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高三一轮复习教案30


直线、平面平行的判定与性质
2014 高考会这样考 1.考查空间平行关系的判定及性质有关命题的判定;2.解答题中证明或 探索空间的平行关系. 复习备考要这样做 1.熟练掌握线面平行、面面平行的判定定理和性质,会把空间问题转化

为平面问题,解答过程的叙述步骤要完整,避免因条件书写不全而失分;2.学会应用“化归 思想”进行“线线问题、 线面问题、 面面

问题”的互相转化, 牢记解决问题的根源在“定理”.

知识点梳理 1. 直线与平面平行的判定与性质 判定 定义 图形 a∥α,a?β,α∩β =b a∥b 定理 性质

条件 结论

a∩α=? a∥α

a?α,b?α,a∥b b∥α

a∥α a∩α=?

2. 面面平行的判定与性质 判定 定义 图 形 条 件 结 论 α∩β=? a?β, b?β, a∩b =P,a∥α,b∥α α∥β α∥β,α∩γ=a, β∩γ=b a∥b α∥β,a?β 定理 性质

α∥β

a∥α

[难点正本 疑点清源] 1.证明线面平行是高考中常见的问题,常用的方法就是证明这条线与平面内的某条直线平 行.但一定要说明一条直线在平面外,一条直线在平面内. 2.在判定和证明直线与平面的位置关系时,除熟练运用判定定理和性质定理外,切不可丢弃 定义,因为定义既可作判定定理使用,亦可作性质定理使用. 3.辅助线(面)是解(证)线面平行的关键.为了能利用线面平行的判定定理及性质定理,往往 需要作辅助线(面). 基础自测
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1. 已知不重合的直线 a,b 和平面 α, ①若 a∥α,b?α,则 a∥b; ②若 a∥α,b∥α,则 a∥b; ③若 a∥b,b?α,则 a∥α; ④若 a∥b,a∥α,则 b∥α 或 b?α. 上面命题中正确的是________(填序号). 答案 ④ 解析 ①若 a∥α,b?α,则 a,b 平行或异面;②若 a∥α,b∥α,则 a,b 平行、相交、 异面都有可能;③若 a∥b,b?α,则 a∥α 或 a?α. 2. 已知 α、β 是不同的两个平面,直线 a?α,直线 b?β,命题 p:a 与 b 没有公共点;命 题 q:α∥β,则 p 是 q 的____________条件. 答案 必要不充分 解析 ∵a 与 b 没有公共点,不能推出 α∥β, 而 α∥β 时,a 与 b 一定没有公共点, 即 pD?/q,q?p,∴p 是 q 的必要不充分条件. 3. 已知平面 α∥平面 β,直线 a?α,有下列命题: ①a 与 β 内的所有直线平行;②a 与 β 内无数条直线平行;③a 与 β 内的任意一条直线都 不垂直. 其中真命题的序号是________. 答案 ② 解析 因为 α∥β,a?α,所以 a∥β,在平面 β 内存在无数条直线与直线 a 平行,但不 是所有直线都与直线 a 平行,故命题②为真命题,命题①为假命题.在平面 β 内存在无 数条直线与直线 a 垂直,故命题③为假命题. 4. (2011· 浙江)若直线 l 不平行于平面 α,且 l?α,则 A.α 内的所有直线与 l 异面 B.α 内不存在与 l 平行的直线 C.α 内存在唯一的直线与 l 平行 D.α 内的直线与 l 都相交 答案 B 解析 由题意知,直线 l 与平面 α 相交,则直线 l 与平面 α 内的直线只有相交和异面两 种位置关系,因而只有选项 B 是正确的. 5. (2012· 四川)下列命题正确的是 A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行
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(

)

(

)

C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 答案 C 解析 利用线面位置关系的判定和性质解答. A 错误,如圆锥的任意两条母线与底面所成的角相等,但两条母线相交; B 错误,△ABC 的三个顶点中,A、B 在 α 的同侧,而点 C 在 α 的另一侧,且 AB 平行于 α,此时可有 A、B、C 三点到平面 α 的距离相等,但两平面相交; D 错误,如教室中两个相邻墙面都与地面垂直,但这两个面相交,故选 C. 题型分类 题型一 直线与平面平行的判定与性质 例1 正方形 ABCD 与正方形 ABEF 所在平面相交于 AB,在 AE、BD 上各有一点 P、Q,且 AP=DQ.求证:PQ∥平面 BCE. 思维启迪:证明直线与平面平行可以利用直线与平面平行的判定定理,也可利用面面平 行的性质. 证明 方法一 如图所示. 作 PM∥AB 交 BE 于 M, 作 QN∥AB 交 BC 于 N, 连接 MN. ∵正方形 ABCD 和正方形 ABEF 有公共边 AB,∴AE=BD. 又 AP=DQ,∴PE=QB, PM PE QB QN 又 PM∥AB∥QN,∴ = = = , AB AE BD DC ∴ PM QN = , AB DC

∴PM 綊 QN,即四边形 PMNQ 为平行四边形, ∴PQ∥MN. 又 MN?平面 BCE,PQ?平面 BCE, ∴PQ∥平面 BCE.

方法二 如图,连接 AQ,并延长交 BC 延长线于 K,连接 EK, ∵AE=BD,AP=DQ, AP DQ ∴PE=BQ,∴ = , PE BQ DQ AQ 又 AD∥BK,∴ = , BQ QK
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AP AQ = ,∴PQ∥EK. PE QK

又 PQ?平面 BCE,EK?平面 BCE, ∴PQ∥平面 BCE. 方法三 如图,在平面 ABEF 内,过点 P 作 PM∥BE,交 AB 于点 M, 连接 QM. ∴PM∥平面 BCE, 又∵平面 ABEF∩平面 BCE=BE, AP AM ∴PM∥BE,∴ = , PE MB 又 AE=BD,AP=DQ,∴PE=BQ, ∴ AP DQ AM DQ = ,∴ = , PE BQ MB QB

∴MQ∥AD,又 AD∥BC, ∴MQ∥BC,∴MQ∥平面 BCE, 又 PM∩MQ=M,BE∩BC=B, ∴平面 PMQ∥平面 BCE,又 PQ?平面 PMQ. ∴PQ∥平面 BCE. 探究提高 判断或证明线面平行的常用方法:(1)利用线面平行的定义(无公共点);(2)利 用线面平行的判定定理(a?α,b?α,a∥b?a∥α);(3)利用面面平行的性质定理(α∥β, a?α?a∥β);(4)利用面面平行的性质(α∥β,a?β,a∥α?a∥β). 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是菱形, ∠BAD=60° ,AB=2,PA=1,PA⊥平面 ABCD,E 是 PC 的中点, F 是 AB 的中点.求证:BE∥平面 PDF. 证明 取 PD 中点为 M,连接 ME,MF, ∵E 是 PC 的中点, ∴ME 是△PCD 的中位线, 1 ∴ME 綊 CD. 2 ∵F 是 AB 的中点且四边形 ABCD 是菱形,AB 綊 CD, ∴ME 綊 FB,∴四边形 MEBF 是平行四边形,∴BE∥MF. ∵BE?平面 PDF,MF?平面 PDF,∴BE∥平面 PDF. 题型二 平面与平面平行的判定与性质 例2 如图,在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,E,F,G,H 分别是 AB,AC,

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A1B1,A1C1 的中点,求证: (1)B,C,H,G 四点共面; (2)平面 EFA1∥平面 BCHG. 思维启迪:要证四点共面,只需证 GH∥BC;要证面面平行,可证一个 相交直线和另一个平面平行. 证明 (1)∵GH 是△A1B1C1 的中位线,∴GH∥B1C1. 平面内的两条

又∵B1C1∥BC,∴GH∥BC, ∴B,C,H,G 四点共面. (2)∵E、F 分别为 AB、AC 的中点,∴EF∥BC, ∵EF?平面 BCHG,BC?平面 BCHG, ∴EF∥平面 BCHG. ∵A1G 綊 EB, ∴四边形 A1EBG 是平行四边形,∴A1E∥GB. ∵A1E?平面 BCHG,GB?平面 BCHG. ∴A1E∥平面 BCHG. ∵A1E∩EF=E,∴平面 EFA1∥平面 BCHG. 探究提高 证明面面平行的方法: (1)面面平行的定义; (2)面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这 两个平面平行; (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行; (4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行; (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化. 证明:若一条直线与两个相交平面都平行,则这条直线平行于两个平面的 交线. 解 已知:直线 a∥平面 α,直线 a∥平面 β,α∩β=b.

求证:a∥b. 证明:如图所示,过直线 a 作平面 γ,δ 分别交平面 α,β 于直线 m, n(m, n 不同于交线 b), 由直线与平面平行的性质定理, 得 a∥m, a∥n, 由平行线的传递性,得 m∥n,由于 n?α,m?α,故 n∥平面 α.又 n ?β,α∩β=b,故 n∥b.又 a∥n,故 a∥b. 题型三 平行关系的综合应用 例3
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如图所示, 在四面体 ABCD 中, 截面 EFGH 平行于对棱 AB 和 CD,

试问截面在什么位置时其截面面积最大? 思维启迪:利用线面平行的性质可以得到线线平行,可以先确定截面形状,再建立目标 函数求最值. 解 ∵AB∥平面 EFGH,

平面 EFGH 与平面 ABC 和平面 ABD 分别交于 FG、EH. ∴AB∥FG,AB∥EH, ∴FG∥EH,同理可证 EF∥GH, ∴截面 EFGH 是平行四边形. 设 AB=a,CD=b,∠FGH=α (α 即为异面直线 AB 和 CD 所成的角或其补角). x CG y BG x y 又设 FG=x,GH=y,则由平面几何知识可得 = , = ,两式相加得 + =1,即 a BC b BC a b b y= (a-x), a ∴S?EFGH=FG· GH· sin α b bsin α =x·· (a-x)· sin α= x(a-x). a a ∵x>0,a-x>0 且 x+(a-x)=a 为定值, bsin α absin α a b ∴当且仅当 x=a-x 时, x(a-x)= ,此时 x= ,y= . a 4 2 2 即当截面 EFGH 的顶点 E、F、G、H 为棱 AD、AC、BC、BD 的中点时截面面积最大. 探究提高 利用线面平行的性质, 可以实现与线线平行的转化, 尤其在截面图的画法中, 常用来确定交线的位置,对于最值问题,常用函数思想来解决. 如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,O 为底面 ABCD 的中心,P 是 DD1 的中点,设 Q 是 CC1 上的点,问:当点 Q 在什 么位置时,平面 D1BQ∥平面 PAO? 解 当 Q 为 CC1 的中点时,平面 D1BQ∥平面 PAO.证明如下: ∵Q 为 CC1 的中点,P 为 DD1 的中点, ∴QB∥PA. ∵P、O 分别为 DD1、DB 的中点,∴D1B∥PO. 又∵D1B?平面 PAO,PO?平面 PAO, QB?平面 PAO,PA?平面 PAO, ∴D1B∥平面 PAO,QB∥平面 PAO, 又 D1B∩QB=B,D1B、QB?平面 D1BQ, ∴平面 D1BQ∥平面 PAO.

立体几何中的探索性问题
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典例:(12 分)如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E 是棱 DD1 的 中点. (1)求直线 BE 和平面 ABB1A1 所成的角的正弦值; (2)在棱 C1D1 上是否存在一点 F, 使 B1F∥平面 A1BE?证明你的结论. 审题视角 (1)可过 E 作平面 ABB1A1 的垂线、作线面角;(2)先探求出

点 F,再进行证明 B1F∥平面 A1BE.注意解题的方向性. 规范解答 解 (1)如图(a)所示,取 AA1 的中点 M,连接 EM,BM.因为 E 是 DD1

的中点,四边形 ADD1A1 为正方形,所以 EM∥AD.[2 分] 又在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AD⊥平面 ABB1A1, 所以 EM⊥平面 ABB1A1, 从而 BM 为直线 BE 在平面 ABB1A1 上的射影, ∠EBM 为 BE 和平面 ABB1A1 所成的角.[4 分] 设正方体的棱长为 2, 则 EM=AD=2,BE= 22+22+12=3. EM 2 于是,在 Rt△BEM 中,sin∠EBM= = ,[5 分] BE 3 2 即直线 BE 和平面 ABB1A1 所成的角的正弦值为 .[6 分] 3 (2)在棱 C1D1 上存在点 F,使 B1F∥平面 A1BE. 事实上,如图(b)所示,分别取 C1D1 和 CD 的中点 F,G,连接 B1F, EG,BG,CD1,FG. 因 A1D1∥B1C1∥BC,且 A1D1=BC,所以四边形 A1BCD1 是平行四边 形,因此 D1C∥A1B. 又 E,G 分别为 D1D,CD 的中点, 所以 EG∥D1C,从而 EG∥A1B. 这说明 A1,B,G,E 四点共面.所以 BG?平面 A1BE.[8 分] 因四边形 C1CDD1 与 B1BCC1 皆为正方形,F,G 分别为 C1D1 和 CD 的中点, 所以 FG∥C1C∥B1B,且 FG=C1C=B1B, 因此四边形 B1BGF 是平行四边形, 所以 B1F∥BG,[10 分] 而 B1F?平面 A1BE,BG?平面 A1BE, 故 B1F∥平面 A1BE.[12 分] 图(b) 图(a)

答题模板
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对于探索类问题,书写步骤的格式有两种:一种:第一步:探求出点的位置. 第二步:证明符合要求. 第三步:给出明确答案. 第四步:反思回顾.查看关键点,易错点和答题规范. 另一种:从结论出发,“要使什么成立”,“只需使什么成立”,寻求使结论成立的充 分条件,类似于分析法. 温馨提醒 (1)本题属立体几何中的综合题, 重点考查推理能力和计算能力. (2)第(1)问常

见错误是无法作出平面 ABB1A1 的垂线,以致无法确定线面角.(3)第(2)问为探索性问题, 找不到解决问题的切入口,入手较难.(4)书写格式混乱,不条理,思路不清晰.

方法与技巧 1. 平行问题的转化关系

2. 直线与平面平行的主要判定方法 (1)定义法;(2)判定定理;(3)面与面平行的性质. 3. 平面与平面平行的主要判定方法 (1)定义法;(2)判定定理;(3)推论;(4)a⊥α,a⊥β?α∥β. 失误与防范 1.在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则,会出现错误. 2.在解决线面、面面平行的判定时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化,即从“线线平 行”到“线面平行”,再到“面面平行”;而在应用性质定理时,其顺序恰好相反,但也 要注意,转化的方向总是由题目的具体条件而定,决不可过于“模式化”. 3.解题中注意符号语言的规范应用.

A 组 专项基础训练 (时间:35 分钟,满分:57 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1. 若直线 m?平面 α,则条件甲:“直线 l∥α”是条件乙:“l∥m”的 A.充分不必要条件 C.充要条件
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(

)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

答案 D 2. 已知直线 a,b,c 及平面 α,β,下列条件中,能使 a∥b 成立的是 A.a∥α,b?α C.a∥c,b∥c 答案 C 解析 由平行公理知 C 正确, A 中 a 与 b 可能异面. B 中 a, b 可能相交或异面,D 中 a, b 可能异面. 3. 在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB?平面 α,CD?平面 α,则直线 CD 与平面 α 内的直线的 位置关系只能是 A.平行 C.平行和相交 答案 B AB∥CD? 解析 ∵ AB?α ??CD∥α, CD?α B.平行和异面 D.异面和相交 ( ) B.a∥α,b∥α D.a∥α,α∩β=b ( )

? ? ?

∴CD 和平面 α 内的直线没有公共点. 4. 设 m、n 表示不同直线,α、β 表示不同平面,则下列结论中正确的是 A.若 m∥α,m∥n,则 n∥α B.若 m?α,n?β,m∥β,n∥α,则 α∥β C.若 α∥β,m∥α,m∥n,则 n∥β D.若 α∥β,m∥α,n∥m,n?β,则 n∥β 答案 D 解析 D 中,易知 m∥β 或 m?β, 若 m?β,又 n∥m,n?β,∴n∥β, 若 m∥β,过 m 作平面 γ 交平面 β 于直线 p,则 m∥p,又 n∥m,∴n∥p,又 n?β,p?β, ∴n∥β. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5. 过三棱柱 ABC—A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线,其中与平面 ABB1A1 平行的直线共 有________条. 答案 6 解析 过三棱柱 ABC—A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线,记 AC,BC,A1C1,B1C1 的 中点分别为 E,F,E1,F1,则直线 EF,E1F1,EE1,FF1,E1F,EF1 均与平面 ABB1A1 平行,故符合题意的直线共 6 条. 6. 如图所示,ABCD—A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体,M、N 分别是下
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(

)

a 底面的棱 A1B1、B1C1 的中点,P 是上底面的棱 AD 上的一点,AP= , 3 过 P、M、N 的平面交上底面于 PQ,Q 在 CD 上,则 PQ=________. 答案 2 2 a 3

解析 ∵平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1, a ∴MN∥PQ.∵M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点,AP= , 3 a 2a 2 2 ∴CQ= ,从而 DP=DQ= ,∴PQ= a. 3 3 3 7. 如图所示,在正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F、G、H 分别是 棱 CC1、C1D1、D1D、DC 的中点,N 是 BC 的中点,点 M 在四边 形 EFGH 及其内部运动,则 M 满足条件______________时,有 MN∥平面 B1BDD1. 答案 M∈线段 HF 解析 由题意,得 HN∥面 B1BDD1,FH∥面 B1BDD1. ∵HN∩FH=H,∴面 NHF∥面 B1BDD1. ∴当 M 在线段 HF 上运动时,有 MN∥面 B1BDD1. 三、解答题(共 22 分) 8. (10 分)如图,四边形 ABCD 是平行四边形,点 P 是平面 ABCD 外一点, M 是 PC 的中点,在 DM 上取一点 G,过 G 和 AP 作平面,交平面 BDM 于 GH. 求证:PA∥GH. 证明 如图,连接 AC 交 BD 于点 O,连接 MO, ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴O 是 AC 的中点,又 M 是 PC 的中点, ∴AP∥OM. 则有 PA∥平面 BMD. ∵平面 PAHG∩平面 BMD=GH, ∴PA∥GH. 9. (12 分)如图,已知平行四边形 ABCD 中,BC=6,正方形 ADEF 所在 平面与平面 ABCD 垂直,G,H 分别是 DF,BE 的中点. (1)求证:GH∥平面 CDE; (2)若 CD=2,DB=4 2,求四棱锥 F—ABCD 的体积. (1)证明 方法一 ∵EF∥AD,AD∥BC,∴EF∥BC.
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又 EF=AD=BC,∴四边形 EFBC 是平行四边形, ∴H 为 FC 的中点. 又∵G 是 FD 的中点,∴HG∥CD. ∵HG?平面 CDE,CD?平面 CDE, ∴GH∥平面 CDE. 方法二 连接 EA,∵ADEF 是正方形,∴G 是 AE 的中点. ∴在△EAB 中,GH∥AB. 又∵AB∥CD,∴GH∥CD. ∵HG?平面 CDE,CD?平面 CDE, ∴GH∥平面 CDE. (2)解 ∵平面 ADEF⊥平面 ABCD,交线为 AD,

且 FA⊥AD,∴FA⊥平面 ABCD. ∵AD=BC=6,∴FA=AD=6. 又∵CD=2,DB=4 2,CD2+DB2=BC2,∴BD⊥CD. ∵S?ABCD=CD· BD=8 2, 1 1 ∴VF—ABCD= S?ABCD· FA= ×8 2×6=16 2. 3 3 B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟,满分:43 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 1. 设 m,n 是平面 α 内的两条不同直线;l1,l2 是平面 β 内的两条相交直线,则 α∥β 的一 个充分而不必要条件是 A.m∥β 且 l1∥α C.m∥β 且 n∥β 答案 B 解析 对于选项 A,不合题意;对于选项 B,由于 l1 与 l2 是相交直线,而且由 l1∥m 可 得 l1∥α,同理可得 l2∥α,故可得 α∥β,充分性成立,而由 α∥β 不一定能得到 l1∥m, 它们也可以异面,故必要性不成立,故选 B;对于选项 C,由于 m,n 不一定相交,故 是必要非充分条件; 对于选项 D, 由于 n∥l2 可转化为 n∥β, 同选项 C, 故不符合题意. 综 上选 B. 2. 下面四个正方体图形中,A,B 为正方体的两个顶点,M,N,P 分别为其所在棱的中点, 能得出 AB∥平面 MNP 的图形是 ( ) B.m∥l1 且 n∥l2 D.m∥β 且 n∥l2 ( )

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A.①② 答案 A

B.①④

C.②③

D.③④

解析 由线面平行的判定定理知图①②可得出 AB∥平面 MNP. 3. 给出下列关于互不相同的直线 l、m、n 和平面 α、β、γ 的三个命题: ①若 l 与 m 为异面直线,l?α,m?β,则 α∥β; ②若 α∥β,l?α,m?β,则 l∥m; ③若 α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则 m∥n. 其中真命题的个数为 A.3 答案 C 解析 ①中当 α 与 β 不平行时,也能存在符合题意的 l、m. ②中 l 与 m 也可能异面. l∥γ ③中 B.2 C.1 D.0 ( )

? ? l?β ??l∥m,同理 l∥n,则 m∥n,正确. β∩γ=m? ?

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 4. 已知平面 α∥平面 β,P 是 α、β 外一点,过点 P 的直线 m 与 α、β 分别交于 A、C,过点 P 的直线 n 与 α、β 分别交于 B、D 且 PA=6,AC=9,PD=8,则 BD 的长为________. 24 答案 24 或 5 解析 根据题意可得到以下如图两种情况:

24 可求出 BD 的长分别为 或 24. 5
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5. 一个正方体的展开图如图所示,B、C、D 为原正方体的顶点,A 为 原正方体一条棱的中点.在原来的正方体中,CD 与 AB 所成角的 余弦值为________. 答案 10 10

解析 还原为正方体如图所示,BE∥CD,则∠EBA 就是异面直线 CD 与 AB 所成的角或所成角的补角. 设正方体棱长为 2,则 BE=2 2, BA= 5,AE=3. 所以在△ABE 中,由余弦定理得 8+5-9 10 cos ∠EBA= = . 10 4 10 6. 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1,下列结论中,正确的结论是________(只填序号). ①AD1∥BC1;②平面 AB1D1∥平面 BDC1; ③AD1∥DC1;④AD1∥平面 BDC1. 答案 ①②④ 三、解答题 7. (13 分)如图,四棱锥 P—ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,底面 ABCD 为 矩形,PD=DC=4,AD=2,E 为 PC 的中点. (1)求三棱锥 A—PDE 的体积; (2)AC 边上是否存在一点 M, 使得 PA∥平面 EDM?若存在, 求出 AM 的长;若不存在,请说明理由. 解 (1)因为 PD⊥平面 ABCD,所以 PD⊥AD.

又因 ABCD 是矩形,所以 AD⊥CD. 因 PD∩CD=D,所以 AD⊥平面 PCD, 所以 AD 是三棱锥 A—PDE 的高. 因为 E 为 PC 的中点,且 PD=DC=4, 1 1 1 ×4×4?=4. 所以 S△PDE= S△PDC= ×? ? 2 2 ?2 1 1 8 又 AD=2,所以 VA—PDE= AD· S△PDE= ×2×4= . 3 3 3 (2)取 AC 中点 M,连接 EM,DM,因为 E 为 PC 的中点,M 是 AC 的 中点,所以 EM∥PA. 又因为 EM?平面 EDM,PA?平面 EDM, 所以 PA∥平面 EDM.
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1 所以 AM= AC= 5. 2 即在 AC 边上存在一点 M,使得 PA∥平面 EDM,AM 的长为 5.

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