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湖南省永州市2013年高考第一次模拟考试文科数学试卷


永州市2013年高考第一次模拟考试试卷



学 (文科)
刘洞春(江华县二中)

命题人:陈拥军(祁阳县一中) 田社生(永州市一中) 审题人:唐作明(永州市教科院)

注意事项: 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。考试时间120分钟,满分150分。答题前,考生 务必用黑色碳素笔将自己的

姓名、 准考证号填写在答题卡上, 并认真核准条形码上的准考证 号、姓名及科目,在规定的位置贴好条形码。 2.回答选择题时, 选出每小题答案后, 用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束时,只交答题卡。 一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1.设集合 A ? {1} , A. A ? B
B ? x | x ? 2x ? 0
2

?

?,则正确的是
C. B ? A D. A ? B

B. A ? B ? ?

z ? 3?
2.复数 A.2

1 i ( i 为虚数单位)的模为
B.3 C. 10 D.4

?x ? (0, ), tan x ? 0 p 2 3.命题 : ,则 ? p 为 ?x ? (0, ), tan x ? 0 2 A.

?

?

?x ? (0, ), tan x ? 0 2 B. ?x0 ? (0, ), tan x0 ? 0 2 D.

?

?x0 ? (0, ), tan x0 ? 0 2 C.

?

?

4. 已知某四棱台的上、下底面为正方形,其三视图如图所示,则该几 何体的表面积是 A.20 B. 12 15 C.64 D.68
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5.已知x,y的值如右表所示,若y与x呈线性相关且其回归 x y 4 5 6 8 6

a
y?

1 4

x?

7 2 ,则a=
B.5 D.7

直线方程为 A.4 C.6

??? ? ??? ? ??? ? BD ? xAE ? y AF , 则 x ? y ? 6.如图,A、B、D、E、F为各正方形的顶点.若向量
A. ?2 B. ?1 C. 1 D. 2

x2
7.若双曲线 a A. 2
2

?

y2 12

? 1(a ? 0)

x2
与椭圆 20

?

y2 4

?1
的焦点相同,则双曲线的离心率为 C.2 D. 7

B. 3

8. 在 ?ABC 中,若 sin B ? sin C ? sin A ? sin B ? sin C ,则 cos B 的取值范围为
2 2 2

1 ( ? ,1) A. 2

1 [ ? ,1] B. 2

(?
C.

3 2

,1)
D.

[?

3 2

,1]

? x, 0 ? x ? 1 ? f ( x) ? ? 1 ? x ,1 ? x ? 2 ??2, 2? 的偶函数 f ( x) 满足 ? 9.已知定义域为 ,若函数
y ? f ( x) ? m( x ? 1) 有三个不同的零点,则实数 m 的取值范围为
1 1 [ , ) A. 6 2 1 1 [ , ] B. 6 2 1 1 ( , ] C. 4 3

1 1 (??, ) ? ( ,?? ) 6 2 D.

二、填空题(本大题共7个小题,考生作答6个小题,每小题5分,满分30分,把答案填在答题 卡中对应题号的横线上.) (一) 选做题(请考生在10、11两题中任选一题作答,如果全做,则按前一题记分)
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10.在极坐标系中,曲线

C1 : ? ? ?2cos?

与曲线

C2 : ? ? sin ?

的图象的交点个数为

11.已知一种材料的最佳加入量在100g到1100g之间,若用0.618法安排试验,且第一、二试 点分别为

x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,则当 x2 为好点时,第三次试点 x3 是

g(用数字作答)

(二)必做题(12~16题) 12.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入 x 的 值为 ?7 ,则输出的 y 值是

?0 ? x ? 2, ? 0 ? y ? 2 表示的平面区域为D,在区域D内随 13.设不等式组 ?
机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于1 的概率 是________.

14.设变量 x,y 满足约束条件

? x? y?2 ? ?x ? 3 y ? 6 ? 0 ?3 x ? y ? 6 ? 0 ?


,则目标函数

z ? 5x ? y 的最大值为
f ( x) ?
15.已知函数

x2 ? 2x ex
,给出下列三个结论:

?x | ?2 ? x ? 0? ; ① f ( x) ? 0 的解集为
② f (? 2) 为极小值, f ( 2) 为极大值; ③ f ( x ) 既没有最大值,也没有最小值. 其中所有正确结论的序号是 .

16. 若两整数a,b除以同一个整数m, 所得余数相同, 则称a, b对模m同余. 即当 a, b, m ? Z 时,
a?b ? k (k ? Z , k ? 0)

若 m

, 则称a、b对模m同余,用符号 a ? b(modm) 表示. ;

(1) 若 6 ? b(mod2) 且 0 ? b ? 6 ,则 b 的所有可能取值为 (2) 若 a ? 10(modm)(a ? 10, m ? 1) ,满足条件的 a 由小到大依次记为 当数列

a1, a2 ,?, an ,…,


{an } 前 m ? 1 项的和为 60(m ?1) 时,则 m ?
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三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)若函数 f ( x) ? 3 sin 2 x ? 2 cos x ? m 在R上的最大值为5,
2

(1)求m的值; (2)求 y ? f ( x) 的单调递减区间.

18.(本小题满分12分)某市政府为了了解居民的生活用电情况,以使全市在用电高峰月份的 居民生活不受影响, 决定制定一个合理的月均用电标准. 为了确定一个较为合理的标准, 必须先了解全市居民日常用电量的分布情况.现采用抽样调查的方式,获得了 n 位居民 在2012年的月均用电量(单位:度)数据,样本统计结果如下图表: 分组 [0,10] [10,20] [20,30] [30,40] [40,50] [50,60] 合计 5 n 1 35 频数 频率 0.05 0.20

a
0.15

(1) 分别求出 n, a 的值;
y? 1 100 x ? 0.3

(2) 若月用电紧张指数 y 与月均用电量x(单位:度)满足如下关系式:

,将

频率视为概率,求用电紧张指数不小于70%的概率. 19.(本小题满分12分)如图的几何体中,AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD为等边三 角形,AD=DE=2AB,F为CD的中点. (1)求证:AF∥平面BCE; (2)求直线CE与平面ADE所成角的正弦值.

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20.(本小题满分13分)已知动圆过定点A(2,0),且与直线 x ? ?2 相切. (1) 求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (2) 是否存在过点

? 0,1? 的直线 l

,与轨迹

C 交于 P, Q 两点,且以线段PQ为直径的圆过

定点A?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

21.某企业为加大对新产品的推销力度,决定从今年起每年投入100万元进行广告宣传,以 增加新产品的销售收入.已知今年的销售收入为250万元,经市场调查,预测第n年与第
500

n-1年销售收入an与an-1万元满足关系式:an=an-1+ 2 -100. (1) 设今年为第一年,求第n年的销售收入an; (2) 依上述预测,该企业前几年的销售收入总和Sn最大.

n

f ( x ) ? m ln x ?

1 x ,(其中m为常数)

22.(本小题满分13分)已知函数

(1) 试讨论 f ( x ) 在区间 (0, ? ?) 上的单调性;
h( x ) ? f ( x ) ? 1 m ln x ? x

(2) 令函数

.当 m ? ? 2, ? ? ? 时,曲线 y ? h( x) 上总存在相异两点

P( x1 , f ( x1 ))
范围.



Q( x2 , f ( x2 ))

,使得过 P 、 Q 点处的切线互相平行,求

x1 ? x2

的取值

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永州市2013年高考第一次模拟考试

数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共45分) 题号 答案 1 D 2 C 3 C 4 D 5 A 6 B 7 C 8 A 9 A

二、填空题(本大题共7个小题,每小题5分,满分35分) (一)选做题 10. 2 11.336

1?
(二)必做题 12. 0 16.(1) 2,4 13. (2) 10

?
16
14.10 15.①②

三、解答题(本大题共6小题,满分75分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)

? f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? m ? 2sin(2 x ? ) ? 1 ? m 6 17.解: (1)

?

……4分

? f ( x)max ? 2 ? 1 ? m ? 5
故 m?2 ………………6分

f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 3 6 (2)由(1)可知

?

?
则 2

? 2 k? ? 2 x ?

?
6

?

3? ? 2 k? 2 , 2? 3 [ k? ?

k? ?
解之得

?
6

? x ? k? ?

…………10分

?
6

所以,函数y= f ( x ) 的单调递减区间为

, k? ?

2? ](k ? Z ) 3

………12分

18.解: (1)第3组的频率= 0.035 ?10 ? 0.35

………2分

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n?
样本容量

35 ? 100 0.35 5 ) ? 0.20 100

………………4分

? a ? 1 ? (0.05 ? 0.20 ? 0.35 ? 0.15 ?

………………6分

1 x ? 0.3 ? 70%,? x ? 40 (2)由 y ? 70% 得 100
所以,用电紧张指数不小于70%的概率= 0.15 ? 0.05 ? 0.20

………………9分 …………12分

19. (1)证明:取 CE 的中点 G ,连结 FG、BG . ∵ F 为 CD 的中点,

∴ GF // DE 且

GF ?

1 DE 2 .

∵ AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD , ∴ AB // DE ,∴ GF // AB . …………2 分

AB ?


1 DE 2 ,∴ GF ? AB .

∴ 四 边 形 GFAB 为 平 行 四 边 形 , 则

AF // BG

……4分

∵ AF ? 平面 BCE , BG ? 平面 BCE , ∴ AF // 平面 BCE . (2) 取 AD 的中点 H ,连结 CH , EH . …………6分

? ?ACD 为等边三角形? CH ? AD
又 DE ? 平面 ACD , CH ? 面 ACD ? CD ? EH 所以 CH ? 面ADE ,即 ?CEH 为 CE 与平面 ADE 所成角. ……………8分

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不妨设 AD ? 2 ,则 DE ? CD ? 2, CE ? 2 2, CH ? 3 .

在 Rt ?CHE 中,

sin ?AEH ?

CH CE

?

6 4 6

? 直线CE与面ADE所成角的正弦值为 4 .

………12分

20.解:(1)由题意可知,圆心到定点 A(2, 0) 的距离与到定直线 x ? ?2 的距离相等, 由抛物线定义可知,轨迹C为以 A(2, 0) 为焦点, x ? ?2 为准线的抛物线,
2 已知 p ? 4 ,所以抛物线方程为 y ? 8x

………… 4分 ………… 5分

(2) 假设存在直线 l 符合题意. 由题意易知,直线 l 的斜率 k 存在且不为零, 又因过点(0,1),故设直线 l 的方程为 y ? kx ? 1 ,

………6分

? y ? kx ? 1 ? 2 y ? 8 x ,消元整理得 k 2 x2 ? (2k ? 8) x ? 1 ? 0 , 联立直线与抛物线方程得 ?
设交点坐标为

P( x1, y1 ), Q( x2 , y2 ) ,
2 2

则 ? ? (2k ? 8) ? 4k ? 0 ? k ? 2 ①

2k ? 8 ? ? x1 ? x2 ? ? k 2 ? ? ?x ? x ? 1 ? 1 2 k2 且? ; ………9分 ??? ??? ? ? AP ? AQ ? ( x1 ? 2, y1 ) ? ( x2 ? 2, y2 ) ? (k 2 ? 1) x1x2 ? (k ? 2)( x1 ? x2 ) ? 5 此时
? (k 2 ? 1) 1 8 ? 2k 4k 2 ? 12k ? 15 ? (k ? 2) 2 ? 5 ? ?0 k2 k k2
3 2 ? 6
符合①, ………12分

k??
解得

3 y ? (? ? 6) x ? 1 2 所以存在符合题意的直线 l ,其方程为 .
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………13分

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21.解:(1) 题意可知

an ? an ?1 =

500 2n

? 100

? 100 2 n ?1 …………………… 500 a3 ? a2 ? 3 ? 100 2 500 a2 ? a1 ? 2 ? 100 2
a1 ? 250 ?
以上各式相加得:

an ?1 ? an ? 2 ?

500

500 2

3分

an ? 500( ?
? 500 ?

1 2

1 1 ? ? ? n ) ? 100(n ? 1) 2 2 2

500 ? 100( n ? 1) 2n

6分

(2) 要求销售收入总和Sn的最大值,即求年销售收入大于零的所有年销售收入的和.

a ∵ n
要使

? 500 ?

500 ? 100( n ? 1) 2n

an ≥0
500 ?

即使

500 ? 100( n ? 1) 2n ≥0

8分

1 n ?1 ? n 5 ≤1 也就是使 2 1 n ?1 ? n 5 , 令bn= 2 1 n ?1 1 n?2 1 1 ? ? n ?1 ? ? n 5 2 5 = 5 2n 则有bn-bn-1= 2
显然,当 n ≥3时,bn ? bn-1, 而b5 ? 1,b6 ? 1 ∴

10分

a5 ? 0, a6 ? 0
…13分

∴ 该企业前5年的销售收入总和最大.

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? f '( x) ?
22.解:(1)

m 1 mx ? 1 ? ? , ( x ? 0) x x2 x2

………1分

?当m ? 0时, f '( x) ? 0, f ( x)在(0,+?)上是减函数;
?当m ? 0时,由f '( x) ? 0, 得x ? 1 1 ; f '( x) ? 0, 得x ? , m m 1 1 ?当m ? 0时, f ( x)在(0, )上是减函数,在( ,+?)上是增函数. m m

综上可知,当m ? 0时, f ( x)在(0,+?)上是减函数
1 1 ?当m ? 0时, f ( x)在(0, )上是减函数,在( ,+?)上是增函数. m m
(2)由题意,可得

………5分

h?( x1) ? h?( x2 ) ( x1 , x2 ? 0 ,且 x1 ? x2 )
m? 1
…… 7分

m?


1

m ? 1 ?1 ? x1 x12

m ? 1 ?1 1 x1 ? x2 ? (m ? ) x1 x2 2 x2 x2 m ?

x ? x2 ,由不等式性质可得 ∵ 1
x1 ? x2 2

x1 x2 ? (

x1 ? x2 2 ) x , x , m?0 2 恒成立,又 1 2
4 m? m 对 m??2, ? ?? 恒成立 1



x1 ? x2 ? ( m ?

1 m
1 m 1 m

x1 ? x2 ?
)2

)(

?

g ( m) ? m ?


( m ? 2)


g ?( m) ? 1 ?


2

?

( m ? 1)( m ? 1) m2

?0


m??2, ? ??

恒成立

5 g (m) ? g (2) ? g ( m) 在 ? 2, ? ? ? 上单调递增,∴ 2 ∴
4 m?


… … 11分

1 m

?

4 g (2)

?

8 5
… … … 12分

x1 ? x2 ?
从而“

4 m?
4 8 1 x1 ? x2 ? ? g (2) 5 ” m 对 m??2, ? ?? 恒成立”等价于“
第 10 页 共 11 页

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8 ( , ? ?) x1 ? x2 的取值范围为 5 ∴

… … … … … …

13分

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