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一元二次不等式解法


一元二次不等式的解法
【知识讲解】
1、定义:形如 ax2+bx+c>0(a>0) (或 ax2+bx+c<0(a>0) )的不等式叫做关于 x 的 一元二次不等式。 2、一元二次不等式的一般形式: ax2+bx+c>0(a>0)或 ax2+bx+c<0(a>0) 3、一元二次不等式的解集: Δ=b2-4ac Δ>0
y

Δ=0


y

Δ<0
y

y=ax2+bx+c>0 (a>0)的图象
x1 O x2 x
O x1 (x2)
2

x

O

x

ax +bx+c=0 (a>0)的根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集

x1=

?b ? b 2 ? 4ac 2a
2

?b ? b ? 4ac x2= 2a

x1= x2=-

b 2a

没有实数根

x<x1 或 x>x2 (x1<x2) x1<x<x2 (x1<x2)

x≠-

b 2a

全体实数

无解

无解

4、解一元二次不等式的一般步骤: (1)将原不等式化成一般形式 ax2+bx+c>0(a>0) (或 ax2+bx+c<0(a>0) ) ; (2)计算Δ=b2-4ac; (3)如果Δ≥0,求方程 ax2+bx+c=0(a>0)的根;若Δ<0,方程 ax2+bx+c=0(a>0) 没有实数根; (4)根据上表,确定已经化成一般形式的不等式的解集,即为原不等式的解集。

【例题】
例 1 解下列不等式: (1)4x2-4x>15; (2)-x2-2x+3>0; (3)4x2-4x+1<0

解: (1)原不等式可化为:4x2-4x-15>0

Δ =b2-4ac=256>0 令 4x2-4x-15=0 解得 x1=3 5 ,x2= 2 2 3 5 或 x> 。 2 2

即(2x+3) (2x-5)=0

∴原不等式的解集为 x<-

(2)原不等式可化为:x2+2x-3<0 Δ =b2-4ac=16>0 令 x2+2x-3=0 解得 即(x+3) (x-1)=0

x1=-3,x2=1

∴原不等式的解集为-3<x<1。 (3)Δ =b2-4ac=0 令 4x2-4x+1=0 解得 x1=x2=1 2

即(2x-1)2=0

∴原不等式无解。 例 2 自变量 x 在什么范围取值时,函数 y=-3x2+12x-12 的值等于 0?大于 0?小于 0? 解:当 y=0 时,即-3x2+12x-12=0 解得 x1=x2=2 整理,得 x2-4x+4=0

∴当 x=2 时,y=0;当 x≠2 时,y<0;x 无论取何值,y 的值都不可能大于 0。 注意: (1) 本题本来要解一个方程-3x2+12x-12=0 和两个不等式-3x2+12x-12>0 与-3x2+12x-12 <0,但一元二次方程和一元二次不等式有着密切的联系,故确定了一元二次方程的解,便很 容易确定一元二次不等式的解集。 (2)我们知道二次函数 y=-3x2+12x-12 是开口向下的抛物线,它与 x 轴只有一个交点, 除这点外,抛物线上的点都在 x 轴下方,故 x 无论取何值,y 的值都不可能大于 0。 例 3 若关于 x 的方程 x2-(m+1)x-m=0 有两个不相等的实数根,求 m 的取值范围。 解:Δ =[-(m+1)]2-4×1×(- m)=m2+6m+1>0 Δ 1=62-4×1×1=32>0 令 m2+6m+1=0 解得 即 m= ?6 ? 32 ? ?3 ? 4 2
2

m1= ?3 ? 4 2 ,m2= ?3 ? 4 2

∴当 m< ?3 ? 4 2 或 m> ?3 ? 4 2 时,原方程有两个不相等的实数根。

根据题意,关于 x 的方程要有两个不相等的实数根,它的判别式Δ >0,而Δ >0 是关于 m 的一个一元二次不等式 m2+6m+1>0,这个不等式的解集就是 m 的取值范围。 要确定 m 的取值范围,就是解关于 m 的一个一元二次不等式 m2+6m+1>0。 为解这个不等式,我们把它的判别式记为Δ 1 了。

【练习】
1、解下列不等式:

(1)4x2-4x<15;

(2)-x2-2x+3<0;

(3)4x2-4x+1>0

(3)4x2-20x<25;

(4)-3x2+5x-4>0;

(5)x(1-x)>x(2x-3)+10

2、m 是什么实数时,关于 x 的方程 mx -(1-m)x+m=0 没有实数根?

2

3、已知函数 y=

1 2 3 x -3x- ,求使函数值大于 0 的 x 的取值范围。 2 4

答案:
3 5 1、 (1)- <x< 2 2

(2)x>-3 或 x<1 (5)无解

(3)x≠-

1 2

(4) 2、m>

5 1? 2 2

?

? <x< 5 ?1 ? 2 ?
2

(6)全体实数

1 3

一元一次方程
班级:_________ 姓名:______________ 学号:_________ 成绩:________ 一、填空题: (每小题 3 分,共 30 分) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 若 kx
3? 2 k

? 2 k ? 3 是关于 x 的一元一次方程,则 k=_____________.
1 x =________;若 x%=2.5,则 x=___________. 2

若 3 a ? 5 ? 2 ,则 3a=_________;若 x ? 3 a ? 2 ,则 当 x=_________时,代数式 3 ?

x 与x ? 1 的值相等. 3

已知 9 x ? 4 y ? 3 ? 0 ,用含有 x 的代数式表示 y,得 y=_____________. 当 x= ? 2 时, 二次三项式 2 x ? m x ? 4 的值等于 18, 那么当 x=2 时, 该代数式的值等于___________.
2

若 x ? y ? ?2,x ? 4 ,则 y=___________________. 若代数式 3 x 2 a?1 y与 ? x 9 y 3 a?b 是同类项,则 a=_________,b=__________. 食堂存煤若干,原来每天烧 3 吨,用去 15 吨后改进设备,耗煤量每天降为原来的一半,结果多烧 10 天,则原有煤量是_______________.

9.

当 x=1 时,代数式 m x ? 3 x ? 4 的值为 0,则 m 的值为__________.
2

10. 某学校为保护环境,绿化家园,每年组织学生参加植树活动,去年植树 x 棵,今年比去年增加 20%, 则今年植树___________棵. 二、选择题: (每小题 3 分,共 30 分) 11. 若 x ? ?

1 ,则下列说法中不正确的是( y



A. xy ? ?1 C. x ?

B. x、y 互为负倒数 D. xy ? 1 ? 0

1 ?0 y

12. 下列各题中正确的是(



A. 由 7 x ? 4 x ? 3 移项得 7 x ? 4 x ? 3 B. 由

2 x ?1 x?3 ? 1? 去分母得 2 ( 2 x ? 1) ? 1 ? 3( x ? 3) 3 2

C. 由 2 ( 2 x ? 1) ? 3( x ? 3) ? 1 去括号得 4 x ? 2 ? 3 x ? 9 ? 1 D. 由 2 ( x ? 1) ? x ? 7 移项、合并同类项得 x=5 13. 若方程 ax ? 5 ? 3 x 的解为 x=5,则 a 等于( A. 80 B. 4 C. 16 ) D. 2

14. 一个两位数,把其十位数字与个位数字交换位置后,所得的数比原数多 9,这样的两位数的个数有 ( A. 0 15. 如果 x=1 是方程 2 ? ) B. 1 C. 8 D. 9

1 ( m ? x ) ? 2 x 的解,那么关于 y 的方程 m ( y ? 3) ? 2 = 3
) C.

m ( 2 y ? 5 ) 的解是(
A. ? 10 B. 0

4 3

D. 4

16. 在三峡大江截流时,用载重卡车将一座石料运到围堰龙口,第一次运了这堆石料的 次员了剩下的

1 少 2 万方,第二 3


1 多 3 万方, 此时还剩下 12 万方未运, 若这堆石料共有 x 万方, 于是可列方程为 ( 2 1 1 1 A. x ? ( x ? 2 ) ? [ ( x ? x ? 2 ) ? 3 ] ? 12 3 2 3 1 1 1 B. x ? ( x ? 2 ) ? [ ( x ? x ? 2 ) ? 3 ] ? 12 3 2 3 1 1 1 C. x ? ( x ? 2 ) ? [ ( x ? x ) ? 3 ] ? 12 3 2 3 1 1 D. x ? ( x ? 2 ) ? ( x ? 3 ) ? 12 3 2 2x ? 3 9x ?5 ?x? ? 1 去分母得( 17. 方程 ) 2 3
A. 3( 2 x ? 3) ? x ? 2 ( 9 x ? 5 ) ? 6 C. 3( 2 x ? 3) ? x ? 2 ( 9 x ? 5 ) ? 1 B. 3( 2 x ? 3) ? 6 x ? 2 ( 9 x ? 5 ) ? 1 D. 3( 2 x ? 3) ? 6 x ? 2 ( 9 x ? 5 ) ? 6

18. 数学竞赛共有 10 道题,每答对一道题得 5 分,不答或答错一道题倒扣 3 分,要得到 34 分必须答对的 天数是( A. 6 19. 方程 A. 0 ) B. 7 C. 8 ) C. 1 D. 无解 D. 9

x x ? 1 10 x ? 3 ? ? 的解是( 3 2 21
B. 无数个解

20. 商品按进价增加 20%出售,因积压需降价处理,如果仍想获得 8%的利润,则出售价需打( A. 9 折 B. 5 折 C. 8 折 D. 7.5 折



三、解答题: (满分 60 分) 21. 解方程: (每小题 5 分,共 10 分) (1) 4 y ? 3( 20 ? y ) ? 6 y ? 7 (11? y ) ( 2)

2 x ? 1 10 x ? 1 2 x ? 1 ? ? ?1 3 6 4

22. (8 分)m 为何值时,代数式 2 m ?

5m ?1 7?m 的值与代数式 的值的和等于 5? 3 2

23. (10 分)为节约能源,某单位按以下规定收取每月电费,用电不超过 140 度,按每度 0.43 元收费, 如果超过 140 度,超过部分按每度 0.57 元收费. 若某用户四月份的电费平均每度 0.5 元,问该用户四 月份应交电费多少元?

24. (10 分)小明买苹果和梨共 5 千克,用去 17 元,其中苹果每千克 4 元,梨每千克 3 元问苹果和梨各 买了多少千克?

25. (10 分)某人将 2 000 元人民币按一年定期存入银行,到期后扣除 20%的利息税得本息和 2 160 元, 求这种存款方式的年利率.

26. (12 分)某同学在做作业时,不慎将墨水瓶碰翻,使一道作业题只看到如下字样: “甲、乙两地相距 40 千米,摩托车的速度为 45 千米/时,货车的速度为 35 千米/时,____________________?(横线部 分表示被墨水覆盖的若干文字) ,请将这道题补充完整,并列出方程进行解答.


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