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广东省2014届高三理科数学一轮复习试题选编13:椭圆


广东省 2014 届高三理科数学一轮复习试题选编 13:椭圆
一、选择题 错误!未指定书签。 . (广东省广州市 2013 届高三调研测试数学(理)试题)在区间 ?1,5? 和 ? 2, 4 ? 分别取 ? ? ? ?

一个数,记为 a,b , 则方程

x2 y2 3 ? 2 ? 1 表示焦点在 x 轴上且离心率小于 的椭圆的概率为 2 2 a b
( )

A.

1 2
学 学 科

B.


15 32
ZX X

C.

17 32

D.

31 32

【答案】B 中

? a 2 ? b2 x2 y 2 3 ? 分析:方程 2 + 2 = 1 表示焦点在 x 轴且离心率小于 的椭圆时,有 ? c a 2 ? b2 3 , a b 2 e? ? ? ? a a 2 ?
即?

? a 2 ? b2 ?a ? 4b
2 2

,化简得 ?

? a?b ,又 a ? [1,5] , b ? [2, 4] , ?a ? 2b

画出满足不等式组的平面区域,如右图阴影部分所示,

求得阴影部分的面积为

S 15 15 ,故 P ? 阴影 ? 4 2 ? 4 32

错误!未指定书签。 . (广东省湛江市 2013 届高三 4 月高考测试(二)数学理试题(WORD 版) 设 F1,F2 是椭 )

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 圆a 的左右焦点,若直线 x =ma ( m > 1 )上存在一点 P,使 Δ F2PF1 是底角为 300
的等腰三角形,则 m 的取值范围是 ( )

A.1

< m < 2

B.m > 2

3 C.1 < m < 2

3 D.m > 2

【答案】A 错误!未指定书签。 . (广东省海珠区 2013 届高三上学期综合测试(一)数学(理)试题) 已知椭圆

1

C:

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2

的离心率为

2 ,双曲线 x 2 ? y 2 ? 1的渐近线与椭圆 C 有四个交点,以 2
学 学 科 网 ZX X

这四个交点为顶点的四边形的 面积为 16 ,则椭圆 C 的方程为中

x2 y 2 A. ? ?1 8 4
【答案】B


x2 y 2 B. ? ?1 12 6
学 学 科 网

x2 y 2 C. ? ?1 16 8
ZX X

x2 y 2 D. ? ?1 20 5

错误! 未指定书签。(广东省韶关市 2013 届高三第三次调研考试数学(理科)试题 . (word 版)) 椭圆 x

2

? my 2 ? 1


的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值为 A.

( D.4

1 4
学 学 科

B.


1 2
ZX X

C.2

【答案】A 中 二、填空题

错误!未指定书签。 . (2009 高考(广东理))巳知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为

3 , 2

且 G 上一点到 G 的两个焦点的距离之和为 12,则椭圆 G 的方程为__________.
【答案】 【解析】 e 三、解答题 错误!未指定书签。 . (广东省肇庆市 2013 届高三上学期期末统一检测数学(理)试题)已知两圆

?

x2 y2 3 ? ? 1. , 2a ? 12 , a ? 6 , b ? 3 ,则所求椭圆方程为 36 9 2

C1 : x2 ? y2 ? 2x ? 0, C2 : ( x ?1)2 ? y 2 ? 4 的圆心分别为 C1 , C2 , P 为一个动点,且

| PC1 | ? | PC2 |? 2 2 .
(1)求动点 P 的轨迹 M 的方程;(2)是否存在过点 A(2, 0) 的直线 l 与轨迹 M 交于不同的两点 C、D,使得

| C1C |?| C1D | ?若存在,求直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. 中
【答案】解:(1)两圆的圆心坐标分别为 C1 (1,0), 和 C2 (?1, 0)



学 科



ZX X

∵ | PC1 | ? | PC2 |? 2 2 ?| C1C2 |? 2 ∴根据椭圆的定义可知,动点 P 的轨迹为以原点为中心, C1 (1,0), 和 C2 (?1, 0) 为焦点,长轴长为

2a ? 2 2 的椭圆, a ? 2, c ? 1, b ? a 2 ? c2 ? 2 ?1 ? 1
∴椭圆的方程为

x2 x2 ? y 2 ? 1,即动点 P 的轨迹 M 的方程为 ? y 2 ? 1 2 2

(2)(i)当直线 l 的斜率不存在时,易知点 A(2, 0) 在椭圆 M 的外部,直线 l 与椭圆 M 无交点,所以直线 l
2

不存在. (ii)设直线 l 斜率存在,设为 k ,则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2)

? x2 ? ? y2 ? 1 由方程组 ? 2 得 (2k 2 ? 1) x2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 ① ? y ? k ( x ? 2) ?
依题意 ? ? ?8(2k 2 ?1) ? 0 解得 ?

2 2 ?k? 2 2

当?

2 2 时,设交点 C( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ) ,CD 的中点为 N ( x0 , y0 ) , ?k? 2 2
x ? x2 4k 2 8k 2 ? ? 8k 2 ? ? ? 2 ,则 x0 ? 1 , x2 ? 2 2k ? 1 4k 2 ? 2 4k 2 ? 2
? 4k 2 ? ?2 k ? 2? ? 2 2 ? 2k ? 1 ? 2k ? 1

方程①的解为 x1 ?

∴ y0 ? k ( x0 ? 2) ? k ?

要使 | C1C |?| C1D | ,必须 C1 N ? l ,即 k ? kC1N ? ?1

?2k ?1 2 1 ? ∴ k ? 2k 2 1 ? ?1 ,即 k 2 ? k ? ? 0 ② 2 4k ?0 2 2k ? 1 1 1 2 ∵ ?1 ? 1 ? 4 ? ? ?1 ? 0 或,∴ k ? k ? ? 0 无解 2 2
所以不存在直线,使得 | C1C |?| C1D | 综上所述,不存在直线 l,使得 | C1C |?| C1D |
错误!未指定书签。 . (广东省茂名市 2013 届高三第一次模拟考试数学(理)试题)已知椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

( a ? b ? 0 )的离心率为 (1)求椭圆 C1 的方程;

3 ,连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为 2 6 . 3

(2)设椭圆 C1 的左焦点为 F ,右焦点为 F2 ,直线 l1 过点 F 且垂直于椭圆的长轴,动直线 l2 垂直 l1 于点 1 1

P ,线段 PF2 的垂直平分线交 l2 于点 M,求点 M 的轨迹 C2 的方程;
(3)设 O 为坐标原点,取 C2 上不同于 O 的点 S,以 OS 为直径作圆与 C2 相交另外一点 R,求该圆面积的最 小值时点 S 的坐标.

【答案】解:(1)解:由 e ?

3 6 2 2 2 2 2 b ,得 a ? 3c ,再由 c ? a ? b ,解得 a ? 3 2

3

由题意可知

1 ? 2a ? 2b ? 2 6 ,即 a ? b ? 6 2

? 6 b ?a ? 解方程组 ? 2 得 a ? 3, b ? 2 ? ab ? 6 ?
所以椭圆 C1 的方程是

x2 y 2 ? ?1 3 2





学 科



ZX X

(2)因为 MP ? MF ,所以动点 M 到定直线 l1 : x ? ?1 的距离等于它到定点 F2 (1,0)的距离,所以动点 2

M 的轨迹 C2 是以 l1 为准线, F2 为焦点的抛物线,
所以点 M 的轨迹 C2 的方程为 y ? 4 x
2

(3)因为以 OS 为直径的圆与 C2 相交于点 R ,所以∠ORS = 90°,即 OR ? SR ? 0 设 S ( x1 , y1 ),R( x2 , y2 ), SR =( x2 - x1 , y2 - y1 ), OR =( x2 , y2 ) 所以 OR ? SR ? x2 ( x2 ? x1 ) ? y2 ( y2 ? y1 ) ?

??? ??? ?

???

??? ?

??? ??? ?

y2 2 ( y2 2 ? y12 ) ? y2 ( y2 ? y1 ) ? 0 16

因为 y1 ? y2 , y2 ? 0 ,化简得 y1 ? ? ? y2 ?

? ?

16 ? ? y2 ?

所以 y1 ? y2 ?
2 2

256 2 256 ? 32 ? 2 y2 ? 2 ? 32 ? 64 , 2 y2 y2

当且仅当 y2 ?
2

256 2 即 y2 =16,y2=±4 时等号成立 2 y2

圆的直径|OS|=

x12 ? y12 ?

y14 1 1 ? y12 ? y14 ? 16 y12 ? ( y12 ? 8)2 ? 64 16 4 4

因为 y12 ≥64,所以当 y12 =64 即 y1 =±8 时, OS min ? 8 5 , [来源:学科网 ZXXK] 所以所求圆的面积的最小时,点 S 的坐标为(16,±8)
[来源:Zxxk.Com]

错误!未指定书签。 . (广东省梅州市 2013 届高三 3 月总复习质检数学(理)试题)(本小题满分 14 分 )

已知 F1,F2 分别是椭圆 C:

y 2 x2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的上、 下焦点,其中 F1 也是抛物线 C1: x ? 4 y 的焦点, 2 a b
5 . 3

点 M 是 C1 与 C2 在第二象限的交点,且 | MF1 |?

(1)求椭圆 C1 的方程; (2)已知 A(b,0),B(0,a),直线 y=kx(k>0)与 AB 相交于点 D,与椭圆 C1 相交于点 E,F 两点,求四边形 AEBF 面积的最大值.
4

【答案】

错误!未指定书签。 . (广东省汕头市 2013 届高三 3 月教学质量测评数学(理)试题) 〔本小题满分 14 分)

x2 y 2 如图.已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的长轴为 AB,过点 B 的直线 l 与 x 轴垂 直,椭圆的离心率 a b
e?

???? ???? 3 ,F 为椭圆的左焦点且 AF1 ?F1 B =1 . 2

(I)求椭圆的标准方程; (II)设 P 是椭圆上异于 A、B 的任意一点,PH⊥x 轴,H 为垂足,延长 HP 到点 Q 使得 HP=PQ.连接 AQ 并延 长交直线 l 于点 M.N 为 MB 的中点,判定直线 QN 与以 AB 为直径的圆 O 的位置关系.

5

【答案】解:(Ⅰ)易知 A ( ? a,0) , B (a,0)

F1 (?c,0)
Q
y M

? AF1 ? F1 B ? (a ? c,0) ? (a ? c) ? 1
?a ? c ? b ?1
2 2 2

N
P

又e ?

c a ?1 3 3 ,解得 a 2 ? 4 ? e2 ? 2 ? ? 2 4 2 a a
2 2

A

? F1

O

H

B

x

l

x2 ? 所求椭圆方程为: ? y 2 ? 1 4
(Ⅱ)设 P ( x 0 , y 0 ) 则 Q ( x 0 ,2 y 0 ) ( x ? ?2及x ? 2) ? k AQ ?

2 y0 x0 ? 2

所以直线 AQ 方程 : y ?

2 y0 ( x ? 2) x0 ? 2 ? N (2, 4 y0 ) x0 ? 2

? M (2,

8 y0 ) x0 ? 2

? k QN

4 y0 ? 2 y0 x0 ? 2 2x y ? ? 20 0 2 ? x0 x0 ? 4
2 2
2

又点 P 的坐标满足椭圆 方程得到: x 0 ? 4 y 0 ? 4 ,所以 x 0

? 4 ? ?4 y 0

2

? k QN ?

2 x0 y 0 x0 ? 4
2

?

2 x0 y 0 ? 4 y0
2

??

x0 2 y0

? 直线 QN 的方程: y ? 2 y 0 ? ?
2

x0 ( x ? x0 ) 2 y0
2

化简整理得到: x 0 x ? 2 y 0 y ? x 0 ? 4 y 0 ? 4 即 x 0 x ? 2 y 0 y ? 4
6

所以 点 O 到直线 QN 的距离 d ?

4 x0 ? 4 y 0
2 2

?2

? 直线 QN 与 AB 为直径的圆 O 相切.
错误!未指定书签。(广东省珠海市 2013 届高三 5 月综合考试(二)数学(理)试题)已知椭圆 C 的方程为 .

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,点 A、 B 分别为其左、右顶点,点 F1、F2 分别为其左、右焦点,以点 A 为圆 a 2 b2
心, AF1 为半径作圆 A ;以点 B 为圆心, OB 为半径作圆 B ;若直线 l : y ? ?

3 x 被圆 A 和圆 B 截得的 3

弦长之比为

15 ; 6

(1)求椭圆 C 的离心率; (2)己知 a ? 7 ,问是否存在点 P ,使得过 P 点有无数条直线被圆 A 和圆 B 截得的弦长之比为 在,请 求出所有的 P 点坐标;若不存在,请说明理由. y

3 ;若存 4

A

? F

1

O

? F2

B

x

【答案】解:(1)由 kl ? ?

3 ,得直线 l 的倾斜角为 150? , 3
a , 2
2 2

则点 A 到直线 l 的距离 d1 ? a sin(180? ? 150?) ?
2

故直线 l 被圆 A 截得的弦长为 L1 ? 2 (a ? c) ? d1 ? 2 (a ? c) ? ( ) ,
2

a 2

直线 l 被圆 B 截得的弦长为 L2 ? 2a cos(180? ?150?) ? 3a ,

a 2 (a ? c) 2 ? ( ) 2 L 15 2 ? 15 , 据题意有: 1 ? ,即 6 L2 6 3a
2 化简得: 16e ? 32e ? 7 ? 0 ,

7

7 1 或 e ? ,又椭圆的离心率 e ? (0, 1) ; 4 4 1 故椭圆 C 的离心率为 e ? . 4
解得: e ? (2)假设存在,设 P 点坐标为 (m, n) ,过 P 点的直线为 L ; 当直线 L 的斜率不存在时,直线 L 不能被两圆同时所截; 故可设直线 L 的方程为 y ? n ? k ( x ? m) , 则点 A(?7,0) 到直线 L 的距离 D1 ? 由(1)有 e ?

? 7k ? km ? n 1? k 2

,

c 1 3a 21 ? ,得 rA ? a ? c ? = , a 4 4 4
2 2

故直线 L 被圆 A 截得的弦长为 L1 ' ? 2 rA ? D1 , 则点 B(7,0) 到直线 L 的距离 D2 ?

7k ? km ? n 1? k 2

,

rB ? 7 ,故直线 L 被圆 B 截得的弦长为 L2 ' ? 2 rB2 ? D22 ,
据题意有:

L1 3 2 2 2 ? ,即有 16(rA ? D12 ) ? 9(rB ? D2 ) ,整理得 4D1 ? 3D2 , L2 4



4 7k ? km ? n 1? k 2

?

3 7k ? km ? n 1? k 2

,两边平方整理成关于 k 的一元二次方程得

(7m2 ? 350m ? 343 k 2 ? (350m ? 14mn)k ? 7n 2 ? 0 , )
关于 k 的方程有无穷多解,

?7m 2 ? 350m ? 343 ? 0 ?n ? 0 ?n ? 0 ? 故有: ?350n ? 14m n ? 0 , ?? 或? ?m ? ?1 ?m ? ?49 ?7n 2 ? 0 ? 故所求点 P 坐标为(-1,0)或(- 49,0).
(注设过 P 点的直线为 y ? kx ? m 后求得 P 点坐标同样得分)

错误! 未指定书签。 . (广东省东莞市 2013 届高三第二次模拟数学理试题) 已知椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

的离心率为 e ?

3 ,直线 l : y ? x ? 2 与以原点为圆心、以椭圆 C1 的短半轴长为半径的圆 O 相切. 3
[来源:Z+xx+k.Com]

(1)求椭圆 C1 的方程;

(2)设椭圆 C1 的左焦点为 F1 ,右焦点为 F2 ,直线 l1 过点 F1 ,且垂直于椭圆的长轴,动直线 l2 垂直于 l1 ,垂
8

足为点 P,线段 PF2 的垂直平分线交 l2 于点 M,求点 M 的轨迹 C2 的方程; (3)设 C2 与 x 轴交于点 Q,不同的两点 R、S 在 C2 上,且满足 QR ? RS ? 0 ,求 | QS | 的取值范围.

??? ?

【答案】解:(1)由直线 l : y ? x ? 2 与圆 x

2

? y 2 ? b 2 相切,得

|0?0?2| ? b ,即 b ? 2 2

b2 2 3 2 由e ? ,得 2 ? 1 ? e ? ,所以 a ? 3 , a 3 3
所以椭圆的方程是 C1 :

x2 y 2 ? ?1 3 2

(2)由条件,知 | MF2 |?| MP | ,即动点 M 到定点 F2 的距离等于它到直线 l1 : x ? ?1 的距离,由抛物线的定 义得点 M 的轨迹 C2 的方程是 y ? 4 x
2

(3)由(2),知 Q (0, 0) ,设 R ?

? y12 ? ? y2 ? , y1 ? , S ? 2 , y2 ? , ? 4 ? ? 4 ?

∴ QR ? ?

??? ?

? ? y12 ? ??? ? y 2 ? y12 ? , y1 ? , RS ? ? 2 , y2 ? y1 ? ? 4 ? ? 4 ?
2 y12 ? y2 ? y12 ?

由 QR ? RS ? 0 ,得

16

? y1 ? y2 ? y1 ? ? 0

∵ y1 ? y2 ,∴ y2 ? ? ? y1 ?

? ?

16 ? ?, y1 ?

2 ∴ y2 ? y12 ?

256 256 256 2 ? 32 ? 2 y12 ? 2 ? 32 ? 64 ,当且仅当 y1 ? 2 ,即 y1 ? ?4 时等号成立 2 y1 y1 y1

2 2 ??? ? ? y2 ? 1 2 又 | QS |? ? ? ? y2 ? 4 ? 4 ?

?y

2 2

? 8 ? ? 64 ,
2

2 2 ∵ y2 ? 64 ,∴当 y2 ? 64 ,即 y2 ? ?8 时, | QS |min ? 8 5 ,

??? ?

故 | QS | 的取值范围是 ?8 5, ??

??? ?

?

?

错误!未指定书签。(广东省汕头市东山中学 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题(详解) 已知直线 . )

x ? 3 y ? 3 ? 0 经过椭圆 C :
⑴求椭圆的标准方程;

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的一个顶点 B 和一个焦点 F . a2 b2

9

⑵设 P 是椭圆 C 上动点,求 || PF | ? | PB || 的取值范围,并求 || PF | ? | PB || 取最小值时点 P 的坐标.
【答案】⑴依题意, B(0 , 1) , F (?

3 , 0) , 所以 b ? 1 , c ? 3 , a ? b 2 ? c 2 ? 2 ,所以椭圆的标

x2 ? y 2 ? 1 5 分. 准方程为 4
⑵ 0 ?|| PF | ? | PB ||?| BF | ,当且仅当 | PF |?| PB | 时, || PF | ? | PB ||? 0 ,当且仅当 P 是直线 BF 与椭圆 C 的交点时, || PF | ? | PB ||?| BF | , | BF |? 2 ,所以 || PF | ? | PB || 的取值范围是 [0 , 2] . 设 P(m , n) ,由 | PF |?| PB | 得 3m ? n ? 1 ? 0 ,[来源:学.科.网]

? 8 3 ?m2 m?? 2 ? n ?1 ?m ? 0 ? ? ? 13 , 由? 4 ,解得 ? 或? ?n ? ?1 ?n ? 11 ? 3m ? n ? 1 ? 0 ? ? 13 ?
所求点 P 为 P(0 , ? 1) 和 P(?

8 3 11 , ) . 13 13

错误!未指定书签。(广东省惠州市 2014 届高三第一次调研考试数学(理)试题(word 版) )在平面直角坐 .

x2 y2 标系 x o y 中,点 P(a, b)(a ? b ? 0) 为动点, F 1 , F 2 分别为椭圆 2 ? 2 ? 1 的左右焦点.已知△ F 1 P F 2 为 a b
等腰三角形.(1)求椭圆的离心率 e ; (2)设直线 P F 2 与椭圆相交于 A , B 两点, M 是 直线 P F 2 上的点,满足 A M , M ? ?? B 2 求点 M 的轨迹方程. y P A M F1 O F2 x

?? ?? ?? ?? ??

B
【答案】解:(1)设 F (?c,0), F2 (c,0)(c ? 0) , 1
2 2 由题意,可得 PF2 ? F1F2 ,即 ( a ? c ) ? b ? 2c ,

整理得 2( c )2 ? c ? 1 ? 0 ,得 c
a a

a

? ?1 (舍)或

1 c 1 ,所以 e? ? 2 a 2

10

(2)由(1)知 a ? 2c, b ? 3c ,可得椭圆方程为 3x2 ? 4 y 2 ? 12c2 . 直线 PF2 方程为 y ? 3( x ? c),
? A, B 两点的坐标满足方程组 ?3 x ?
2

? 4 y 2 ? 12c 2 ,消去 y 并整理得 5x2
8 ? ? x2 ? 5 c ? ? ? y ? 3 3c , ? 2 5 ?

? 8cx ? 0,

? y ? 3( x ? c) ?

解得 x1 ? 0, x2 ?

8 c, 得方程组的解 5

? x1 ? 0 ? ? ? y1 ? ? 3c, ?

不妨设 A( 8 c, 3
5

3c ), B(0, ? 3c) ,设 M 5

的坐标为 ( x, y ) 则

???? ? 8 3 3c AM ? ( x ? c, y ? ), 5 5

???? ? BM ? ( x, y ? 3c) ,
3 y. 3 ???? ? 3 x), BM ? ( x, 3x)
5 5 5

由 y ? 3( x ? c), 得 c ? x ?
? 于是 ???? ? ( 8 AM 3 3 8 3 y ? x, y ? 15 5 5 5

由 AM ?BM ? ?2 得 ( 8 3 y ? 3 x) ? x ? ( 8 y ? 3 3x ) ? 3x ? ?2 ,
15

???? ???? ? ?

化简得 18x2 ?16 3xy ?15 ? 0 ,
2 2 将 y ? 18 x ? 15 代入 c ? x ? 3 y 得 c ? 10 x ? 5 ,

16 3x

3

16 x

由 c ? 0 得 x ? 0 .因此,点 M 的轨迹方程是 18x2 ?16 3xy ?15 ? 0( x ? 0)

错误!未指定书签。 (广东省惠州市 2013 届高三一调(理数)) 已知椭圆 .

x2 y 2 ? ? 1 ( a > b >0)的离心率 a 2 b2

e?

3 ,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4. 2

(1)求椭圆的方程: (2)设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A, B .已知点 A 的坐标为(- a ,0),点 Q (0, y0 )在线段 AB 的垂 直平分线上,且 QA? =4.求 y0 的值. QB
【答案】(1)解:由 e ?

??? ??? ? ?

c 3 2 2 2 2 2 ? ,得 3a ? 4c ,再由 c ? a ? b ,得 a ? 2b a 2

由题意可知,

?a ? 2b 1 ? 2a ? 2b ? 4,即ab ? 2 解方程组 ? 得 a ? 2, b ? 1 2 ?ab ? 2

11

所以椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1 4

(2)解:由(1)可知 A(-2,0).设 B 点的坐标为(x1,,y1),直线 l 的斜率为 k, 则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,

? y ? k ( x ? 2) ? 于是 A,B 两点的坐标满足方程组 ? x 2 由方程组消去 y 并整理, 2 ? ? y ?1 ? 4
得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 16k 2 x ? (16k 2 ? 4) ? 0 由 ?2 x1 ?

16k 2 ? 4 2 ? 8k 2 4k , 得 x1 ? , 从而y1 ? , 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4k 2

8k 2 2k , ) 以下分两种情况: 设线段 AB 是中点为 M,则 M 的坐标为 (? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2
(1)当 k=0 时,点 B 的坐标为(2,0).线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,于是
? ? ? ?

QA ? (?2, ? y0 ), QB ? (2, ? y0)由QA? =4,得y0 = ? 2 2 QB
②当 k ? 0 时,线段 AB 的垂直平分线方程为 y ? 令 x=0,解得 y0 ?
? ?

2k ?1 8k 2 ? (x ? ) 1 ? 4k 2 k 1 ? 4k 2
?

?6 k 1 ? 4k 2

由 QA ? (?2, ? y0 ), QB ? ( x1 , y1 ? y0)

?

QA? ? ?2 x1 ? y0 ( y1 ? y0)= QB

?2(2 ? 8k 2 ) 6k 4k 6k ? ( ? ) 2 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4 k 2

=

4(16k 4 ? 15k 2 ? 1) ?4 (1 ? 4k 2 )2

整理得 7k ? 2, 故k ? ?
2

14 2 14 所以y0 = ? 7 5 2 14 5

综上 y0 = ? 2 2或y0 = ?

错误!未指定书签。 (广东省珠海市 2013 届高三 9 月摸底(一模)考试数学(理)试题) 已知椭圆 .

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的右焦点为 F2 (3,0) ,离心率为 e . a2 b2
(1) 若 e ?

3 ,求椭圆的方程; 2

[来源:学科网]

(2)设直线 y ? kx 与椭圆相交于 A , B 两点, M , N 分别为线段 AF2 , BF2 的中点. 若坐标原点 O 在以

12

MN 为直径的圆上,且

2 3 ,求 k 的取值范围. ?e? 2 2

?c ? 3 ? 【答案】解:(1)由题意得 ? c 3 ,得 a ? 2 3 ? ? 2 ?a
结合 a ? b ? c ,解得 a ? 12 , b ? 3
2 2 2 2 2

所以,椭圆的方程为

x2 y2 ? ?1 12 3

? x2 y 2 ? 1, ? ? 2 2 2 2 2 2 (2)由 ? a 2 b 2 得 (b ? a k ) x ? a b ? 0 . ? y ? kx, ?
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . 所以 x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 依题意, OM ? ON , 易知,四边形 OMF2 N 为平行四边形, 所以 AF2 ? BF2 , 因为 F2 A ? ( x1 ? 3, y1 ) , F2 B ? ( x2 ? 3, y2 ) , 所以 F2 A ? F2 B ? ( x1 ? 3)( x2 ? 3) ? y1 y2 ? (1? k 2 ) x1x2 ? 9 ? 0 [即

? a 2b 2 , b2 ? a 2 k 2

???? ?

???? ?

???? ???? ? ?

?a 2 (a 2 ? 9)(1 ? k 2 ) ?9 ? 0, a 2 k 2 ? (a 2 ? 9)

将其整理为 k ?
2

a 4 ? 18a 2 ? 812 81 ? ?1 ? 4 . 4 2 ?a ? 18a a ? 18a 2

因为

2 3 2 ?e? ,所以 2 3 ? a ? 3 2 , 12 ? a ? 18 2 2
2

所以 k ?

1 2 2 ]? ( , ??] ,即 k ? (??, ? 8 4 4

错误!未指定书签。(广东省江门市 2013 年高考模拟考试(即一模)数学(理)试题 )已知椭圆 C 的中心在 .

原点 O ,离心率 e ? ⑴求椭圆 C 的方程;

3 ,右焦点为 F ( 3 , 0) . 2

⑵设椭圆的上顶点为 A ,在椭圆 C 上是否存在点 P ,使得向量 OP ? OA 与 FA 共线?若存在,求直线
13

AP 的方程;若不存在,简要说明理由.
【答案】解:⑴设椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

? 椭圆 C 的离心率 e ?

3 ,右焦点为 F ( 3 , 0) , 2

?c?
a

3 ,c ? 3 , 2

? a 2 ? b2 ? c2 ,

? a ? 2, b ? 1, c ?
故椭圆 C 的方程为

3,

x2 ? y2 ? 1 4

⑵假设椭圆 C 上是存在点 P ( x0 , y0 ),使得向量 OP ? OA 与 FA 共线,

??? ??? ? ? ??? ? ? OP ? OA ? ( x0 , y0 ? 1) , FA ? (? 3,1) ,

?

x0 y ?1 ,即 x0 ? ? 3( y0 ? 1) ,(1) ? 0 1 ? 3 x2 x2 ? y 2 ? 1 上,? 0 ? y0 2 ? 1 4 4
(2)

又? 点 P ( x0 , y0 )在椭圆

? 8 3 ? x0 ? ? ? x0 ? 0 ? 7 , 由⑴、⑵组成方程组解得 ? ,或 ? ? y0 ? ?1 ?y ? 1 ? 0 7 ?

? P(0, ?1) ,或 P(? 8

3 1 , ), 7 7

当点 P 的坐标为 (0, ?1) 时,直线 AP 的方程为 y ? 0 ,

当点 P 的坐标为 P (?

8 3 1 , ) 时,直线 AP 的方程为 3 x ? 4 y ? 4 ? 0 , 7 7

故直线 AP 的方程为 y ? 0 或 3 x ? 4 y ? 4 ? 0
错 误 ! 未 指 定 书 签 。 ( 广 东 省 肇 庆 市 2013 届 高 三 4 月 第 二 次 模 拟 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 设 椭 圆 .

14

x2 y 2 1 1 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的离心率为 ,其左焦点 E 与抛物线 C : x ? ? y 2 的焦点相同.(Ⅰ)求此 2 b a 2 4
椭圆的方程;(Ⅱ)若过此椭圆的右焦点 F 的直线与曲线 C 只有一个交点 P ,则 (1)求直线的方程;(2)椭圆上是否存在点 M ( x, y ) ,使得 S ?MPF ? 不存在,请说明理由.
【答案】解:(Ⅰ)抛 物线 C 的焦点为 E ( ?1, 0) ,它是题设椭圆的左焦点.离心率为

1 ,若存在,请说明一共有几个点;若 2 1 1 ? , b 2

所以, b ? 2 .由 b 2 ? a 2 ? 12 求得 a ? 3 .

因此,所求椭圆的方程为

x2 y 2 ? ?1 4 3

(*)

(Ⅱ)(1)椭圆的右焦点为 F (1, 0) ,过点 F 与 y 轴平行的直线显然与曲线 C 没有交点.设直线的斜率为

k,
① 若 k ? 0 ,则直线 y ? 0 过点 F (1, 0) 且与曲线 C 只有一个交点 (0, 0) ,此时直线 的方程为 y ? 0 ; ② 若 k ? 0 ,因直线过点 F (1, 0) ,故可设其方程为 y ? k ( x ? 1) ,将其代入

y 2 ? ?4 x 消去 y , 得 k 2 x 2 ? 2(k 2 ? 2) x ? k 2 ? 0 .因为直线与曲线 C 只有一个交点 P ,所以判别式 4(k 2 ? 2) 2 ? 4k 2 ? k 2 ? 0 ,于是 k ? ?1 ,从而直线的方程为 y ? x ? 1 或 y ? ? x ? 1 .因此,所求的直线
的方程为 y ? 0 或 y ? x ? 1 或 y ? ? x ? 1 . (2)由(1)可求出点 P 的坐标是 (0, 0) 或 (?1, 2) 或 (?1, ? 2) . ①若点 P 的坐标是 (0, 0) ,则 PF ? 1 .于是 S ?MPF ?

1 1 = ? 1? y ,从而 y ? ?1 ,代入(*)式联立: 2 2

? x2 y 2 ? x2 y 2 ? ?1 ? ? ?1 2 6 ? 或? 4 ,求得 x ? ? ,此时满足条件的点 M 有 4 个: 3 3 ?4 3 ?y ?1 ? y ? ?1 ? ?
?2 6 ? ? 2 6 ? ?2 6 ? ? 2 6 ? ? ? 3 , 1? , ? ? 3 , 1? , ? 3 , ? 1? , ? ? 3 , ? 1? . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
②若点 P 的坐标是 (?1, 2) ,则 PF ? 2 2 ,点 M 到直线: y ? ? x ? 1 的距离是

x ? y ?1 2

,

15

于是有

x ? y ?1 1 1 1 ? S ?MPF ? ? 2 2 ? ? x ? y ? 1 ,从而 x ? y ? 1 ? ? , 2 2 2 2

? x2 y 2 ? x2 y 2 ?1 ?1 ? ? ? ? ?4 ?4 3 3 与 (*) 式 联 立 : ? 或 ? 解之,可求出满足条件的点 M 有 4 1 1 ?x ? y ?1 ? ?x ? y ?1 ? ? ? ? ? 2 ? 2
个: ?

? 6 ? 57 9 ? 2 57 ? , ?, ? ? 7 14 ? ?

? 6 ? 57 9 ? 2 57 ? ? 11 15 ? ? 3? , ? ? , ? , ? ? , ? ?1, ? . ? ? ? 7 14 ? ? 2? 7 14 ? ?

③ 若点 P 的坐标是 (?1, ? 2) ,则 PF ? 2 2 ,点 M ( x, y ) 到直线: y ? x ? 1 的距离是

x ? y ?1 2

,于

是有

x ? y ?1 1 1 1 ? S ?MPF ? ? 2 2 ? ? x ? y ? 1 ,从而 x ? y ? 1 ? ? , 2 2 2 2

? x2 y 2 ? x2 y 2 ? ?1 ?1 ? ? ? ?4 ?4 3 3 与 (*) 式 联 立 : ? 或? ,解之,可求出满足条件的点 M 有 4 个: ?x ? y ?1 ? 1 ?x ? y ?1 ? ? 1 ? ? ? 2 ? 2
? 6 ? 57 ?9 ? 2 57 ? ? 6 ? 57 ?9 ? 2 57 ? ? 11 15 ? ? 3? , , ? ?, ? ? , ? , ? , ? ?1, ? ? . ? ? ? ? ? 7 14 ? ? 2? 7 14 7 14 ? ? ? ?
综合①②③,以上 12 个点各不相同且均在该椭圆上,因此,满足条件的点 M 共有 12 个.图上椭圆上的 12 个点即为所求.

错误!未指定书签。(广东省“六校教研协作体”2013 届高三第二次(11 月)联考数学(理)试题)已知椭 .

圆C :

x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积 2 a b 3



5 2 . 3
16

(1)求椭圆 C 的方程;

(2)已知动直线 y ? k ( x ? 1) 与椭圆 C 相交于 A 、 B 两点.

1 ,求斜率 k 的值; 2 ???? ???? 7 ②已知点 M ( ? , 0) ,求证: MA ? MB 为定值. 3
①若线段 AB 中点的横坐标 为 ?

21 .(本小题满分 14 分)
已知函数 f ? x ? ? ln ? x ? a ? ? x2 ? x 在 x ? 0 处取得极值. (1)求实数 a 的值;

5 x ? b 在区间 ? 0, 2? 上恰有两个不同的实数根,求实数 b 的取值范围; 2 3 4 n ?1 (3)证明:对任意的正整数 n ,不等式 2 ? ? ? ? ? 2 ? ln ? n ? 1? 都成立. 4 9 n
(2)若关于 x 的方程 f ? x ? ? ?
【答案】解:(1)因为

x2 y 2 c 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 满足 a 2 ? b2 ? c2 , ? 2 a b a 3

5 x2 y2 1 5 2 2 2 ? ?1 ,解得 a ? 5, b ? ,则椭圆方程为 ? b ? 2c ? 5 3 5 2 3 3
(2)①将 y ? k ( x ? 1) 代入

x2 y2 ? ? 1 中得 (1 ? 3k 2 ) x2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 5 ? 0 5 5 3

? ? 36k 4 ? 4(3k 2 ? 1)(3k 2 ? 5) ? 48k 2 ? 20 ? 0 , x1 ? x2 ? ?

6k 2 3k 2 ? 1

1 6k 2 1 3 ? ? ,解得 k ? ? 因为 AB 中点的横坐标为 ? ,所以 ? 2 2 3k ? 1 2 3
②由(1)知 x1 ? x2 ? ?

6k 2 3k 2 ? 5 , x1 x2 ? 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

所以 MA ? MB ? ( x1 ?

7 7 7 7 , y1 )( x2 ? , y2 ) ? ( x1 ? )( x2 ? ) ? y1 y2 3 3 3 3 7 7 7 49 ? ( x1 ? )( x2 ? ) ? k 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? ( ? k 2 )( x1 ? x2 ) ? ? k2 3 3 3 9
2

???? ????

4 3k 2 ? 5 7 6k 2 49 ?3k 4 ? 16k 2 ? 5 49 2 2 ? (1 ? k ) 2 ? ( ? k )(? 2 ) ? ? k ? ? ? k2 ? 2 9 3k ? 1 3 3k ? 1 9 3k ? 1 9
21 .解:(1) f ' ? x ? ?

1 ? 2 x ? 1, x?a
17

? x ? 0 时, f ? x ? 取得极值,

? f ' ? 0? ? 0,


1 ? 2 ? 0 ? 1 ? 0, 解得 a ? 1. 经检验 a ? 1 符合题意 0?a

2 (2)由 a ? 1 知 f ? x ? ? ln ? x ? 1? ? x ? x,

3 5 x ? b ,得 ln ? x ? 1? ? x 2 ? x ? b ? 0, 2 2 3 5 2 令 ? ? x ? ? ln ? x ? 1? ? x ? x ? b, 则 f ? x ? ? ? x ? b 在区间 ? 0, 2? 上恰有两个不同的实数根等价于 2 2
由 f ? x? ? ?

? ? x ? ? 0 在区间 ?0, 2? 上恰有两个不同的实数根
?' ? x? ?
1 3 ? ? 4 x ? 5?? x ? 1? ? 2x ? ? , x ?1 2 2 ? x ? 1?
'

当 x ??0,1? 时, ? ? x ? ? 0 ,于是 ? ? x ? 在 ?0,1? 上单调递增; 当 x ? ?1, 2? 时, ? ? x ? ? 0 ,于是 ? ? x ? 在 ?1, 2? 上单调递减
'

?? ? 0 ? ? ?b ? 0 ? 3 ? 依题意有 ?? ?1? ? ln ?1 ? 1? ? 1 ? ? b ? 0 , 2 ? ?? ? 2 ? ? ln ?1 ? 2 ? ? 4 ? 3 ? b ? 0 ? 1 解得, ln 3 ? 1 ? b ? ln 2 ? . 2



2 (3) f ? x ? ? ln ? x ? 1? ? x ? x 的定义域为 x x ? ?1 ,由(1)知 f ' ? x ? ?

?

?

? x ? 2 x ? 3? , ? x ? 1?

令f

'

? x? ? 0 得, x ? 0 或 x ? ? 2 (舍去),
'

3

? 当 ?1 ? x ? 0 时, f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递增;
当 x ? 0 时, f

? x? ? 0 , f ? x ? 单调递减.

? f ? 0 ? 为 f ? x ? 在 ? ?1, ??? 上的最大值. ? f ? x ? ? f ? 0? ,故 ln ? x ?1? ? x2 ? x ? 0 (当且仅当 x ? 0 时,等号成立)
对任意正整数 n ,取 x ?

1 ?1 ? 1 1 ? 0 得, ln ? ? 1? ? ? 2 , n ?n ? n n

18

? n ?1 ? n ?1 ? ln ? ?? 2 . ? n ? n
故2?

3 4 n ?1 3 4 n ?1 ? ? ? ? 2 ? ln 2 ? ln ? ln ? ? ? ln ? ln ? n ? 1? 4 9 n 2 3 n

错误! 未指定书签。 广东省潮州市 2013 届高三第二次模拟考试数学 ( . (理) 试题) 设椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a 2 b2

的左右顶点分别为 A(?2, 0), B(2, 0) ,离心率 e ? 点 C 在 QP 的延长线上,且 | QP |?| PC | . (1)求椭圆的方程;

3 .过该椭圆上任一点 P 作 PQ ? x 轴,垂足为 Q , 2

(2)求动点 C 的轨迹 E 的方程;

(3)设直线 AC ( C 点不同于 A, B )与直线 x ? 2 交于点 R , D 为线段 RB 的中点,试判断直线 CD 与曲 线 E 的位置关系,并证明你的结论.

【答案】解析:(1)由题意可得 a ? 2 , e ?

c 3 ,∴ c ? 3 , ? a 2

-zxxk

∴ b ? a ? c ?1,
2 2 2

所以椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1 4

? x0 ? x ? x ? x0 ? (2)设 C ( x, y ) , P( x0 , y0 ) ,由题意得 ? ,即 ? 1 , y ? 2 y0 y0 ? x ? ? ? 2

2 x0 x2 1 2 ? y0 ? 1,代入得 ? ( y)2 ? 1 ,即 x2 ? y2 ? 4 . 4 4 2

即动点 C 的轨迹 E 的方程为 x ? y ? 4
2 2

(3)设 C (m, n) ,点 R 的 坐标为 (2, t ) , ∵ A, C , R 三点共线,∴ AC // AR , 而 AC ? (m ? 2, n) , AR ? (4, t ) ,则 4n ? t (m ? 2) , ∴t ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

4n , m?2 4n 2n ) ,点 D 的坐标为 (2, ), m?2 m?2
19

∴点 R 的坐标为 (2,

∴直线 CD 的斜率为 k ?

n?

2n m ? 2 ? (m ? 2)n ? 2n ? mn , m?2 m2 ? 4 m2 ? 4

而 m2 ? n2 ? 4 ,∴ m2 ? 4 ? ?n2 , ∴k ?

mn m ?? , 2 ?n n
m ( x ? m) ,化简得 mx ? ny ? 4 ? 0 , n

∴直线 CD 的方程为 y ? n ? ?

∴圆心 O 到直线 CD 的距离 d ? 所以直线 CD 与圆 O 相切

4 m2 ? n 2

?

4 ?2?r, 4

错误!未指定书签。(广东省潮州市 2013 届高三上学期期末教学质量检测数学(理)试题)已知点 M ( 4 , 0) 、 .

???? ???? ? ??? ? N (1, 0) ,若动点 P 满足 MN ? MP ? 6 | NP | .
(1)求动点 P 的轨迹 C ; (2)在曲线 C 上求一点 Q ,使点 Q 到直线 l : x ? 2 y ? 12 ? 0 的距离最小.

【答案】解:(1)设动点 P( x , y ) ,又点 M ( 4 , 0) 、 N (1, 0) ,

∴ MP ? ( x ? 4 , y ) , MN ? ( ? 3 , 0) , NP ? ( x ?1, y )
2 2 由 MN ? MP ? 6 | NP | ,得 ?3( x ? 4 ) ? 6 (1 ? x ) ? ( ? y ) ,

????

???? ?

??? ?

???? ???? ?

??? ?

∴ ( x2 ? 8x ? 16) ? 4( x2 ? 2x ? 1) ? 4 y 2 ,故 3x 2 ? 4 y 2 ? 12 ,即 ∴轨迹 C 是焦点为 ( ? 1, 0) 、长轴长 2a ? 4 的椭圆;

x2 y 2 ? ? 1, 4 3

评分说明:只求出轨迹方程,没有说明曲线类型或交代不规范的扣 1 分. (2)椭圆 C 上的点 Q 到直线 l 的距离的最值等于平行于直线 l : x ? 2 y ? 12 ? 0 且与椭圆 C 相切的直线 l1 与直线 l 的距离. 设直线 l1 的方程为 x ? 2 y ? m ? 0( m ? ?12) [来源:Zxxk.Com]

?3x 2 ? 4 y 2 ? 12 2 2 由? ,消去 y 得 4 x ? 2mx ? m ? 12 ? 0 (*). ?x ? 2 y ? m ? 0
2 2 2 依题意得 ? ? 0 ,即 4m ? 16( m ? 12) ? 0 ,故 m ? 16 ,解得 m ? ?4 .

20

当 m ? 4 时,直线 l1 : x ? 2 y ? 4 ? 0 ,直线 l 与 l1 的距离 d ?

| 4 ? 12 | 16 5 . ? 5 1? 4 | ?4 ? 12| 8 5 . ? 5 1? 4

当 m ? ?4 时,直线 l1 : x ? 2 y ? 4 ? 0 ,直线 l 与 l1 的距离 d ?

由于

8 5 16 5 8 5 ,故曲线 C 上的点 Q 到直线 l 的距离的最小值为 ? 5 5 5
2

当 m ? ?4 时,方程(*)化为 4 x ? 8 x ? 4 ? 0 ,即 ( x ?1)2 ? 0 ,解得 x ? 1 . 由 1 ? 2 y ? 4 ? 0 ,得 y ? ∴曲线 C 上的点 Q (1 ,

3 3 ,故 Q (1 , ) . 2 2

3 ) 到直线 l 的距离最小 2

错误!未指定书签。(广东省揭阳一中 2013 届高三第三次模拟考试数学(理)试题)曲线 C1 , C2 都是以原点 .

O 为对称中心、坐标轴为对称轴、离心率相等的椭圆.点 M 的坐标是(0,1),线段 MN 是曲线 C1 的短轴,
并且是曲线 C2 的长轴 . 直线 l : y ? m(0 ? m ? 1) 与曲线 C1 交于 A,D 两点(A 在 D 的左侧),与曲线 C2 交 于 B,C 两点(B 在 C 的左侧). (1)当 m =

3 5 , AC ? 时,求椭圆 C1 , C2 的方程; 2 4

(2)若 OC ? AN ,求 m 的值.
【答案】解:(1)解:设曲线 C1 的方程为

x2 x2 ? y 2 ? 1 ,C2 的方程为 2 ? y 2 ? 1 ( a ? 1, 0 ? b ? 1 ) a2 b

∵C1 ,C2 的离心率相同,∴

a2 ?1 ? 1 ? b 2 ,∴ ab ? 1 , a2
2

Qm ?

3 1 3 代入曲线方程, 则 x 3 令 ? ? 1,? x A ? ? a. ,? y ? 2 a 4 2 2 2

x2 3 1 ? ? 1,? xC ? b . 2 b 4 2

?当 m =

3 1 3 时,A (? a , 3 ) ,C ( , ) 2 2a 2 2 2

?a ? 2 5 1 1 5 ? 5 ? 又∵ AC ? ,? b ? a ? .由 ?a ? b ? ,且 a ? 1,0 ? b ? 1 ,解得 ? 1 2 ? 2 2 4 4 ?b ? 2 ?ab ? 1 ? ?
∴C1 ,C2 的方程分别为 x ? y 2 ? 1 , 4 x ? y ? 1 4
2 2
2

(2)令 y ? m 代入曲线方程, x 2 ? y 2 ? 1 ,得 x A ? ?a 1 ? m 2 , a 由于 ab ? 1 ,所以 A (- a 1 ? m ,m), C (
2

2

x2 2 ? y 2 ? 1 ,得 xC ? b 1 ? m b2

1 1 ? m 2 ,m) a
21

错误!未指定书签。(广东省惠州市2013届高三10月第二次调研考试数学(理)试题)已知直线 x ? y ? 1 ? 0 .

与椭圆

???? ? ???? ? x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A 、 B 两点, M 是线段 AB 上的一点, AM ? ? BM ,且点 M 在 a2 b
1 x 上. 2
2 2

直线 l : y ?

(1)求椭圆的离心率; (2)若椭圆的焦点关于直线 l 的对称点在单位圆 x ? y ? 1上,求椭圆的方程.
【答案】解:设 A 、 B 两点的坐标分别为 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 )

[来源:学科网 ZXXK]

(1)由 AM ? ? BM 知 M 是 AB 的中点,

???? ?

???? ?

?x ? y ?1 ? 0 ? 2 2 2 2 2 2 2 由 ? x2 y 2 得: (a ? b ) x ? 2a x ? a ? a b ? 0 ? 2 ? 2 ?1 b ?a
x1 ? x2 ? 2a 2 2b 2 , y1 ? y2 ? ?( x1 ? x2 ) ? 2 ? 2 a 2 ? b2 a ? b2 a2 b2 , 2 ) a 2 ? b2 a ? b2 a2 2b 2 ? 2 ?0 a 2 ? b2 a ? b2
? a 2 ? 2c 2

? M 点的坐标为 (

又 M 点在直线上:?

? a2 ? 2b2 ? 2(a2 ? c2 )
?e ? c 2 ? a 2

(2)由(1)知 b ? c ,不妨设椭圆的一个焦点坐标为 F (b, 0) , 设 F (b, 0) 关于直线 l : y ?

1 x 的对称点为 ( x0 , y0 ) , 2
22

[来源:Z_xx_k.Com]

? y0 ? 0 1 3 ? ? x ? b ?2 ? ?1 ? x0 ? 5 b ? ? 0 则有 ? 解得: ? ?y ? 4 b ? x0 ? b ? 2 ? y0 ? 0 ? 0 5 ? 2 ? ? 2
由已知 x02 ? y02 ? 1 , 所求的椭圆的方程为

3 4 ( b) 2 ? ( b) 2 ? 1 , ? b2 ? 1 5 5

x2 ? y2 ? 1 2 x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 a 2 b2

错误!未指定书签。(2012 年广东理)20.在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C : .

离心率 e ?

2 ,且椭圆 C 上的 3

点到 Q (0, 2) 的距离的最大值为 3 ; (1)求椭圆 C 的方程; (2)在椭圆 C 上,是否存在点 M (m, n) 使得直线 l : mx ? ny ? 1 与圆 O : x2 ? y 2 ? 1 相交于不同的 两点 A, B ,且 ?AOB 的面积最大?若存在,求出点 M 的坐标及相对应的 ?AOB 的面积; 若不存在,请说明理由.
【答案】 【解析】(1)设 c ?

a 2 ? b2

由e ?

c 2 2 1 ? ? c 2 ? a 2 ,所以 b 2 ? a 2 ? c 2 ? a 2 3 a 3 3

设 P ( x, y ) 是椭圆 C 上任意一点,则

x2 y 2 y2 ? 2 ? 1 ,所以 x 2 ? a 2 (1 ? 2 ) ? a 2 ? 3 y 2 a2 b b

| PQ |? x 2 ? ( y ? 2) 2 ? a 2 ? 3 y 2 ? ( y ? 2) 2 ? ?2( y ? 1) 2 ? a 2 ? 6
当 b ? 1 时,当 y ? ?1 时, | PQ | 有最大值 a ? 6 ? 3 ,可得 a ? 3 ,所以 b ? 1, c ?
2

2

当 b ? 1 时, PQ ?

a 2 ? 6 ? 3b 2 ? 6 ? 3 不合题意

故椭圆 C 的方程为:

x2 ? y2 ? 1 3

1 1 ? OA ? OB ? sin ?AOB ? 2 2 1 ? 当且仅当 ?AOB ? 90 时, S?AOB 有最大值 , 2
(2) ?AOB 中, OA ? OB ? 1 , S ?AOB ?

?AOB ? 90? 时,点 O 到直线 AB 的距离为 d ?

2 2
23

d?

2 1 2 ? ? ? m2 ? n 2 ? 2 2 2 2 2 m ?n
2 2 2

又 m ? 3n ? 3 ? m ?

3 2 1 6 2 , n ? ,此时点 M (? ,? ) 2 2 2 2
3 4

错误!未指定书签。(广东省汕头一中 2013 年高三 4 月模拟考试数学理试题 )在平面直角坐标系中,已知点 .

A? 2, 0? 、 B ? ?2, 0? , P 是平面内一动点,直线 PA 、 PB 的斜率 之积为 ? .
(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程;

?1 ? (2)过点 ? , 0 ? 作直线 l 与轨迹 C 交于 E 、 F 两点,线段 EF 的中点为 M ,求直线 MA 的斜率 k 的取值 ?2 ?
范围.

【答案】(1)依题意,有 kPA ? kPB ?

y y 3 ? ? ? ( x ? ?2 ), x?2 x?2 4

-----------------------------

x2 y2 ? ? 1 ( x ? ?2 ),为所求动点 P 的轨迹 C 的方程-----------------------4 3 (2)依题意,可设 M ( x , y ) 、 E ( x ? m , y ? n) 、 F ( x ? m , y ? n) ,则有
化简得:

? ( x ? m)2 ( y ? n)2 ? ?1 ? ? 4 3 , ? 2 2 ? ( x ? m) ? ( y ? n) ? 1 ? 4 3 ?
两式相减,得

4mx 4n n 3x y ? 0 , ? ? 0 ? k EF ? ? ? ? 4 3 m 4y x ? 1 2

由此得点 M 的轨迹方程为: 6 x2 ? 8 y 2 ? 3x ? 0 ( x ? 0 ).-----------------------------设直线 MA : x ? my ? 2 (其中 m ?

1 ),则 k
------------ ------------------

? x ? my ? 2 ? (6m2 ? 8) y 2 ? 21my ? 18 ? 0 , ? 2 2 ?6 x ? 8 y ? 3x ? 0
故由 ? ? (21m)2 ? 72(6m2 ? 8) ? 0 ?| m |? 8 ,即

1 ?8 , k
---------------------------

? 1 1? 解得: k 的取值范围是 ? ? , ? . ? 8 8?

错 误 !未 指定 书签 。 (广东省 深圳市南山区 2013 届高 三上学期期 末考试数学( 理)试题) 已知椭圆 .

C:

x2 y 2 6 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的离心率为 ,短轴一个端点到右焦点的距离为 3 . 2 a b 3
24

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为 源:Zxxk.Com]
【答案】

3 ,求 △ AOB 面积的最大值.[来 2

(2)设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) .

25

错误!未指定书签。(广东省茂名市实验中学 2013 届高三下学期模拟(二)测试数学(理)试题(详解) 如 . )

y2 ? x 2 =1 上的动点,以 M0 为切点的切线 l0 与直线 y=2 相交于点 P. 图,已知点 M0(x0,y0)是椭圆 C: 2
(1)过点 M0 且 l0 与垂直的直线为 l1,求 l1 与 y 轴交点纵坐标的取值范围; (2)在 y 轴上是否存在定点 T,使得以 PM0 为直径的圆恒过点 T?若存在,求出点 T 的坐标;若不存在,说明 理由.

26

2 2 【答案】解:(1)由椭圆得: y ? 2(1 ? x ) , y ' ? ?2 x(2 ? 2 x )

?

1 2

切线的斜率为:k=

?2 x0 2 ? 2 x0 2

,所以,直线 l1 的方程为: y ? y0 ?

2 ? 2 x0 2 ( x ? x0 ) , 2 x0

2 ? 2 x0 2 2 ? 2 x0 2 与 y 轴交点纵坐标为:y= 2 ? 2x0 = 2 2
2

因为 ?1 ? x0 ? 1,所以, 0 ? x02 ? 1, 0 ? 2 ? 2x02 ? 2 ,所以,当切点在第一、二象限时

l1 与 y 轴交点纵坐标的取值范围为: 0 ? y ?

2 ,则对称性可知 2

l1 与 y 轴交点纵坐标的取值范围为: ?

2 2 ? y? . 2 2

(2)依题意,可得∠PTM0=90°,设存在 T(0,t),M0(x0,y0)

??? ????? ? 2 y0 ? y0 2 ? 2 x0 2 由(1)得点 P 的坐标( ,2),由 PT ? 0T ? 0 可求得 t=1[来源:学科网 ZXXK] M 2 x0
所以存在点 T(0,1)满足条件.
错误!未指定书签。(广东省广州市 2013 届高三 3 月毕业班综合测试试题(一)数学(理)试题)已知椭圆 C1 .

的中心在坐标原点,两个焦点分别为 F1 (?2,0) , F2 2,0 ,点 A(2, 3) 在椭圆 C1 上,过点 A 的直线 L 与抛物线 C2 : x ? 4 y 交于 B,C 两点,抛物线 C2 在点 B,C 处的切线分别为 l1,l2 ,且 l1 与 l2 交于点 P .
2

?

?

(1) 求椭圆 C1 的方程; (2) 是否存在满足 PF ? PF2 ? AF ? AF2 的点 P ? 若存在,指出这样的点 P 有几个(不必求出点 1 1

P 的坐标); 若不存在,说明理由.
27

【答案】(本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识,考查数形结合、函数与方程、化归

与转化的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识) (1) 解法 1:设椭圆 C1 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? , a 2 b2
?a 2 ? 16, ? 2 ?b ? 12. ?

? 22 32 ? ? ? 1, 依题意: ? a 2 b2 ?a 2 ? b2 ? 4. ?
∴ 椭圆 C1 的方程为

解得: ?

x2 y 2 ? ?1 16 12 x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? , a 2 b2

解法 2:设椭圆 C1 的方程为

根据椭圆的定义得 2a ? AF ? AF2 ? 8 ,即 a ? 4 , 1 ∵ c ? 2 , ∴ b2 ? a 2 ? c 2 ? 12

∴ 椭圆 C1 的方程为

x2 y 2 ? ?1 16 12
1 2 1 2 1 2 x1 ) , C ( x 2 , x 2 ) ,则 BC ? ( x 2 ? x1 , ( x 2 ? x12 )) , 4 4 4

(2)解法 1:设点 B ( x1 ,

BA ? (2 ? x1 ,3 ?

1 2 x1 ) , 4

∵ A, B, C 三点共线, (苏元高考吧:www.gaokao8.net) ∴ BC // BA ∴ x2 ? x1 ? 3 ?

??? ?

??? ?

?

?

? ?

1 2? 1 2 x1 ? ? x2 ? x12 4 ? 4

?

? ?2 ? x ? ,
1

化简得: 2 x1 ? x2 ) ? x1x2 ? 12 . ( 由 x2 ? 4 y ,即 y ?



1 1 2 x ,得 y? ? x 4 2 x 1 2 x1 1 x1 ? ( x ? x1 ) ,即 y ? 1 x ? x12 . ② 4 2 2 4 x2 1 2 x ? x2 . 2 4


∴抛物线 C2 在点 B 处的切线 l1 的方程为 y ?

同理,抛物线 C2 在点 C 处的切线 l2 的方程为 y ?

28

设点 P( x, y) ,由②③得: 而 x1 ? x 2 ,则 x ? 代入②得 y ?

x1 x 1 1 2 x ? x12 ? 2 x ? x2 , 2 4 2 4

1 ( x1 ? x 2 ) 2

1 x1 x 2 , 4

则 2 x ? x1 ? x2 , 4 y ? x1 x2 代入 ① 得 4 x ? 4 y ? 12 ,即点 P 的轨迹方程为 y ? x ? 3 . 若 PF ? PF2 ? AF ? AF2 ,则点 P 在椭圆 C1 上,而点 P 又在直线 y ? x ? 3 上, 1 1 ∵直线 y ? x ? 3 经过椭圆 C1 内一点 (3, 0) , ∴直线 y ? x ? 3 与椭圆 C1 交于两点 ∴满足条件 PF ? PF2 ? AF ? AF2 1 1 的点 P 有两个

解法 2:设点 B( x1 , y1 ) , C ( x2 , y 2 ) , P( x0 , y0 ) , 由 x2 ? 4 y ,即 y ?

1 1 2 x ,得 y? ? x 4 2 x1 ( x ? x1 ) , 2

∴抛物线 C2 在点 B 处的切线 l1 的方程为 y ? y1 ?

即y?

x1 1 x ? y1 ? x12 2 2 x 1 2 x1 , ∴ y ? 1 x ? y1 . 4 2
∴ y0 ?

∵ y1 ?

∵点 P( x0 , y0 ) 在切线 l1 上,

x1 x0 ? y1 . 2



同理, y 0 ?

x2 x0 ? y 2 . ② 2
x x0 ? y 2

综合①、②得,点 B( x1 , y1 ), C ( x2 , y 2 ) 的坐标都满足方程 y 0 ? ∵经过 B( x1 , y1 ), C ( x2 , y 2 ) 的直线是唯一的, ∴直线 L 的方程为 y 0 ?

x x0 ? y , 2
∴ y0 ? x0 ? 3

∵点 A(2,3) 在直线 L 上,

29

∴点 P 的轨迹方程为 y ? x ? 3 若 PF ? PF2 ? AF ? AF2 ,则点 P 在椭圆 C1 上,又在直线 y ? x ? 3 上, 1 1 ∵直线 y ? x ? 3 经过椭圆 C1 内一点 (3, 0) , ∴直线 y ? x ? 3 与椭圆 C1 交于两点 ∴满足条件 PF ? PF2 ? AF ? AF2 1 1 的点 P 有两个 [来源:Z.xx.k.Com]

解法 3:显然直线 L 的斜率存在,设直线 L 的方程为 y ? k x ? 2 ? 3 ,

?

?

由?

? y ? k ? x ? 2 ? ? 3, ? ? x ? 4 y, ?
2

消去 y ,得 x ? 4kx ? 8k ? 12 ? 0
2

设 B x1 , y1 ,C x2 , y2 ,则 x1 ? x2 ? 4k, x1x2 ? 8k ? 12 由 x2 ? 4 y ,即 y ?

?

?

?

?

1 1 2 x ,得 y? ? x 4 2 x1 x 1 ( x ? x1 ) ,即 y ? 1 x ? y1 ? x12 2 2 2

∴抛物线 C2 在点 B 处的切线 l1 的方程为 y ? y1 ?

∵ y1 ?

x 1 1 2 x1 , ∴ y ? 1 x ? x12 . 4 2 4 x2 1 2 x ? x2 2 4

同理,得抛物线 C2 在点 C 处的切线 l2 的方程为 y ?

? x1 x? ?y ? ? 2 由? ? y ? x2 x ? ? ? 2
∴ P 2k , 2k ? 3

? x1 ? x2 1 2 ? 2k , x1 , ?x ? ? 2 4 解得 ? 1 2 ? y ? x1 x2 ? 2k ? 3. x2 , ? ? 4 4

?

?

∵ PF ? PF2 ? AF ? AF2 , 1 1 ∴点 P 在椭圆 C1 :

x2 y2 ? ? 1上 16 12
2

? 2k ? ∴
16

2

? 2k ? 3? ?
12
2

? 1.

化简得 7k ? 12k ? 3 ? 0 .(*)
30

由 Δ ? 122 ? 4 ? 7 ? ?3 ? 228 ? 0 , 可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点 P 有两个
错误!未指定书签。(广东省惠州市 2013 届高三 4 月模拟考试数学理试题(WORD 版) 已知中心在原点 O ,焦 . )

? ?

点在 x 轴上,离心率为 (1)求椭圆的方程;

3 2 的椭圆过点( 2 , ). 2 2

(2)设不过原点 O 的直线与该椭圆交于 P 、 Q 两点,满足直线 OP , PQ , OQ 的斜率依次成等比数列, 求 ?OPQ 面积的取值范围. y P

Q

O

x

【答案】解:(1)由题意可设椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , a 2 b2

?c 3 ? ? ? 2 则 ?a , 2 1 ? ? ?1 ? a 2 2b 2 ?
所以,椭圆方程为

, 解的 ?

?a ? 2 , ?b ? 1

x2 ? y2 ? 1 4

(2)由题意可知,直线的斜率存在且不为 0, 故可设直线的方程为 y ? kx ? m(m ? 0) , P ( x1, y1), Q ( x 2, y 2) ,

? y ? kx ? m ? 2 2 2 由 ? x2 消去 y 得 (1 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4( m ? 1) ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?4
则 ? ? 64k b ? 16(1 ? 4k b )(b ? 1) ? 16(4k ? m ? 1) ? 0 ,
2 2 2 2 2 2 2

且 x1 ? x 2 ?

?8km 4m 2 ? 1 , x1 x 2 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
2 2

故 y1 y 2 ? (kx1 ? m)(kx 2 ? m) ? k x1 x 2 ? km( x1 ? x 2) ? m .

31

因为直线 OP , PQ , OQ 的斜率依次成等比数列,

所以,

y 2 y1 k 2 x1 x 2 ? km( x1 ? x 2) ? m 2 ?8k 2 m 2 ? ? ? k 2 ,即 ? m2 ? 0 , x 2 x1 x1 x 2 1 ? 4k 2
2

又 m ? 0 ,所以 k ?

1 1 ,即 k ? ? 4 2
2 2

由于直线 OP , OQ 的斜率存在,且△>0,得 0 ? m ? 2 且 m ? 1 . 设 d 为点 O 到直线的距离,则 S ?OPQ ?

1 1 d ? PQ ? m ? x1 ? x 2 ? m 2 (2 ? m 2 ) , 2 2

所以 S ?OPQ 的取值范围为 (0,1)
错误!未指定书签。(广东省汕头市第四中学 2013 届高三阶段性联合考试数学(理)试题)在平面直角坐标 .

系 xOy 中,动点 P 到两点 (? 3 , , ( 3 , 的距离之和等于 4 ,设点 P 的轨迹为曲线 C ,直线 l 过点 0) 0)

E (?1, 0 ) 且与曲线 C 交于 A , B 两点.
(1)求曲线 C 的轨迹方程; (2)是否存在△ AOB 面积的最大值,若存在,求出△ AOB 的面积;若不存在,说明理由.

【答案】解.(Ⅰ)由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 ( ? 3 , , ( 3 , 为焦点,长半轴长为 2 的椭 0) 0)

圆. 故曲线 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1 4

(Ⅱ)存在△ AOB 面积的最大值 因为直线 l 过点 E (?1, 0 ) ,可设直线 l 的方程为 x ? my ? 1 或 y ? 0 (舍).

? x2 2 ? ? y ? 1, 则? 4 ? x ? my ? 1. ?
整理得 (m ? 4) y ? 2my ? 3 ? 0
2 2

由 ? ? (2m) ? 12(m ? 4) ? 0 .
2 2

设 A( x1,y1 ),B ( x2,y2 ) .

32

解得

y1 ?

m ? 2 m2 ? 3 , m2 ? 4

y2 ?

m ? 2 m2 ? 3 . m2 ? 4

2 则 | y2 ? y1 |? 4 m ? 3 . m2 ? 4 因为 S ?AOB ? 1 OE ? y1 ? y2 2

?

2 m2 ? 3 2 ? 2 m ?4 m2 ? 3 ?

1 m2 ? 3

设 g (t ) ? t ? , t ?

1 t

m2 ? 3 , t ? 3 .

则 g (t ) 在区间 [ 3, ??) 上为增函数. 所以 g (t ) ?

4 3 . 3

所以 S ?AOB ?

3 3 ,当且仅当 m ? 0 时取等号,即 ( S ?AOB ) max ? . 2 2 3 2

所以 S ?AOB 的最大值为

错 误 ! 未 指 定 书 签 。 ( 广 东 省 增 城 市 2013 届 高 三 毕 业 班 调 研 测 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 点 .

P 是圆

( x ? 1) ? y ? 16 上的动点,圆心为 B , A(1,0) 是圆内的定点; PA 的中垂线交 BP 于点 Q . (1)求点 Q 的轨迹 C 的方程;
2 2

(2)若直线 l 交轨迹 C 于 M , N ( MN 与 x 轴、 y 轴都不平行)两点, G 为 MN 的中点,求 kMN ? kOG 的值 ( O 为坐标系原点).
【答案】(1)解:由条件知: QA ? QP

? QB ? QP ? 4 ? QB ? QA ? 4

? AB ? 2 ? 4
所以点 Q 的轨迹是以 B, A 为焦点的椭圆

? 2a ? 4,2c ? 2 ?b2 ? 3
所以点 Q 的轨迹 C 的方程是

x2 y2 ? ?1 4 3
x1 ? x2 y1 ? y2 , ) 2 2

(2)解:设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )(x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ,则 G (
33

?

x12 y12 x2 y2 ? ? 1, 2 ? 2 ? 1 4 3 4 3

1 1 2 2 ? ( x12 ? x2 ) ? ( y12 ? y2 ) ? 0 4 3

?

2 y12 ? y2 3 ?? 2 2 x1 ? x2 4

? k MN ?

y1 ? y2 y ? y2 , kOG ? 1 x1 ? x2 x1 ? x2
2 y12 ? y2 3 ? 2 ?? 2 x1 ? x2 4

? kMN ? kOG

或解:设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )(x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ,直线 MN 的方程为 y ? kx ? b(k ? 0) 则 G(

x1 ? x2 y1 ? y2 , ) 2 2

? y1 ? kx1 ? b, y2 ? kx2 ? b,? y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2b

? kOG ?

y1 ? y2 2b ?k? x1 ? x2 x1 ? x2

将 y ? kx ? b 代入椭圆方程得: (4k 2 ? 3) x 2 ? 8kbx ? 4b2 ?12 ? 0

? x1 ? x2 ? ?

8kb 4k 2 ? 3

? kOG ? k ?

2b 4k 2 ? 3 3 ?k? ?? ? 8kb 4k 4k 4k 2 ? 3
3 3 )?? 4k 4

所以 k MN ? kOG ? k ? (?

错 误 ! 未 指 定 书 签 。 ( 广 东 省 惠 州 市 2013 届 高 三 第 三 次 ( 1 月 ) 调 研 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 设 椭 圆 .

M:

x2 y 2 ? ? 1 a ? 2 的右焦点为 F1 ,直线 l : x ? a2 2

?

?

a2 a2 ? 2

与 x 轴交于点 A ,若 OF ? 2F A (其中 1 1

????

????

O 为坐标原点). (1)求椭圆 M 的方程;
(2)设 P 是椭圆 M 上的任意一点, EF 为圆 N : x 2 ? ? y ? 2? ? 1 的任意一条直径( E 、 F 为直径的两
2

个端点),求 PE ? PF 的最大值.

34

【答案】解:(1)由题设知, A(

a2 a ?2
2

, , F1 0)

?

a2 ? 2 , , 0

?

由 OF ? 2 AF ? 0 ,得 a ? 2 ? 2? 1 1
2

????

????

? a2 ? ? a2 ? 2 ? , ? 2 ? ? a ?2 ?

解得 a ? 6 .
2

所以椭圆 M 的方程为 M :

x2 y2 ? ?1 6 2
2

(2)方法 1:设圆 N : x 2 ? ? y ? 2? ? 1 的圆心为 N , 则 PE ? PF ? NE ? NP ? NF ? NP

?

??

?
?

???? ??? ???? ??? ? ? ? ? NF ? NP ? NF ? NP

?

??

??? 2 ??? 2 ??? 2 ? ? ? ? NP ? NF ? NP ?1
从而求 PE ? PF 的最大值转化为求 NP 的最大 值 因为 P 是椭圆 M 上的任意一点,设 P ? x0 ,0 ? , y
2

x y 2 2 所以 0 ? 0 ? 1 ,即 x0 ? 6 ? 3 y0 [来源:Z|xx|k.Com] 6 2
因为点 N ?0,2? ,所以 NP ? x0 ? ? y 0 ? 2? ? ?2? y 0 ? 1? ? 12
2 2 2 2

2

2

因为 y0 ? ? ? 2 , 2 ? ,所以当 y0 ? ?1 时, NP 取得最大值 12

2

?

?

所以 PE ? PF 的最大值为 11 方法 2:设点 E( x1 ,1 ) , ( x2 ,2 ), P( x0 ,0 ) , y F y y 因为 E , F 的中点坐标为 (0, 2) ,所以 ?

? x2 ? ? x1 , ? y2 ? 4 ? y1.

所以 PE ? PF ? ( x1 ? x0 )( x2 ? x0 ) ? ( y1 ? y0 )( y2 ? y0 )

??? ??? ? ?

? ( x1 ? x0 )(? x1 ? x0 ) ? ( y1 ? y0 )(4 ? y1 ? y0 )
2 2 ? x0 ? x12 ? y0 ? y12 ? 4 y1 ? 4 y0 2 2 ? x0 ? y0 ? 4 y0 ? ( x12 ? y12 ? 4 y1 )

[来源:学科网 ZXXK]

35

2 2 2 因 为点 E 在圆 N 上,所以 x1 ? ( y1 ? 2)2 ? 1 ,即 x1 ? y1 ? 4 y1 ? ?3
2 2 x0 y0 2 2 ? ? 1 ,即 x0 ? 6 ? 3 y0 6 2

因为点 P 在椭圆 M 上,所以

2 所以 PE ? PF ? ?2 y0 ? 4 y0 ? 9 ? ?2( y0 ? 1)2 ? 11. 12 分

??? ??? ? ?

因为 y0 ?[? 2 , 2] ,所以当 y0 ? ?1 时, PE ? PF

?

??? ??? ? ?

?

min

? 11

方法 3:①若直线 EF 的斜率存在,设 EF 的方程为 y ? kx ? 2 ,

由?

? y ? kx ? 2
2 2

? x ? ( y ? 2) ? 1

,解得 x ? ?

1 k 2 ?1

.

因为 P 是椭圆 M 上的任一点,设点 P ? x0 ,0 ? , y

x y 2 2 所以 0 ? 0 ? 1 ,即 x0 ? 6 ? 3 y0 6 2
所以 PE ? ?

2

2

??? ? ?

1

2 ? k ?1

? x0 ,

? ? ? ??? ? 1 k ? x0 , ? ? 2 ? y0 ? ? 2 ? y0 ? , PF ? ? ? 2 2 k ?1 k ?1 k 2 ?1 ? ? ?

k

所以 PE ? PF ? x0 ?
2

1 k2 2 ? (2 ? y 0 ) 2 ? 2 ? x0 ? (2 ? y 0 ) 2 ? 1 ? ?2( y 0 ? 1) 2 ? 11. 2 k ?1 k ?1

因为 y0 ? ? ? 2, 2 ? ,所以当 y0 ? ?1 时, PE ? PF 取得最大值 11 [来源:学*科*网]

?

?

②若直线 EF 的斜率不存在,此时 EF 的方程为 x ? 0 ,由 ? 不妨设, E ? 0 ,? , F ? 0 ,? 3 1 因为 P 是椭圆 M 上的任一点,设点 P ? x0 ,0 ? , y

?x ? 0
2 2 ? x ? ( y ? 2) ? 1

,解得 y ? 1 或 y ? 3 .

x y 2 2 所以 0 ? 0 ? 1 ,即 x0 ? 6 ? 3 y0 . 6 2 ??? ? ??? ? 所以 PE ? ? ? x0 , ? y0 ? , PF ? ? ? x0 ,? y0 ? . 3 1
所以 PE ? PF ? x02 ? y02 ? 4 y0 ? 3 ? ?2( y0 ?1)2 ?11. 因为 y0 ? ? ? 2 , 2 ? ,所以当 y0 ? ?1 时, PE ? PF 取得最大值 11

2

2

??? ??? ? ?

?

?

综上可知, PE ? PF 的最大值为 11 [来源:学.科.网 Z.X.X.K]
36

错误!未指定书签。(广东省揭阳市 2013 届高三 3 月第一次高考模拟数学(理)试题(含解析) 如图(6),设 . )

点 F1 (?c,0) 、 F2 (c,0) 分别是椭圆 C :

uuu uuu r r PF1 ? PF2 最小值为 0 . (1)求椭圆 C 的方程;

x2 ? y 2 ? 1(a ? 1) 的左、右焦点, P 为椭圆 C 上任意一点,且 2 a

(2)若动直线 l1 , l2 均与椭圆 C 相切,且 l1 // l2 ,试探究在 x 轴上是否存在定点 B ,点 B 到 l1 , l2 的距离之 积恒为 1?若存在,请求出点 B 坐标;若不存在,请说明理由.
y

x F1 o F2

图(6)

【答案】解:(1)设 P ( x, y ) ,则有 F1 P

? ( x ? c, y ) , F2 P ? ( x ? c, y )

PF1 ? PF2 ? x 2 ? y 2 ? c 2 ?

a2 ?1 2 x ? 1 ? c 2 , x ? ?? a, a ? a2

由 PF1 ? PF2 最小值为 0 得 1 ? c 2 ? 0 ? c ? 1 ? a 2 ? 2 , ∴椭圆 C 的方程为

uuu uuu r r

x2 ? y2 ? 1 2

(2)①当直线 l1 , l2 斜率存在时,设其方程为 y ? kx ? m, y ? kx ? n 把 l1 的方程代入椭圆方程得 (1 ? 2k ) x ? 4mkx ? 2m ? 2 ? 0
2 2 2

∵直线 l1 与椭圆 C 相切,∴ ? ? 16k m ? 4(1 ? 2k )(2m ? 2) ? 0 ,化简得
2 2 2 2

m 2 ? 1 ? 2k 2
同理, n 2 ? 1 ? 2k 2 ∴ m 2 ? n 2 ,若 m ? n ,则 l1 , l2 重合,不合题意,∴ m ? ? n
37

设在 x 轴上存在点 B (t , 0) ,点 B 到直线 l1 , l2 的距离之积为 1,则

| kt ? m | | kt ? m | ? ? 1 ,即 | k 2t 2 ? m 2 |? k 2 ? 1 ,--2 2 k ?1 k ?1
把 1 ? 2k 2 ? m 2 代入并去绝对值整理,

k 2 (t 2 ? 3) ? 2 或者 k 2 (t 2 ? 1) ? 0
前式显然不恒成立;而要使得后式对任意的 k ? R 恒成立 则 t 2 ? 1 ? 0 ,解得 t ? ?1 ;--------------------------------------------------------②当直线 l1 , l2 斜率不存在时,其方程为 x ?

2和x?? 2,

定点 (?1, 0) 到直线 l1 , l2 的距离之积为 ( 2 ? 1)( 2 ? 1) ? 1 ; 定点 (1, 0) 到直线 l1 , l2 的距离之积为 ( 2 ? 1)( 2 ? 1) ? 1 ; 综上所述,满足题意的定点 B 为 (?1, 0) 或 (1, 0)

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