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2015高中数学 第1部分 3.3.2简单的线性规划问题课时跟踪检测 新人教A版必修5


课时跟踪检测(十八)
一、选择题

简单的线性规划问题

1.目标函数 z=3x-y,将其看成直线方程时,z 的意义是( A.该直线的截距 C.该直线的纵截距的相反数 B.该直线的纵截距 D.该直线的横截距

)

2.现有 5 辆载重 6 吨的汽车,4 辆载重 4 吨的汽车,设需 x 辆载重 6 吨汽车和 y 辆载 重 4 吨汽车,要运送最多的货物,完成这项运输任务的线性目标函数为( A.z=6x+4y C.z=x+y B.z=5x+4y D.z=4x+5y )

3.在△ABC 中,三个顶点分别为 A(2,4),B(-1,2),C(1,0),点 P(x,y)在△ABC 的内 部及其边界上运动,则 y-x 的取值范围为( A.[1,3] C.[-1,3] 4.实数 x,y 满足不等式组 ) B.[-3,1] D.[-3,-1]

y≥0, ? ? ?x-y≥0, ? ?2x-y-2≥0,
1? ? A.?-1, ? 3? ?

则 W=

y-1 的取值范围是( x+1

)

? 1 1? B.?- , ? ? 2 3? ? 1 ? D.?- ,1? ? 2 ?

? 1 ? C.?- ,+∞? ? 2 ?

5.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨,B 原料 2 吨; 生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨,B 原料 3 吨,销售每吨甲产品可获得利润 5 万元,每吨乙 产品可获得利润 3 万元.该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨,B 原料不超过 18 吨.那么该企业可获得最大利润是( A.12 万元 C.25 万元 二、填空题 ) B.20 万元 D.27 万元

x+y≤5, ? ?2x+y≤6, 6.如图中阴影部分的点满足不等式组? x≥0, ? ?y≥0.
=6x+8y 取得最大值的点的坐标是________.

在这些点中,使目标函数 z

1

x-y+1≥0, ? ?x+y-2≤0, 7.(2012·浙江高考)设 z=x+2y,其中实数 x,y 满足? x≥0, ? ?y≥0,
则 z 的取值范围是________.

x+y-2≤0 ? ?x-y+2≤0 8. 若目标函数 z=x+y+1 在约束条件? y≤n ? ?x≥-3
穷多个,则 n 的取值范围是________.

下取得最大值的最优解有无

三、选择题

x+2y≤4, ? ? 9.已知关于 x,y 的二元一次不等式组?x-y≤1, ? ?x+2≥0.
(1)求函数 u=3x-y 的最大值和最小值; (2)求函数 z=x+2y+2 的最大值和最小值.

10.有一批同规格的钢条,每根钢条有两种切割方式,可截成长度为 a 的钢条 2 根,长 度为 b 的钢条 1 根;或截成长度为 a 的钢条 1 根,长度为 b 的钢条 3 根.现长度为 a 的钢条 至少需要 15 根,长度为 b 的钢条至少需要 27 根.问:如何切割可使钢条用量最省?





2

课时跟踪检测(十八) 1.选 C 由 z=3x-y 得 y=3x-z,在该方程中-z 表示直线的纵截距,因此 z 表示该 直线的纵截距的相反数. 2.选 A 由题意,要运送最多的货物,先找到两类型汽车运送的总货物量,即 z=6x +4y. 3.选 C 先画出三角形区域(如图), 然后转化为一个线性规划问题, 求 线性目标函数 z=y-x 的取值范围.由图求出其取值范围是[-1,3].

4.选 D

利用数形结合思想,把所求问题转化为动点 P(x,y)与定点

A(-1,1)连线的斜率问题.画出题中不等式组所表示的可行域如图所示,
目标函数 W=

y-1 表示阴影部分的点与定点 A(-1,1)的连线的斜率, 由图 x+1

可知点 A(-1,1)与点(1,0)连线的斜率为最小值,最大值趋近于 1,但永 1 远达不到 1,故- ≤W<1. 2 5.选 D 设生产甲产品 x 吨,生产乙产品 y 吨,则有关系:

A 原料
甲产品 x 吨 乙产品 y 吨 3x

B 原料
2x 3y

y

x>0, ? ?y>0, 则有? 3x+y≤13, ? ?2x+3y≤18,

目标函数 z=5x+3y.

作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标,经验证知:当 x=3,y=4 时可获得最 大利润为 27 万元,故选 D.

6.解析:首先作出直线 6x+8y=0,然后平移直线,当直线经过平面区域内的点(0,5)
3

时截距最大,此时 z 最大. 答案:(0,5) 7.解析:画出可行域如图,

1 z 由 z=x+2y,得 y=- x+ , 2 2

z 1 z 则 的几何意义是直线 y=- x+ 在 y 轴上的截距,当直线过点 O 及直线 x-y+1=0 2 2 2

?1 3? z 分别取得最小值 0 和最大值7, ? 7? 和 x+y-2=0 的交点 A? , ?时, 故 z 的取值范围是?0, ?. 2 ?2 2? ? 2? ? 7? 答案:?0, ? ? 2?
x+y-2≤0 ? ? 8.解析:先根据?x-y+2≤0, ? ?x≥-3

作出如图所示阴影部分的可行域,欲使目标函数

z=x+y+1 取得最大值的最优解有无穷多个,需使目标函数对应的直线平移时达到可行域
的边界直线 x+y-2=0,且只有当 n>2 时,可行域才包含 x+y-2=0 这条直线上的线段

BC 或其部分.

答案:n>2

x+2y≤4, ? ? 9.解:(1)作出二元一次不等式组?x-y≤1, ? ?x+2≥0,

表示的平面区域,如图所示.

4

由 u=3x-y,得 y=3x-u,得到斜率为 3,在 y 轴上的截距为-u,随 u 变化的一组平 行线, 由图可知,当直线经过可行域上的 C 点时,截距-u 最大,即 u 最小. 解方程组?
? ?x+2y=4, ? ?x+2=0,

得 C(-2,3),

∴u 最小值=3×(-2)-3=-9. 当直线经过可行域上的 B 点时,截距-u 最小,即 u 最大, 解方程组?
?x+2y=4, ? ? ?x-y=1,

得 B(2,1),

∴u 最大值=3×2-1=5. ∴u=3x-y 的最大值是 5,最小值是-9.

x+2y≤4, ? ? (2)作出二元一次不等式组?x-y≤1, ? ?x+2≥0

表示的平面区域,如图所示.

1 1 1 1 由 z=x+2y+2,得 y=- x+ z-1,得到斜率为- ,在 y 轴上的截距为 z-1,且随 2 2 2 2

z 变化的一组平行线.由图可知,当直线经过可行域上的 A 点时,截距 z-1 最小,即 z 最
小, 解方程组?
?x+2=0, ? ?x-y=1, ?

1 2

得 A(-2,-3),

∴z 最小值=-2+2×(-3)+2=-6. 1 1 1 当直线 y=- x+ z-1 与直线 Xx+2y=4 重合时,截距 z-1 最大,即 z 最大, 2 2 2 ∴z 最大值=x+2y+2=4+2=6.

5

∴z=x+2y+2 的最大值是 6,最小值是-6. 10.解:设按第一种切割方式切割的钢条 x 根,按第二种切割方式切割的钢条 y 根, 2x+y≥15, ? ?x+3y≥27, 根据题意得约束条件是? x>0,x∈N , ? ?y>0,y∈N ,
* *

目标函数是 z=x+y,

画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分.
?2x+y=15, ? 由? ? ?x+3y=27,

解得?

?x=3.6, ? ? ?y=7.8.

此时 z=11.4,但 x,y,z 都应当为正整数, 所以点(3.6,7.8)不是最优解. 经过可行域内的整点且使 z 最小的直线是 x+y=12, 即 z=12,满足该约束条件的(x,y)有两个: (4,8)或(3,9),它们都是最优解.即满足条件的切割方式有两种,按第一种方式切割钢 条 4 根,按第二种方式切割钢条 8 根;或按第一种方式切割钢条 3 根,按第二种方式切割钢 条 9 根,均可满足要求.

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