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【一模】上海市普陀区2015届高三一模数学试题及答案(理)


普陀区 2015 届高三 12 月质量调研(一模) 数学(理)试卷

2014.12 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 小题,要求直接将结果填写在答 题纸对应的空格中.每个空格填对得 4 分,填错或不填在正确的位置一律得零分. 1. 若集合 A ? {x | lg x ? 1} , B ? { y | y ? sin x, x ? R } ,则 A ? B ? 2. 若 lim .

an ? 1 ,则常数 a ? n?? n ? a

. . . .

3. 若 x ? 1 ,则函数 y ?

x2 ? x ? 1 的最小值为 x ?1

A1 B1

C1

?? ? 4. 函数 y ? tan ? ? x ? 的单调递减区间是 4 ? ? 5. 方程 lg x ? lg(7 ? x) ? 1 的解集为

A
第6题

C

6. 如图,正三棱柱的底面边长为 2 ,体积为 3 ,则直线 B1C 与底面 ABC 所成的角的大小为 (结果用反三角函数值表示). 2 2 x y ? ? 1 表示双曲线,则实数 k 的取值范围是 7. 若方程 | k | ?2 3 ? k 8. 函数 f ( x) ? x 2 ? 2x ? 2 ( x ? 0 )的反函数是
1 ? ? 2 9. 在二项式 ? x ? ? 的展开式中,含 x 项的系数为 x? ?
8

B

.

.

(结果用数值表

示). 10. 若抛物线 y 2 ? 是 .
4x m

( m ? 0 )的焦点在圆 x2 ? y 2 ? 1 内,则实数 m 的取值范围

11. 在 ?ABC 中,三个内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ,若 a ? 2 3 ,c ? 2 ,
A ? 120? ,则 S?ABC ?

. .

12. 若无穷等比数列 {an } 的各项和等于公比 q ,则首项 a1 的最大值是

·1·

? ?log a x x ? 0 13. 设 a 为 大 于 1 的 常 数 , 函 数 f ( x) ? ? x ?1 ,若关于 x 的方程 x?0 ? ?a
f 2 ( x)? b? f( x )? 0

P1

P5
.

恰有三个不同的实数解,则实数 b 的取值范围是

14. 如图,点 P1 , P2 ,… , P 10 分别是四面体的顶点或其棱的中点,则在同一平面
1 ? i ? j ? k ? 10 )共有 内的四点组 ? P 1, P i , Pj , P k? (

P P2 P P9 3 8 P 4
第 14 题

P6 P 10

P7

个.

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个结论是正确 的,必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得 5 分,不选、选 错或选出的代号超过一个(不论是否都写在空格内),或者没有填写在题号对应 的空格内,一律得零分. 15 . 设

a



b?

R





a ?0b



则…………………………………………………………………………(
( A) | a ? b |? | a ? b | (C ) | a ? b |? | a |? |b | ( B ) | a ? b |?| a ? b |



( D ) | a ? b |?| a | ? | b |

16.“ 点 M 在 曲 线 y 2 ? 4 x 上 ” 是 “ 点 M 的 坐 标 满 足 方 程 2 x ? y ? 0 ” 的…………………………( ( A) 充分非必要条件 (C ) 充要条件 )
( B ) 必要非充分条件

( D ) 既非充分也非必要条件

?? ? 17. 要 得 到 函 数 y ? sin 2 x 的 图 像 , 只 需 将 函 数 y ? cos ? 2 x ? ? 的 图 4? ? 像………………………( )

A

? 个单位 8 ? (C ) 向左平移 个单位 4
( A) 向左平移

( B ) 向右平移

? 个单位 8 ? ( D ) 向右平移 个单位 4

B P1 P2 P 3
18. 若在边长为 1 的正三角形 ABC 的边 BC 上有 n ( n ? N , n ? 2 )等分点,
*

Pk
第 18 题

Pn

·2·

沿





??? ? BC













P 1, P 2 ,?, P n ?1





??? ? ???? ???? ???? ? ????? ? ??? ? Tn ? AB ? AP ??? 1 ? AP ? AP 1 2 AP n ? ? AC ,
若给出四个数值:① 有…………………( ( A) 1 个

1

29 91 ② 10 4 ) ( B) 2 个



197 18



232 , 则 Tn 的 值 不 可 能 的 共 33
(D) 4 个

(C ) 3 个

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸规 定的方框内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分) 已知 P 是椭圆 值. 20. (本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. ? 3? ? 3? 已知函数 f ( ) ? f ( ) ? 2 满足 f ( ) ? f ( ) ? 2 6 2 6 2 (1)求实数 f ( x) 的值以及函数 f ( x) 的最小正周期; (2)记 g ( x) ? f ( x ? t ) ,若函数 g ( x) 是偶函数,求实数 t 的值.

x2 y 2 ? ? 1 上的一点,求 P 到 M (m,0) ( m ? 0 )的距离的最小 4 2

21. (本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 如图,在两块钢板上打孔,用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉(图 1)穿 在一起, 在没有帽的一端锤打出一个帽, 使得与钉帽的大小相等, 铆合的两块钢板, 成为某种钢结构的配件,其截面图如图 2.(单位:mm).(加工中不计损失). (1)若钉身长度是钉帽高度的 2 倍,求铆钉的表面积; (2)若每块钢板的厚度为 12 mm,求钉身的长度(结果精确到 1 mm).
20 38

12 20 12 ·3· 19 19

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题 5 分,第(2)小题 6 分, 第(3)小题 5 分 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? an ? 4 , n ? N* (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)已知 cn ? 2n ? 3 ( n ? N*) ,记 dn ? cn ? logC an ( C ? 0 且 C ? 1 ),是否存在 这样的常数 C ,使得数列 {dn } 是常数列,若存在,求出 C 的值;若不存在, 请说明理由. (3)若数列 {bn } ,对于任意的正整数 n ,均有
?1? n?2 b1an ? b2 an ?1 ? b3 an ? 2 ? ? ? bn a1 ? ? ? ? 成立,求证:数列 {bn } 是等差 2 ?2?
n

数列;

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分, 第(3)小题 8 分 已知函数 y ? f ( x) ,若在定义域内存在 x0 ,使得 f (? x0 ) ? ? f ( x0 ) 成立,则称 x0 为函数 f ( x) 的局部对称点. (1)若 a 、 b ? R 且 a ? 0 ,证明:函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? a 必有局部对称点; (2)若函数 f ( x) ? 2x ? c 在区间 [ ?1, 2] 内有局部对称点,求实数 c 的取值范围; (3)若函数 f ( x) ? 4x ? m ? 2x ?1 ? m2 ? 3 在 R 上有局部对称点,求实数 m 的取值范 围.
·4·

·5·

普陀区高三理科数学质量调研卷参考答案
一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 小题,要求直接将结果填写在答 题纸对应的空格中.每个 空格填对得 4 分,填错或不填在正确的位置一律得零分. ? 3? ? ? 1. [?1, 10) 2.1 3.3 4. ? k? ? .k? ? ? (k?Z ) 4 4 ? ? 5. {2,5} 6. arctan 9.70

1 2

7. (?2, 2) ? (3, ??) 11. 3 12.

8. f ?1 ( x) ? 1 ? x ? 1( x ? 2) 13. 0 ? b ? a 14. 33

10. m ? 1

1 4

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个结论是正确 的,必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得 5 分,不选、选 错或选出的代号超过一个(不论是否都写在空格内),或者没有填写在题号对应 的空格内,一律得零分.

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸规 案 定的方框内写出必要的步骤 . 19. (本题满分 12 分) 【解】设 P( x, y ) ,其中 ?2 ? x ? 2 ……………………2 分



题 答

15 A

16 B

17 B

18 D

1 1 则 | PM |2 ? ( x ? m)2 ? y 2 = ( x ? m)2 ? 2 ? x2 ? x2 ? 2mx ? m2 ? 2 ……5 分 2 2 1 ? ( x ? 2m)2 ? 2 ? m2 ,对称轴 x ? 2m ? 0 ……7 分 2
(1) 若 0 ? 2m ? 2 ,即 x ? 2m ,此时当 x ? 2m 时, | PM |min ? 2 ? m2 ; ……9 分 (2) 若
2m ? 2
m


2 n



m ?1









x?2





|P

M? | i

? m

; 4 ?m 4 ?……11 | m ?分 2

|

? ? 2 ? m2 ,0 ? m ? 1 综上所述, | PM |min ? ? …………12 分 ? ?| m ? 2 |, m ? 1

·6·

20. (本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. ? ? f( )?2 ? ? ? ? 6 ?a ? 3b ? 8 ?a ? 2 【解】 (1)由 ? 得, ? ……2 分,解得 ? ……3 分 ?a ? 2 ?b ? 2 3 ? f ( 3? ) ? 2 ? ? ? ? 2

2

a?2



b?4 3





f(

? x)

2

2? s x i

n

得 x 2

3 x

s

i

n

f ( x) ? 2sin x ? 2 3sin x cos x
所以 f ( x) ? 1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ……4 分

? 1 ? 2sin(2 x ? ) …………5 分 6 2? 所以函数 f ( x) 的最小正周期 T ? ? ? …………6 分 2
( 2 ) 由 ( 1 ) 得 ,

?

f ( x ? t ) ? 2sin[2( x ? t ) ? ] ? 1 , 所 以 6

?

?? ? g ( x) ? 2sin ? 2 x ? 2t ? ? ? 1 ……8 分 6? ?
函数 g ( x) 是偶函数,则对于任意的实数 x ,均有 g (? x) ? g ( x) 成立。
?? ?? ? ?? ?? ? 所以 sin ?? 2t ? ? ? 2 x ? ? sin ?? 2t ? ? ? 2 x ? …………10 分 6 6 ? ? ?? ? ?? ?

?? ? 整理得, cos ? 2t ? ? sin x ? 0 ……(﹡)………………12 分 6? ? ?? ? ( ﹡ ) 式 对 于 任 意 的 实 数 x 均 成 立 , 只 有 cos ? 2t ? ? ? 0 , 解 得 6? ?
2t ?

?
6

? k? ?

?
2



所以 t ?

k? ? ? , k ? Z …………14 分 2 3

21. (本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 【解】设钉身的高为 h ,钉身的底面半径为 r ,钉帽的底面半径为 R ,由题意可 知:……1 分 (1) 圆柱的高 h ? 2 R ? 38 ……2 分 圆柱的侧面积 S1 ? 2? rh ? 760? ……3 分

1 半球的表面积 S2 ? ? 4? R2 ? ? R2 ? 1083? ……5 分 2

·7·

所以铆钉的表面积 S ? S1 ? S2 ? 760? ? 1083? ? 1843? ( mm2 )……7 分 (2) V1 ? ? r 2 ? h1 ? 100 ? 24 ? ? ? 2400? ……8 分

1 4 2 13718? ……9 分 V2 ? ? ? ? ? R3 ? ?193 ? ? ? 2 3 3 3
设钉身长度为 l ,则 ? 100? l ? 100? l ……10 分 由于 V3 ? V1 ? V2 ,所以 2400? ? 解得 l ? 70 mm ……13 分 答:钉身的表面积为 1843? mm2 ,钉身的长度约为 70mm 。 22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题 5 分,第(2)小题 6 分, 第(3)小题 5 分 【解】 (1) a1 ? 4 ? a1 ,所以 a1 ? 2 …………………………1 分 由 Sn ? an ? 4 得 n ? 2 时, Sn ?1 ? an ?1 ? 4 ……2 分 两式相减得, 2an ? an ?1 ,
an 1 ? ,……3 分 an ?1 2

13718? ? 100? l ,……12 分 3

数 列 {an } 是 以 2 为 首 项 , 公 比 为 ( n ? N * )……5 分 (2)由于数列 {dn } 是常数列

1 的 等 比 数 列 , 所 以 an ? 22?n 2

dn = cn ? logC an ? 2n ? 3 ? (2 ? n)logC 2 ………………6 分

?

2n ? 3 ? 2logC 2 ? n logC 2

? (2 ? logC 2)n ? 3 ? 2logC 2





数………………7 分 只有 2 ? logC 2 ? 0 ,………………8 分;解得 C ? 2 ,………………9 分 此时 dn ? 7 ……10 分 (3) b1an ? b2 an ?1 ? b3 an ?2
?1? n?2 ? ? ? bn a1 ? ? ? ? ……① 2 ?2?
n

·8·

n ? 1 , b1a1 ?

1 3 1 ? ? ?1 ,其中 a1 ? 2 ,所以 b1 ? ? …………11 分 2 2 2
n ?1

?1? 当 n ? 2 时, b1an ?1 ? b2 an ? 2 ? b3 an ?3 ? ? ? bn ?1a1 ? ? ? ? 2?

?

n ?1 ……②……12 分 2
n

1 ? 1 ? n ?1 ②式两边同时乘以 得,b1an ? b2 an ?1 ? b3 an ? 2 ? ? ? bn ?1a2 ? ? ? ? ……③13 分 4 2 ?2?
①式减去③得, bn a1 ?

?n ? 3 n 3 ,所以 bn ? ? ? ……14 分 4 8 8

1 且 bn ?1 ? bn ? ? ……15 分 8 1 1 所以数列 {bn } 是以 ? 为首项,公差为 ? 的等差数列。……16 分 2 8
23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分, 第(3)小题 8 分 【解】 (1)由 f ( x) ? ax2 ? bx ? a 得 f (? x) ? ax2 ? bx ? a ……1 分 代入 f (? x) ? f ( x) ? 0 得, ax2 ? bx ? a ? ax2 ? bx ? a ? 0 , 得到关于 x 的方程 ax 2 ? a ? 0 ( a ? 0 ) ,……2 分 2 其中 ? ? 4a ,由于 a ? R 且 a ? 0 ,所以 ? ? 0 恒成立……3 分 所以函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? a ( a ? 0 )必有局部对称点。……4 分 (2)方程 2x ? 2? x ? 2c ? 0 在区间 [ ?1, 2] 上有解,于是 ?2c ? 2 x ? 2? x ……5 分 设 t ? 2 x ( ?1 ? x ? 2 ) ,

?

? ?

?

1 ? t ? 4 ,……6 分 2 1 17 其中 2 ? t ? ? ……9 分 t 4

1 ?2c ? t ? ……7 分 t
所以 ?

17 ? c ? ?1 ……10 分 8

(3) f (? x) ? 4? x ? m ? 2? x?1 ? m2 ? 3 ,……11 分 由 于
f (? x) ? f( , ? x) 所

以0

4? x ? m ? 2? x ?1 ? m2 ? 3 ? ?(4x ? m ? 2x ?1 ? m2 ? 3) ……13 分

于是 (4x ? 4? x ) ? 2m(2x ? 2? x ) ? 2(m2 ? 3) ? 0 ……(*)在 R 上有解……14 分
·9·

令 2 x ? 2? x ? t ( t ? 2 ) ,则 4 x ? 4? x ? t 2 ? 2 ,……15 分 所以方程(*)变为 t 2 ? 2mt ? 2m2 ? 8 ? 0 在区间 [2, ??) 内有解,需满足条件:
?? ? 4m2 ? 8(m2 ? 4) ? 0 ? ……16 分 ? 2m ? 4(8 ? m2 ) ?2 ? ? 2

? ??2 2 ? m ? 2 2 即? ,化简得 1 ? 3 ? m ? 2 2 ……18 分 1 ? 3 ? m ? 2 2 ? ?

·10·


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