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高中新课标数学选修(2-2)综合测试题


高中数学选修(2-2)综合测试题
一、选择题
1、函数 y ? x 在区间 [1 , 2 ] 上的平均变化率为(
2

) (D) 5 )

(A) 2
3

(B) 3

(B) 4

2 曲线 y ? x 在点 (1,1 ) 处的切线与 x 轴、直线 x ? 2 所围成的三角形的面积为( (A)
8 3

(B)

7 3

(C)

5 3

(D) )

4 3

3、已知直线 y ? kx 是 y ? ln x 的切线,则 k 的值为( (A)
1 e

(B) ?

1 e

(C)

2 e

(D) ?

2 e

4、设 1, a ? bi , b ? ai 是一等比数列的连续三项,则 a , b 的值分别为(
3 2 3 2
2



(A) a ? ?

,b ? ?

1 2

(B) a ? ?

1 2 1 2

,b ?

3 2 3 2

(C) a ? ?

,b ?

1 2

(D) a ? ?

,b ? ?

5、方程 x ? ( 4 ? i ) x ? 4 ? ai ? 0 ( a ? R ) 有实根 b ,且 z ? a ? bi ,则 z ? ( (A) 2 ? 2 i (B) 2 ? 2 i (C) ? 2 ? 2 i (D) ? 2 ? 2 i
1



6、已知三角形的三边分别为 a , b , c ,内切圆的半径为 r ,则三角形的面积为 s ?

(a

2
? b ? c ) r ;四面体的四个面的面积分别为 s 1 , s 2 , s 3 , s 4 ,内切球的半径为 R 。类比三角形的

面积可得四面体的体积为( (A) V ? (C) V ?
1 2 1 4

) (B) V ?
1 3 ( s1 ? s 2 ? s 3 ? s 4 ) R

( s1 ? s 2 ? s 3 ? s 4 ) R ( s1 ? s 2 ? s 3 ? s 4 ) R

(D) V ? ( s 1 ? s 2 ? s 3 ? s 4 ) R ) (D) 11

7、数列 1, 2 , 2 , 3 , 3 , 3 , 4 , 4 , 4 , 4 , ? 的第 50 项是( (A) 8 (B) 9 (C) 10

8、在证明 f ( x ) ? 2 x ? 1 为增函数的过程中,有下列四个命题:①增函数的定义是大前 提;②增函数的定义是小前提;③函数 f ( x ) ? 2 x ? 1 满足增函数的定义是小前提;④函数
f ( x ) ? 2 x ? 1 满足增函数的定义是大前提;其中正确的命题是(



1

(A)①②

(B)②④
2

(C)①③
2

(D)②③ )

9、若 a , b ? R ,则复数 ( a ? 4 a ? 5 ) ? ( ? b ? 2 b ? 6 ) i 表示的点在( (A)在第一象限 (C)在第三象限 10、用数学归纳法证明不等式“
1 n ?1 ?

(B)在第二象限 (D)在第四象限
1 n ? 2 ?? ? 1 2n ? 13 24 ( n ? 2 ) ”时的过程中,

由 n ? k 到 n ? k ? 1 时,不等式的左边( (A)增加了一项
1 2 ( k ? 1) 1 2k ? 1 1 2 ( k ? 1)
3

) (B)增加了两项
1 2k ? 1 ? 1 2 ( k ? 1)

(C)增加了两项

?

1 2 ( k ? 1)

,又减少了

1 k ?1



(D)增加了一项

,又减少了一项
2

1 k ?1



11、如图是函数 f ( x ) ? x ? bx 图象,则 x 1 ? x 2 等于(
2 2

? cx ? d 的大致

) (B) (D)
3 2

(A) (C)

2 3 8 3

4 3 12 3

12、 对于函数 f ( x ) ? x ? 3 x , 给出下列四个命题: f ( x ) 是增函数, ① 无极值; f ( x ) ② 是减函数,有极值;③ f ( x ) 在区间 ( ?? , 0 ] 及 [ 2 , ?? ) 上是增函数;④ f ( x ) 有极大值为 0 , 极小值 ? 4 ;其中正确命题的个数为( (A) 1 (B) 2 ) (C) 3 (D) 4

二、填空题
13、函数 f ( x ) ? x ? 3 x ? 1 在闭区间 [ ? 3 , 0 ] 上的最大值与最小值分别为:
3

14、若 z 1 ? 1 ? 3 i , z 2 ? 6 ? 8 i ,且

1 z

?

1 z1

?

1 z2

,则 z 的值为



15、用火柴棒按下图的方法搭三角形:

按图示的规律搭下去,则所用火柴棒数 a n 与所搭三角形的个数 n 之间的关系式可以

2



.

16、物体 A 的运动速度 v 与时间 t 之间的关系为 v ? 2 t ? 1 ( v 的单位是 m / s , t 的单 位是 s ) ,物体 B 的运动速度 v 与时间 t 之间的关系为 v ? 1 ? 8 t ,两个物体在相距为 405 m 的同一直线上同时相向运动。则它们相遇时,A 物体的运动路程为:

三、解答题
17.(12 分)已知复数 z ? ( m ? 8 m ? 1 5 ) ? ( m ? 9 m ? 1 8 ) i 在复平面内表示的点为 A,
2 2

实数 m 取什么值时, (1)z 为实数?z 为纯虚数? (2)A 位于第三象限?

18、求由 y ? sin x 与直线 y ?

2

2x 3?

所围成图形的面积

3

19.(13 分)如图,设铁路 AB 长为 80,BC⊥AB,且 BC=10,为将货物从 A 运往 C,现在 AB 上 距点 B 为 x 的点 M 处修一公路至 C,已知单位距离的铁路运费为 2,公路运费为 4. (1)将总运费 y 表示为 x 的函数; C (2)如何选点 M 才使总运费最小?

A

M

B

20. (本小题 14 分)已知函数 f ( x ) ?

1 2

x ? ln x .
2

e (1)求函数 f ( x ) 在区间 [1, ] 上的最大、最小值; ? (2)求证:在区间 (1, ? ) 上,函数 f ( x ) 的图象在函数 g ( x ) ?

2 3

x 的图象的下方.
3

4

高中数学选修(2-2)综合测试题参考答案
? 3 ?a ? ? ?a ? b ? b ? 2 ? a ? bi ? ? ? ? 2 ab ? a 1 ? ?b ? ? 2 ?
2 2

1(B)2(A)3(A) ;4(C) ;由 ( b ? ai ) 2

5(A) ;由 ?

?b

2

? 4b ? 4 ? 0

?b ? a ? 0
2

?b ? ? 2 ,则 z ? 2 ? 2 i 6(B) ? ? ?a ? 2
2 2

7(C)

8(C)

9(D) ;由 a ? 4 a ? 5 ? ( a ? 2 ) ? 1 ? 0 , ? b ? 2 b ? 6 ? ? ( b ? 1 ) ? 5 ? 0 ,知在第
2

四象限;10(C) ;11(B) ;其中命题③与命题④是正确的。 12 ( C ) 提 示 , 由 图 象 过 ( 0 , 0 ), (1, 0 ), ( 2 , 0 ) 知 f ( x ) ? x ( x ? 1 )( x ? 2 ) 经 比 较 可 得 ;
? x1 ? x 2 ? 2 ? ? 6 x ? 2 得? ; 2 ? x1 x 2 ? 3 ?
1 10 3 10

b ? ? 3 , c ? 2 , d ? 0 ,即 f ( x ) ? x

3

? 3x

2

? 2 x ,由 f ( x ) ? 3 x
/

2

13.

3 , ? 17 ;14

z ?

4 5

?

22 5

i ;提示,由 z 1 ? 1 ? 3 i ,得

1 z1

?

?

i

又由 z 2 ? 6 ? 8 i ,得 15 16
an ? 2n ? 1

1 z2

?

3 50

?

4 50

i ,那么

1 z

?

1 z2

?

1 z1

? ?

2 ? 11 i 50

t

t

72 m ;提示,设运动 ts 时两物体相遇,那么 ? ( 2 t ? 1 ) dt ?
0

? (1 ? 8 t )dt
0

? 405

9

得 t ? 9 ,由于 ? ( 2 t ? 1 ) dt ? 72 ,得相遇时 A 物体运动 72 m ;
0

17.解: (1)当 m ? 9 m ? 1 8 =0 即 m=3 或 m=6 时,z 为实数; …………………………3 分
2

当 m ? 8 m ? 1 5 ? 0 , m ? 9 m ? 1 8 ? 0 即 m=5 时,z 为纯虚数.…………………………6 分
2 2

(2)当 ?

?m ?m

2

? 8m ? 15 ? 0 ? 9m ? 18 ? 0

2

即?

?3 ? m ? 5 ?3 ? m ? 6

即 3<m<5 时,对应点在第三象限. ……………12 分

3? ? x ? ? ? y ? sin x ? 4 ? ? 18、解:由 ? 或 2 2x ? ? ?y ? ?y ? ? 2 ? ? ? 2 ?

5

3? ? x ? ? ?x ? 0 3? 4 ? 或? ,本题的图形由两部分构成,首先计出 [ ? , 0 ] 上的面积,再计算出 ? 4 2 ?y ? 0 ?y ? ? 2 ?
[0, 3? 4
3? 0

] 上的面积,然后两者相加即可;于是

S ?
?

?

(

2

2x 3?

4

? sin x ) dx ?

3? 4

? (sin
0

x ?

2

2x 3?

) dx ? (

2x 3?

2

0

? cos x )
? 3? 4

? ( ? cos x ?

3?

2x 3?

2

4

)
0

?

16 ? ( 8 ? 3 8

2? )

19.解:(1)依题,铁路 AM 上的运费为 2(50-x) ,公路 MC 上的运费为 4 1 0 0 ? x 2 ,则由 A 到 C 的总运费为
y ? 2 (5 0 ? x ) ? 4 1 0 0 ? x ?(0 ? x ? 5 0 )
2

…………………………… 6 分
10 3 , x2 ? ? 10 3

(2) y ? ? ? 2 ?

4x 100 ? x
2

? ( 0 ? x ? 5 0 ) ,令 y ? ? 0 ,解得 x 1 ?

(舍)9 分

当0 ? x ?

10 3

时, y ? ? 0 ;当 5 0 ? x ?

10 3

时, y ? ? 0 ,

故当 x ?

10 3

时,y 取得最小值.

……………12 分

即当在距离点 B 为

10 3

时的点 M 处修筑公路至 C 时总运费最省.
1 x

…………13 分

20.(1)解:由已知 f ? ( x ) ? x ?
e 当 x ? [1, ] 时, f ? ( x ) ? 0 ,



e 所以函数 f ( x ) 在区间 [1, ] 上单调递增,
2

e 所以函数 f ( x ) 在区间 [1, ] 上的最大、最小值分别为 f ( e ) ?

e

? 1 , f (1) ?

1 2



2
e
2

e 所以函数 f ( x ) 在区间 [1, ] 上的最大值为

? 1 ,最小值为

1 2



2

6

(2)证明:设 F ( x ) ?

1 2

x ? ln x ?
2

2 3

3 x ,则 F ? ( x ) ? x ?

1 x

? 2x

2

?

(1 ? x ) (1 ? x ? 2 x )
2



x

因为 x ? 1 ,所以 F ? ( x ) ? 0 , 所以函数 F ( x ) 在区间 (1, ? ) 上单调递减, ? 又 F (1) ? ?
1 6
? ? 0 ,所以在区间 (1, ? ) 上, F ( x ) ? 0 ,即

1 2

x ? ln x ?
2

2 3

x ,
3

所以在区间 (1, ? ) 上函数 f ( x ) 的图象在函数 g ( x ) ? ?

2 3

x 图象的下方
3

7


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