向棱作垂线,连结这 个点和棱上垂足。此法得出的平面角在直角三角形中,计 算简便,所以我们常用此法。 ⑶垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线,因为这 一点不好选择,所以此法一般不用。 ⑷以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角。 ⑸射影法是在不易作出平面角时用。在解答题中要先证明射 影面积公式,然后指出平面的垂线,射影关系,再用公式, 这种方法虽然避免了找平面角,但计算较繁,所以不常用。

练习1:正方体ABCD-A1B1C1D1中, E为棱AA1的中点,求平面EB1C和平面 ABCD所成的二面角。
D C

cos ? ?

S ? A1 B1 C 1 S ?EB C
1

A

B

E
A1

D1

C1

B1

练习2:在正方体AC1中,E,F分别是中 点,求截面A1ECF和底面ABCD所成的锐 二面角的大小。
D1 A1

E
B1

C1

D

G
H

C

A

F

B

G
D A

H

C B

F

? 例1

.在正方体ABCD-A1B1C1D1中 (1)求二面角D1-AB-D的大小 (2)求二面角A1-AB-D的大小
D1 A1 B1 C1

D C A B

一般地,如果两个平面所成的二面角是直二面角,我 们就说这两个平面互相垂直。

?

平面与平面垂直的判定定理:如果一个平面 经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平 面互相垂直。
β

用符号表示为
l ?? ? ?? ? ? ? l ? ??
α

l

已知: AB ? ? , AB ? ? (图1 ) 求证: ? ? ?

[证明]:设α∩β=CD, ∵AB⊥β,CD在β内,∴AB⊥CD. 在平面β内过点B作直线BE⊥CD,则 ∠ABE是二面角α-CD-β的平面角, 而AB⊥BE,故α-CD-β是直二面角. ∴α⊥β。

例2:如图,AB是⊙O的直径,PA垂直⊙O所在 的平面,C是圆周上不同于A,B的任意一点. 求证:平面PAC⊥平面PBC. P
证明:设⊙O所在的平面为 ? ,由已知
PA ? ? ? ? ? PA ? BC BC ? ? ?

C
A

∵AB是⊙O的直径 ∴∠ACB=90°即BC⊥AC

· O

B

又 ? PA ? AC ? A   PA ? 平面 PAC   AC ? 平面 PAC ? BC ?? 平面 PAC
又 ? BC ? 平面 PAC ? 平面 PAC ? 平面 PBC

小结
1、二面角及其它的平面角
? A

l
O B

二面角?- l- ?
?

二面角的范围:[ 0°, 180 °].
β l

2、平面与平面垂直的判定定理
l ?? ? ?? ? ? ? l ? ??

α

平面与平面垂直的判定方法: (1)定义法:如果两个平面所成的二面 角是直二面角,我们就说这两个平面互相 垂直 (2)判定定理:如果一个平面经过另一 个平面的一条垂线,那么这两个平面互相 垂直(“线面垂直”则“面面垂直”)

? 如果两个平面垂直,那么一个平面内

的直线是否一定垂直与另一个平面?

α α

作业 P73 习题3、4

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