当前位置:首页 >> 数学 >>

概率课件3.1


第三章 作业题
P- 178 3, 5, 6,(补充1-6题见后) 13, 15, 16, 20, 21, 26, (补充7 - 9题见后) 29, 30, 32, 33. (补充 10 - 12题见后)

1、有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车
通过,设一辆汽车在一天的某段时间内 出事故的概率为0.0001.在某天的该时间段 内有1000辆汽车通过。问出事故的车辆数 不小于2的概率是多少?

(利用泊松定理计算)

2、设随机变量X的分布函数为

?0 ? F ? x ? ? ?ln x ?1 ?
(2) 求X 的概率密度 f ? x ?

x ?1 1? x ? e x?e
5? ? , P ?2 ? X ? ? 2? ?

(1) 求 P ? X ? 2? , P ?0 ? X ? 3?

3、设随机变量X的概率密度函数为

?x ? p ? x ? ? ?2 ? x ?0 ?

0 ? x ?1 1? x ? 2 其他

求X 的分布函数 F ? x ?

4、设顾客在某银行的窗口等待服务的时 间X(min)服从指数分布,其概率密度为

?1 ? e f ? x? ? ? 5 ?0 ?

1 ? x 5

x?0 其他

某顾客在窗口等待服务,若超过 10min 他 就离开,他一个月要到银行5次。以Y表示 一个月内他未等到服务而离开窗口的次数。 写出η的分布律,并求 P Y ? 1

?

?

5、设随机变量X服从正态分布
N ? ? ,?
2

?

且二次方程

t ? 4t ? X ? 0
2

无实根的概率为0.5,求参数 μ .

6、某批产品优等品率为80%,每位检

验员将优等品判断为优等品的概率为 97% , 将非优等品判断为优等品的概率为2%。为 了提高检验结果的准确性,决定由三人组 成检验组进行检验。三人中至少有两人认 为是优等品的产品,才能最终确定为优等 品。假设每位检验员的判断是相互独立的, 那么被检查组判断为优等品的产品,它确 实为优等品的概率是多少?

7、设随机变量X的分布律为 X
P

-2
1/5

-1
1/6
2

0
1/5

1

3

1/15 11/30



Y?X

的分布律.

8、设随机变量X在区间(0 ,1 ) 服从均匀分布。. (1)求

Y ?e

X

的概率密度。

(2)求 Y = -2ln X 的概率密度。

9、设随机变量 X~ N(0 ,1 )试求

(1) Y ? e

X

的概率密度。 的概率密度。 的概率密度。

(2) Y ? 2 X ? 1
2

(3) Y ?| X |

10、设随机变量(X , Y)的概率 密度为

?1 ?? x ? y ? x ? 0, y ? 0 ? ? x ? y?e f ( x, y) ? ? 2 ? 其它 ? 0
(1)问 X与 Y是否相互独立

(2)求 Z = X +Y的概率密度。

11、设随机变量X, Y相互独立,它

们都在区间(0 ,1)服从均匀分布。
Z是以X , Y 为边长的矩形的面积,求 Z 的概率密度。

12、设随机变量ξ, η相互独立,

且 X~ U(0 ,1),Y~ U(0 ,2)
试求

Z ? max ? X , Y?

的概率密度。

第三章随机变量 与分布函数

在前面,我们已经研究了随机事件及 其概率,建立了概率论中的一些基本概念,

通过随机事件的概率计算使我们初步了解了
如何定量描述和研究随机现象及其统计规律 的基本方法.然而实际中由一个随机试验导

出的随机事件是多种多样的,因此,想通过
随机事件概率的计算来达到了解随机现象的 规律性显得很不方便.

本章,我们将引进概率论中的一个
重要概念—随机变量.随机变量的引进 是概率论发展史上的重大事件,它使概 使随机试验的结果数量化,这有利于我

率论的研究从随机事件转变为随机变量, 们用分析的方法来研究随机现象的统计
规律.

本章我们将介绍随机变量的概 念、随机变量的分布及一些常见的典 型分布,给出分布函数的概念及计

算,最后给出随机变量函数的分布.

3.1 随机变量及其分布
一、随机变量的定义

实例 做试验抛一枚匀质硬
币,其样本空间 ?={?}={ H,T }

可规定随机变量

?1,?=H X ? X ?? ? ? ? ?0,?=T
随机变量是定义在样本空间上的一
个实函数。

X:? ? R

定义 设随机试验E的样本空间为
?={?},若对于?中每一个样本点 ?,

都有一个实数X(?) 与之对应,则得到
一个定义在?上的单值实函数X(?) ,称 X(?) 为随机变量。并将X(?) 简记为 X.

通常用 X、Y、Z… , 或字母

?、 ? 、 ? …

随机变量的分类:
离散型随机变量 ? ? 随机变量 ? 连续型 ? ?非离散型 ?奇异型(混合型) ? ?

二、随机变量的分布函数
为了统一刻画离散型随机变量与连续型

随机变量的统计规律性,需引入一个新的数
学工具来揭示其概率分布状况。由于在实际 应用中,对于任意随机变量 X ,一般需要知 道它取值落在任意区间(a,b]上的概率.若对 任意给定的实数 x ,事件 {X≤x}的概率 P{X≤x}

能确定的话,那么概率 P{a<X≤b} 也就知道了

定义 设 X为一随机变量,对任意实 数 x,称

F(x)=P{X ≤ x}
为随机变量 X 的分布函数。(注意等号)
F ( x)
?

F(x)为普通函数。

F ( x)

?它表示随机变量

X

X
O
x
x

?落在x点及其左方的概率。

?x1 ? x2 .

P{x1 ? X ? x2}
? P{X ? x2 } ? P{X ? x1}

? F ( x2 ) ? F ( x1 ) ? 0

定理1 分布函数 F ( x) , x ? (??, ??) 有下列性质

(1) 0 ? F( x) ? 1;

(2)F ( x)单调不减 : 若x1 ? x2 ? F ( x1 ) ? F ( x2 ),
( 3) F ( ??) ? lim F ( x ) ? 0
x ?? ?

F ( ??) ? lim F ( x ) ? 1;
x ?? ?

(4) F( x)右连续,即 F( x ? 0) ? F( x).

P{ X ? a}? F (a ) 。

几个常用的概率公式

P{a ? X ? b} ? F (b) ? F (a),
P{X ? a} ? F (a) ? F (a ? 0),
P{a ? X ? b} ? F (b) ? F (a ? 0)

P{ X ? b} ? 1 ? F (b) P{ X ? b} ? F (b ? 0)

一般地,随机变量X取值的概率称为该 随机变量 X 的概率分布.要研究随机变量 X 的概率分布,就要完成如下两件事: 1.随机变量的取值范围是什么?

2.它取每个值或在某个范围内取值
的概率是多少? 我们将分别讨论离散型随机变量、连 续型随机变量的概率分布.

三、离散型随机变量
定义 设?xi ? 为离散型随机变量X的所有

可能值;而p ? xi ? 是X 取 xi 的概率,即

P? X ? xi ? ? p ? xi ? , i ? 1,2,

?p?x ?
i

, i ? 1,2,

?称为随机变量X 的

概率分布或分布列

X

P p ? x1 ? p ? x2 ?
或简记为

x1

x2

p ? xn ?

xn

称为随机变量 X 的分布列。

X

x1

x2

xn

P

p1

p2

pn

1、概率分布的性质

() 1 p ? xi ? ? 0 , i ? 1, 2,
(2)

? p?x ? ?1
i ?1 i

?

写分布律的原则:
(1) 搞清 X 的所有可能取值。 (2) 依次求出X取每个值的概率, 使所有概率和为 1。

常用公式

P ( a ? X ? b)

?P
?
a ? xi ?b

{
a ? xi ?b

( X ? xi )}

?

P( X ? xi )

例 1 设袋中有 5 只球,其中有 2 只白 3 只 黑。现从中任取3只球 (不放回),求抽得

白球数 X为 k 的概率。
解 k可取值0,1,2

C C P{ X=k}= C

k 2

3? k 3 3 5

.
k ? 0,1, 2

例2 某射手有3发子弹,连续向同一目 标射击,直到击中目标为止或子弹用尽 为止。设每次击中目标的概率为0.8,求 耗用子弹数 X的分布律。
解 X的所有可能取值为 1 , 2, 3.

P{X ? 1} ? 0.8,
P{ X ? 2} ? P{第一次未中而第二次击中}
? 0.2 ? 0.8 ? 0.16,
P{X ? 3} ? P{前二次未击中,而第三次 击中或三次都未击中}

? 0.2 ? 0.8 ? 0.2 ? 0.04.
2 3

X的分布列为
X
P 1 0.8 2 0.16 3 0.04

2、离散型随机变量 X的分布函数

F ( x) ? P{ X ? x}
? ? P( X ? xi ) ? ? p ? xi ?
xi ? x xi ? x

?x ? (??, ??) F(x)是一个阶梯函数,
它在每个

xk

处有跳跃度

pk

由分布列求分布函数的步骤
(1)X的取值 (2)由

xk为分布函数F(x) 的分界点

xk将 (??, ??)分为若干段,仅最

左边那段是开区间其余皆为左闭右开。

例3 随机变量 X 的分布律为
X pk
0 0.3 1 0.6 2 0.1

求 X 的分布函数F ( x),并求 P{1 ? X ? 2}; F (0.5) 及 P{ X ? 0.5}.



F ( x) ? P{X ? x}

?

xk ? x

? P{X ? x }
k

? 0, ? P{X ? 0} ? 0.3, ? ?? P{ X ? 0} ? P{ X ? 1} ? ? 1, ?

x ? 0,

0 ? x ? 1,
? 0.9,

1 ? x ? 2,
x ? 2.

P{1 ? X ? 2} ? F(2) ? F(1) ? 1 ? 0.9 ? 0.1
F(0.5) ? 0.3,

P{X ? 0.5} ? 0.

1

0.9

0.3 O
1 2 x

由分布函数求分布列的步骤
(1)分布函数F(x)的分界点即为 X 的取值 k (2) P( X

x

? xk ) ? F ( x k ) ? F ( xk ? 0)


xk 左侧邻近)

例4 已知 X 的分布函数 F(x) 为

x ? ?1 ?0 ?0.3 ? 1 ? x ? 0 ? ? F ( x) ? ?0.6 0 ? x ? 1 ?0.8 1 ? x ? 3 ? x?3 ? ?1
试求 X的概率分布,及 P{ X ? 1| X ? 0}

P( X ? ?1) ? F ? ?1? ? F ? ?1 ? 0? ? 0.3 ? 0 ? 0.3

P( X ? 0) ? F ? 0? ? F ? 0 ? 0? ? 0.6 ? 0.3 ? 0.3

P( X ? 1) ? F ?1? ? F ?1 ? 0? ? 0.8 ? 0.6 ? 0.2

P( X ? 3) ? F ? 3? ? F ? 3 ? 0? ? 1 ? 0.8 ? 0.2

X
P

-1

0

1

3

0.3

0.3

0.2

0.2

P( X ? 0) ? 1 ? P( X ? 0) ? 0.7
P( X ? 1, X ? 0) ? P( X ? ?1) ? 0.3
0.3 3 故 P( X ? 1| X ? 0) ? ? 0.7 7

练习 汽车需通过4个有红绿灯的路口才能 到达目的地,设汽车在每个路口通过(遇到 绿灯)的概率都是 0.6,停止前进(遇到红 灯)的概率为 0.4.各路口红、绿 灯的情况相 互独立。求: (1)汽车首次停止前进(即遇到红灯或 到达目的地)时,已通过的路口数X的分布 律,并作出分布函数的图像。 (2)汽车首次停止前进时,已通过的路 口不超过2个的概率

解 记汽车首次停止前进时已通过 的路口数为X, X :0,1,2,3,4

(1) Ak 表示“汽车在第 k个路口遇
到绿灯”K = 1,2,3,4

P? X ? 0? ? P( A1 ) ? 0.4
P?X ? 1? ? P( A1 A2 ) ? 0.6 ? 0.4

P? X ? 2? ? P( A1 A2 A3 ) ? 0.6 ? 0.4
2

P? X ? 3? ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? 0.6 ? 0.4
3

P? X ? 4? ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? 0.6

4

X的分布律为 X 0
P

1 0.24

2 0.144

3 0.0864

4 0.1296

0.4

F ( x) ? P{ X ? x}
? ? P( X ? xi ) ? ? pi
xi ? x xi ? x

X 的分布律为 X
P

0
0.4

1
0.24

2
0.144

3
0.0864

4
0.1296

x
0

x
1

x
2

x
3

x
4

x

X的分布函数为

?0 ?0.4 ? ?0.64 F ( x) ? ? 0.784 ? ?0.8704 ? ?1

x?0 0 ? x ?1 1? x ? 2 2? x?3 3? x?4 x?4

F(x)
1
0.8704 0.784 0.64 0.4








0

1

2

3

4

x

(2)

P? X ? 2?

? P?X ? 0? ? P?X ? 1? ? P?X ? 2?

? 0.4 ? 0.24 ? 0.144
=0.784

四、常用的离散型随机变量的概率分布
1、退化分布(单点分布)

定义1 若随机变量X只取常数值a,即

P ? X ? a? ? 1
这个分布称为退化分布或单点分布

2、伯努利分布(两点分布) 定义2 在一次试验中,事件A出现的概率

为 p,不出现的概率为 q = 1-p , 0 < p < 1,

q + p =1, 若以X记事件A出现的次数,则X 仅取0,1两个值,相应的概率为

P( X ? k ) ? p q , k ? 0,1
这个分布称为伯努利分布(两点分布)

k 1? k

3. 二项分布 定义 设 X 表示 n 重伯努利试验中成功

的次数,则 X为随机变量,其所有可能取
值为 0, 1, 2,…, n. ,其对应的概率为

P{ X ? k} ? C p q
k n k

n?k

k ? 0,1,2,?, n.

称 X服从参数为 n, p 的二项分布。记为

X~ B(n,p).

当 n = 1时,

P{ X ? k} ? p q
k

1? k

, k ? 0,1.

这是 (0-1) 分布。
在 n 次重复独立试验中 A发生(成功)的

次数 X~B(n , p) ,其中 P = P(A).

易知

(1). P{ X ? k}

? C p (1 ? p)
k n k
( K = 0, 1,2, …n )

n?k

?0

(2). ? P{ X ? k}
k ?0

n

? ? C p (1 ? p)
k ?0 k n k

n

n?k

? [ p ? (1 ? p)] ? 1
n

例如: 进行 100 次射击,每次击 中目标的概率 0.01 ,则击中目标次数 X~ B(100 , 0.01). 恰击中3次的概率为

P{ X ? 3} ? C

3 100

0.01 0.99

3

100? 3

.
100

至少击中一次的概率为

P{ X ? 1}? 1 ? P{ X ? 0}? 1 ? 0.99

小结: 二项分布适应的情况 1、同条件下重复进行 n 次的同一试验。

2、同条件,同时独立进行 n 个同一试验

例6 设每次射击命中目标的概率为
0.001,共射击5000次,若X表示命中的

次数,试求
(1)随机变量 X的分布律 (2)至少有两次命中目标的概率 (3) 最可能命中的次数

解 (1)每次射击有两种可能结果 A:“命中目标”, A “未命中目标”

P(A) = 0.001, n=5000; 各次射击相互独立
则 X ~ B(5000,0.001)

P ? X ? k?

?C

k 5000

0.001 ? (1 ? 0.001)
k

5000?k

K =0,1, …,5000

(2)

P? X ? 2?
k 5000

? ?C
k ?2
0 5000

5000

0.001 ? 0.999
k
5000 1 5000

5000 ? k

? 1? C 0.001 ? 0.999
0

? C 0.001? 0.999

4999

? 0.96

(3)因为

? n ?1? p ? ?5000 ?1? ? 0.001 ? 5.001
所以最大可能命中的次数为5

例8 连续不断的掷一枚均匀的硬
币,问至少掷多少次才能使正面至少出

现一次的概率不小于0.99?

1 解 A “表示正面向上” P ? A ? ? 2
n 次伯努利试验中A出现的次数 为X

X ~ B(n,0.5)

P? X ? 1? ? 1 ? P? X ? 0?

? 1 ? C (0.5) (0.5) 1 ? 1? n 2 1 依题意有 1 ? ? 0.99 n 2 解之得 n ? 7
0 n 0 n

例9 假设一厂家生产的每台仪器,以 ? 概率0.7可以出厂;以概率0.3需进一步调 ? 试,经 调试后以概率0.8可以出厂,以概 ? 率0.2定为不合格,不能出厂。现该厂新 ? 生产了n(n>2)台仪器(假设各台仪器的生 ? 产过程相互独立)试求: ? (1)全部能出厂的概率α; ? (2)其中恰好有2台不能出厂的概率β; ? (3)其中至少有2台不能出厂的概率θ。
?



设 n 台仪器中,能出厂的台数为 X ,

每台仪器能够出厂的概率为p,则 X~ B(n,p). 记 A= { 一台仪器能出厂 };

B={一台仪器不需调试}, 则

P ? B ? ? 0.7, P ? A | B ? ? 1
P ? B ? ? 0.3, P ? A | B ? ? 0.8

p ? P ? A? ? P ? B ? P ? A | B ? ? P ? B ? P ? A | B ?

? 0.7 ?1 ? 0.3 ? 0.8 ? 0.94
X~ B ( n, 0.94 ).

(1) ? ? P? X ? n?
? C ? 0.94 ? 0.06 ? 0.94
n n n 0 n

(2) ? ? P? X ? n ? 2?

? 0.94 ? 0.06 2 n ?2 2 ? Cn ? 0.94 ? 0.06 (3) ? ? P? X ? n ? 2?
2

?C

n ?2 n

n ?2

? 1 ? P? X ? n? ? P? X ? n ?1?

? 1 ? 0.94 ? C ? 0.94
n 1 n
n

n?1

? 0.06
n ?1

? 1 ? 0.94 ? 0.06n ? 0.94

4. 超几何分布 设一批产品共 N 件,其中有 M 件次 品。对该批产品进行不放回的抽样检查。

现从整批中任取n件产品,则在这n件产品
中出现的次品数X 是随机变量,它取值为 0,1 , 2 , … , n, 其概率分布为超几何分布。

C C P{ X ? k} ? C

k M

n?k N ?M n N

,

0?k ?n? N ;k ?M

若有放回抽取,则取出的次品数 M X 服从二项分布 B(n, ). N

若不放回抽取或一块取,则取出 的次品数 X服从超几何分布。 当 N 很大且 n 相对于N 很小时,

不放回抽取可以近似认为是有放回抽取。
次品数 X可认为近似服从 二项分布。

定理 设在超几何分布中,n 是一个 取定的正整数,k=0, 1, 2, …, n 而

M lim =p N ?? N


n?k N ?M n N

C C lim N ?? C

k M

=C p (1 ? p)
k n k

n?k

当 N 很大且 n 相对于N 很小时,即

n M ? 5%, ?p N N

C C C

k M

n?k N ?M n N

? C p (1 ? p)
k n k

n?k

5. 泊松(Poisson)分布
设随机变量 X可取一切非负整数值,且

P{ X ? k} ?

? e

k ??

k!

, k ? 0,1, 2,

则称 X 服从参数为 ? > 0 的泊松分布。
记作

X ~P(?).

易知
?

(1). P{ X ? k} ? 0 ;
? k}

( 2)
?

? P{ X
k ?0

??
k ?0

? e
k

??

k!

?e

??

? k!
k ?0

?

?

k

? e e ?1

?? ?

泊松定理 (泊松逼近) 设 npn=? > 0 为常数,则对任意一
非负整数 k ,有

limC p (1 ? pn )
n? ? k n k n

n? k

?

?e

k ??

k!

.

应用:设 X~B(n,p),则当 n 很大且 p
很小 时, X 近似服从 P(?),其中 ? =

np. 一般当 n ≥ 10 , p ≤ 0.1 时,就可以用
泊松分布近似代替二项分布,通过查泊

松分布表来计算二项分布的数值。

C p (1 ? p)
k n k

n?k

?

?e

k ??

k!

.

6. 几何分布 在成功的概率为p 的伯努利试验中, 若以X 记成功首次出现时的试验次数, 则X 是一个随机变量,它可能取值为

1,2,…其概率分布为参数为 p,q 的
几何分布

P( X ? k ) ? q

k ?1

p

(k ? 1, 2, )

(1- p = q , 0< p <1).

说明:
X 也可看成是等待首次“成功” 出现的“时间”,有时也称 X 是等待

时间分布。 因右端是几何级数的一般项,故得名。

7. 帕斯卡分布 在成功的概率为 p 的伯努利试验中,

若以 X 记第r次成功出现时的试验次数,
则 X是一个随机变量,它可能取值为 r,r+1,… 其概率分布为帕斯卡分布

P( X ? k ) ? C p q

r ?1 r k ? r k ?1

(k ? r , r ? 1 )

说明: 1、当 r = 1时,帕斯卡分布化为几何分布

2、如果第r 次“成功”出现恰好是在第 k 次
试验时实现的,那么在前 k-1 次试验中“成

功”恰出现 r-1 次,由二项分布其概率为

C

r ?1 k ?1

p q

r ?1 k ? r

第 k 次“成功”出现,

其概率为 p, 这就是

C

r ?1 k ?1

p q

r ?1 k ? r

p

例12 电视发射塔按承受10级大风的 ? 风速设计,若每年出现10级以上大风的 ? 概率为0.02,试求: ? (1)电视塔建成后的第五年首次出现 ? 10级以上大风的概率。 ? (2)电视塔建成后的第五年出现第2 ? 次10级以上大风的概率。
?

解 设X表示首次出现10级以上大风的 时间(年为单位),则 X服从几何分布

P( X ? k ) ? (0.98) (0.02) (k ? 1,2, )
(1)

k ?1

P( X ? 5) ? (0.98) (0.02) ? 0.018
4

(2)设 Y表示第五年出现第2次10级

以上大风,则由帕斯卡分布得 当 K = 5, r = 2 时的概率为

P?Y ? 5?

? C (0.02) ? (0.98) ? 0.02
1 4 3

=0.0015

三、常用分布律之间的关系
1. (0-1)分布和二项分布的关系

(0-1)分布是二项分布 B(n, p) 中n=1
时的特款; 2. 几何分布和帕斯卡分布的关系

几何分布是帕斯卡分布中 r=1 时的 特款;

3. 超几何分布和二项分布的关系 设在超几何分布中,n 是一个取定

的正整数,k=0, 1, 2, …, n



M lim =p N ?? N



C C lim N ?? C

k M

n?k N ?M n N

=C p (1 ? p)
k n k

n?k

M ?p N

C C C

k M

n?k N ?M n N

? C p (1 ? p)
k n k

n?k

4. 二项分布和泊松分布的关系

lim C p (1 ? pn )
n ?? k n k n

n?k



?

k

k!

e ,

??

lim npn ? ? ? 0,
n ??

C p (1 ? p )
k n k

n?k

?

?

k

k!

e ,

??

例 某人射击的命中率为0.02,他独立射击
400次,试求其命中次数不少于2的概率。 解 设X表示400次独立射击中命中的次数

则 X ~B(400, 0.02)

故 P{X ? 2}=1- P{X =0}-P {X =1}

? 1 ? 0.98 ? 400 ? 0.02 ? 0.98 =0.997165.
400

399

另解 (用泊松分布近似)

? = n p =(400)(0.02)=8,

8 ?8 P{ X=k}= e , k ? 0 k!
P{X ? 2}=1- P{X =0}-P {X=1}

k

? 1 ? (1 ? 8)e ? 0.996981
这里用泊松分布近似计算的相对误差

?8

仅为 0.0185%.

例 从废品率是0.001的100000件产品
中, 一次随机抽取500件,求其中废品率

不超过0.01的概率。 解 设500件中废品件数为X,它是一个
随机变量且X服从

N ? 100000, M ? 100, n ? 500
的超几何分布。

由于n 相对于N较小,因此它可以用
二项分布B(500,0.001)近似。又因在二项 分布B(500,0.001)中,n=500比较大,而 p=0.001 非常小,因此该二项分布又可用

泊松分布近似,其分布参数

? ? np ? 0.5

? X ?? P X ?5 P? ? 0.01? ? ? ? 500 ?

0.5 ?0.5 ?? e m?0 m !
= 0.999986

5

m

解题方法与技巧 1. 随机变量的分布形式确定后参数与概率

分布相互唯一确定。
2. 离散型随机变量的 0-1分布、二项分布、

几何分布常常需要从试验背景中提炼,故对上述
分布的背景应该熟练掌握。 3. 随机变量服从二项分布B(n,p)时,其中参数p

常是某事件的概率,由其他分布计算得到。

练习: 有一大批产品,其验收方案如下:先做
第一次检验:从中任取10件,经检验无次品接受这 批产品,次品数大于 2 拒收;否则作第二次检验, 其做法是从中再任取5件,仅当5件中无次品时接受 这批产品。若产品的次品率为10%,求 (1)这批产品经第一次检验就能接受的概率。 (2)需作第二次检验的概率。 (3)这批产品按第二次检验的标准被接受的 概率 (4)这批产品在第一次检验未能作决定且第二次 检验时被通过的概率。

(5)这批产品被接受的概率。

解由于n =10(或5)相对于N(一大批) 较小,因此,可以用二项分布作近似

若以X表示第一次所抽取的10件产品
中所含的次品数,则 X ~B(10,0.1) 。

若以Y表示第二次所抽取的 5 件产品
中所含的次品数,则 Y ~B(5,0.1) 。 这时 X ,Y的取值被认为是放回抽样的

结果,即都是独立试验的结果

( 1)

P? X ? 0?
0 10 0 10

? C ? 0.1 ? 0.9 ? 0.349
( 2)

P?1 ? X ? 2?
9 2 10 2 8

? C ? 0.1? 0.9 ? C ? 0.1 ? 0.9
1 10

? 0.581

( 3)

P?Y ? 0?
0 5 0 5

? C ? 0.1 ? 0.9 ? 0.59
? P?1 ? X ? 2? ? P?Y ? 0?
? 0.581? 0.590 ? 0.343

(4)

P? 1 ? X ? 2 ? ? ?

?Y ? 0?? ?

( 5)

P? X ? 0 ? ? ?

??1 ? X ? 2? ?Y ? 0??? ?

? P? X ? 0? ?P?1 ? X ? 2? ? P?Y ? 0?

? 0.349 ? 0.343 ? 0.692

思考题
设一段时间内进入某商店的顾客人数 X 服从泊松分布,即 X~ P(?),每个顾客

购买某种物品的概率为p ,并且每个顾客 是否购买该种物品是相互独立的,求这
段时间里购买这种物品的人数Y的分布

分析:注意到在给定进入商店的人数

为m 的条件下,m个人中购买物品的人数

服从二项分布,综合起来,购买人数的 概率分布的计算根据进入商店的人数的
不同情况利用全概公式来进行。即事件

?X ? 0?,?X ? 1?, ,?X ? n?,
构成一个完备事件组。

解 设X表示进入商店的人数,则 X~ P(?),即

P{ X ? m} ?

? e

m ??

m!

, m ? 0,1, 2,

设进入m个人购买的人数为Y ,则

P ?Y ? k | X ? m?=C p (1 ? p)
k m k

m?k

(k =0,1,2…, m)

注意到当 m < k 时,

P ?Y ? k | X ? m?=0
由全概公式有

P ?Y ? k?
? ? P ? X ? m? P ?Y ? k | X ? m?
m?0 ?

=?
m?k
?? ?

?

?

e C p (1 ? p) m!
k m k

m

??

m?k

=e

m?k

?

?

m?k ? k

m! k m?k p (1 ? p) m! k ! ? m ? k ?!
k

=e

??

?? p?
k!

??q ? ? m? k ?0 ? m ? k ? !
? m?k

=e

??

?? p?
k!
k

k

e

?q

? p? ? =
k!

e

?? p

? k ? 0,1, 2, ?

即购买该物品的人数服从参数 为 ?p
的泊松分布 P(?p)


赞助商链接
相关文章:
3.1.1随机事件的概率教案
3.1.1随机事件的概率教案 - 3.1.1 随机事件的概率 (一) 、学习目标: ? 1.了解随机事件发生的不确定性和概率的稳定性. ? 2.正确理解概率的含义,理解频率与...
3.1概率的进一步认识
搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 初中教育 ...3.1概率的进一步认识_数学_初中教育_教育专区。教案一线教师授课讲义 校区: 西高...
示范教案(3.1.2 概率的意义)
搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 ...示范教案(3.1.2 概率的意义)_数学_高中教育_教育专区。概率的意义3.1...
高中数学概率3.1.1教案
搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 ...3.1.1 随机事件的概率(1)知识目标: 1.了解必然事件,不可能事件,随机事件的...
概率3.1
3.1.2概率的意义 19页 2财富值 3.1.2 概率的意义 13页 1财富值 3.1概率课件 26页 1财富值 §1[1].3 概率的性质 18页 2财富值喜欢此文档的还喜欢 ...
第三章 概率 3.1.3
第三章 概率 3.1.3 - 3.1.3 频率与概率 课时目标 理解概率的统计定义,掌握频数、频率和概率的含义,结合实例,分析随 机事件的频数、频率和概率. 1.概率的统计...
随机事件的概率3.1.1
搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 ...随机事件的概率3.1.1_数学_高中教育_教育专区。学习时的苦痛是暂时的,未学到的...
第三章 概率 3.1.2
搜 试试 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 数学 ...3.1.2 概率的意义 课时目标 1.通过实例, 进一步理解概率的意义.2.会用概率的...
2016-2017学年新人教A版必修3高中数学 3.1.1随机事件的...
搜试试 7 悬赏文档 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 广告 百度文库 教育专区 ...2016-2017学年新人教A版必修3高中数学 3.1.1随机事件的概率教案1(精品)_数学...
3.1.1随机事件的概率--3.1.2概率的意义
搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 ...3.1.1随机事件的概率--3.1.2概率的意义_数学_高中教育_教育专区。3.1 随机事件...
更多相关标签: