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《等差、等比数列》


7.2 等差、等比数列
高三(文)数学

主讲 梁雅君

【考纲要求】
1.理解等差数列、等比数列的概念. 2.掌握等差数列、等比数列的通项公式与 前 n 项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系 或等比关系,并能用等差数列、等比数列的 有关知识解决相应的问题. 4.了解等差数列与一次函数的关系、等比 数

列与指数函数的关系.

【知识梳理】
1.等差、等比数列的定义及等差、等比中项
起,每一项与它

(1)如果一个数列从 第二项 的前一项的 差

( 商 )是同一个常数,

那么,这个数列叫做等差数列(等比数列) , 符号表示为

an?1 ? an ? d

( n ? N? , d , q 是常数)

an ?1 ( ?q ) an

【知识梳理】
1.等差、等比数列的定义及等差、等比中项
(2)若三个数 a, A, b 成等差数列,则 A 叫做

a 与 b 的等差中项,其中 A ?

a?b 2

若三个数 a, G, b 成等差数列,则 G 叫做

a 与 b 的等比中项,其中 G ? ? ab

【知识梳理】
2.等差、等比数列通项公式、前 n 项和公式

(1)通项公式

an ? a1 ? (n ?1)d ; an ? am ?(n ? m)d ; an ?

a1q

n?1

; an ? am

?q

n?m

【知识梳理】
2.等差、等比数列通项公式、前 n 项和公式

(2)前 n 项和公式

a1 ? an n(n ? 1) n d = Sn ? na1 ? 2 2



a1 ? an q a1 (1 ? q ) = Sn ? 1? q 1? q
n

n ?1

(q ? 1 )

【知识梳理】
2.等差、等比数列通项公式、前 n 项和公式

(3)等差数列前 n 项和的最大值、最小值
? an ? 0 ? 若 a1 ? 0 , d ? 0 ,则 Sn 有最大值, ? an <0 a ? 0 ? n 若 a1 ? 0 , d ? 0 ,则 Sn 有最小值, ? an >0 ? 如何确定 n ?
利用前 n 项和公式及二次函数的性质
在等差数列 {an } 中,

【知识梳理】

3.等差、等比数列的性质
已知等差(等比)数列 {an }
(1)若 m ? n ? p ? q ,则

am ? an ? ap ? aq

aman ? ap aq
2 p

特别地,若 m ? n ? 2 p ,则

am ? an ? 2a p aman ? a

【知识梳理】

3.等差、等比数列的性质
已知等差(等比)数列 {an }
(2) Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,? 成等差数列, 公差 n d (成等比数列,公比 q )
2

n

Sn { } 是等差数列 n

【知识梳理】

3.等差、等比数列的性质
(3)等差数列 {an } 中

n 为奇数时, S n ? nan?1 ;
n n 为偶数时, S n ? (a n ? a n ) ?1 2 2 2 an S2 n ?1 特别地, S 2n?1 ? (2n ? 1)an , ? bn T2 n ?1
2

【知识梳理】

3.等差、等比数列的性质
(4)增减性 等差数列中,

d ? 0时,数列为递增数列;
d ? 0 时,数列为递减数列;
d ? 0 时,数列为 常 数列;

【知识梳理】

3.等差、等比数列的性质
等比数列中,

a1 ? 0, q ? 1或 a1 ? 0,0 ? q ? 1 时, 数列为递增数列;
a1 ? 0, q ? 1 或 a1 ? 0,0 ? q ? 1 时, 数列为递减数列;
q ? 1 时,数列为



数列;

q ? 0 时,数列为 摆动 数列;

【方法归纳】

1.思想方法
方程思想:
等差(等比)数列中的问题,利用 a1 ,d (q ) ,

n , an , Sn 之间的关系,通过列方程组(前 n 项
和公式, 通项公式) , 求出基本量首项 a1 和公差 d (公比 q ) ,问题可迎刃而解(知三求二)

【方法归纳】

1.思想方法
整体思想
等差、等比数列的性质: m ? n ? 则 am ? an ? a p ? aq ( am an ? a paq )

p?q,

a1 涉及到等比数列前 n 项和的问题, 1? q

经常做整体看待

【方法归纳】

1.思想方法
函数思想
数列是特殊的函数,数列的有关问题可以 利用函数的性质解决。如等差数列前 n 项和的 最值、等差等比数列的增减性等,可利用一次、 二次函数或指数函数的相关性质加以解决。

【方法归纳】

1.思想方法
类比思想
等差数列中的“差” , “和” , “倍数”等 关系,类比到等比数列中就是“商” , “积” , “幂”的关系。

【方法归纳】

2.等差(等比)数列的判定方法
(1)定义法

an?1 ? an ? d (常数) ;
an?1 ? q(q ? 0) (常数) an

【方法归纳】

2.等差(等比)数列的判定方法
(2)中项公式法:

2an?1 ? an ? an?2 (n ? N )
a
2 n?1

?

? an ? an?2 (n ? N 且 an ? an?1 ? an?2 ? 0)
?

【方法归纳】

2.等差(等比)数列的判定方法
(3)通项公式法:

an ? pn ? q( p, q 为常数 )

an ? pa

n?1

( p, a 为常数 )

【方法归纳】

2.等差(等比)数列的判定方法
(4)前 n 项和法 , 且C ? 0 Sn ? An ? Bn ? C( A, B, C 为常数)
2

Sn ? Aq ? B ( A, B 为常数)且 B ? ? A
n

【例题精析】

题型一 等差、等比数列的基本运算
【例 1】 设等差数列 {an } 满足 a3 ? 5, a10 ? ?9 (1)求 {an } 的通项公式; (2)求 {an } 的前 n 项和 Sn 及使得 Sn 最大的 序号 n 的值

【例题精析】

题型一 等差、等比数列的基本运算
【例 2】 等比数列 {an } 中, q 为公比, Sn 为前 n 项和

1 , 则 S6 ? (1) a1 ? 27, a9 ? 243
(2) a1 ? 6, q ? 2, an ? 192, 则 Sn ?

; ;

【例题精析】

题型一 等差、等比数列的基本运算
【例 2】 等比数列 {an } 中, q 为公比, Sn 为前 n 项和

4 80 1 ,q ? ? , 则 n ? (3) a3 ? , Sn ? 9 27 3
(4) a3 ? 7 , S3 ? 21 ,则公比 q ?

; ;

【例题精析】

题型一 等差、等比数列的基本运算
【例 2】 等比数列 {an } 中, q 为公比, Sn 为前 n 项和
(5)若 q ? 1 , a3 ? 2, S4 ? 5 S2 ,则 an ? (6) a2 ? 6, 6a1 ? a3 ? 30, an ? , Sn ?

【例题精析】
题型二 等差、等比数列的判定与证明
【例 1】 已知数列 {an } 满足 a1 ? 4 ,an ? 4 ?

4 an ? 1

,( n ? 2) ,

1 令 bn ? ,求证数列 {bn } 是等差数列。 an ? 2

【例题精析】
题型二 等差、等比数列的判定与证明
【例 2】 设等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 1 ,

Sn?1 ? 4an ? 2
(1)设 bn ? an?1 ? 2an ,求证数列 {bn } 是等比数列; (2)求数列 {an } 的通项公式。

【例题精析】
题型二 等差、等比数列的判定与证明
【例 3】 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a2 ? 2 ,
an ? 2 an ? 1 ? an ? ,n? N? 2

(1)令 bn ? an?1 ? an ,证明 {bn } 是等比数列; (2)求 {an } 的通项公式。

【例题精析】

题型三 等差、等比数列性质的应用
【例 1】 已知数列 {an } 是等差数列 (1)前四项的和为 2,末四项的和为 67 , 前 n 的和为 286 ,则项数 n = ;

【例题精析】

题型三 等差、等比数列性质的应用
【例 1】 已知数列 {an } 是等差数列
(2)若 Sn ? 20, S2n ? 38, 则 S3n ?

【例题精析】

题型三 等差、等比数列性质的应用
【例 1】 已知数列 {an } 是等差数列

(3)若项数为奇数,且奇数项的和为 44, 偶数项的和为 33,则数列的中间 项为 ,项数为

【例题精析】

题型三 等差、等比数列性质的应用
【例 1】 已知数列 {an } 是等差数列
(4)若 a1 ? a4 ? a7 ? 15, a2a4a6 ? 45 , 则通项 an ?

【例题精析】

题型三 等差、等比数列性质的应用
【例 1】 已知数列 {an } 是等差数列

(5)若 an ? 0 , a3a5 ? a3a8 ? a5a10 ? a8a10 ? 64 则 S12 ?

【例题精析】

题型三 等差、等比数列性质的应用
【例 2】 若 {an } 、 {bn } 都是等差数列,其前 n 项和

S n 3n ? 1 a9 分别为 Sn , Tn ,且 ,则 ? ? Tn 2n ? 6 b9



【例题精析】

题型三 等差、等比数列性质的应用

【例 3】

{an } 是各项均为正数的等比数列
(1)若 a5a6 ? 9 ,则 log3 a1 ? log3 a2 ?

? ? log 3 a10 ?

【例题精析】

题型三 等差、等比数列性质的应用

【例 3】

{an } 是各项均为正数的等比数列
(2) {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S10 ? 10,

S30 ? 70, 则 S40 ?



【例题精析】

题型三 等差、等比数列性质的应用
【例 4】 在等比数列 {an } 中,已知 a3 ? a6 ? 36 ,
1 a4 ? a7 ? 18, an ? ,则 n ? 2




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